20 de novembre del 2016

Algoritmes històrics (i no tan històrics) de la resta.

Poc més es pot afegir al tema de l'algoritme de la resta del que han escrit en quatre magnífics articles el David Barba i la Cecilia Calvo al blog del PuntMat. Entre altres coses perquè al blog s'atén més, com hauria de ser,  el problema global de la resta que no el de l'ús d'un algoritme concret. Però un tuit que ha corregut aquests darrers dies i algun algoritme històric guardat al calaix des de fa temps m'ha esperonat a escriure també sobre el tema.

Voldria començar, però, explicant una petita història personal relacionada amb els mètodes per restar. El meu avi era venedor ambulant de ganiveteria. En els períodes de vacances em tocava acompanya-lo pels diferents mercats de Barcelona i la meva feina era tornar els canvis de les vendes. Devia tenir cinc o sis anys i era desesperant haver de fer les restes de cap. Estem parlant de la dècada dels 60 on encara els preus anaven, generalment, a les desenes de cèntim (també hi havia monedes de 5 cèntims).


El meu avi, al veure la meva lentitud operativa, em va salvar la vida explicant-me que el que havia de fer era completar els diners que em donaven  a partir del cost de la venda. Per exemple si la venda era de 17,20 ptes. i em pagaven amb "cinc duros" (25 ptes.), primer anava comptant fins a completar 18 ptes (80 cèntims), després seguia fins a 20 (2 ptes.) i, finalment fins a 25 (un duro, 5 ptes.). Cal dir que no em preocupava del total del canvi. Anava completant i prou. Si hagués volgut saber el resultat de la resta només hauria calgut sumar els "lliuraments" parcials: 0,80+2+5 = 7,80 ptes. És el mètode que vaig continuar utilitzant en les restes "no escolars": anar completant. A l'escola, evidentment, s'havia de fer d'una altra manera. En el fons el mètode de l'avi és un algoritme molt més natural perquè treballa amb quantitats i no amb xifres. Una de les grans limitacions dels algoritmes estàndard per ajudar a desenvolupar el sentit numèric dels alumnes és que, fent treballar xifra a xifra, ens fan perdre de vista els nombres, las quantitats amb les que operem. Més tard he sabut que l'algoritme escrit històric conegut com "austríac", que apareix explicat com a algoritme escrit a la Logistica quae et arithmetica de Jean Buteo, un llibre del 1559, era més proper al mètode de l'avi que a l'escolar.

Tornem al tuit esmentat abans, autoria de @MarcChubb3, autor del blog Thinking mathematically. En ell es veia una sorprenent resta.

Immediatament apareixen algunes peguntes:
  • Com s'ha fet la resta?
  • Funciona sempre?
  • Com es pot justificar el mètode?
  • Com es pot generalitzar a restes de més de dues xifres?
A continuació expliquem aquesta resta i mostrarem també alguns algoritmes històrics. Entre ells un que elimina "del tot" el problema de la "resta portant"