tag:blogger.com,1999:blog-74486401087005424122024-03-25T07:09:46.982+01:00Blog del Calaix +ieBlog del Calaix +ie
Un espai per les recreacions i la divulgació matemàtica especialment adreçat a les aules.Unknownnoreply@blogger.comBlogger159125tag:blogger.com,1999:blog-7448640108700542412.post-36166882852730247692024-03-19T17:46:00.006+01:002024-03-19T17:46:51.913+01:00Això és un joc? O només ho sembla?<p>Començarem aquest article amb un joc geomètric: "Punts a la circumferència". Les regles són les següents:</p><p></p><ul style="text-align: left;"><li>Es comença dibuixant una circumferència i una quantitat <i>n</i> de punts sobre ella.</li><li>Cada jugador, alternativament, dibuixa un segment que uneixi dos d'aquests punts que no siguin contigus. Per fer-ho més clar és millor que utilitzin dos colors diferents.</li><li>Perd el jugador que dibuixa un segment que talli uns dels que ja estan fets, o que es veu obligat a fer-ho.</li></ul><p></p><p>Comencem, per exemple, amb onze punts sobre la circumferència. Podem veure que, en aquesta partida, ha guanyat el segon jugador.</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhUV-sqU8Jz2agdpF67k9sFOThuzWvIGFt7SYEy3aN-mNxiP-0Jv6KvRy__74Q3Uo7Q-_s0sjNR24SwgX7VCelHmryUdI1kieaSt7qzA7Xt2TNV3r5LI2kesE8PI7MrU-5IU4I7hMftZVPc7aJPE6OUCnGmxpTLBjQdMIXKp8-lsHULC3GnMngqQSVU9ILj/s308/joc%2011%20punts%20sense%20contigus.gif" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="308" data-original-width="273" height="308" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhUV-sqU8Jz2agdpF67k9sFOThuzWvIGFt7SYEy3aN-mNxiP-0Jv6KvRy__74Q3Uo7Q-_s0sjNR24SwgX7VCelHmryUdI1kieaSt7qzA7Xt2TNV3r5LI2kesE8PI7MrU-5IU4I7hMftZVPc7aJPE6OUCnGmxpTLBjQdMIXKp8-lsHULC3GnMngqQSVU9ILj/s1600/joc%2011%20punts%20sense%20contigus.gif" width="273" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Aquí tenim un altre exemple de partida, amb 12 punts, en la que guanya el primer perquè el segon no pot dibuixar cap segment sense tallar-ne un altre.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhkrGZWVEOuToMDAxZQRRLN1v85qwPcA2tSJ75GFewGooAiwm-J1nvF7YyKkDF6seWAD-JKzjHvLS7rh7ttodFv7MAqLP2m7VZ0VXzXqvZDvtji2-WjK9vanw6gxHwScecZYNdNkcg9r2UWnnxg57-KwFJYUP_Yp3sH_obfZfvW1qN1_7fAIAJnmMuc-nGL/s294/partida%2012%20punts.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="294" data-original-width="268" height="294" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhkrGZWVEOuToMDAxZQRRLN1v85qwPcA2tSJ75GFewGooAiwm-J1nvF7YyKkDF6seWAD-JKzjHvLS7rh7ttodFv7MAqLP2m7VZ0VXzXqvZDvtji2-WjK9vanw6gxHwScecZYNdNkcg9r2UWnnxg57-KwFJYUP_Yp3sH_obfZfvW1qN1_7fAIAJnmMuc-nGL/s1600/partida%2012%20punts.png" width="268" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Quan la quantitat de punts és parell, sovint es presenta una estratègia guanyadora per al primer jugador que funciona per simetria. Jo mateix ho he fet més d'una vegada. L'estratègia és la següent:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li>qui comença fa un segment unint dos punts oposats i dividint el cercle en dues parts iguals.</li><li>cada vega que li toqui jugar farà un segment simètric, respecte a aquest primer segment, al que ha dibuixat l'altre jugador.</li></ul><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhElrJDcBOh8QwweIU4pif1jYYyv6IWJVEnPKgOaPxbz8sNqQW-yVypjoFu180D22Cfwmvl9BOVc08oV3bStslXuB3MDT9okjAVxOVCqk_RfDtqVl_q-6L8Xyw7kQ7M13RF5At-8ZdQZPBK4Nr8-HvPQVG1tozaYTrMso2br8LvNlqSYtFPX9uNkhdxcVoe/s349/sol_punts.gif" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="349" data-original-width="338" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhElrJDcBOh8QwweIU4pif1jYYyv6IWJVEnPKgOaPxbz8sNqQW-yVypjoFu180D22Cfwmvl9BOVc08oV3bStslXuB3MDT9okjAVxOVCqk_RfDtqVl_q-6L8Xyw7kQ7M13RF5At-8ZdQZPBK4Nr8-HvPQVG1tozaYTrMso2br8LvNlqSYtFPX9uNkhdxcVoe/s320/sol_punts.gif" width="310" /></a></div>Però, és necessària aquesta estratègia? I si ens ho mirem d'una altra manera? Per exemple, ens podem preguntar quina és la quantitat màxima de segments que podem dibuixar en aquestes condicions i sense que es tallin. Mirem el cas d'un pentàgon: només podem dibuixar dos segments.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjzCk0lKLg8WmytZ1JnETTKc1-DW9jYyVHsdclwKUxgQ2_uIlVpDJt96SfyPf5aMSrZ0zNylMwm3GPqkq-mwwlUJwtHrM3FK7innkeW_24ZLVFdmZQq6yGNvk7n-HQ10AOo6DwgHpyovwz9j_tt0lCHkvWGkVdPoJ7xV4h1yJLSCymETIDpzLgr3UJsAfIk/s130/pentagon.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="127" data-original-width="130" height="127" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjzCk0lKLg8WmytZ1JnETTKc1-DW9jYyVHsdclwKUxgQ2_uIlVpDJt96SfyPf5aMSrZ0zNylMwm3GPqkq-mwwlUJwtHrM3FK7innkeW_24ZLVFdmZQq6yGNvk7n-HQ10AOo6DwgHpyovwz9j_tt0lCHkvWGkVdPoJ7xV4h1yJLSCymETIDpzLgr3UJsAfIk/s1600/pentagon.png" width="130" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">I a un hexàgon? El màxim és tres.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgLrakRa9KY_ZlTnWVS_c-Ujjp1lvV8x0llLBnKUEWHpVG6T1oSXa5oHjw8mGLHUgrWuxhjwYxcF7hS5HpHaqpbpCu8Y8SxgNt8HbPVgNWo4TSCheEYBHJFTu0BGF8YTOnwRe6N09lT_UnGyBFPE8FcavMFDPci3fyFsukVbNI-JhzGqQKZnE8UQJcumDeq/s278/hex1-horz.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="129" data-original-width="278" height="129" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgLrakRa9KY_ZlTnWVS_c-Ujjp1lvV8x0llLBnKUEWHpVG6T1oSXa5oHjw8mGLHUgrWuxhjwYxcF7hS5HpHaqpbpCu8Y8SxgNt8HbPVgNWo4TSCheEYBHJFTu0BGF8YTOnwRe6N09lT_UnGyBFPE8FcavMFDPci3fyFsukVbNI-JhzGqQKZnE8UQJcumDeq/s1600/hex1-horz.png" width="278" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Amb 11 punts hem vist que es podien fer 8 i amb 12, nou. Una taula serà més clara.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div align="center">
<table border="1" bordercolorlight="#000000" style="border-collapse: collapse; width: 60%;">
<tbody><tr>
<td align="center" bgcolor="#808000" width="403"><b>
<font color="#FFFFFF">Punts</font></b></td>
<td align="center" width="84">4</td>
<td align="center" width="84">5</td>
<td align="center" width="84">6</td>
<td align="center" width="85">7</td>
<td align="center" width="85">8</td>
<td align="center" width="85">9</td>
<td align="center" width="85">10</td>
<td align="center" width="85">11</td>
<td align="center" width="85">12</td>
<td align="center" width="85">13</td>
<td align="center" width="85">...</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#808000" width="403"><b>
<font color="#FFFFFF">Segments</font></b></td>
<td align="center" width="84">1</td>
<td align="center" width="84">2</td>
<td align="center" width="84">3</td>
<td align="center" width="85">4</td>
<td align="center" width="85">5</td>
<td align="center" width="85">6</td>
<td align="center" width="85">7</td>
<td align="center" width="85">8</td>
<td align="center" width="85">9</td>
<td align="center" width="85">10</td>
<td align="center" width="85">...</td>
</tr>
</tbody></table></div><div><br /></div>
Hi ha un patró ben clar: el màxim de segments és tres unitats inferior a la quantitat de punts inicials:<div><br /></div><div style="text-align: center;">segments = punts - 3</div><div style="text-align: center;"><br /></div><div style="text-align: left;">No és difícil de justificar: la quantitat de punts als que puc unir un altre, sense comptar-se ell mateix i els dos contingus, és <i>n</i>-3.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgNMGWxMSvn_FdRUlAAxMM2F7sDq2zPljrjzvA_g8BqTeil2YzwqEEFCNfNxL49bZCYmUC1AbCt8Y7ZGOonn-whVSsWlv43i9j8wRvT3t0-tDYVpkWGf0uBkW-od_r1mv8Y065qxHktREKehWdxqxlFx0lzeQeqQUgchXJSvVUG1_HENbkervZH2kEwv3Sx/s294/14%20punts.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="273" data-original-width="294" height="273" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgNMGWxMSvn_FdRUlAAxMM2F7sDq2zPljrjzvA_g8BqTeil2YzwqEEFCNfNxL49bZCYmUC1AbCt8Y7ZGOonn-whVSsWlv43i9j8wRvT3t0-tDYVpkWGf0uBkW-od_r1mv8Y065qxHktREKehWdxqxlFx0lzeQeqQUgchXJSvVUG1_HENbkervZH2kEwv3Sx/s1600/14%20punts.png" width="294" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">14 punts - 3 = 9 segments</td></tr></tbody></table><br />Si en hi fixem la quantitat de punts i la de segments tenen paritats diferents, Si la quantitat de punts inicials és senar, la de segments serà parell. En conseqüència, el segon jugador, només mirant de no tallar cap segment, guanyarà segur perquè dibuixarà l'últim possible. Recíprocament, si la quantitat de punts és parell, la de segments serà senar i guanyarà el primer. No cal aplicar estratègies de simetria en cap cas: només mirar de poder dibuixar un segment sense tallar-ne un altre.<div><br /></div><div>És això un joc, doncs? La resposta és que no, perquè el resultat de la partida està determinat per la quantitat inicial de punts. És el que anomenem un <b>pseudojoc</b>. En aquest cas el podríem descriure com un <i>pseudojoc parcial</i>. Per què parcial? Perquè hem de vigilar de no equivocar-nos i fer sempre una jugada que no ens faci perdre; que no tallem un segment perquè ens despistem o perquè no em sabut veure una possibilitat de dibuix de segment. Si actuem correctament, guanyarem o perdrem indefectiblement depenent de la quantitat de punts. Però si ens despistem, podem perdre.</div><div><br /></div><div><b><span style="color: #660000;">Modifiquem una regla</span></b></div><div><br /><div>I si ara permetem que es puguin unir dos punts contigus? Deixarà de ser un <i>pseudojo</i>c? La resposta és que no. Però sí que afecta en una cosa: ara, si no s'equivoca, guanyarà sempre qui comença. Per què? L'única que cosa que fem és augmentar la quantitat màxima de segments en <i>n</i>: els costats del polígon que formarien totes els punts unint un d'ells amb els seu veïns. El total de segments ara serà 2<i>n</i>-3. Sigui quina sigui la paritat de la quantitat de punts, la de segments serà senar, ja que sempre en restarem 3 a una quantitat parell (2<i>n</i>).</div></div><div><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjOm2hp4VyIZaj37PITijUjqjLWE_KG63TWqXKcHn6kQKrRvqtuE_gXiCwklFN1q-g_cEykXAifWTL86SDJMFtjV8lbVnejrmFUW-vtpmdwpgf0WuxN3zpQ3EdES3XEyqEuvcVOlulooUbCV4h0DJbo4eHfKhx2QivN_ENX8yKOn86N51HI2tN_Gzt2ac2e/s324/17%20costats.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="324" data-original-width="323" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjOm2hp4VyIZaj37PITijUjqjLWE_KG63TWqXKcHn6kQKrRvqtuE_gXiCwklFN1q-g_cEykXAifWTL86SDJMFtjV8lbVnejrmFUW-vtpmdwpgf0WuxN3zpQ3EdES3XEyqEuvcVOlulooUbCV4h0DJbo4eHfKhx2QivN_ENX8yKOn86N51HI2tN_Gzt2ac2e/s320/17%20costats.png" width="319" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">17 costats, 31 segments (2·17-3)</td></tr></tbody></table><br /><div style="text-align: left;"><span style="color: #660000; font-size: medium;"><b>Vols conèixer altres pseudojocs?</b></span></div><div style="text-align: left;"><br /><a name='more'></a>A conseqüència del fet que la gran majoria de jocs d'estratègia estan pensats per a dos jugadors els aspectes de paritat juguen un paper cabdal en la majoria de <i>pseudojocs</i>, Comencem per un "joc" senzill, que es pot estudiar, fins i tot a primària.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;"><div><b><span style="color: #660000; font-size: medium;">El joc de les torres</span></b></div><div><br /><div>Recordem que una torre d'escacs pot matar una fitxa contrària si està a la mateixa fila o a la mateixa columna de l'escaquer. El joc és el següent:</div><div><ul style="text-align: left;"><li>es juga a un tauler que pot ser de forma quadrada o, més general, rectangular (de mida <i>m</i>·<i>n</i>)</li><li>cada jugador posa, alternativament, una torre sobre el tauler de forma que no amenaci cap altra torre ja col·locada.</li><li>perd qui no pot posar una torre amb aquestes condicions.</li></ul>Pots intentar investigar una mica el joc amb aquest aplicatiu que té diferents mides de tauler (Tu mateix hauràs de fer dels dos jugadors).</div></div><div><br /></div><div style="text-align: center;"><iframe allowfullscreen="" allowtransparency="true" frameborder="0" height="402" scrolling="no" src="https://scratch.mit.edu/projects/984234424/embed" width="485"></iframe></div><div style="text-align: center;"><br /></div><div style="text-align: left;">No és difícil descobrir que el màxim de torres que es poden col·locar coincideix amb la mida del costat més curt del tauler. Així, si aquesta quantitat mínima és senar, guanyarà qui comença. I si és parell, el segon jugador. Això sí, sempre estant atents a no equivocar-nos en col·locar la torre i "matar-ne" una ja posada. Torna a ser un <i>pseudojoc parcial</i>.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;"><div><b><span style="color: #660000; font-size: medium;">Un joc de restes</span></b></div><div><br /><div>Les regles del joc són les següents:</div></div><div><ul style="text-align: left;"><li>es trien dos nombres naturals diferents per a iniciar el joc (<i>a</i> i <i>b</i>) i s'escriuen en un full.</li><li>el primer jugador resta els dos nombres i anota el resultat al full.</li><li>el segon jugador pot restar dos dels nombres qui hi ha escrits amb la condició que el resultat no estigui ja escrit al full. També anota el nou resultat.</li><li>es continua procedint així.</li><li>perd el jugador que escriu un resultat repetit o no pot escriure un resultat nou.</li></ul>Mirem un exemple d'inici de partida amb els nombres 23 i 18. Observarem que les dues primeres jugades són obligades:</div><div><ul style="text-align: left;"><li>el 1r jugador els resta i escriu el resultat: 5</li><li>el 2n jugador no podrà fer la resta 23-5 perquè el resultat és 18, que ja està escrit. Farà la resta 18-5 i anotarà 13 al full.</li><li>Tenim els nombres 23, 18, 13 i 5. El 1r jugador podrà restar, per exemple, 23 i 13 i anotar 10, que no està escrit fins ara.</li><li>Tenim els nombres 23, 18, 13, 10 i 5. El 2n jugador podrà restar, per exemple, 13 i 10 i anotar 3, que encara no està.</li><li>I es continua així fins que algú està obligat a repetir un nombre i perd la partida.</li></ul>Us convidem a provar individualment amb parelles de nombres per a veure quins resultats podem obtenir.</div><div><ul style="text-align: left;"><li>Per exemple, amb 7 i 8 podem fer una seqüència com aquesta: <b>8</b>-<b>7</b>=<b>1</b>; 7-1=<b>6</b>; 8-6=<b>2</b>; 6-2=<b>4</b>; 7-4=<b>3</b>; 8-3=<b>5</b>. Si ens hi fixem tenim tots els nombres de l'1 al 8. És impossible obtenir un resultat nou. Haurem fet 6 operacions i perdrà el 1r jugador.</li><li>I amb 18 i 12 com a nombres inicials? <b>18</b>-<b>12</b>=<b>6</b>. Ja està, no podem obtenir cap resultat nou: Una sola resta, i guanya el 1r jugador.</li><li>Amb 7 i 9 podem fer: <b>9</b>-<b>7</b>=<b>2</b>; 7-2=<b>5</b>; 5-2=<b>3</b>; 3-2=<b>1</b>; 5-1=<b>4</b>; 9-1=<b>8</b> i 8-2=<b>6</b>. Hem fet 7 restes- Guanya el 1r jugador de nou.</li><li>I amb 8 i 20? <b>20</b>-<b>8</b>=<b>12</b>; 12-8=<b>4</b> i 20-4=<b>16</b>. Tres jugades: guanya de nou el 1r.</li></ul>Com veiem, els nombres inicials marquen una quantitat màxima de restes. Si s'aconsegueixen totes guanyarà el 1r jugador si aquest màxim és senar i el segon si és parell. Això si no ens despistem per a obtenir una de les restes possibles. Tornem a tenir un <i>pseudojoc parcial</i>. Si juguem amb atenció de no espifiar-la (deixant-nos un cas o proposant un resultat repetit) la partida estarà determinada per la quantitat de diferències possibles.</div><div><br /></div><div>D'aquí se'n deriva una pregunta nova: com podem saber la quantitat de restes? Aquí juga un paper important el mcd dels dos nombres.</div><div><ul style="text-align: left;"><li>Si són primers entre sí (mcd=1) es poden obtenir tots els nombres des del més gran a u. La quantitat de restes serà dues unitats més petita que el nombre més gran. (Amb 32 i 25 la quantitat de restes serà de 30 (32-2). Guanyarà el segon jugador.</li><li>Si no són primers entre si haurem de dividir el nombre més gran pel mcd dels dos inicials i restar-ne dos (pels dos resultats inicials que ja venen donats). Amb els nombres 36 i 27, amb mcd=9, hi haurà dues restes (36/9=4; 4-2=2). En ser una quantitat parell també guanyarà el segon jugador.</li></ul><div><b><span style="color: #660000; font-size: medium;">Una versió de NIM</span></b></div><div><br /><div>Amb aquest joc farem un salt qualitatiu. Passarem dels <i>pesudojocs parcials</i> als <i>pseudojocs totals</i>. Quina és la diferència? Amb els <i>parcials </i>el jugador predeterminat a guanyar ha d'estar atent a no equivocar-se. Amb els <i>totals</i> és indiferent: faci el que faci guanyarà.</div></div></div><div><br /></div><div>Els jocs de NIM, habitualment, són jocs de retirar fitxes d'una o més piles i amb unes condicions determinades. Segons la versió, qui retira l'última, o les últimes, guanya o perd. Mirem aquesta versió:</div><div><ul style="text-align: left;"><li>Es comença amb 24 fitxes a una pila.</li><li>Cada jugador pot retirar, en el seu torn, una, tres o cinc fitxes.</li><li>Guanya qui retira les últimes.</li></ul>Abans ja hem comentat que, en molts <i>pseudojocs</i>, les qüestions de paritat juguen un paper important. En aquest cas és força evident. El primer jugador, si partim d'una quantitat parell de fitxes, canviarà la paritat a cada jugada: si treu una quantitat senar (1, 3 o 5) deixarà a la pila una quantitat també senar. El segon, al seu torn, tornarà a canviar la paritat: si a una quantitat senar li resto una també senar deixaré una quantitat parell. És impossible que el primer jugador guanyi. Lògicament, si la quantitat inicial és senar guanyarà el primer jugador.</div><div><br /></div><div>Amb un exemple de partida possible, ho veurem ben clar:</div><div><br /></div><div align="center">
<table border="1" bordercolorlight="#000000" style="border-collapse: collapse; width: 75%;">
<tbody><tr>
<td align="center" bgcolor="#808000"><b><font color="#FFFFFF">
Jugador</font></b></td>
<td align="center"> </td>
<td align="center"><b>A</b></td>
<td align="center"><b>B</b></td>
<td align="center"><b>A</b></td>
<td align="center"><b>B</b></td>
<td align="center"><b>A</b></td>
<td align="center"><b>B</b></td>
<td align="center"><b>A</b></td>
<td align="center"><b>B</b></td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#808000"><b><font color="#FFFFFF">Agafa</font></b></td>
<td align="center"> </td>
<td align="center">3</td>
<td align="center">5</td>
<td align="center">1</td>
<td align="center">3</td>
<td align="center">5</td>
<td align="center">1</td>
<td align="center">1</td>
<td align="center">1</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#808000"><b><font color="#FFFFFF">Deixa</font></b></td>
<td align="center">20</td>
<td align="center">17</td>
<td align="center">12</td>
<td align="center">11</td>
<td align="center">8</td>
<td align="center">3</td>
<td align="center">2</td>
<td align="center">1</td>
<td align="center">1</td>
</tr>
</tbody></table>
</div>
<div><br /></div><div>Es pot observar, fins i tot, que la penúltima jugada de B era una jugada innecessària, perquè hi havia tres fitxes a la pila i les podia haver agafat, en comptes de separar només una. Tot i així, guanya.</div><div><br /></div><div><div><b><span style="color: #660000; font-size: medium;">Fitxes de dos colors</span></b></div><div><br /><div>Aquest joc és més interessant perquè no és tan evident. Tenim a la taula fitxes de dos colors, posem que són vermelles i verdes. Poden ser quantitats diferents.</div></div></div><div><ul style="text-align: left;"><li>cada jugador, al seu torn, pot fer tres jugades diferents:</li><ul><li>retirar dues fitxes vermelles i posar-ne una de vermella.</li><li>retirar-ne dues verdes i posar-ne una de vermella.</li><li>retirar-ne una de cada i posar-ne una de verda.</li></ul><li>si, al final, només queda una fitxa i és vermella, guanya el primer jugador (A). I si l'última és verda guanya el segon (B)</li></ul>És fàcil veure que la partida serà finita perquè, a cada jugada, es rebaixa el total en una fitxa, ja que traiem dues fitxes i en posem una.</div><div><br /></div><div>Podeu practicar el joc amb aquest aplicatiu jugant contra l'ordinador. Començarem amb 7 fitxes vermelles i 6 verdes.</div><div><br /></div><div style="text-align: center;"><iframe allowfullscreen="" allowtransparency="true" frameborder="0" height="402" scrolling="no" src="https://scratch.mit.edu/projects/984231352/embed" width="485"></iframe></div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;">Ara podeu provar amb 8 fitxes vermelles i 5 de verdes.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: center;"><iframe allowfullscreen="" allowtransparency="true" frameborder="0" height="402" scrolling="no" src="https://scratch.mit.edu/projects/984223988/embed" width="485"></iframe></div><div style="text-align: center;"><br /></div><div style="text-align: left;">Potser heu començat a observar coses. En tot cas, amb aquest nou aplicatiu, podeu variar la quantitat de fitxes. Això sí, haureu de fer el paper dels dos jugadors.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: center;"><iframe allowfullscreen="" allowtransparency="true" frameborder="0" height="402" scrolling="no" src="https://scratch.mit.edu/projects/983912766/embed" width="485"></iframe></div><div style="text-align: center;"><br /></div><div style="text-align: left;">Si us heu fixat amb 7 fitxes vermelles i 6 verdes sempre queda al final una fitxa vermella i guanya A, el primer jugador. En canvi, amb 8 de vermelles i 5 de verdes, sempre guanya B, el segon, perquè al final queda una fitxa verda. És independent de com juguem.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;">Sembla que les qüestions de paritat tornen a tenir un paper important. Estufiem com hi afecta cada tipus de juagada:</div><div style="text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li><i>Treure dues fitxes vermelles i posar-ne una vermella</i>: la quantitat de vermelles es rebaixa en una unitat: canvia la paritat. La de les verdes no queda afectada.</li><li><i>Treure dies fitxes veredes i posar-ne una vermella</i>: la quantitat de vermelles augmenta en una unita i canviar la paritat. La de les verdes no varia, Si restem 2 a una quantitat parell, seguira sent parell. I si ho fem a una senar, continuarà sent senar.</li><li><i>Treure una de cada i posar una fitxa verda</i>. La quantitat de vermelles baixa en una unitat i canvia la paritat. La quantitat de verdes queda igual (traiem una fitxa i en posem una altra). No canvia la paritat.</li></ul>Pel que es veu, la clau està en la quantitat de fitxes verdes incials, ja que mai canvia la seva paritat. Si la quantitat inicial de verdes és parell guanyarà sempre el primer jugador, perquè es podran eliminar totes les fitxes verdes. Si la quantitat inicial és senar, es mantindrà sempre senar i ,al final, queadrà sempre una fitxa. Per tant, guanyarà B, el segon jugador. Independentment de les jugades que es facin. És un <i>pseudojoc total.</i></div><div><br /></div><div><div><b><span style="color: #660000; font-size: medium;">La tauleta de xocolata</span></b></div><div><br /><div>Tenim una tauleta de xocolata de mides <i>a·b</i> (per exemple, de 4x7). El primer jugador (A) talla la tauleta en dues parts, seguint les línies horitzontals o verticals, per on vulgui. El segon jugador (B), agafa un dels trossos i també el divideix en dues parts com vulgui, però també seguint sempre les línies. I així van fent alternativament fins que tota la tauleta ha quedat dividida totalment. amb totes les unces separades. Guanya el que ha fet l'ultima divisió. Veiem una imatge amb unes primeres jugades.</div></div></div><div><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgQMeUEd5K95yXEVgcpJzrxARuxIjgrdg7v7tLTGAtQ7CM5Zobu_OF8hrxbK-bIKHLJVtjnsuLJr0SbNCuYtak_H8gJXKNKDNw7XxWQoX33oJL9xkwppRCpUW2zWeLlwdar-80bJtZOf_H5kksuVpxZSAG42knWRbigpgthB0fQf8oPKxGujuyR6yC9jP_m/s360/tauleta%204x7.gif" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="230" data-original-width="360" height="204" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgQMeUEd5K95yXEVgcpJzrxARuxIjgrdg7v7tLTGAtQ7CM5Zobu_OF8hrxbK-bIKHLJVtjnsuLJr0SbNCuYtak_H8gJXKNKDNw7XxWQoX33oJL9xkwppRCpUW2zWeLlwdar-80bJtZOf_H5kksuVpxZSAG42knWRbigpgthB0fQf8oPKxGujuyR6yC9jP_m/s320/tauleta%204x7.gif" width="320" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Per a estudiar el joc, podem recuperar una mica, les idees que havíem fet servir per al primer joc, el dels segments que no es tallen. La pregunta d'ara és: quina és la quantitat de talls necessaris per a separar totes les unces? Bé, en aquest cas, amb 28 unces, són necessaris 27 talls. Un menys del total, ja que el darrer tall separarà les dues útlimes unces. És similar a un problema d'eliminacions. En un torneig eliminatori amb 16 jugadors s'han de fer 15 partits: 14 per a quedin dos finalistes i un partit final.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">En general caldran <i>a·b</i>-1 talls. Tornem a ser-hi amb la paritat: si la quanitat de talls necessaris és parell guanyarà B, independentment de les tries de tall que faci. I si és senar, guanyarà A.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Tornem a tenir un <i>pseudojoc total</i>. Aquí podem variar les regles per a tenir un <i>joc</i>. Si quan es fa un tall el jugador tria un dels dos trossos que ha fet per a quedar-se'l i es retira del joc.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><div><b><span style="color: #660000; font-size: medium;">Les tres piles</span></b></div><div><br /><div>Tornem a jugar amb fitxes. Iamginem que tenim tres piles amb diferents quantitats de fitxes: 15, 10 i 9. Quan sigui el seu torn el jugador pot triar una de les piles i dividir-la en dues piles noves de la mida que vulgui. Així, a cada jugada tindrem una pila nova. Es continua fent fins que totes les fitxes queden separades (totes les piles són d'una fitxa). Guanya qui ha fet la darrera partició.</div></div><div><br /></div><div>Aquest "joc" no l'analitzarem. Si us hi fixeu és com jugar amb tres tauletes de xocolata d'una sola fila d'unces. Ja teniu la pista.</div><div><br /></div><div><div><b><span style="color: #660000; font-size: medium;">Sumes i restes</span></b></div><div><br /><div>Anem per l'últim joc. Comencem escrivint en una fila els nombres de l'1 al 20 (per exemple). Cada jugador, al seu torn, escriu un signe "+" o un signe "-" entre dos nombres. Quan s'ha acabat es fa el càlcul indicat. Si el resultat final és senar guanya A. Si és parell, guanya B.</div></div></div><div><br /></div><div>Per a investigar una mica, aquí teniu un aplicatiu més reduït, amb els nombres de l'1 al 8. Cada vegada que cliqueu sobre l'aplicatiu posarà els signes d'operació de forma aleatòria. Observeu alguna cosa?</div><div><br /></div><div style="text-align: center;"><iframe allowfullscreen="" allowtransparency="true" frameborder="0" height="402" scrolling="no" src="https://scratch.mit.edu/projects/984617904/embed" width="485"></iframe></div><div style="text-align: center;"><br /></div><div style="text-align: left;">I amb els nombres de l'1 al 6?</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: center;"><iframe allowfullscreen="" allowtransparency="true" frameborder="0" height="402" scrolling="no" src="https://scratch.mit.edu/projects/985657250/embed" width="485"></iframe></div><div style="text-align: center;"><br /></div><div style="text-align: left;">Sembla que, segons la quantitat de nombres, el resultat sempre serà parell o sempre senar, independentment dels signes que posem. Vegem per què.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;">Primera observació:</div><div style="text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li>sempre que sumem o restem dos nombres senars o dos nombres parells el resultat serà parell.</li><li>sempre que sumem o restem un nombre senar i un parell, el resultat serà senar.</li></ul>Ara podem començar la sèrie:</div><div style="text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li>el primer nombre és 1; senar</li><li>si sumem o restem 2 el resultat continuarà sent senar. (S±P=S)</li><li>si sumem o restem 3 el resultat sera parell (S±S=P)</li><li>si sumem o restem 4 el resultat serà parell (P±P=P)</li><li>si sumem o restem 5 el resultat serà senar (P±S=S)</li><li>si sumem o restem 6 el resultat serà senar. (S±P=S)</li><li>etc.</li></ul>No és difícil veure un patró: SSPPSSPPSSPPSSPP...</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;">Depén de la xifra final, si comenecem des del'1, el joc està determinat. Com podem saber si el resultat final serà parell o senar per a un nombre màxim <i>n</i>? El cicle és de 4 termes. Dividirem <i>n</i> entre 4. Si el residu és 1 o 2 el resultat final serà senar. Si el residu és 3 o 0, el resultat serà parell. A 20, el nostre exemple inicial, li correspons un resultat parell (20=4·5+0). Guanyarà B faci el que faci qualsevol dels dos jugadors.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;"><div><b><span style="color: #660000; font-size: medium;">I a l'aula?</span></b></div><div><br /><div><ul style="text-align: left;"><li>Una primera qüestió seria no presentar els pseudojocs com a tals. Es tracta de que descoberixin la seva naturalesa en la investigació de l'estratègia. Tampoc treballaria més de dos seguits.</li><li>A banda de que la recerca d'estratègies guanyadores és un gran recurs per a l'aprenentatge de la resolució de problemes, hi ha molts dels jocs que tenen aspectes col·laterals interessants. Per exemple algebraics (el dels segments), de divisibilitat (el joc de restes), de càlcul amb enters (sumes i restes), etc. El joc pot ser el punt de partida d'una "pràctica productiva".</li><li>És interessant fer reflexionar sobre les qüestions relacionades amb la paritat i, en particular, fer argumentar sobre la paritat dels resultats amb els càlculs aritmètics habituals.</li><li>Ens podem plantejar de modificar les regles per a convertir els <i>pseudojocs</i> en autèntics jocs... i estudiar les estratègies guanyadores.</li></ul></div></div></div></div></div></div>Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7448640108700542412.post-59537933202874283392023-11-05T18:24:00.003+01:002023-11-05T18:30:50.636+01:00Grups de Leonardo: girs i simetries<p>L'antic web del <i>Calaix +ie</i> té un problema amb la interactivitat: els navegadors actuals no suporten flash. O sí, si seguiu el truc explicat en aquest <a href="https://calaix2.blogspot.com/p/flash.html" target="_blank">enllaç</a>. Per tant, després de l'input rebut en una recent visita a Burgos, m'agradaria recuperar la idea d'una activitat geomètrica que es plantejava al web. Podeu veure la versió antiga aquí:</p><p></p><ul style="text-align: left;"><li>En web: <a href="http://www.xtec.cat/%7Ejjareno/activitats/leonardo/intro.htm" target="_blank">Lletres, logos, rosasses, rajoles...</a></li><li><a href="https://drive.google.com/file/d/1TSJ6MzvvW1vkqe8crg9o_c8OTa9Np9JN/view?usp=sharing" target="_blank">En paper</a></li></ul>És una activitat molt apta per a primària o els primers cursos d'ESO. Podem fer servir imatges de rosasses, cúpules, tapaboques de cotxes, logotips, etc. Aquí ho explicarem, inicialment, amb imatges de la Silleria del Cor dels Pares de la <a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Cartoixa_de_Miraflores" target="_blank">Cartoixa de Miraflores</a> a Burgos.<p></p><p>La silleria de Miraflores té 40 cadires en fusta de noguera. La decoració geomètrica de cadascuna d'elles és diferent.</p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjb16kk0R27NPulhoDmmt89aiVM65iQZnoj4G-DJOzcJ_Fi11VnWvBUv4GtN9YChQrkOF5hNl34gTOyNIVqcGfGvJHQfrNGHXzsOimpA3bGLpVH2nBYx3zSTuC0dm6qe5cn9jT6DYyNLIIxYuLWq23Fws1RNKOkHybYXT3TKwsGLSBobOoyjHe1W7YlXrSk/s700/lado-derecho-del-coro-de-los-padres-martin-sanchez-junto-a-la-virgen-del-coro-1024x410.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="280" data-original-width="700" height="256" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjb16kk0R27NPulhoDmmt89aiVM65iQZnoj4G-DJOzcJ_Fi11VnWvBUv4GtN9YChQrkOF5hNl34gTOyNIVqcGfGvJHQfrNGHXzsOimpA3bGLpVH2nBYx3zSTuC0dm6qe5cn9jT6DYyNLIIxYuLWq23Fws1RNKOkHybYXT3TKwsGLSBobOoyjHe1W7YlXrSk/w640-h256/lado-derecho-del-coro-de-los-padres-martin-sanchez-junto-a-la-virgen-del-coro-1024x410.png" width="640" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Costat dret de 30 cadires (<a href="https://www.cartuja.org/visita-virtual/coro-de-los-padres/" target="_blank">Font de la fotografia</a>)</td></tr></tbody></table><br />Cada cadira té un respatller amb tres zones: una mena de rosassa i mitja rosassa diferent a sota, una altra zona amb arcs i una tercera amb un fris.<div><br /></div><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgb0HODe6ZFSqS0wwSGGsCwiyZ3CGBK3SVHD6RO3nXeC8eC9UMIN1uMQuM7XKmzKVcE0COTfAxSAMZmSKMhRaP4xTEVxubBLLxKatznnNzFO0mT61Fwp7t17Uiwr9pzZo1JlHGBy3D3p6c-IABVu6Nd8Lc2YB9wfcUJ5aYleNb15rdX8G75qREncc5owtwV/s659/cadira_respatller.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="659" data-original-width="390" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgb0HODe6ZFSqS0wwSGGsCwiyZ3CGBK3SVHD6RO3nXeC8eC9UMIN1uMQuM7XKmzKVcE0COTfAxSAMZmSKMhRaP4xTEVxubBLLxKatznnNzFO0mT61Fwp7t17Uiwr9pzZo1JlHGBy3D3p6c-IABVu6Nd8Lc2YB9wfcUJ5aYleNb15rdX8G75qREncc5owtwV/w236-h400/cadira_respatller.png" width="236" /></a></div><div><br /></div>Ens centrarem només en les rosasses completes superiors. Aquí en teniu quatre exemples:</div><div><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhUk9xoakZ3SCQYNZDjICnOz4be1lfiY556V_VPKyGLydX3axcvfI6rjM2mTWyyVJO7HSkM42NodTiO1hK8Anj_JldSVh0olTZPLghP7hjI6E-rhtSIvvMKlgtTvSBOVYZocghYFZuom-bR81RPZT1u_IFN0blBNooLr3MyOfR5JpOL1BYuX3jJXIAlaVSt/s837/mosaic%20cadires.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="191" data-original-width="837" height="146" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhUk9xoakZ3SCQYNZDjICnOz4be1lfiY556V_VPKyGLydX3axcvfI6rjM2mTWyyVJO7HSkM42NodTiO1hK8Anj_JldSVh0olTZPLghP7hjI6E-rhtSIvvMKlgtTvSBOVYZocghYFZuom-bR81RPZT1u_IFN0blBNooLr3MyOfR5JpOL1BYuX3jJXIAlaVSt/w640-h146/mosaic%20cadires.jpg" width="640" /></a></div><div style="text-align: center;"><br /></div><div>Podrem observar que n'hi ha algunes que tenen eixos de simetria i d'altres que no. Les que tenen eixos les classifiquem com a <i>dièdrals</i> (D) i afegim un subíndex amb la quantitat d'eixos que té. La de l'exemple en té 8. Per tant, direm que és una rosassa D<sub>8</sub>.</div><div><br /></div><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgtVPrtSx1pmr5xAXaHmx7ybSqvrV5Ybx3jmJtOW1E1ttcp75_3hiQjiig04FpPYb3zMdFhd6hqByxKRX1pDctAs61BeShI9vIUsFFV8MYmx61SUW9XMJYavQZPBkN-aq8P3nGljgOb-_UYbkB122lPcqdo0jm1gzTWXzHv177IFO5G2qbz8DP1EM__59Tt/s325/exemple%20cor%20diedric%202.gif" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="192" data-original-width="325" height="236" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgtVPrtSx1pmr5xAXaHmx7ybSqvrV5Ybx3jmJtOW1E1ttcp75_3hiQjiig04FpPYb3zMdFhd6hqByxKRX1pDctAs61BeShI9vIUsFFV8MYmx61SUW9XMJYavQZPBkN-aq8P3nGljgOb-_UYbkB122lPcqdo0jm1gzTWXzHv177IFO5G2qbz8DP1EM__59Tt/w400-h236/exemple%20cor%20diedric%202.gif" width="400" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Aquesta altra no té cap eix de simetria. És relativament fàcil de veure perquè té alguns elements del disseny amb una certa orientació lateral.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj1au2aIvdfVnLJXpGKbVmxVxY6KLmPYTns9QZ1fwWy8EYqIbtyp0xDsqTTlrSu94Qfk6dn-SNU3oAfrmvlgzbhqkYc2ooNKXRsPbXaLpjnprA7dSME92njf-0uCt-LylKExI38UOWyqihoBsz9pqh8lFEq6A65ufrgUzEzUTulOCtKw_xq99j6hTuXIGx9/s619/no_simetric.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="335" data-original-width="619" height="216" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj1au2aIvdfVnLJXpGKbVmxVxY6KLmPYTns9QZ1fwWy8EYqIbtyp0xDsqTTlrSu94Qfk6dn-SNU3oAfrmvlgzbhqkYc2ooNKXRsPbXaLpjnprA7dSME92njf-0uCt-LylKExI38UOWyqihoBsz9pqh8lFEq6A65ufrgUzEzUTulOCtKw_xq99j6hTuXIGx9/w400-h216/no_simetric.png" width="400" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">La figura de la dreta és diferent de l'original</td></tr></tbody></table><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Però totes les figures, encara que no tinguin simetries, tenen girs invariants. Què és un gir invariant? Imaginem que mirem una figura, a continuació tanquem els ulls, i, mentre els tenim tancats, algú li aplica un gir amb un angle determinat. Si no notem cap canvi quan els tornem a obrir se li ha aplicat un gir invariant. Hi ha un gir bàsic que sempre es pot fer: el de 360º. Però la rosassa anterior en té quatre, un cada 90º. A aquestes rosasses les classifiquem com a cícliques (C). I també afegim un subíndex indicant la quantitat de girs invariants que podem fer en una volta sencera de la figura. L'anterior seria una D<sub>4</sub>. A continuació teniu el dibuix d'una de les cadires amb vuit girs (C<sub>8</sub>).</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEga_G20lV4_bAKtzlbnRiyJTTNDLZIQs8V94n-eXs4921xZalJYiWv94YqHcVnetqRZW5iW6rINUbGGy1A9DKlv-clJtbqUi15lVN5l0zNFqQUvGwQj8YhxaTRqEl32axFwRnndDfPGepL-GY3VOYMF_uL7O15Tg78c9fA02K6urlemH02Qi6oujthTZYbP/s325/exemple%20cor%20ciclic.gif" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="192" data-original-width="325" height="236" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEga_G20lV4_bAKtzlbnRiyJTTNDLZIQs8V94n-eXs4921xZalJYiWv94YqHcVnetqRZW5iW6rINUbGGy1A9DKlv-clJtbqUi15lVN5l0zNFqQUvGwQj8YhxaTRqEl32axFwRnndDfPGepL-GY3VOYMF_uL7O15Tg78c9fA02K6urlemH02Qi6oujthTZYbP/w400-h236/exemple%20cor%20ciclic.gif" width="400" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">No cal dir que una figura <i>diedral </i>que tingui <i>n</i> eixos de simetria, també tindrà <i>n</i> girs.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Si us animeu podeu intentar classificar, amb l'ajuda de GeoGebra, alguns d'aquests ornaments de les cadires de la Cartoixa.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><iframe height="369px" scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/ufby6vww/width/621/height/369/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" style="border: 0px;" title="Cadira 1 /Cartoixa de Miraflores (Burgos)" width="621px"> </iframe></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://www.geogebra.org/m/vrmmza8h" target="_blank">Enllaç a la construcció</a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><iframe height="362px" scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/epsdaevz/width/621/height/362/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" style="border: 0px;" title="Cadira 2 /Cartoixa de Miraflores (Burgos)" width="621px"> </iframe><br /><a href="https://www.geogebra.org/m/qsxkqzmj" target="_blank">Enllaç a la construcció</a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><iframe height="375px" scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/dmqs3zhd/width/621/height/375/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" style="border: 0px;" title="Cadira 3 /Cartoixa de Miraflores (Burgos)" width="621px"> </iframe></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://www.geogebra.org/m/dfgbzh8g" target="_blank">Enllaç a la construcció</a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><iframe height="362px" scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/vczkgt32/width/621/height/362/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" style="border: 0px;" title="Cadira 4 /Cartoixa de Miraflores (Burgos)" width="621px"> </iframe></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://www.geogebra.org/m/cpt3sbhs" target="_blank">Enllaç a la construcció</a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><span style="color: #660000; font-size: medium;">Vols veure altres exemples?</span></b></div><span><a name='more'></a></span><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Per a classificar les figures segons els Grups de Leonardo només cal seguir aquest esquema:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjZon4h7hL-MtG8n96rfHpFNm_6GDA7VlR0EzhVbR7eQdxYQN5cWIIG9OHht2tXov-DhQOLZCuGWEvV7EUY2D78rSK4D6ndcHDrQHhoHlvxeW-gGfbZVKut42zue1S5yt59YUd_yeP5fhS1xhrIDby7nKo7HySqpYx6ckSYvGGjDD8aSuRBvgwzcQkyLK54/s559/classificar%20grups.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="505" data-original-width="559" height="361" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjZon4h7hL-MtG8n96rfHpFNm_6GDA7VlR0EzhVbR7eQdxYQN5cWIIG9OHht2tXov-DhQOLZCuGWEvV7EUY2D78rSK4D6ndcHDrQHhoHlvxeW-gGfbZVKut42zue1S5yt59YUd_yeP5fhS1xhrIDby7nKo7HySqpYx6ckSYvGGjDD8aSuRBvgwzcQkyLK54/w400-h361/classificar%20grups.png" width="400" /></a></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Aquí tenim una imatge del detall d'un escó del 1905, atribuït a Gaspar Homar i Mesquida, que podem veure al <a href="https://www.dissenyhub.barcelona/ca/colleccions-del-museu" target="_blank">Museu del DHuB</a>. Hi podem veure cinc guarniments circulars diferents. Podeu dir de quin tipus és cadascun?</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhHFNcndXsVE5hbOhU1Y08txl_fMkD-s3a7ftw8uKRf3pG4oyRPnK6knGLuRxdQ_kDDZztpxFu6lyWA_UokiMVHrzheHgQ2sFOk_cDZQgZ64a-i3NpQeiID7KBkhkoAXzGc9eX0vDdKy5FZIr2Lr7Fsqq89b6em64kbN3528Bp6cmCNOwk8zwPESpv-PX1E/s900/retall%20esco.jpg" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="210" data-original-width="900" height="150" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhHFNcndXsVE5hbOhU1Y08txl_fMkD-s3a7ftw8uKRf3pG4oyRPnK6knGLuRxdQ_kDDZztpxFu6lyWA_UokiMVHrzheHgQ2sFOk_cDZQgZ64a-i3NpQeiID7KBkhkoAXzGc9eX0vDdKy5FZIr2Lr7Fsqq89b6em64kbN3528Bp6cmCNOwk8zwPESpv-PX1E/w640-h150/retall%20esco.jpg" width="640" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Podeu mirar la solució al final de la pàgina</td></tr></tbody></table><br /></div><div>També és interesant classificar rosasses i finestrals d'esglésies o cúpules. Us animem a fer un test de la vostra capacitat classificadora.</div><div><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhWXmQ7aHgr40yII_Rhiq1G_kud3-tXuDyssXDrExNm2CJtma_qBnp7z49ZUWvkXIuaISp49P_igvfYNIpmaxcyJahoQXjQp8y27gy4tau_2k0zYOdf6Aoqx2NtYXofGmhN42YYCBTAp3Wv62Mvrmii19NSkZAPAEqKAAQmsMqmE2UEqazP2U3w72MDi4hw/s940/ros_cim.jpg" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="432" data-original-width="940" height="294" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhWXmQ7aHgr40yII_Rhiq1G_kud3-tXuDyssXDrExNm2CJtma_qBnp7z49ZUWvkXIuaISp49P_igvfYNIpmaxcyJahoQXjQp8y27gy4tau_2k0zYOdf6Aoqx2NtYXofGmhN42YYCBTAp3Wv62Mvrmii19NSkZAPAEqKAAQmsMqmE2UEqazP2U3w72MDi4hw/w640-h294/ros_cim.jpg" width="640" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Rosassa de Santa Maria del Mar i Cimbori de la Catedral (Barcelona)<br /><br /></td></tr></tbody></table><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px; text-align: left;"><div style="text-align: center;"><div style="text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li><a href="http://www.xtec.cat/~jjareno/activitats/leonardo/rosasses.htm" target="_blank">Enllaç al test de rosasses</a></li><li><a href="http://www.xtec.cat/~jjareno/activitats/leonardo/cupules.htm" target="_blank">Enllaç al test de cúpules</a></li></ul></div></div></blockquote><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Uns altres objectes a classificar amb facilitat són els plats de ceràmica o les rajoles hidràuliques, aquestes amb la limitació de què els girs seran sempre múltiples de 90º i que els dissenys cíclics (tret del mínim de 360º) són menys freqüents.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiY1UoTiDUL77QCvCbq2LbfJEfeHH26gR4tHFJ05zplxdOHz8W5pdH3Ssr2nJo4VWP3KERVqTsSOFb3jvdDxt2Gb8g6mzafKdpkS0cE0yFGvndm1o4njizBQltOKNxcjBVZwxV9VlNEfaAQ3nLkdOKD8A9bF-OrKY2VPl0xzZi1O3flfI0j0wF4pNOYOcto/s700/rajoles.jpg" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="648" data-original-width="700" height="592" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiY1UoTiDUL77QCvCbq2LbfJEfeHH26gR4tHFJ05zplxdOHz8W5pdH3Ssr2nJo4VWP3KERVqTsSOFb3jvdDxt2Gb8g6mzafKdpkS0cE0yFGvndm1o4njizBQltOKNxcjBVZwxV9VlNEfaAQ3nLkdOKD8A9bF-OrKY2VPl0xzZi1O3flfI0j0wF4pNOYOcto/w640-h592/rajoles.jpg" width="640" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><a href="https://www.nuvol.com/art/catifes-de-ciment-el-mon-de-la-rajola-hidraulica-56920" target="_blank">Font de la imatge</a></td></tr></tbody></table><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Si us voleu endinsar en el món de la rajola des del punt de vista matemàtic podeu veure els treballs de Ramunas Tejerauskas en <a href="https://www.geogebra.org/u/tejerauskas" target="_blank">GeoGebra</a> o seguir-lo per <a href="https://twitter.com/tejerauskas?lang=ar" target="_blank">Twitter</a> (@Tejerauskas). Ha fet una extensa feina sobre la ciutat de Balaguer.</div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Els logos també són una bona font d'imatges per a classificar:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEicDQ6Xjnf54s3GitKsmrubwEBS6vtbwgUE-OYy5sBSnhESw6d84tMFwsTNQy43yMDmoA_1aRKbymyDickYXlygEKBrzGQlTuxEsTVsdck0elJhXteLt0pFu4Qt9MZfeYG6kwxtwjtsS2U5iE5hG4o8uWbIXDcI3p_wcXxZA2BcnS4FDfsEUVMlSWAFvtmg/s870/logos.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="143" data-original-width="870" height="106" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEicDQ6Xjnf54s3GitKsmrubwEBS6vtbwgUE-OYy5sBSnhESw6d84tMFwsTNQy43yMDmoA_1aRKbymyDickYXlygEKBrzGQlTuxEsTVsdck0elJhXteLt0pFu4Qt9MZfeYG6kwxtwjtsS2U5iE5hG4o8uWbIXDcI3p_wcXxZA2BcnS4FDfsEUVMlSWAFvtmg/w640-h106/logos.png" width="640" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">O els tapaboques dels cotxes.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEig5-Ea31THa1uCXr6ZfrI2qH8m2Cr29K76qYH_5G70i8FZUzCJ2C8VMN-mxxAAF4puNINtBQwRQs9qRs9TNP9VrubVmct7NJRUnxKQjw-BKbNrbMDKC6XcLiApdr4tH5boy6rgP0T1li50C0b8PZgHO-71XhDJUluYSqsY9ThjWu_wf77KOEtNBI80DJPo/s790/tapaboques.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="148" data-original-width="790" height="120" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEig5-Ea31THa1uCXr6ZfrI2qH8m2Cr29K76qYH_5G70i8FZUzCJ2C8VMN-mxxAAF4puNINtBQwRQs9qRs9TNP9VrubVmct7NJRUnxKQjw-BKbNrbMDKC6XcLiApdr4tH5boy6rgP0T1li50C0b8PZgHO-71XhDJUluYSqsY9ThjWu_wf77KOEtNBI80DJPo/w640-h120/tapaboques.png" width="640" /></a></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><span style="color: #660000;">I a l'aula?</span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><div><ul style="text-align: left;"><li>Educar la mirada classificant dissenys segons les seves simetries i girs invariants, és fer observar el món amb ulls matemàtics. Només es tracta de fer una mica de "safari" per l'entorn per a trobar imatges a classificar. Podem repartir els temes a l'aula (logos, rosasses...)</li><li>A l'aula caldrà pactar què tenim en compte o no en estudiar les invariàncies. En general convé no tenir massa en compte els colors o alguns detalls molt concrets de la decoració. És a dir, parar atenció només a l'estructura general de la figura. Però tot dependrà del que s'acordi observar amb l'alumnat.</li><li>Per a comprendre bé les simetries no hi ha res com l'ús d'un mirall. Pels girs potser convé tenir un parell d'imatges, per a comparar l'original amb la girada. Però, a la llarga, cal saber veure els girs i simetries a ull nu.</li></ul></div></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh2k7lziAZxXjEEg4YEn0Eu7wkmteOc2bmazDrnv4TcQl4u2jWVLt7BBktAFxppazJC9O3LbggfV_t8QHOeKdNI9IuCLD3Lkti9ltGXHJBOefQemCQRh0A_2k6_Z7aCNnW8uqdhEbNWWly4k0KPg9n3u2fmSDAFV9oZyrwHjW1uuohg4KLm5AjaP8eEQZd3/s952/esco_sol.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="218" data-original-width="952" height="146" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh2k7lziAZxXjEEg4YEn0Eu7wkmteOc2bmazDrnv4TcQl4u2jWVLt7BBktAFxppazJC9O3LbggfV_t8QHOeKdNI9IuCLD3Lkti9ltGXHJBOefQemCQRh0A_2k6_Z7aCNnW8uqdhEbNWWly4k0KPg9n3u2fmSDAFV9oZyrwHjW1uuohg4KLm5AjaP8eEQZd3/w640-h146/esco_sol.png" width="640" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Solució de les figures de l'escó</td></tr></tbody></table><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div></div>Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7448640108700542412.post-51149110381239763762023-10-18T19:03:00.006+02:002023-10-18T19:03:57.016+02:00Puc contestar aquestes preguntes?<p>Haig de confessar que m'agraden els llibres d'<a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Adri%C3%A1n_Paenza" target="_blank">Adrián Paenza</a>. Sempre, a més d'incloure alguns aspectes divulgatius atípics, hi trobem problemes sorprenents. També m'agrada la seva política de deixar que les versions electròniques de les seves obres siguin gratuïtes per a ús personal. Les podeu trobar totes en aquest <a href="https://web.dm.uba.ar/index.php/extension/libros-de-adrian-paenza" target="_blank">enllaç</a>. A més, hi ha infinitat de vídeos seus a la xarxa. Per exemple la sèrie de 13 capítols <i><a href="https://www.youtube.com/playlist?list=PLmZ4WP5IsCKH1ZmsuJZ2usnLB0mucrUOY" target="_blank">Grandes temas de la matemática</a> </i>(2015)</p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgkHwLvh3zQYgGOmPDiucVQzNQ7Lpbv6tdeetrl9fI1mXBAvu8PUJSt2j9F3IidDePAZRMC1bEt9F47bE_n4Qdsqd-F53lfDoCQdoQPAIHlYg9vCjmZTvoJce3Cq1SnFFV0TgYsrhTgWUcH6pJ_c4KkJnA6O0HsneglbE2PN60mNXhyqyGSKc4R-MLCn_uX/s400/Adri%C3%A1n_Paenza.jpg" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="400" data-original-width="325" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgkHwLvh3zQYgGOmPDiucVQzNQ7Lpbv6tdeetrl9fI1mXBAvu8PUJSt2j9F3IidDePAZRMC1bEt9F47bE_n4Qdsqd-F53lfDoCQdoQPAIHlYg9vCjmZTvoJce3Cq1SnFFV0TgYsrhTgWUcH6pJ_c4KkJnA6O0HsneglbE2PN60mNXhyqyGSKc4R-MLCn_uX/s320/Adri%C3%A1n_Paenza.jpg" width="260" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Adriàn Paenza (Buenos Aires, 1949)</td></tr></tbody></table><br /><div>En aquest article compartirem tres problemes del seu llibre del 2018 <i>¡Un matemático ahí, por favor!</i>. Tots tres tenen en comú que semblen impossibles de resoldre per manca d'informació, per tenir una aparent insuficiència de dades. Al llarg de la seva obra en trobem uns quants d'aquest estil. Li deuen agradar tant com a mi. Però sempre es poden resoldre. Tenim tota la informació necessària, encara que no ho sembli. En alguns d'ells, el que els seus protagonistes desconeixen, també és una dada.</div><div><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgEszINJ5QGAJM1lSGbApz2kbmZxWzFagW646mR2DA-kRnFTDQly_DQj6RF5uzlg4LgXkDDbSJr5E31QaVGK_ddS0LLKvCL1dnfhub2AN1hxc7sVe_6V4WyqJtJuLmO7KoI6nUqjMT-3wS3K2rMertvrx0y_jvyBQkP8uul941W1i_J4F1gE0d1PvF-sTL3/s500/un%20matematico%20ahi.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="500" data-original-width="329" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgEszINJ5QGAJM1lSGbApz2kbmZxWzFagW646mR2DA-kRnFTDQly_DQj6RF5uzlg4LgXkDDbSJr5E31QaVGK_ddS0LLKvCL1dnfhub2AN1hxc7sVe_6V4WyqJtJuLmO7KoI6nUqjMT-3wS3K2rMertvrx0y_jvyBQkP8uul941W1i_J4F1gE0d1PvF-sTL3/s320/un%20matematico%20ahi.jpg" width="211" /></a></div><div><br /></div>Mirem els tres enunciats (traduïts directament i una mica retallats, ja que Paenza sovint és un pèl retòric, sense que afectin la informació bàsica ncessària):<div><ul style="text-align: left;"><li><b>Problema 1</b>: Tenim a Messi i a Ronaldo [així està al llibre original] al voltant d'una taula. A cadascú li van donar un joc de cinc cartes numerades de l'1 al 5. Els van embenar els ulls i els van demanar que seleccionessin una qualsevol de les cinc que tenien a la mà i les posessin a dalt d'una taula. La persona que estava amb ells va fer la suma dels dos números i se la va comunicar únicament a Messi. Després, va multiplicar els números i li va dir el resultat només a Ronaldo. Després va guardar les dues cartes evitant que els jugadors poguessin veure-les i els va demanar també que li lliuressin les quatre que li quedaven a cadascun per amagar-les en un calaix. A continuació es va produir el següent diàleg:</li><ul><li><i>Ronaldo</i>: Amb el número que vaig sentir jo, no puc saber quines són les dues cartes.</li><li><i>Messi</i>: ¡Ah, que curiós! Si vós no podeu deduir-los, llavors jo sí que sé quins van ser els dos números de les cartes que vam triar.</li><li><i>Ronaldo</i>: Tu ho sabràs, però jo segueixo sense saber quins són.</li><li><i>Messi</i>: Deixa'm que t'ajudi: el número que em van dir a mi és més gran que el que et van dir a vós.</li><li><i>Ronaldo</i>: Gràcies. Ara jo també sé quins van ser els números.</li></ul>Pregunta: quins números van triar? Fixeu-vos-hi que no es demana quina carta va triar cadascú, sinó que només importa saber quins números van aparèixer a dalt de la taula.</ul><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjn4_BeaSiKE2ad_r1RHPXE77VjE4GiLBIDrlx6RfBv5T09ZXA2KqIpTyzWWYkBas7WsRsrmazBdCacYUWF-UZWMyhtC4l4WZNuh82-J-FAdAROxU9KAcRfz1ecsYAREEdSUTVCY5Jo7D27Y9ULPMkHBiqZSNJJCryY7KTOnwxoi5hE3I578LadpvDNPn2i/s600/cartes.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="183" data-original-width="600" height="122" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjn4_BeaSiKE2ad_r1RHPXE77VjE4GiLBIDrlx6RfBv5T09ZXA2KqIpTyzWWYkBas7WsRsrmazBdCacYUWF-UZWMyhtC4l4WZNuh82-J-FAdAROxU9KAcRfz1ecsYAREEdSUTVCY5Jo7D27Y9ULPMkHBiqZSNJJCryY7KTOnwxoi5hE3I578LadpvDNPn2i/w400-h122/cartes.jpg" width="400" /></a></div><ul style="text-align: left;"><li><b>Problema 2</b>: Tres amics —A, B i C— decideixen jugar a ping-pong. Donat que al ping-pong es juga de dos, hi ha un dels tres que sempre es queda fora i mira la partida dels seus amics. El perdedor surt, el guanyador es queda, i qui estava mirant juga la partida següent. En acabar la tarda, decideixen comptar quantes partides va jugar cadascun i obtenen aquest resultat: A va jugar 10 partides; B va jugar 15 i C en va jugar 17. Pregunta (que sembla boja): Qui va perdre la segona partida?</li></ul><div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg8PSOqmvYU3wVwbGOXWTe6IaBTn_xty8Cem20QwDHvh-jgOPb77LJlEAgFItyzVcat4BNSIxj6s9ACPjQ7dZj29RkslxHJPo_E4Vf4-U0X4J_dtKQlAakedjudKiiRBcC67e8NaYGKeZUuD6UAMD-huQ8Dsy-YMULbobb67U4I_NPBi9vQv_v1-lmvUATY/s500/pingpong.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="277" data-original-width="500" height="177" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg8PSOqmvYU3wVwbGOXWTe6IaBTn_xty8Cem20QwDHvh-jgOPb77LJlEAgFItyzVcat4BNSIxj6s9ACPjQ7dZj29RkslxHJPo_E4Vf4-U0X4J_dtKQlAakedjudKiiRBcC67e8NaYGKeZUuD6UAMD-huQ8Dsy-YMULbobb67U4I_NPBi9vQv_v1-lmvUATY/s320/pingpong.jpg" width="320" /></a></div><ul style="text-align: left;"><li><b>Problema 3</b>: A una competència d'atletisme només hi van participar tres dones: l'Alícia (a la qual anomenaré A), la Beatriu (B) i la Carme (C). Elles (i només elles) van intervenir en totes les disciplines, no va participar cap altre atleta. Els punts que s'obtenien a cadascun dels tres llocs era la mateixa quantitat: <i>x</i> per quedar primera, <i>y</i> per quedar segona i <i>z</i> per quedar tercera. Els tres números (<i>x, y, z</i>) són naturals (més grans o iguals que 1), i òbviament, s'acompleix també: <i>x</i> ><i> y</i> > <i>z</i>. Un cop finalitzades totes les competències, aquests són els resultats que es van obtenir: A va obtenir 22 punts en total. B va guanyar els 100 metres llisos i en total va obtenir 9 punts. C també va acabar amb 9 punts. Ara sí, la pregunta: Qui va quedar segona en salt d'alçada?</li></ul></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj2qDkTg7604oZbsBhcJzMYOmdk2l4JmWz7vhcIkfGSVqOfYbImEBP644Lr38rdL2-JAsuG4L4IhV5X6HMKeRdzOfeNzkKNKmdeSzcfGOnlvgTNFTT4lgV8sLMsZFLmGIB6560aDR6YXFod3y42Q0hV7_4THfd2pupKcJAIlJkkbnkuLecEprKhGj9dcHPD/s500/salt.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="333" data-original-width="500" height="213" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj2qDkTg7604oZbsBhcJzMYOmdk2l4JmWz7vhcIkfGSVqOfYbImEBP644Lr38rdL2-JAsuG4L4IhV5X6HMKeRdzOfeNzkKNKmdeSzcfGOnlvgTNFTT4lgV8sLMsZFLmGIB6560aDR6YXFod3y42Q0hV7_4THfd2pupKcJAIlJkkbnkuLecEprKhGj9dcHPD/s320/salt.jpg" width="320" /></a></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">La invitació és que els intenteu resoldre. El problema 1 és més accessible que el 2 i el 3. Però tots es poden fer encara que no ho sembli. Aquí teniu alguna pista per començar cadascun.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li><b>Pista pel problema 1</b>: I si feu una llista dels resultats que li podien haver dit a cadascun i de quins nombres vindrien?</li><li><b>Pistes pel problema 2</b>: Dues claus que ens poden ajudar: esbrinar la quantitat de partides jugades i quin és el mínim que pot haver jugat un d'ells.</li><li><b>Pistes pel problema 3</b>. En total s'han repartit 40 punts (22+9+9). Podrien haver fet 2 esports i que a cadascun es repartissin 20 punts? Podrien haver fet 4 esports i que es repartissin 10 punts a cadascun? Podrien...?</li></ul></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">I si no us en sortiu, podeu mirar les solucions si continueu llegint l'article.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><span style="color: #660000; font-size: medium;">Solucions</span></b></div><span><a name='more'></a></span><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><span style="color: #660000; font-size: medium;"><b>Problema 1</b></span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li><b>1r raonament sobre Messi</b></li></ul></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">No és difícil fer una llista dels possibles resultats que ha rebut Messi sobre la suma dels dos nombres.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div align="center">
<table border="1" bordercolor="#000000" style="border-collapse: collapse; width: 550px;">
<tbody><tr>
<td align="center" width="66"><b>2</b></td>
<td align="center" width="66"><b>3</b></td>
<td align="center" bgcolor="#9BEDA6" width="66">
<font><b>4</b></font></td>
<td align="center" bgcolor="#9BEDA6" width="66">
<font><b>5</b></font></td>
<td align="center" bgcolor="#9BEDA6" width="66">
<font><b>6</b></font></td>
<td align="center" bgcolor="#9BEDA6" width="67">
<font><b>7</b></font></td>
<td align="center" bgcolor="#9BEDA6" width="67">
<font><b>8</b></font></td>
<td align="center" width="67"><b>9</b></td>
<td align="center" width="67"><b>10</b></td>
</tr>
<tr>
<td align="center" width="66">1+1</td>
<td align="center" width="66">1+2</td>
<td align="center" bgcolor="#9BEDA6" width="66">
<font>1+3</font><p><font>2+2</font></p></td>
<td align="center" bgcolor="#9BEDA6" width="66">
<font>1+4</font><p><font>2+3</font></p></td>
<td align="center" bgcolor="#9BEDA6" width="66">
<font>2+4</font><p><font>3+3</font></p></td>
<td align="center" bgcolor="#9BEDA6" width="67">
<font>2+5</font><p><font>3+4</font></p></td>
<td align="center" bgcolor="#9BEDA6" width="67">
<font>3+5</font><p><font>4+4</font></p></td>
<td align="center" width="67">4+5</td>
<td align="center" width="67">5+5</td>
</tr>
</tbody></table></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Si li haguessin dit com a resultat de la suma 2, 3, 9 o 10 hauria pogut contestar, ja que és una descomposició additiva única. Si no ha contestat, li han dit 4, 5, 6, 7 o 8.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li><b>1r raonament sobre Ronaldo</b></li></ul>Fem també una llista de resultats:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div align="center">
<table border="1" bordercolor="#000000" style="border-collapse: collapse; width: 550px;">
<tbody><tr>
<td align="center"><b>1</b></td>
<td align="center"><b>2</b></td>
<td align="center"><b>3</b></td>
<td align="center" bgcolor="#9BEDA6"><b><font>4</font></b></td>
<td align="center"><b>5</b></td>
<td align="center"><b>6</b></td>
<td align="center"><b>8</b></td>
<td align="center"><b>9</b></td>
<td align="center"><b>10</b></td>
<td align="center"><b>12</b></td>
<td align="center"><b>15</b></td>
<td align="center"><b>16</b></td>
<td align="center"><b>20</b></td>
<td align="center"><b>25</b></td>
</tr>
<tr>
<td align="center">1·1</td>
<td align="center">1·2</td>
<td align="center">1·3</td>
<td align="center" bgcolor="#9BEDA6"><font>1·4</font><p>
<font>2·2</font></p></td>
<td align="center">1·5</td>
<td align="center">2·3</td>
<td align="center">2·4</td>
<td align="center">3·3</td>
<td align="center">2·5</td>
<td align="center">2·4</td>
<td align="center">3·5</td>
<td align="center">4·4</td>
<td align="center">4·5</td>
<td align="center">5·5</td>
</tr>
</tbody></table>
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Aquest clar és flagrant: només en un cas pot dubtar: si li han dit 4 com a resultat del producte.</div><br /><div><div><ul><li><b>2n raonament sobre Messi</b></li></ul>Ara Messi, donat que sap que Ronaldo no pot contestar, pot haver deduït que li han dit com a producte 4. Aquest 4 es pot haver obtingut de multiplicar un 1 i un 4, la suma dels quals és 5, o 2 per 2, amb suma 4. Donat que Messi sap el resultat de la suma que li han dit pot triar l'opció correcta i declarar que ja sap els nombres. I també donar-li la pista a Ronaldo.</div><div><ul><li><b>2n raonament sobre Ronaldo</b></li></ul><p>Ronaldo tenia dos resultats possibles: 1 i 4, per un costat, i 2 i 2 per l'altre. Sabent que la suma que li han donat a Messi és més gran que que el producte que li han dit a Ronaldo, ja pot declarar que també els sap. I nosaltres també! Els nombres eren 1 i 4. A Messi li havien dit 5 i a Ronaldo 4. En l'altre cas, 2 i 2, la suma i el producte haurien estat el mateix,</p><p>Aquest problema és una versió reduïda i abastable a l'aula del conegut "problema impossible" al qual ja vam dedicar un article en aquest blog: <i><a href="http://calaix2.blogspot.com/2014/09/jo-se-que-tu-saps-que-jo-se-i-el.html" target="_blank">Jo sé que tu saps que jo sé... el "problema impossible" i el "problema viral de Singapur.</a></i></p><p>No sé si els protagonistes d'aquest problema són els ideals per a fer aquesta mena de raonaments. Però són els que ha triat Paenza, que un temps va ser comentarista esportiu. De fet, sí que té una certa amistat amb Pep Guardiola, que, potser, sí sembla més capaç de resoldre'l.</p><div class="separator" style="clear: both;"><span style="color: #660000; font-size: medium;"><b>Problema 2</b></span></div><div class="separator" style="clear: both;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">En aquest problema el més sorprenent és la pregunta. Veiem com la podem contestar. Ho farem a partir d'algunes preguntes clau.</div></div></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li><b>Quants partits es van jugar?</b> Si sumem els partits que van jugar entre els tres obtenim 42 (10+15+17). La quantitat de partits reals serà justament la meitat, 21, ja que cada partit l'hem comptat dues vegades.</li><li><b>Quin és el mínim de partits que pot haver jugat un d'ells?</b> Imaginem que el jugador A, que és el que ha jugat menys, juga la primera partida i la perd: no jugarà la 2 i entrarà a la 3. També perd la 3, surt i entra a la 5... Si seguim aquest raonament, imaginant que perd totes les partides, hauria perdut les 11 partides senars que hi ha entre 1 i 21 (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 i 21). Però tenim que A ha jugat una partida menys: 10. Això només és possible si A ha jugat i perdut totes les partides parells: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 i 20.</li><li><b>Resposta</b>: ja ho tenim: A ha perdut la segona partida.</li></ul><div class="separator" style="clear: both;"><span style="color: #660000; font-size: medium;"><b>Problema 3</b></span></div><div class="separator" style="clear: both;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both;">Comencem per recordar el que sabem i constatem també les deduccions més immediates que es poden fer a partir de l'enunciat.</div><div class="separator" style="clear: both;"><ul style="text-align: left;"><li>Sabem que B ha guanyat una de les competicions i té un total de 9 punts.</li><li>Si sumem les puntuacions de les tres competidores obtenim 40 punts (22+9+9). La quantitat de competicions (<i>n</i>) multiplicada pels punts obtinguts en total per cadascuna (<i>x+y+z</i>) de les tres atletes ha de donar 40: <i>n·</i>(<i>x+y+z</i>)=40.</li><li>Si les puntuacions de cada prova per a 1a, 2a i 3a han de ser diferents i nombres naturals, la puntuació mínima en total és 6 (3+2+1).</li></ul>Comencem per buscar possibles valors per <i>n·</i>(<i>x+y+z</i>)=40</div><div class="separator" style="clear: both;"><br /></div><div align="center">
<table border="1" bordercolor="#000000" style="border-collapse: collapse; width: 450px;">
<tbody><tr>
<td align="center" width="263"><b>Competicions</b></td>
<td align="center" bgcolor="#9BEDA6" width="47">
<font>2</font></td>
<td align="center" bgcolor="#9BEDA6" width="47">
<font>4</font></td>
<td align="center" bgcolor="#9BEDA6" width="47">
<font>5</font></td>
<td align="center" bgcolor="#FAB0A6" width="47">
<font>8</font></td>
<td align="center" bgcolor="#FAB0A6" width="47">
<font>10</font></td>
<td align="center" bgcolor="#FAB0A6" width="47">
<font>20</font></td>
</tr>
<tr>
<td align="center" width="263"><b>Suma de punts</b></td>
<td align="center" bgcolor="#9BEDA6" width="47">
<font>20</font></td>
<td align="center" bgcolor="#9BEDA6" width="47">
<font>10</font></td>
<td align="center" bgcolor="#9BEDA6" width="47">
<font>8</font></td>
<td align="center" bgcolor="#FAB0A6" width="47">
<font>5</font></td>
<td align="center" bgcolor="#FAB0A6" width="47">
<font>4</font></td>
<td align="center" bgcolor="#FAB0A6" width="47">
<font>2</font></td>
</tr>
</tbody></table>
</div>
<div class="separator" style="clear: both;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both;">Veiem que hi ha tres resultats que es poden descartar (els tres en vermell), perquè la puntuació total és inferior a 6 punts.</div><div class="separator" style="clear: both;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both;"><ul style="text-align: left;"><li><b>Estudiem el cas 2 competicions repartint 20 punts</b></li></ul>Hauríem de fer totes les descomposicions additives de 20 en tres nombres (17-2-1, 16-3-1, 15-4-1, 15-3-2,...) Però ens podem estalviar molts casos si recordem que B ha guanyat una competició i ha obtingut 9 punts totals. Això significa que, per guanyar una competició, s'ha d'obtenir, com a molt, 8 punts (i quedaria 1 punt per a la segona competició quedant en 3r lloc). L'única descomposició possible de 20 seria 8+7+5. Però això implicaria que el mínim de punts per quedar 3a és de 5 punts i B hauria obtingut 13 en total (recordem que ha obtingut 9). Per tant, no és possible el cas de dues competicions i 20 punts a repartir. </div><div class="separator" style="clear: both;"><ul style="text-align: left;"><li><b>Estudiem el cas de 4 competicions repartint 10 punts</b></li></ul><div align="center">
<table border="1" bordercolor="#000000" style="border-collapse: collapse; width: 600px;">
<tbody><tr>
<td align="center" rowspan="4" valign="middle">4 competicions<p>10
punts totals</p></td>
<td align="center" bgcolor="#FAB0A6"><font>7+</font><font>2+1</font></td>
<td align="center" valign="middle" width="421">Es pot descartar
directament. La mínima puntuació possible per a B, quedant 1a a una competició i 3a a les altres tres, seria 10 punts,
superior a 9: 7+1+1+1>9</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#9BEDA6"><font>6+3+1</font></td>
<td align="center" valign="middle" width="421">S'ha d'estudiar.
Seria possible per a B el cas 6+1+1+1=9</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#FAB0A6"><font>5+4+1</font></td>
<td align="center" valign="middle" width="421">Es pot descartar
directament. B podria obtenir 5+1+1+1=8<9 (inferior a 9) o
5+4+1+1=11>9 (superior a 9)</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#FAB0A6"><font>5+3+2</font></td>
<td align="center" valign="middle" width="421">Es pot descartar
directament. El mínim per possible per a B és superior a 9:
5+2+2+2=11>9</td>
</tr>
</tbody></table>
</div>
<div class="separator" style="clear: both;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both;">Mirem l'únic cas teòricament possible: que les puntuacions fossin 6, 3 i 1. Sabem que A té 22 punts i que, com a molt ha guanyat 3 competicions de les 4 (la 4a ha estat per a B). Tres competicions guanyades són 18 punts (3·6). Si queda segona als 100 metres llisos tindria una puntuació màxima de 21 punts (18+3, 1a-1a-1a-2a). Li en falta un per als 22 que ha obtingut.</div><div class="separator" style="clear: both;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both;">Tampoc pot ser aquest el cas. Només ens en queda un.</div><div class="separator" style="clear: both;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both;"><ul><li><b>Estudiem el cas de 5 competicions repartint 8 punts</b></li></ul>Només tenim dues ternes possibles de puntuacions: 5+2+1 i 4+3+1.</div><div class="separator" style="clear: both;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both;">La segona (4+3+1) es pot descartar. Guanyant les cinc competicions s'obtenen 20 punts com a molt. I A en té 22.</div><div class="separator" style="clear: both;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both;">Estudiem 5+2+1 que és l'única possibilitat que ens queda. Podem intentar distribuir els punts per a cada atleta en una taula.</div><div class="separator" style="clear: both;"><br /></div><div align="center">
<table border="1" bordercolor="#000000" style="border-collapse: collapse; width: 300px;">
<tbody><tr>
<td align="center" bgcolor="#C8D8F9" width="148">
<font><b>Competició</b></font></td>
<td align="center" bgcolor="#C8D8F9" width="49"><b>
<font>A</font></b></td>
<td align="center" bgcolor="#C8D8F9" width="49"><b>
<font>B</font></b></td>
<td align="center" bgcolor="#C8D8F9" width="49"><b>
<font>C</font></b></td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#C8D8F9" width="148">
<font>1</font></td>
<td align="center" width="49"> </td>
<td align="center" width="49">5</td>
<td align="center" width="49"> </td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#C8D8F9" width="148">
<font>2</font></td>
<td align="center" width="49"> </td>
<td align="center" width="49"> </td>
<td align="center" width="49"> </td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#C8D8F9" width="148">
<font>3</font></td>
<td align="center" width="49"> </td>
<td align="center" width="49"> </td>
<td align="center" width="49"> </td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#C8D8F9" width="148">
<font>4</font></td>
<td align="center" width="49"> </td>
<td align="center" width="49"> </td>
<td align="center" width="49"> </td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#C8D8F9" width="148">
<font>5</font></td>
<td align="center" width="49"> </td>
<td align="center" width="49"> </td>
<td align="center" width="49"> </td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#C8D8F9" width="148">
<font><b>Total</b></font></td>
<td align="center" width="49"><font color="#008000">22</font></td>
<td align="center" width="49"><font color="#008000">9</font></td>
<td align="center" width="49"><font color="#008000">9</font></td>
</tr>
</tbody></table>
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Si B ha guanyat una competició, per a obtenir un total de 9 punts no queda una altra opció de que hagi quedat 3a a les quatre restants.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div align="center">
<table border="1" bordercolor="#000000" style="border-collapse: collapse; width: 300px;">
<tbody><tr>
<td align="center" bgcolor="#C8D8F9" width="148">
<font><b>Competició</b></font></td>
<td align="center" bgcolor="#C8D8F9" width="49"><b>
<font>A</font></b></td>
<td align="center" bgcolor="#C8D8F9" width="49"><b>
<font>B</font></b></td>
<td align="center" bgcolor="#C8D8F9" width="49"><b>
<font>C</font></b></td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#C8D8F9" width="148">
<font>1</font></td>
<td align="center" width="49"> </td>
<td align="center" width="49">5</td>
<td align="center" width="49"> </td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#C8D8F9" width="148">
<font>2</font></td>
<td align="center" width="49"> </td>
<td align="center" width="49">1</td>
<td align="center" width="49"> </td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#C8D8F9" width="148">
<font>3</font></td>
<td align="center" width="49"> </td>
<td align="center" width="49">1</td>
<td align="center" width="49"> </td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#C8D8F9" width="148">
<font>4</font></td>
<td align="center" width="49"> </td>
<td align="center" width="49">1</td>
<td align="center" width="49"> </td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#C8D8F9" width="148">
<font>5</font></td>
<td align="center" width="49"> </td>
<td align="center" width="49">1</td>
<td align="center" width="49"> </td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#C8D8F9" width="148">
<font><b>Total</b></font></td>
<td align="center" width="49"><font color="#008000">22</font></td>
<td align="center" width="49"><font color="#008000">9</font></td>
<td align="center" width="49"><font color="#008000">9</font></td>
</tr>
</tbody></table>
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Estudiem ara el cas d'A amb 22 punts. L'única combinació possible és que hagi guanyat 4 competicions (les que no ha guanyat B) i hagi quedat 2a a l'altra.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div align="center">
<table border="1" bordercolor="#000000" style="border-collapse: collapse; width: 300px;">
<tbody><tr>
<td align="center" bgcolor="#C8D8F9" width="148">
<font><b>Competició</b></font></td>
<td align="center" bgcolor="#C8D8F9" width="49"><b>
<font>A</font></b></td>
<td align="center" bgcolor="#C8D8F9" width="49"><b>
<font>B</font></b></td>
<td align="center" bgcolor="#C8D8F9" width="49"><b>
<font>C</font></b></td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#C8D8F9" width="148">
<font>1</font></td>
<td align="center" width="49">2</td>
<td align="center" width="49">5</td>
<td align="center" width="49"> </td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#C8D8F9" width="148">
<font>2</font></td>
<td align="center" width="49">5</td>
<td align="center" width="49">1</td>
<td align="center" width="49"> </td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#C8D8F9" width="148">
<font>3</font></td>
<td align="center" width="49">5</td>
<td align="center" width="49">1</td>
<td align="center" width="49"> </td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#C8D8F9" width="148">
<font>4</font></td>
<td align="center" width="49">5</td>
<td align="center" width="49">1</td>
<td align="center" width="49"> </td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#C8D8F9" width="148">
<font>5</font></td>
<td align="center" width="49">5</td>
<td align="center" width="49">1</td>
<td align="center" width="49"> </td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#C8D8F9" width="148">
<font><b>Total</b></font></td>
<td align="center" width="49"><font color="#008000">22</font></td>
<td align="center" width="49"><font color="#008000">9</font></td>
<td align="center" width="49"><font color="#008000">9</font></td>
</tr>
</tbody></table>
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Ens queda mirar si les posicions que queden per a C ens donen els 9 punts que ens demana l'enunciat. Com veiem a la taula tot quadra.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div align="center">
<table border="1" bordercolor="#000000" style="border-collapse: collapse; width: 300px;">
<tbody><tr>
<td align="center" bgcolor="#C8D8F9" width="148">
<font><b>Competició</b></font></td>
<td align="center" bgcolor="#C8D8F9" width="49"><b>
<font>A</font></b></td>
<td align="center" bgcolor="#C8D8F9" width="49"><b>
<font>B</font></b></td>
<td align="center" bgcolor="#C8D8F9" width="49"><b>
<font>C</font></b></td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#C8D8F9" width="148">
<font>1</font></td>
<td align="center" width="49">2</td>
<td align="center" width="49">5</td>
<td align="center" width="49">1</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#C8D8F9" width="148">
<font>2</font></td>
<td align="center" width="49">5</td>
<td align="center" width="49">1</td>
<td align="center" width="49">2</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#C8D8F9" width="148">
<font>3</font></td>
<td align="center" width="49">5</td>
<td align="center" width="49">1</td>
<td align="center" width="49">2</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#C8D8F9" width="148">
<font>4</font></td>
<td align="center" width="49">5</td>
<td align="center" width="49">1</td>
<td align="center" width="49">2</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#C8D8F9" width="148">
<font>5</font></td>
<td align="center" width="49">5</td>
<td align="center" width="49">1</td>
<td align="center" width="49">2</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#C8D8F9" width="148">
<font><b>Total</b></font></td>
<td align="center" width="49"><font color="#008000">22</font></td>
<td align="center" width="49"><font color="#008000">9</font></td>
<td align="center" width="49"><font color="#008000">9</font></td>
</tr>
</tbody></table>
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Ara ja podem contestar la pregunta inicial: "Qui ha quedat segona al salt d'alçada?". Sabem que la competició guanyada per B són els 100 metres llisos. En aquella competició A ha quedat segona. Però la resta les ha guanyat, B ha quedat 3a i C ha quedat 2a. Per tant la resposta és que la Carme ha quedat la segona en aquesta prova.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Una mica de treball de pic i pala per a resoldre el problema, però no tanta feina si agafem algunes de les dreceres que ens pot indicar la lògica.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><span style="color: #660000; font-size: medium;">I a l'aula?</span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li>Hi ha problemes de recreació matemàtica que són sorprenents pel seu resultat antiintuïtiu. A priori no semblen interessants, però després ho són molt. En aquest blog podem trobar exemples a l'article <i><a href="https://calaix2.blogspot.com/2023/10/tibant-la-corda.html" target="_blank">Tibant la corda</a></i> o <i><a href="https://calaix2.blogspot.com/2021/03/estirem-el-problema-dels-pastors-i-els.html" target="_blank">Estirem el problema dels pastors i els pans</a></i>. L'interès dels problemes presentats ara, rau en l'aparent manca d'informació per contestar el que se'ns demana. Fins i tot, en dos dels problemes, el que desconcerta és la mateixa pregunta. No són fàcils inicialment, però amb una mica d'ajuda no són tan inassolibles. Tenen una altra virtut. Sovint està mal vist el tempteig com a estratègia de resolució de problemes. És un error didàctic important. L'<i>assaig i millora</i> és una gran estratègia que, fins i tot, ens ajuda a entendre millor el que se'ns demana a partir del que sabem. Ens familiaritza amb el problema. Però en aquests problemes, pràcticament no tenim altra alternativa que la provatura de casos per resoldre'ls. Eleva de categoria aquesta estratègia.</li><li>Fer-se preguntes és una de les competències relacionades amb la resolució de problemes. Per què no formular altres preguntes, per aquests tres problemes, que no puguem contestar? O que sí que puguem esbrinar.</li><li>De l'estil del problema 1, en què "no saber" o "dubtar" és una informació essencial per resoldre'l, hi ha un gran clàssic que no podem deixar de recordar. Ta,bé afegirem una variant una mica més complexa.<br /><br /></li><ul><li>"Dos amics que fa molts anys que no es veuen es retroben i comencen a xerrar. Un li diu a l'altre "Tinc tres filles. El producte de les seves edats és 36 i la suma és el número de carrer on tu vius". L'altre li diu "No tinc prou dades" i el primer li contesta "Tens raó, quina casualitat. Te la donaré: la més gran toca el piano".</li><li>Una variant una mica més llarga és la següent: "A la casa dels nous veïns d'en Manel Quatrecomptes s'estava sentint un gran xivarri de canalla. En Manel va anar ràpidament no fos que li haguessin muntat una guarderia al costat i el veí li va contestar que tenien una festa d'aniversari. -"Hi els fills dels Armengol, els dels Boronat, els dels Coromines i els meus, els Dalmau. Els Armengol tenen més fills que els Boronat, els Boronat més que els Coromines i nosaltres, els Dalmau som els que tenim menys. La suma de tots els fills no arriba a 18 i el seu producte és el número de la casa on vivim". En Manel, fent honor al seu nom va fer quatre comptes, i va demanar: "No en tinc prou informació. Que vosaltres els Dalmau teniu més d'un fill?". El veí va somriure i li va contestar que efectivament, tenien més d'un fill. Immediatament en Manel va poder dir quants fills tenia cada família. Pots dir-ho tu també?</li></ul></ul></div></div></div>Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7448640108700542412.post-28046549951256283812023-10-02T18:49:00.005+02:002023-10-16T16:42:36.689+02:00Tibant la corda<p>El problema inicial que comentarem no el coneixia i, casualment, l'he trobat, amb plantejaments una mica diferents, en dos llibres llegits fa poc: <a href="https://editions.flammarion.com/very-math-trip/9782080419446" target="_blank">Very Math Trip</a>, de Manu Houdart i <a href="https://editions.flammarion.com/le-cercle-des-problemes-incongrus/9782080243522" target="_blank">Le cercle des problemes incongrus</a> d'Alex Bellos (<i>Can you solve my problems?</i>, en la seva versió anglesa). És un típic problema amb poc interès aparent, però que amaga les seves sorpreses. Comencem amb el plantejament de Houdart:</p><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><p style="text-align: left;">Imaginem que lliguem una corda a dos dels banderins de córner d'un camp de fulbol. Els que estan oposats, a camps diferents, dins d'una mateixa banda. És a dir, al costat llarg del camp. El camp té 100 m de llarg i la corda (sense tenir en compte la que cal per a fer els nusos) és un metre més llarga: 101 m.</p></blockquote><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjldWCY0GoYE8eILr1qpqcDFyBL9KW0FvbATDSQw6rwk6szPkQQ0EdH2XBKv4DgvRhNsncT1eKN47ZyDjosOOoshUWaETgCSRgj0L8YCcVcNmL1aRAgHwrktWU_FpSLzgr1kRsxQyA-Ric9Dt7F7uWGC7bA0KjVrd5Yf_aj8zLV-ec3FtsDRHwu_x_xC8br/s600/camp%20i%20corda.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="417" data-original-width="600" height="278" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjldWCY0GoYE8eILr1qpqcDFyBL9KW0FvbATDSQw6rwk6szPkQQ0EdH2XBKv4DgvRhNsncT1eKN47ZyDjosOOoshUWaETgCSRgj0L8YCcVcNmL1aRAgHwrktWU_FpSLzgr1kRsxQyA-Ric9Dt7F7uWGC7bA0KjVrd5Yf_aj8zLV-ec3FtsDRHwu_x_xC8br/w400-h278/camp%20i%20corda.jpg" width="400" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Volem estirar la corda, verticalment cap a dalt, per obtenir l'altura màxima possible. I, abans de fer-ho, ens demanem quin animal podrà passar per sota sense tocar la corda: un ratolí, un gat, un gos, un humà, un cavall, un elefant, una girafa...?</div></blockquote><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEix0WmAmHiKx3DAFNjJSi631pS805NjJJiiAOjigWiCubmKNIBEON0aaWzP9BlXD0hAGJIorYGV89PuCvnfzPK05Pyqgz3z-91jYq5RGJr3ia3e1n0tJ_huqLb2ui_eW5FHZXBkrzFJ_f3H159VvvxfBdFToqgh2Qd5bhKLpjniNib7duA5lRfwp0XwWzq9/s687/imarge%20plantejament.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="158" data-original-width="687" height="147" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEix0WmAmHiKx3DAFNjJSi631pS805NjJJiiAOjigWiCubmKNIBEON0aaWzP9BlXD0hAGJIorYGV89PuCvnfzPK05Pyqgz3z-91jYq5RGJr3ia3e1n0tJ_huqLb2ui_eW5FHZXBkrzFJ_f3H159VvvxfBdFToqgh2Qd5bhKLpjniNib7duA5lRfwp0XwWzq9/w640-h147/imarge%20plantejament.png" width="640" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-size: x-small;"><a href="https://www.geogebra.org/m/kydx9uvj" target="_blank">Enllaç a la construcció</a></span></div><div><br /></div>Després d'estudiar el problema el relacionarem amb la variació d'un altre de molt conegut sobre d'una corda un metre més llarga que l'Equador de la Terra.<div><br /></div><div><b><span style="color: #660000; font-size: medium;">Seguim?</span></b></div><span><a name='more'></a></span><div><ul style="text-align: left;"><li><b><span style="color: #660000; font-size: medium;">Primera qüestió: des d'on hem d'estirar?</span></b></li></ul>L'enunciat deixa oberta aquesta qüestió. Podem experimentar una mica, per exemple amb GeoGebra i observarem que, com segurament ens haurà dictat la intuïció, que el punt de màxima alçada s'obté estirant pel mig.</div><div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><iframe height="255px" scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/yyuw97qc/width/579/height/255/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" style="border: 0px;" title="Tibant la corda (1)" width="579px"> </iframe></div></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-size: x-small;"><a href="https://www.geogebra.org/material/edit/id/kydx9uvj" target="_blank">Enllaç a la construcció</a></span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">És interessant justificar per què. Ràpidament en veurem dues explicacions.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><ol style="text-align: left;"><li>La corda forma, amb la línia del terra un triangle. Independentment d'on estirem els triangles tindran el mateix perímetre, ja que la base és sempre de 100 m i la suma dels dos altres costats és 101 m. L'altura màxima s'obtindrà quan el triangle tingui també l'àrea màxima: quan sigui isòsceles, és a dir, quan l'altura estigui al mig de la base.</li><li>Hem vist que els triangles formats per la corda i el terra són isoperimètrics i de base fixa. Si estirem la corda per diferents punts aquests aniran traçant una el·lipse. La màxima alçada l'obtenim en el punt perpendicular al seu eix horitzontal. L'altura serà el semieix vertical.</li></ol><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg7dpYjZcjuieQuk55F7m-yZCs1tA0Ak4wybF7-uYUmpv7pNnyU8OPMcmA7D1xrmV3CU1FWBMHEiZj2GaF9PxG1r_jjMOpJsGUF56p069d-w5XZ5zyhk97sDYFMDb8JeT_FbDkSb5waap0jd8PNkCdPlTXo8Y7pW-VJsq4kFapgIEXBhWjXgsUpldpoKQp4/s743/imatge%20amb%20ellipse.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="192" data-original-width="743" height="166" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg7dpYjZcjuieQuk55F7m-yZCs1tA0Ak4wybF7-uYUmpv7pNnyU8OPMcmA7D1xrmV3CU1FWBMHEiZj2GaF9PxG1r_jjMOpJsGUF56p069d-w5XZ5zyhk97sDYFMDb8JeT_FbDkSb5waap0jd8PNkCdPlTXo8Y7pW-VJsq4kFapgIEXBhWjXgsUpldpoKQp4/w640-h166/imatge%20amb%20ellipse.png" width="640" /></a></div><br /><div style="text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li><b><span style="color: #660000; font-size: medium;">Segona qüestió: quina alçada obtindrem?</span></b></li></ul>Un cop decidit quin és el punt on obtenim la màxima alçada, esbrinar-la no té més dificultat que aplicar el Teorema de Pitàgores a un dels dos triangles rectangles en què queda dividit, per l'altura, el triangle fet sota de la corda. I, amb sorpresa, veurem que, afegint només un metre de corda, podria passar folgadament, una girafa. Fins i tot amb un petit mico al cap. Les girafes no acostumen a passar dels sis metres...</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhIR0nj8bdZeWSsOZiqiPA8GDFl_NaUd9mOQG1TwHRsmjOQHTHTjW9qtzCPOA6BpojUJGHgmWGTfpF94hPoRlTnPxoDwliIQqqrsi8s6nVczPXi9uI-SVSW_oqv1lzl0S6MWdcGAbe6D19NjjSz4T5AM8SP7UajxcWrSmFqKk691O3kiAWSp5baIhvURXBn/s732/solucio_corda_esquema.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="198" data-original-width="732" height="174" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhIR0nj8bdZeWSsOZiqiPA8GDFl_NaUd9mOQG1TwHRsmjOQHTHTjW9qtzCPOA6BpojUJGHgmWGTfpF94hPoRlTnPxoDwliIQqqrsi8s6nVczPXi9uI-SVSW_oqv1lzl0S6MWdcGAbe6D19NjjSz4T5AM8SP7UajxcWrSmFqKk691O3kiAWSp5baIhvURXBn/w640-h174/solucio_corda_esquema.png" width="640" /></a></div><br /><div style="text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li><b><span style="color: #660000; font-size: medium;">La versió de Bellos: engalanant el carrer.</span></b></li></ul>En la versió de Bellos es demana, directament quina mida tindrà un pal que haurà d'aguantar una garlanda de 101 m, tenint en compte que el carrer de banda a banda fa 100 m, que està lligada a terra i que el pal es posa al mig de la garlanda. Podem variar el problema i fer una investigació més completa.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;">Probablement, haureu penjat alguna vegada algun objecte d'una corda que va de banda a banda de la paret. I aquest objecte sempre, indefectiblement, queda més baix del que havíem previst. Podem investigar el model. Per exemple, podem començar amb una idealització, sense tenir en compte que la corda és flexible i que el pes de l'objecte no importa. En aquest model, si tenim dues parets a una distància <i>n</i> i una corda un 1% més llarga (1,01<i>n</i>) quant baixa (<i>h</i>) un objecte penjant del punt mitjà? Quina mena de relació hi ha entre <i>n </i>i <i>h</i>? Lineal? Quadràtica?<i> </i></div><div style="text-align: left;"><i><br /></i></div><div style="text-align: left;">Si volem fer un treball més interdisciplinar podem passar a experimentacions reals i estudiar com influeix l'elasticitat de la corda, el pes de l'objecte, etc.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #660000; font-size: medium;"><br /></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #660000; font-size: medium;">Passem per un problema conegut: la corda envoltant la Terra.</span></b></div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;">El problema que segueix és, potser, un dels més bonics i sorprenents de la matemàtica recreativa. El donarem per conegut i només el repassarem una mica per sobre.</div><div style="text-align: left;"><br /></div></div><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><div style="text-align: left;">Envoltem amb una corda tot l'Equador de la Terra (posem 40 000 km). A aquesta corda li afegim un metre i la tornem a posar al voltant de la Terra, però ara, en ser més gran que l'Equador, ens quedarà flotant (com un anell de Saturn, per fer-nos una idea). La pregunta és quant se separarà de la línia de terra, quant s'aixecarà. Sovint també se'ns demana quins animals d'una llista poden passar per sota.</div></div></blockquote><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><div style="text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj8izKeSVDXEUEI2bYXxyFiXEWG59qjc42ed08jK3Cjiqokr3NP8HP0I5a6W7Zj3sMvjC_RiBjepxHNoUSaAPbDzepmpik-lbjHWQqv3xeox86rzUZOz4rcQu3WSP2KzVNzunQqcP5GcMAYFr0NCPs4lv2bibnzbNqRXtnd9_klkkLibQo3vjyqF2inmPJK/s571/corda%20Terra%20metre.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="182" data-original-width="571" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj8izKeSVDXEUEI2bYXxyFiXEWG59qjc42ed08jK3Cjiqokr3NP8HP0I5a6W7Zj3sMvjC_RiBjepxHNoUSaAPbDzepmpik-lbjHWQqv3xeox86rzUZOz4rcQu3WSP2KzVNzunQqcP5GcMAYFr0NCPs4lv2bibnzbNqRXtnd9_klkkLibQo3vjyqF2inmPJK/s16000/corda%20Terra%20metre.png" /></a></div><br /><div style="text-align: left;">Si no l'heu fet mai, us recomanem aturar-vos i resoldre'l. Abans, però, feu una estimació tenint en compte que afegim un sol metre a una corda de 40 000 km.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;">El problema té dues sorpreses: la corda se separa gairebé 16 centímetres (hi passaria un conill per sota) i, a més, aquesta separació és independent de la mesura de la corda inicial: si afegim un metre a la corda sempre la distància serà d'uns 16 cm, sigui sobre una pilota de golf, de bàsquet, la Terra, Júpiter o el Sol.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;">Una visualització de per què no depèn de la circumferència inicial es pot inferir si plantegem el mateix problema sobre diferents polígons regulars. Per exemple, un quadrat. Veurem que el metre afegit es distribueix igualment pels vèrtexs, independentment de la mida del quadrat original. Si és un metre cada la separació serà de 100 cm entre 8 trossos: 12,5 cm.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgjZP2LPj_4iipXvephs-05yqbOYAOocywtrlFbdp_BbMl2Yeo4trBmSlxUVkrJXIpAphe-yKjcnibtAjIsDTApNcEyeKMHvvKxSNIubmtkshu0sBwm6ShSmBPlj-apHce5uB-WjYmcRuq9F6InmKBw5NRyuhJ4xWqRecJVPauw49cf7t4jvxUoWc-boZAj/s456/dibuix%20quadrats%20corda.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="285" data-original-width="456" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgjZP2LPj_4iipXvephs-05yqbOYAOocywtrlFbdp_BbMl2Yeo4trBmSlxUVkrJXIpAphe-yKjcnibtAjIsDTApNcEyeKMHvvKxSNIubmtkshu0sBwm6ShSmBPlj-apHce5uB-WjYmcRuq9F6InmKBw5NRyuhJ4xWqRecJVPauw49cf7t4jvxUoWc-boZAj/s16000/dibuix%20quadrats%20corda.png" /></a></div>Encara en tenim una altra visualització. No és difícil demostrar, amb l'ús de la propietat distributiva, que si omplim el diàmetre d'una circumferència amb tota una filera de circumferències tangents entre elles, i les dels extrems a la circumferència externa, la suma dels seus perímetres és igual al de la circumferència gran.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhz9F-RScxptCA4gVI8rA4hYfpBDEbaWW_BDQ5hnX3ugFYHMtnK7kfQwhBRdBHFl60FGRJRw30ugpoDEzWoKyCyrFVZDiEodm1JZNdIzaAysf7g5bGPZbRovh0vT86P__B-oGymYm2NCAQ8wYeCVEYLCG28XYD6ODCbVVg21l_yUJK7D9jNyYn-Td0QV0t2/s318/quatre%20circ.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="318" data-original-width="297" height="318" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhz9F-RScxptCA4gVI8rA4hYfpBDEbaWW_BDQ5hnX3ugFYHMtnK7kfQwhBRdBHFl60FGRJRw30ugpoDEzWoKyCyrFVZDiEodm1JZNdIzaAysf7g5bGPZbRovh0vT86P__B-oGymYm2NCAQ8wYeCVEYLCG28XYD6ODCbVVg21l_yUJK7D9jNyYn-Td0QV0t2/s1600/quatre%20circ.png" width="297" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">En el nostre cas tenim que, si dibuixem, dues circumferències, una amb 1 m més de perímetre que l'altra, només hem de fer les dues circumferències tangents interiors i encabir una altra que completi el diàmetre de la gran. El radi serà la separació. Donat que sempre augmentem 1 m, sigui quina sigui la circumferència inicial (la Terra, una pilota de ping-pong...), sempre haurem d'encabir-hi una circumferència d'1 m de perímetre i que tindrà també sempre el mateix radi (que indicarà la separació si les posem concèntriques).</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhys1lkRoTVgmzjwlkfGf_bl904UMeFG_XmY8MBnT5TGThFXKXQX_wMyaXuWORzbrievcVvgqUSlTy22FkADaVkBDG0997jaauzLYDIturwc5dk9tp8gQ9LyKg8OJ6_1dql5W0NOxxfuEfCFkPXKcsMDyegylEEiZZgDWP13_Ru9zo_dUlw-hCOluDRiUXg/s614/dues%20circumferencies.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="614" data-original-width="458" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhys1lkRoTVgmzjwlkfGf_bl904UMeFG_XmY8MBnT5TGThFXKXQX_wMyaXuWORzbrievcVvgqUSlTy22FkADaVkBDG0997jaauzLYDIturwc5dk9tp8gQ9LyKg8OJ6_1dql5W0NOxxfuEfCFkPXKcsMDyegylEEiZZgDWP13_Ru9zo_dUlw-hCOluDRiUXg/w299-h400/dues%20circumferencies.png" width="299" /></a></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /><div style="text-align: left;"><div><b><span style="color: #660000; font-size: medium;">Tornem a tibar la corda</span></b></div><div><br /></div><div>La pregunta ara és: si tenim aquesta corda, que té un metre més que el perímetre de la Terra, i estirem verticalment cap a dalt, tensant-la al màxim, a quina altura arribarem? Una cosa, més o menys, com es veu a la imatge.</div><div><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgi0b-1y_JzSfuer6PaJblq3oA4JHkwBfDmrJx_rXbmeqKeO_LoVNNa0dG6wJaK7YEBR54x4IRX9Y5XGNpVWB12ssCTDPDCrkN6lU2ODXa8OTJ87LY_ynxAPI38KrnKGiutAi5sqO_-TcEmCcO_inz5u6Os2NtN4G0SusiICKTTUKjq33kTJa_mQ6UQ5C90/s394/corda%20terra%20cienciasofa.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="394" data-original-width="372" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgi0b-1y_JzSfuer6PaJblq3oA4JHkwBfDmrJx_rXbmeqKeO_LoVNNa0dG6wJaK7YEBR54x4IRX9Y5XGNpVWB12ssCTDPDCrkN6lU2ODXa8OTJ87LY_ynxAPI38KrnKGiutAi5sqO_-TcEmCcO_inz5u6Os2NtN4G0SusiICKTTUKjq33kTJa_mQ6UQ5C90/s320/corda%20terra%20cienciasofa.png" width="302" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><a href="https://cienciadesofa.com/2015/10/que-pasa-si-envuelvo-la-tierra-en-una-cuerda-y-tiro-de-ella.html" target="_blank">Font de la imatge</a></td></tr></tbody></table><br /><div style="text-align: left;">Ara el problema és una mica més complicat i hem de recórrer a Pitàgores i a la trigonometria. Anomenem <i>r</i> al radi de la Terra i <i>h</i> a l'altura que busquem. Observem un primer esquema de plantejament del problema i, especialment el triangle assenyalat. Veurem que, per lleis de tangència, OBA és un triangle rectangle.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjBjWgDQVtHdfnskImLmQSoLNZSfJPvcu_C8v2UCajt9wU05kqGgUWclk4AWuwuKeeqBILQBgrcDFrId7RKLpz-hfWS2HPzGEmzFE5gaHeEn8RQPm5hAzJP8LT3gBQfeXkRGQOrW0BbBDEsByAMkMmnwgdIJ8O7VrdO20ZAw89ZcB6sGpbjZmSOmO8PvGUv/s424/esquema%20estirar%201.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="424" data-original-width="381" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjBjWgDQVtHdfnskImLmQSoLNZSfJPvcu_C8v2UCajt9wU05kqGgUWclk4AWuwuKeeqBILQBgrcDFrId7RKLpz-hfWS2HPzGEmzFE5gaHeEn8RQPm5hAzJP8LT3gBQfeXkRGQOrW0BbBDEsByAMkMmnwgdIJ8O7VrdO20ZAw89ZcB6sGpbjZmSOmO8PvGUv/s16000/esquema%20estirar%201.png" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">La longitud de la corda, en el tros enlairat AB, no el coneixem. Anomenem-lo <i>t</i>. Pel teorema de Pitàgores podem obtenir una primera equació per trobar el valor de <i>t</i>.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgTIYD5NuHcFWrs6DTYSyCvOrQHldPfr_6jjMxj7E1j9cizuAfO8UnooVa172H_N1_YqsQTSB4nzitVJ6GLre4Xse553x38gzYPII_pen0EVts5L6a1qhHJnRtCODkgB9XnNx70f3EbRqfvgEwDdsStFd3WJAJe5Dchu3broLSvgauN1vJK05RW4PLRCylH/s417/esquema%20estirar%202.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="417" data-original-width="347" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgTIYD5NuHcFWrs6DTYSyCvOrQHldPfr_6jjMxj7E1j9cizuAfO8UnooVa172H_N1_YqsQTSB4nzitVJ6GLre4Xse553x38gzYPII_pen0EVts5L6a1qhHJnRtCODkgB9XnNx70f3EbRqfvgEwDdsStFd3WJAJe5Dchu3broLSvgauN1vJK05RW4PLRCylH/s16000/esquema%20estirar%202.png" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Afegim anotacions a l'esquema. Sabem que <i>t</i> fa mig metre més que l'arc <i>c </i>(el metre de més es reparteix la meitat a cada costa del punt des d'on estirem)<i>. </i>Podem observar l'angle AOB (<span face=""Helvetica Neue", "Nimbus Sans", Helvetica, Arial, sans-serif" style="background-color: white; color: #001133; font-size: 15.2px;">α) </span> i, per trigonometria esbrinar el seu valor. Un cop esbrinat (consell: en radians) plantegem una nova equació que ens doni el valor de <i>c</i>.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjGNGtultTrOXs2RzYFctN87dYH2EcOsbG7CQn5Iy4EFqbKzjgl3vBXiiQh1UBA40qdBTQW8X7Q0Y2hMCyA4xQD23cy0TNe3HEACwDNrq7L17XFfsGNcE1imQLowLdPsYKY0kgcplwevazp1qB9Y5SZI69p-zlNE1x2sTwqEG6HIwdImgiuqLatRe9OXM4P/s567/esquema%20estirar%203.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="567" data-original-width="348" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjGNGtultTrOXs2RzYFctN87dYH2EcOsbG7CQn5Iy4EFqbKzjgl3vBXiiQh1UBA40qdBTQW8X7Q0Y2hMCyA4xQD23cy0TNe3HEACwDNrq7L17XFfsGNcE1imQLowLdPsYKY0kgcplwevazp1qB9Y5SZI69p-zlNE1x2sTwqEG6HIwdImgiuqLatRe9OXM4P/s16000/esquema%20estirar%203.png" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Ja pràcticament ho tenim. Recordem que <i>t </i>val mig metre més que <i>c</i>.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhPzUCmUicheQzZiJPz1syyxmYyYXYSSaHepX6H2XXqw3BpMMehw9tTOm_MtLSOAaiOh6RExZu02nQEWtxyj_uru2WD-FXn43KzGpWoqoCSgHhcldnlnZlmwc4kaLxzLDMvrXpVCoSdRuJppxbq1ZwPfY4B2bLqs8HBarLIqa9CUslJqC5-fcHxbK39grQf/s469/eq1.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="78" data-original-width="469" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhPzUCmUicheQzZiJPz1syyxmYyYXYSSaHepX6H2XXqw3BpMMehw9tTOm_MtLSOAaiOh6RExZu02nQEWtxyj_uru2WD-FXn43KzGpWoqoCSgHhcldnlnZlmwc4kaLxzLDMvrXpVCoSdRuJppxbq1ZwPfY4B2bLqs8HBarLIqa9CUslJqC5-fcHxbK39grQf/s16000/eq1.png" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Si igualem els dos valors de <i>t</i> obtinguts tenim l'equació base que ens resoldrà el problema.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhpPqKbyG1KAaj6MbisnBbRZ6mbAxHvpWGm9AVpBDTHQApRVKEiK2tkFbcbYDzndNJkkR9AHk2tAxJFfeqlIPYoV2BDiyRq0HpdKL-6ptXY7uKCNJ_Ieocs7l5NJnFg2xNxivIHIRMQ0zmVEfwlBRjuv80hHOSPtRK0ydt-cgdDA1qQWInu4OmQVhgKDvAF/s524/eq2.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="79" data-original-width="524" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhpPqKbyG1KAaj6MbisnBbRZ6mbAxHvpWGm9AVpBDTHQApRVKEiK2tkFbcbYDzndNJkkR9AHk2tAxJFfeqlIPYoV2BDiyRq0HpdKL-6ptXY7uKCNJ_Ieocs7l5NJnFg2xNxivIHIRMQ0zmVEfwlBRjuv80hHOSPtRK0ydt-cgdDA1qQWInu4OmQVhgKDvAF/s16000/eq2.png" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Bé... Tot i que coneixem el valor d'<i>r</i>, no és una equació fàcil de resoldre, L'Anton Aubanell, entre altres mètodes, em va suggerir de representar la funció amb GeoGebra i fer una gran "zoom", per veure on talla l'eix d'abcises. La funció té un petit ajustament per treballar en quilòmetres. Es veu clarament que la solució, sorprenentment, ens dona una sorprenent altura de 121 m.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhtfAwTAJSCvgCaA8t6QtouKRceyvWLTQS82kMD2XrG_PZ-y32-gqci2JuTGGr85r1P6RiTyVoZroFUb8rSJZVhoqqfXwqAngYjdd3E_4imW61_Lx68TPpJ6m_wCVoFWGb9V9z-TWYusnUH3_2dmBt1vyHRy43gfmHEl_XAtKFwpwAtBCOYpGXcfBY3zp51/s654/funci%C3%B3%20anton%201-vert.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="280" data-original-width="654" height="274" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhtfAwTAJSCvgCaA8t6QtouKRceyvWLTQS82kMD2XrG_PZ-y32-gqci2JuTGGr85r1P6RiTyVoZroFUb8rSJZVhoqqfXwqAngYjdd3E_4imW61_Lx68TPpJ6m_wCVoFWGb9V9z-TWYusnUH3_2dmBt1vyHRy43gfmHEl_XAtKFwpwAtBCOYpGXcfBY3zp51/w640-h274/funci%C3%B3%20anton%201-vert.png" width="640" /></a></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Per a fer-nos una idea de l'alçada que representa podem pensar que l'edifici de l'<a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Hotel_Porta_Fira" target="_blank">Hotel Portal Fira</a> de l'Hospitalet de Llobregat, força reconeixible a una de les entrades de Barcelona, té 113 m d'alçada. Li podríem afegir la girafa del primer problema.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgWQDRcNjyqhvGQJzbnYbmGXGgCU4eLf7IjUAAxrxx3eVk65JQXEL-Ff8N3_FYN3Ry2soTs3FiJH24U5lMWcZa39yHZcm8W4xhTqLLcqZkEoJjOjZFWtp1pnfMklbMK5TUirpPkJTCCpBI1h3PfDN8bV2nvuaw2JhBS6zDTjbvBqY4wKa-N-TSAkYeaDfAS/s599/Hospitalet_de_Llobregat_-_Plaza_de_Europa,_Torres_de_Toyo_Ito_(Torres_Porta_Fira),_Hotel_Porta_Fira_16.JPG" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="599" data-original-width="342" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgWQDRcNjyqhvGQJzbnYbmGXGgCU4eLf7IjUAAxrxx3eVk65JQXEL-Ff8N3_FYN3Ry2soTs3FiJH24U5lMWcZa39yHZcm8W4xhTqLLcqZkEoJjOjZFWtp1pnfMklbMK5TUirpPkJTCCpBI1h3PfDN8bV2nvuaw2JhBS6zDTjbvBqY4wKa-N-TSAkYeaDfAS/w229-h400/Hospitalet_de_Llobregat_-_Plaza_de_Europa,_Torres_de_Toyo_Ito_(Torres_Porta_Fira),_Hotel_Porta_Fira_16.JPG" width="229" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Hotel Portal Fira (Arq. Toyo Ito)</td></tr></tbody></table><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">A diferència del problema original, aquí l'altura a què es pot aixecar la corda depèn, a més del tros afegit, del radi de la circumferència original.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">En el llibre de Bellos, on apareix aquest problema, dona una simplificació de l'equació que permet obtenir un resultat aproximat. No em puc estar de traduir la frase amb què la presenta:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div></div></div></div></div><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><div style="text-align: left;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">"Aquests equacions [ell presenta la resolució amb un grup de tres equacions]es poden reorganitzar i simplicar -sí, sí, creiue-me- per a donar: "</div></div></div></div></div></blockquote><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg0q90SpEqYXQpc8uFYFmynvnwxj_-R9ObAs24QkyHzXSOj8SwjpmItNUlWbUVIWmbKQ-Bo33j_hIhGGZu1hdr8kUMslv17VgTKYZm8HbJhr5vjh6qqsOEfkk3t6aZ-3cKn7nXIjOxtqkhv00iH6JppY9ipZ_a1Q7EAtGxUE7YROfPmioey_zjz5dZvmanG/s146/formula%20final.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="69" data-original-width="146" height="69" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg0q90SpEqYXQpc8uFYFmynvnwxj_-R9ObAs24QkyHzXSOj8SwjpmItNUlWbUVIWmbKQ-Bo33j_hIhGGZu1hdr8kUMslv17VgTKYZm8HbJhr5vjh6qqsOEfkk3t6aZ-3cKn7nXIjOxtqkhv00iH6JppY9ipZ_a1Q7EAtGxUE7YROfPmioey_zjz5dZvmanG/s1600/formula%20final.png" width="146" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div><b><span style="color: #660000; font-size: medium;">I a l'aula?</span></b></div><div><ul style="text-align: left;"><li>El primer problema és perfectament assequible un cop es coneix el Teorema de Pitàgores. És interessant pel resultat poc intuïtiu (cal demanar estimacions a l'alumnat abans de resoldre'l), i per les seves connexions amb l'el·lipse. És important discutir l'argumentari de per què s'ha de triar el punt mitjà per a obtenir la màxima altura. També potser interessant fer la investigació de "l'objecte penjant". Un altre tema a investigar és el de les dilatacions lineals. Com un petit augment de longitud pot provocar una gran deformació. Per exemple, un raïl de tren.<br /><br /></li><li>Ja hem dit que el problema "clàssic" d'envoltar la Terra amb una corda un metre més gran que l'Equador és un dels més bonics de la història de la matemàtica recreativa. Sobretot per la seva doble sorpresa: la grandària del resultat i la independència de la mesura de la circumferència original. Hi ha una altra variant interessant.<br /><br />"Al Petit Príncep, li agradava, quan acabava de netejar els seus volcans, donar voltes al seu planeta, l'asteroide B-612, i anar veient contínues postes de Sol. Sabent que el seu planeta feia uns 3 m de diàmetre i que ell tenia, aproximadament, una alçada d'1,25 m, quants metres de més li feia el cap, a cada volta, que els peus?"<br /><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh-Ii6uqdiWJXJcxFM42b1WyMLECPPiNAkPLcnN3FasRZpiRUH2wDByevxiksv0n374xoq2ppeGhVSj84tm0GsknRNlL99WmAiWC8TUryAqEsB7dpO6huXfHimVGzis57a6EIxQDcTKiPd9oQ_S39Ua2vf_HBZmMyi-OIZTGDk4DMGYvx6xvWSDLhKiBnHk/s643/Captura-de-pantalla-2017-02-07-a-las-12.34.37.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="643" data-original-width="599" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh-Ii6uqdiWJXJcxFM42b1WyMLECPPiNAkPLcnN3FasRZpiRUH2wDByevxiksv0n374xoq2ppeGhVSj84tm0GsknRNlL99WmAiWC8TUryAqEsB7dpO6huXfHimVGzis57a6EIxQDcTKiPd9oQ_S39Ua2vf_HBZmMyi-OIZTGDk4DMGYvx6xvWSDLhKiBnHk/s320/Captura-de-pantalla-2017-02-07-a-las-12.34.37.png" width="298" /></a><br /><div style="text-align: left;">Veurem que, en aquesta versió, la distància de més tampoc depèn del "planeta", sinó exclusivament de l'alçada de la persona. És indiferent que faci una volta al seu asteroide o al planeta Terra. En els dos casos seran uns 7,85 m (2π<i>h</i>).</div></div><br /></li><li><div style="text-align: left;">El plantejament del tercer problema, estirar la corda anterior a la Terra, és una mica més complicat de treballar a l'aula. En tot cas arribar a les equacions, amb coneixements de trigonometria, no és especialment difícil. Resoldre-les és un altre tema. L'opció de representar la funció amb GeoGebra, però, és perfectament aplicable. Amb un punt lliscant per a determinar <i>r</i>, podem estudiar com varia la funció segons el radi.</div></li></ul></div>Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7448640108700542412.post-75729748455797135462023-05-13T11:16:00.006+02:002023-05-16T17:17:23.283+02:00Intuïció i probabilitat: el joc de "la canyeta més curta"<p>Que la intuïció i la probabilitat estan renyides és un tema que, recurrentment, s'ha tractat en aquest blog. També podeu veure, sobre aquest tema, el vídeo de la comunicació <i><a href="https://apmcm.feemcat.org/homepage/" target="_blank">Què passarà? Intuïció i probabilitat</a></i>, de la Jornada d'Educació 2021 de l'APMCM. De vegades, la manca d'intuïció està relacionada amb la poca familiaritat o experiència amb les situacions plantejades. Avui aquesta proposta ens convida a pensar sobre una situació ben coneguda, el mètode de tria de "la canyeta més curta". El joc funciona així:</p><p></p><ul style="text-align: left;"><li>Tenim un grapat de canyetes (o de cordills, o d'herbes, o pals de gelat...). Tantes com persones intervenen el joc. Les canyetes poden tenir diferents longituds o ser iguals totes, menys una que serà més curta.</li><li>Qui organitza el joc les agafa barrejades amb la mà de forma que, per la part superior, es mostri per a totes una longitud igual. La part inferior acostuma a quedar amagada, però si són, per exemple, cordes desiguals no és estrictament necessari.</li><li>Els jugadors agafen ordenadament una canyeta cadascun.</li><li>Perd (o s'elimina) qui ha triat la més curta.</li></ul><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgvCtiTycKrbn6oI9kDZyz6Lpo_MdaPTfzj1TbJAEHuTGedH5lvnC6fCbQJYu0doZNGVDmNcXblX4fa83WnQNZ4rQj-JsJ64F94y4Nmb-wHyObywVTUQLRIGMTMibyon7LEuxsoAMSXL8PmsIwh9cFDVaTN-H6Z1N9QVQ4DMeSFFWXjtl3egCRG1Wpxzw/s225/baixa.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="225" data-original-width="225" height="225" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgvCtiTycKrbn6oI9kDZyz6Lpo_MdaPTfzj1TbJAEHuTGedH5lvnC6fCbQJYu0doZNGVDmNcXblX4fa83WnQNZ4rQj-JsJ64F94y4Nmb-wHyObywVTUQLRIGMTMibyon7LEuxsoAMSXL8PmsIwh9cFDVaTN-H6Z1N9QVQ4DMeSFFWXjtl3egCRG1Wpxzw/s1600/baixa.jpg" width="225" /></a></div><br /><div style="text-align: left;">La qüestió a discutir és: importa l'ordre en triar o és indiferent? Afecta quin torn tens per agafar la canyeta a la probabilitat que agafis la més curta?</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;">Podem imaginar una discussió a l'aula, sigui de primària o secundària, en la que sortiran arguments com aquests:</div><div style="text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li>És millor ser l'últim perquè així és més probable que una altra persona l'hagi agafat abans.</li><li>És millor ser dels primers perquè tens més canyetes per a triar. Si et vas esperant cada vegada en queden menys i la probabilitat de triar la curta augmenta.</li><li>És millor ser dels del mig per si algú l'agafa abans, però sense esperar que quedin poquetes.</li></ul>Podeu provar també de treure el tema en ambients no matemàtics per veure què en pensa la gent.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;">Com sempre, el millor és començar experimentant una mica. A continuació teniu un applet fet amb <a href="https://snap.berkeley.edu/" target="_blank">Snap</a> que us permetrà jugar-hi. Aquí l'hem preparat amb un joc de fitxes que tenen una cara visible de color marró i una amagada: totes són verdes menys una que és vermella i que és la que fa perdre.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: center;"><iframe allow="geolocation; microphone;camera" allowfullscreen="" frameborder="0" height="390" src="https://snap.berkeley.edu/embed?projectname=Jugar%20al%20pal%20m%c3%a9s%20curt&username=joanjareno&showTitle=true&showAuthor=true&editButton=true&pauseButton=true" width="480"></iframe><br /><a href="https://snap.berkeley.edu/embed?projectname=Jugar%20al%20pal%20m%c3%a9s%20curt&username=joanjareno&showTitle=true&showAuthor=true&editButton=true&pauseButton=true" target="_blank">Enllaç al programa</a></div><p></p><p><b><span style="color: #660000; font-size: medium;">Estudiem el joc?<span></span></span></b></p><a name='more'></a><p></p><p>Imaginem que alguna persona ens fa el següent raonament sobre un joc amb cinc persones:</p><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><p style="text-align: left;">Al principi tinc un 80 % de probabilitat de no agafar la canyeta curta (4 casos favorables entre 5). Si soc el 2n en triar només tindré un 75 % de probabilitats (3/4) i, així anirà baixant: 66,66 % si soc el tercer (2/3), etc. Millor ser el primer.</p></blockquote><p>Un altre li podria contestar.</p><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><p style="text-align: left;">Bé... m'estimo més ere l'últim. Tindre un 80 % de possibilitat de que un altre agafi la canyeta més curt abans que jo i només un 75 % si soc el penúltim.</p></blockquote><p>Podríem intuir que si el joc ha perdurat tant en el temps és perquè és equiprobable. Però aquesta idea no ens serveix com a argument: potser ha perdurat perquè no requereix grans preparatius, és fàcil de dur a la pràctica. Pensem si no en les cançons de tria prèvies a molts jocs que, encara que ho semblin, no tenen res d'aleatòries. Al web <i><a href="http://www.xtec.cat/~jjareno/calculus/" target="_blank">Càlculus</a> </i>podeu trobar una activitat, <i>Comptar cantant</i>, relacionada amb aquest tema (a l'apartat Comptar-Activitats).</p><p>Hem dit moltes vegades que, en probabilitat, convé una experimentació molt i molt i molt llarga. Els applets ens són de gran ajuda en aquests casos. A continuació en teniu un, també fet amb <a href="https://snap.berkeley.edu/" target="_blank">Snap</a>.</p><p style="text-align: center;"><iframe allow="geolocation; microphone;camera" allowfullscreen="" frameborder="0" height="390" src="https://snap.berkeley.edu/embed?projectname=Estudi%20del%20pal%20m%c3%a9s%20curt&username=joanjareno&showTitle=true&showAuthor=true&editButton=true&pauseButton=true" width="480"></iframe><br /><a href="https://snap.berkeley.edu/embed?projectname=Estudi%20del%20pal%20m%c3%a9s%20curt&username=joanjareno&showTitle=true&showAuthor=true&editButton=true&pauseButton=true" target="_blank">Enllaç al programa</a></p><p style="text-align: left;">Si fem aquesta experimentació llarga, veurem que és indiferent l'ordre: amb cinc canyetes la probabilitat de perdre és sempre pròxima al 20 %.</p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi6uHRQAIu7h4pIuwX5D4KDYrM1BS9K9WOTisr5o2a_uD2_i9akfuiujuc7fa0yDHyVQ-OeB7xbZqlZRJowx3CDbv0kKyZG5bLstE1YX9hAkpdlsIvqG7OTOCoVCdSBRvtJGvWHr2DJXSEPSCoAa5y1uzATCYz_npo0ztOt-eayk3G6OlA2zEN2Q00c9w/s495/36000%20casos.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="209" data-original-width="495" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi6uHRQAIu7h4pIuwX5D4KDYrM1BS9K9WOTisr5o2a_uD2_i9akfuiujuc7fa0yDHyVQ-OeB7xbZqlZRJowx3CDbv0kKyZG5bLstE1YX9hAkpdlsIvqG7OTOCoVCdSBRvtJGvWHr2DJXSEPSCoAa5y1uzATCYz_npo0ztOt-eayk3G6OlA2zEN2Q00c9w/s16000/36000%20casos.png" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Experiment amb 36 000 casos</td></tr></tbody></table><br /><p style="text-align: left;">El primer argument en pro de l'equiprobabilitat és que és indiferent si s'agafen per torns les canyetes o si tothom les agafa a la vegada. En cas que dues persones volguessin la mateixa canyeta, bé que s'hauran de posar d'acord.</p><p style="text-align: left;">El segon argument és el càlcul. És evident que els que hem insinuat abans eren erronis, perquè no es tenia en compte la condició de que els que havien agafat la primera canyeta (o la segona, etc.) s'havien salvat. De fet al primer dels raonaments, el que deia que la probabilitat de guanyar s'anava reduïnt, se li podria contrargumentar que, seguint el càlcul, s'arribaria a la conclusió que el 5è jugador perdia sempre segur.</p><p style="text-align: left;">Mirem-ho cas a cas i, de nou, amb cinc canyetes. La primera persona té 4 opcions sobre 5 de salvar-se (un 80%) i 1 sobre 5 de perdre (20%). Perquè la segona persona agafi la canyeta curta és indispensable que la primera no l'hagi agafat. És un cas de probabilitat condicionada: 4/5 que el primer no hagi perdut i una opció entre quatre de perdre per al segon. Si fem el càlcul veurem que la probabilitat de perdre per al segon continua sent una entre cinc (un 20 %).</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgn51Gxy6Md5sDOEVMuQ-XjoX04O_Tuh_-xSG4yemhZNMBSLY7906B9DbhHS3rvF2lCYTO9Bx3KkrpTKQq1bBrpf1egUvmiWPMjxY9TEcTHcQ8_lHLaydbLAXct2_aAqTnsbUzpGSHHxbr0uhFvcyp2dxgqfT9_yLSDL5n2Ik1egDwRHycN4WnYoH5zSQ/s118/for1.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="77" data-original-width="118" height="77" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgn51Gxy6Md5sDOEVMuQ-XjoX04O_Tuh_-xSG4yemhZNMBSLY7906B9DbhHS3rvF2lCYTO9Bx3KkrpTKQq1bBrpf1egUvmiWPMjxY9TEcTHcQ8_lHLaydbLAXct2_aAqTnsbUzpGSHHxbr0uhFvcyp2dxgqfT9_yLSDL5n2Ik1egDwRHycN4WnYoH5zSQ/s1600/for1.png" width="118" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Aquest raonament, combinar les probabilitats de que la canyeta curta no hagi sortit abans d'un torn determinat amb les d'agafar-la en aquell torn, el podem aplicar als cinc torns i veure que sempre tenim un cinquè de possibilitats de perdre. Per exemple, pel 3r jugador haurem de tenir en compte que les probabilitats de que ni el primer ni el segon hagin agafat la canyeta curta serà el producte de 4/5 per 3/4 (tres canyetes llargues entre quatre). Després la probabilitat d'ell d'agafar la curta serà d'una entre les tres que queden (1/3). Combinant les tres probabilitats tornem a obtenir una d'1/5. La taula de càlculs completa és la següent.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi4WmlfyDljEZ5b4YpbHM8B4PMirYGiNo2HB9sTmEii9vYmIqoWiv94npTJsA8U48N0qS87DQXEpy70sAiL_go2agm3uV4IZLHbceCY2IevI9B-FoWmXSI-uVbtJkPOinrSPWDDnT44wgMYUzj2fKpN3rWlyM9JOjurtBytfqxruuURPjO-gZbhn0PEFw/s412/taula%20for.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="368" data-original-width="412" height="286" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi4WmlfyDljEZ5b4YpbHM8B4PMirYGiNo2HB9sTmEii9vYmIqoWiv94npTJsA8U48N0qS87DQXEpy70sAiL_go2agm3uV4IZLHbceCY2IevI9B-FoWmXSI-uVbtJkPOinrSPWDDnT44wgMYUzj2fKpN3rWlyM9JOjurtBytfqxruuURPjO-gZbhn0PEFw/s320/taula%20for.png" width="320" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">També podem mirar la probabilitat de cada jugador fent un diagrama en arbre amb tots els casos. Observem aquesta taula per a tres jugadors. No és imprescindible identificar de forma diferent cada canyeta no perdedora, però per estudiar tots els casos ens pot servir d'ajuda per diferenciar-los. Les canyetes no perdedores són A i B. La perdedora és X. Veurem que la probabilitat és d'1/3 per als tres jugadors.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjJvs8lCoeKCgO4WVYLLiIdxVZugr9KsYs-Qqxe4yfY_eMA-dDOG9bEHBb6vlJag3VRskN38kbOFyYqyitnkflky2axzd2TjB71qnoZK1yZj7X5tF1Choh9yfbadwaosm1rDAadt_S8GPAhl3zhjoMIvpLj6SovuW1EhuHPQdSaQkZGPZqB8cIoPvaWKQ/s443/arbre.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="391" data-original-width="443" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjJvs8lCoeKCgO4WVYLLiIdxVZugr9KsYs-Qqxe4yfY_eMA-dDOG9bEHBb6vlJag3VRskN38kbOFyYqyitnkflky2axzd2TjB71qnoZK1yZj7X5tF1Choh9yfbadwaosm1rDAadt_S8GPAhl3zhjoMIvpLj6SovuW1EhuHPQdSaQkZGPZqB8cIoPvaWKQ/s16000/arbre.png" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Una taula també ens pot recollir tots els casos i observar l'equiprobabilitat per a cada jugador. Per a quatre jugadors veurem que les probabilitats són d'un 25% (6/24 = 1/4)</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><div align="center">
<table border="1" bordercolorlight="#000000" style="border-collapse: collapse; width: 95%;">
<tbody><tr>
<td align="center" bgcolor="#CCCC99">Jugador</td>
<td align="center" colspan="25"> </td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#CCCC99">1r</td>
<td align="center">A</td>
<td align="center">A</td>
<td align="center">A</td>
<td align="center">A</td>
<td align="center">A</td>
<td align="center">A</td>
<td align="center">B</td>
<td align="center">B</td>
<td align="center">B</td>
<td align="center">B</td>
<td align="center">B</td>
<td align="center">B</td>
<td align="center">C</td>
<td align="center">C</td>
<td align="center">C</td>
<td align="center">C</td>
<td align="center">C</td>
<td align="center">C</td>
<td align="center" bgcolor="#FF0000">X</td>
<td align="center" bgcolor="#FF0000">X</td>
<td align="center" bgcolor="#FF0000">X</td>
<td align="center" bgcolor="#FF0000">X</td>
<td align="center" bgcolor="#FF0000">X</td>
<td align="center" bgcolor="#FF0000">X</td>
<td align="center">6/24</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#CCCC99">2</td>
<td align="center">B</td>
<td align="center">C</td>
<td align="center">B</td>
<td align="center">C</td>
<td align="center" bgcolor="#FF0000">X</td>
<td align="center" bgcolor="#FF0000">X</td>
<td align="center">A</td>
<td align="center">C</td>
<td align="center">A</td>
<td align="center">C</td>
<td align="center" bgcolor="#FF0000">X</td>
<td align="center" bgcolor="#FF0000">X</td>
<td align="center">A</td>
<td align="center">B</td>
<td align="center">A</td>
<td align="center">B</td>
<td align="center" bgcolor="#FF0000">X</td>
<td align="center" bgcolor="#FF0000">X</td>
<td align="center">B</td>
<td align="center">C</td>
<td align="center">B</td>
<td align="center">C</td>
<td align="center">A</td>
<td align="center">A</td>
<td align="center">6/24</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#CCCC99">3r</td>
<td align="center">C</td>
<td align="center">B</td>
<td align="center" bgcolor="#FF0000">X</td>
<td align="center" bgcolor="#FF0000">X</td>
<td align="center">B</td>
<td align="center">C</td>
<td align="center">C</td>
<td align="center">A</td>
<td align="center" bgcolor="#FF0000">X</td>
<td align="center" bgcolor="#FF0000">X</td>
<td align="center">A</td>
<td align="center">C</td>
<td align="center">B</td>
<td align="center">A</td>
<td align="center" bgcolor="#FF0000">X</td>
<td align="center" bgcolor="#FF0000">X</td>
<td align="center">A</td>
<td align="center">B</td>
<td align="center">C</td>
<td align="center">B</td>
<td align="center">A</td>
<td align="center">A</td>
<td align="center">B</td>
<td align="center">C</td>
<td align="center">6/24</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#CCCC99">4t</td>
<td align="center" bgcolor="#FF0000">X</td>
<td align="center" bgcolor="#FF0000">X</td>
<td align="center">C</td>
<td align="center">B</td>
<td align="center">C</td>
<td align="center">B</td>
<td align="center" bgcolor="#FF0000">X</td>
<td align="center" bgcolor="#FF0000">X</td>
<td align="center">C</td>
<td align="center">A</td>
<td align="center">C</td>
<td align="center">A</td>
<td align="center" bgcolor="#FF0000">X</td>
<td align="center" bgcolor="#FF0000">X</td>
<td align="center">B</td>
<td align="center">A</td>
<td align="center">B</td>
<td align="center">A</td>
<td align="center">A</td>
<td align="center">A</td>
<td align="center">C</td>
<td align="center">B</td>
<td align="center">C</td>
<td align="center">B</td>
<td align="center">6/24</td>
</tr>
</tbody></table>
</div></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li><b><span style="color: #660000; font-size: medium;">I a l'aula?</span></b></li></ul></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">No és difícil pensar en com transferir aquesta activitat a l'aula. En tot cas, el procés més natural seria:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><ol style="text-align: left;"><li>Planteig de la situació i formulació de conjectures per part de l'alumnat. Pot ser interessant destacar els aspectes més plausibles de cadascuna encara que sapiguem que no siguin les respostes que s'ajustin a la realitat. És una manera de destacar que cal experimentar i estudiar la situació i no quedar-nos només amb les conjectures més raonables.</li><li>Experimentació: real per parelles i recollint després els resultats globals del grup. Després podrem deixar l'aplicatiu en marxa per a fer més casos.</li><li>Estudiar la probabilitat teòrica. Segons l'edat miraren si el que convé més és presentar tots els casos possibles (per diagrama en arbre, taula, llista...) o fer els càlculs de proporcionalitat condicionada.</li><li>Pot ser interessant, també, atendre els aspectes psicològics. Per exemple, encara que sapiguem que el joc és equiprobable, ens estimem ser primers per no allargar el "patiment" de perdre?</li></ol></div>Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7448640108700542412.post-63022876555908728372023-04-10T19:51:00.000+02:002023-04-10T19:51:14.400+02:00"Quaternes" i altres patrons a la taula de multiplicar<p>De vegades hi ha patrons relativament senzills que, pel que sigui, no se t'acudeix buscar. La clau, com sempre, està en saber-se fer preguntes. Aquests patrons que presentem avui, en els què fins ara no m'hi havia fixat mai, els he trobat al llibre <i><a href="https://urss.ru/cgi-bin/db.pl?lang=sp&blang=en&page=Book&id=38799" target="_blank">La matemática elgante</a></i> (A.V. Zhúkov, P.I Samavol i M.V. Applebaum; Editorial URSS). Tots es basen en la taula pitagòrica de la multiplicació. I millor si la taula és "infinita". Els primers es basaran en la tria de quatre nombres que formin un quadrat seobre la taula. Després hi ha dos més basats en l'estudi de les sumes dels nombres que formen angles rectes i algunes diagonals. Abans d'entrar-hi és obligatori recordar un article, també referent a aquest tema, del Blog del PuntMat: "<a href="http://puntmat.blogspot.com/2017/03/patrons-les-taules-de-multiplicar.html" target="_blank">Patrons a les taules de multiplicar</a>". Comencem.</p><p></p><ul style="text-align: left;"><li><b><span style="color: #990000;">Quadrats amb els costats paral·lels a les vores de la taula</span></b></li></ul>Triem quatre nombres que siguin els vèrtexs d'un quadrat col·locat "horitzontalment", que tingui els costats paral·lels als costats de la taula.<p></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgQhZEhzaRisX6Rjfc_-shPgSdEBAE_1zEFvwy70l9KdD0V3kXC3i7nuO1RAszf0XXRn9bnlHYfXnIpq1dWRyOLiFN0d06rCxBTnKr21yhSYycijT6OyruC6qhH31f0jg_pcSzQe4rHKorTFP-sVL9UbZstRZpq4D801hy4W24ByWM-aOXlfsLIUEQ6Zg/s432/quaternes1.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="404" data-original-width="432" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgQhZEhzaRisX6Rjfc_-shPgSdEBAE_1zEFvwy70l9KdD0V3kXC3i7nuO1RAszf0XXRn9bnlHYfXnIpq1dWRyOLiFN0d06rCxBTnKr21yhSYycijT6OyruC6qhH31f0jg_pcSzQe4rHKorTFP-sVL9UbZstRZpq4D801hy4W24ByWM-aOXlfsLIUEQ6Zg/s16000/quaternes1.png" /></a></div><div><br /></div>Podem descobrir una relació entre dues de les parelles de vèrtexs de cada quadrat. Quina és?<div><ul style="text-align: left;"><li><b><span style="color: #990000;">Quadrats com els anteriors que tenen dos vèrtexs sobre la diagonal principal</span></b></li></ul>A més de la relació anterior, en aquest cas, hi ha una propietat numèrica especial que s'acompleix considerant els quatre vèrtexs.</div><div><br /></div><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhEBR4KGGfSQtQmqfqfP6FmGHv31y9xOvIstk4LIdyVXWi47WEOcDjX8iG_S05PUm171XAm_X-RuXG28bjXBhig0carUtR64UjtxzKebtaioxrUmBtQpCtcRYU6_ze_TH4TWbKK9RhmZQJGecZNGPGoAGKvwXukOAbu6dE21TiRX1xawdtlMeg2d1Ro6Q/s433/quaternes2.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="410" data-original-width="433" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhEBR4KGGfSQtQmqfqfP6FmGHv31y9xOvIstk4LIdyVXWi47WEOcDjX8iG_S05PUm171XAm_X-RuXG28bjXBhig0carUtR64UjtxzKebtaioxrUmBtQpCtcRYU6_ze_TH4TWbKK9RhmZQJGecZNGPGoAGKvwXukOAbu6dE21TiRX1xawdtlMeg2d1Ro6Q/s16000/quaternes2.png" /></a></div><ul style="text-align: left;"><li><b><span style="color: #990000;">Quadrats amb els costats paral·lels a les diagonals principals</span></b></li></ul>Un cas relativament semblant al primer. Hem de trobar una relació entre dues parelles de vèrtexs.</div><div><br /></div><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiQ1cgCI1301ChTieONp7olePjN_-FR6A5ibajzijy4h-Ln7fBSr_jxwXGPS7E68tp-1ixv1XowvDjLEiI08kcK2O0kQBNroBDPijhMP4v6n8oohJE_BnPVHA1OVQpa2q7IahFnAlo3vvq4q6Q69vmFlFh-yURD_WTJjze_qc-rTXOuvwzAUr3tHsIR6Q/s432/quaternes3.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="404" data-original-width="432" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiQ1cgCI1301ChTieONp7olePjN_-FR6A5ibajzijy4h-Ln7fBSr_jxwXGPS7E68tp-1ixv1XowvDjLEiI08kcK2O0kQBNroBDPijhMP4v6n8oohJE_BnPVHA1OVQpa2q7IahFnAlo3vvq4q6Q69vmFlFh-yURD_WTJjze_qc-rTXOuvwzAUr3tHsIR6Q/s16000/quaternes3.png" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li><b><span style="color: #990000;">Suma dels nombres dels angles rectes de la taula (gnòmons)</span></b></li></ul>Si sumem els nombres que formen els gnòmons de la taula (podríem visualitzar-los com lletres L invertides), quin tipus de nombres obtenim?</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgvBbteiFinaTFqCmVBmWXNCmfQrtRnwYFaUM3gDyxDjNKaJIkZxPSRzBzTa-QPlg49BeP7KEdoDMZbKENOT0rKckAPv7JDes3me15wvTuYik9tXFU89M2kfeA4lj7iiawNNKfPaDpf7Fs2UUnwB2vdBOpmYgZJgIQCG3vcc6eH1wv1_wHpWNRAaQflqg/s445/gnomons1.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="440" data-original-width="445" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgvBbteiFinaTFqCmVBmWXNCmfQrtRnwYFaUM3gDyxDjNKaJIkZxPSRzBzTa-QPlg49BeP7KEdoDMZbKENOT0rKckAPv7JDes3me15wvTuYik9tXFU89M2kfeA4lj7iiawNNKfPaDpf7Fs2UUnwB2vdBOpmYgZJgIQCG3vcc6eH1wv1_wHpWNRAaQflqg/s16000/gnomons1.png" /></a></div><div style="text-align: center;"><br /></div><ul style="text-align: left;"><li><b><span style="color: #990000;">Suma dels nombres de les diagonals consecutives</span></b></li></ul>Aquesta relació és una mica més complicada. Si sumem els nombres situats en les diagonals consecutives, marcades a la figura, podem trobar una sèrie numèrica curiosa. Podeu endevinar com segueix o identificar-la?</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEipRunlwJ8utiicx3AxX_ECc-6hg8a9Q-tqOtbgkXIP7aM5WrglWcC0CXOeOYDUlU9aCFluXfIUUSfm58JyOmMZ8za92jgmmenz_QZqGkNNbMTO_SGatgm2vzOVJ3e4uXisjTFXFkZdKiU0JpvUn8LlLJ_QM6j7hTMW19MB2C7MEgQYzhhjwWxZyG_gWg/s397/quaternes%204.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="397" data-original-width="394" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEipRunlwJ8utiicx3AxX_ECc-6hg8a9Q-tqOtbgkXIP7aM5WrglWcC0CXOeOYDUlU9aCFluXfIUUSfm58JyOmMZ8za92jgmmenz_QZqGkNNbMTO_SGatgm2vzOVJ3e4uXisjTFXFkZdKiU0JpvUn8LlLJ_QM6j7hTMW19MB2C7MEgQYzhhjwWxZyG_gWg/s16000/quaternes%204.png" /></a></div><div><br /></div><b><span style="color: #990000; font-size: medium;">Us animeu a continuar investigant aquests patrons?</span></b><span><a name='more'></a></span><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><ul><li><b><span style="color: #990000;">Quadrats amb els costats paral·lels a les vores de la taula</span></b></li></ul></div>En aquest cas podem descobrir que el producte dels dos vèrtexs oposats per les diagonals, són iguals.</div><div><br /></div><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgJg3cV49g4iOvwKY1kT3DGQhFEiYn7flJ1PCHfrmjE38-z2Zwud2Dipe9sqdX68eaS4bUaeiS9TEHfQ6sIPNM9OTvdEJKxCoukjumpfTgPYtGGoaT9_H8axvhutyOFIkV_dhKgdOPA4kfGK_ybt0XF6iBJg8t6XVlyw_weIyG7gexR60-nIIFigc8b5w/s472/quadrat1exp1.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="472" data-original-width="434" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgJg3cV49g4iOvwKY1kT3DGQhFEiYn7flJ1PCHfrmjE38-z2Zwud2Dipe9sqdX68eaS4bUaeiS9TEHfQ6sIPNM9OTvdEJKxCoukjumpfTgPYtGGoaT9_H8axvhutyOFIkV_dhKgdOPA4kfGK_ybt0XF6iBJg8t6XVlyw_weIyG7gexR60-nIIFigc8b5w/s16000/quadrat1exp1.png" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Aquesta propietat no és difícil de justificar. En aquest cas, i en els que venen, defugirem les demostracions de tipus algebraic. Per argumentar el perquè d'aquesta propietat no cal més que fixar-s'hi en un detall. Quan triem quatre vèrtexs amb aquesta regla, estem triant només quatre factors: dos per les dues columnes i dos per les dues files. En els vèrtexs oposats per la diagonal no repetim cap d'aquests factors, perquè triem els dos diferents de les columnes i els dos diferents de les files. D'aquí que els productes de cada parella de vèrtexs reuneixi els quatre factors i, en conseqüència, els productes seran idèntics.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjRUiCGAaYWmY8YsEe0pfiFQDXxcXeCZKnRsz7Z7EUCqPXVHBKvvJM-YWepyyVej-VhgZAoUu4xkscFWDOlNaIht0SKTT-dAq8sgjF3B-m0ZNSRGC_Ue-fAvddDx7efaaBUi-n0ZzmVaGMQqNq8n7o4_C7-iSZ0md6p36cDRH4KW40WDj7afy76ixkVNA/s424/quadrat1exp2.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="424" data-original-width="423" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjRUiCGAaYWmY8YsEe0pfiFQDXxcXeCZKnRsz7Z7EUCqPXVHBKvvJM-YWepyyVej-VhgZAoUu4xkscFWDOlNaIht0SKTT-dAq8sgjF3B-m0ZNSRGC_Ue-fAvddDx7efaaBUi-n0ZzmVaGMQqNq8n7o4_C7-iSZ0md6p36cDRH4KW40WDj7afy76ixkVNA/s16000/quadrat1exp2.png" /></a></div><ul><li><b><span style="color: #990000;">Quadrats com els anteriors que tenen dos vèrtexs sobre la diagonal principal</span></b></li></ul><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">En aquest cas, a més, la suma dels quatre nombres serà sempre un quadrat perfecte.</div><div style="text-align: center;"><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhEBR4KGGfSQtQmqfqfP6FmGHv31y9xOvIstk4LIdyVXWi47WEOcDjX8iG_S05PUm171XAm_X-RuXG28bjXBhig0carUtR64UjtxzKebtaioxrUmBtQpCtcRYU6_ze_TH4TWbKK9RhmZQJGecZNGPGoAGKvwXukOAbu6dE21TiRX1xawdtlMeg2d1Ro6Q/s433/quaternes2.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="410" data-original-width="433" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhEBR4KGGfSQtQmqfqfP6FmGHv31y9xOvIstk4LIdyVXWi47WEOcDjX8iG_S05PUm171XAm_X-RuXG28bjXBhig0carUtR64UjtxzKebtaioxrUmBtQpCtcRYU6_ze_TH4TWbKK9RhmZQJGecZNGPGoAGKvwXukOAbu6dE21TiRX1xawdtlMeg2d1Ro6Q/s16000/quaternes2.png" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">4+8+8+16 = 36 = 6<sup>2</sup><br />36+60+60+100 =256 = 14<sup>2</sup></td></tr></tbody></table><div style="text-align: center;"><br /></div><div style="text-align: left;">Per justificar aquesta nova propietat, en Daniel Ruiz (<a href="https://twitter.com/druizaguilera?lang=ca" target="_blank">@druizaguilera</a>), de Mallorca, em va donar la idea d'utilitzar la versió de la taula pitagòrica que fa visualitzar també les àrees de cada producte. Encara que, en certa manera i pel redimensionament de les caselles de la taula, perdem el quadrat original, que es "rectangularitza", podem fer una demostració visual "ad hoc" ben bonica.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiUp6deZt1DTcuiT9j88KHn8qSJBTEchrKMRqM5RfzdE8SbmQFXzEK1K4EoBf9mZumhYhTq0ZXE2zOSGL-wZA1VGT5A50cGjSGMfNBV_cwiBgbRaqki6nIlTFRfKPRr0Wxjwt7ityXRdXARoqiKEHeypm3lhFzuOjjMJiVIZODE1HKe9xjATBxjUVt5sg/s957/quadrat%20diagonal.gif" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="718" data-original-width="957" height="480" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiUp6deZt1DTcuiT9j88KHn8qSJBTEchrKMRqM5RfzdE8SbmQFXzEK1K4EoBf9mZumhYhTq0ZXE2zOSGL-wZA1VGT5A50cGjSGMfNBV_cwiBgbRaqki6nIlTFRfKPRr0Wxjwt7ityXRdXARoqiKEHeypm3lhFzuOjjMJiVIZODE1HKe9xjATBxjUVt5sg/w640-h480/quadrat%20diagonal.gif" width="640" /></a></div><br /><div style="text-align: left;">No és gens difícil veure que el resultat final és el quadrat de la suma dels dos factors diferents que marquen les columnes i les files. En el cas de la imatge els factors són 6 i 8 el quadrat obtingut és (6+8)<sup>2</sup>=14<sup>2</sup>. De fet, no es reconeix la demostració geomètrica del quadrat del binomi?</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgRl_0O9pCVhNDDpMLdexXDJKzkgHSpB74POCgIOs5J77kt2_qtJmlUpD3yclJcqyHGdnQyMman_P_r8iPpVilauain4zk_xmyMC73TF5jvzU2V0W8qFGj-eJbsn3ES4tethFriDCo-6fllJ9x0vUB2_wwkc3G-AN7ggscSM4ArzrYHuOYPUpdHcDUd5A/s232/qyadrat%20binomi.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="232" data-original-width="205" height="232" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgRl_0O9pCVhNDDpMLdexXDJKzkgHSpB74POCgIOs5J77kt2_qtJmlUpD3yclJcqyHGdnQyMman_P_r8iPpVilauain4zk_xmyMC73TF5jvzU2V0W8qFGj-eJbsn3ES4tethFriDCo-6fllJ9x0vUB2_wwkc3G-AN7ggscSM4ArzrYHuOYPUpdHcDUd5A/s1600/qyadrat%20binomi.png" width="205" /></a></div><div style="text-align: center;"><br /></div><div style="text-align: left;"><ul><li><b><span style="color: #990000;">Quadrats amb els costats paral·lels a les diagonals principals</span></b></li></ul>La relació entre les parelles de vèrtexs és semblant a la que havíem vist pels quadrats anteriors. La diferència és que ara el que és igual és la suma.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj53JZvCAKVMLPdGKvj07iNwKLJeuds4PgNVrdb08b6X4v5QKq7FHtqWf2ivHGO7bYWVT_QgdHDpjdHE2xs9faulOSCR7dqRZ75bYQz_QppXSCOI1E-sY44JBDC82dEfVGe95cVFikFcL1bmBfc8tjUSCtESoyUsCizHlCR6qxakYiXF2U1vf_zlhSK8A/s470/quadrat2exp1.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="470" data-original-width="434" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj53JZvCAKVMLPdGKvj07iNwKLJeuds4PgNVrdb08b6X4v5QKq7FHtqWf2ivHGO7bYWVT_QgdHDpjdHE2xs9faulOSCR7dqRZ75bYQz_QppXSCOI1E-sY44JBDC82dEfVGe95cVFikFcL1bmBfc8tjUSCtESoyUsCizHlCR6qxakYiXF2U1vf_zlhSK8A/s16000/quadrat2exp1.png" /></a></div><br /><div style="text-align: left;">Com abans, és una bona idea recórrer a la representació de la taula amb àrees per demostrar-ho. En aquesta animació fem un "mix": triem els nombres a una taula "normal", però sí que dibuixem els rectangles relacionats.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjs-yodDeDZ5t_gpg-Qz72SzfwfXEE0zp_MhBCr4lSz89mthp4P734geDt2HHNETezvoO0lu6w4l-HPsVB5O8FusEIzKrPO7yOj7HxYFFkALmBJMJFsr-2wnXceSoiU89NhnVTzaei4abuB8gkvGdKPwWaEkoyHwzNWvK-aJtf91YyUX5Veacy73ad8gQ/s873/quadrat%20sumes.gif" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="507" data-original-width="873" height="372" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjs-yodDeDZ5t_gpg-Qz72SzfwfXEE0zp_MhBCr4lSz89mthp4P734geDt2HHNETezvoO0lu6w4l-HPsVB5O8FusEIzKrPO7yOj7HxYFFkALmBJMJFsr-2wnXceSoiU89NhnVTzaei4abuB8gkvGdKPwWaEkoyHwzNWvK-aJtf91YyUX5Veacy73ad8gQ/w640-h372/quadrat%20sumes.gif" width="640" /></a></div><ul><li><b><span style="color: #990000;">Suma dels nombres dels angles rectes de la taula (gnòmons)</span></b></li></ul>No és difícil veure que les diferents sumes van formant els cubs dels nombres naturals. La suma del gnòmon <i>n</i> és <i>n</i><sup>3</sup>.</div><div><br /></div><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiJYQMZ1sd1xAr6tz7BXDc5q5bfuYtXcgAiq97Fv8dTR4Fn9u7Mi8IAxlVnyCffXdUTEPGYAtvQNFR7AEMwwmFWgjimVal67iyZUKCAjz7BpF3nY3TphWa9c7zUKaHA74E8dU5qEw1CIFNUfETJkVYtu-Ix0mcMNLJBe3Wpo6SelRwqEG7_fAVs0YDVfg/s437/gnomons2.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="408" data-original-width="437" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiJYQMZ1sd1xAr6tz7BXDc5q5bfuYtXcgAiq97Fv8dTR4Fn9u7Mi8IAxlVnyCffXdUTEPGYAtvQNFR7AEMwwmFWgjimVal67iyZUKCAjz7BpF3nY3TphWa9c7zUKaHA74E8dU5qEw1CIFNUfETJkVYtu-Ix0mcMNLJBe3Wpo6SelRwqEG7_fAVs0YDVfg/s16000/gnomons2.png" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">No és difícil comprovar algun cas amb materials com multilink. A la imatge teniu el cas de la suma del tercer gnòmon 3+6+9+6+3=27=3<sup>3</sup>.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhA_qLVmxQf2ZIf9sJ3nQWpcAB_CmK8erSFTgEblFs71HcZFjIgKYpskCa8KIk7TECyrLtesKAUWAaci5FZqKQiS9H1qlkdGqoB6WjSxY5OAZmOD2wwipKiNiKIANT7o49r7UQrxDf24p4D8mFyqZbd3uYroPGhlBl50LbIDqnAK5i7FDLyWpj0LDOHuQ/s397/suma%20cubs.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="378" data-original-width="397" height="305" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhA_qLVmxQf2ZIf9sJ3nQWpcAB_CmK8erSFTgEblFs71HcZFjIgKYpskCa8KIk7TECyrLtesKAUWAaci5FZqKQiS9H1qlkdGqoB6WjSxY5OAZmOD2wwipKiNiKIANT7o49r7UQrxDf24p4D8mFyqZbd3uYroPGhlBl50LbIDqnAK5i7FDLyWpj0LDOHuQ/s320/suma%20cubs.png" width="320" /></a></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><ul><li><b><span style="color: #990000;">Suma dels nombres de les diagonals consecutives</span></b></li></ul>Observem primer quina sèrie obtenim.</div><div><br /></div><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgX0J4ORQLTasHe0cTGa4YdbYDVNpkZWLrtAapg56iNuRXco9rnz8-jUzfVx8wTy1TlHDEvNVq3senq3lVHdGPlHVXJ-MOvRohy0MJiyltlIIekKk9Na4HO0DCzPmtn2u-Tx5VpmYF5YD5LZl98q_vd4HDUV47cTrwGN-MsTlztpeZhK_TASOCQIMOE4g/s428/suna%20diagonals.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="425" data-original-width="428" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgX0J4ORQLTasHe0cTGa4YdbYDVNpkZWLrtAapg56iNuRXco9rnz8-jUzfVx8wTy1TlHDEvNVq3senq3lVHdGPlHVXJ-MOvRohy0MJiyltlIIekKk9Na4HO0DCzPmtn2u-Tx5VpmYF5YD5LZl98q_vd4HDUV47cTrwGN-MsTlztpeZhK_TASOCQIMOE4g/s16000/suna%20diagonals.png" /></a></div><br /><div style="text-align: left;">Per a fer-nos una primera idea de la regularitat d'una sèrie, un bon sistema és observar les diferències successives entre cada parell d'elements de la sèrie.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgClTySqtZok3SP6JN2gMqWbH2PCHsmGSCc1O2571CEgimuQ1d9pyK6SqkAAIL9wMCuRmVrQ8uXoIw1tMRTUfxsO25S7axiWXUm5FaaGAowVHZjX0VKfXlTak0kCJAOhx4Mqt5x_XqbZUm1f4vSbxWZzpJXFteQgTk86xPzI7OTtQUa5BJ7HGlE_sOwaA/s386/serie%20primera%20dif.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="386" data-original-width="166" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgClTySqtZok3SP6JN2gMqWbH2PCHsmGSCc1O2571CEgimuQ1d9pyK6SqkAAIL9wMCuRmVrQ8uXoIw1tMRTUfxsO25S7axiWXUm5FaaGAowVHZjX0VKfXlTak0kCJAOhx4Mqt5x_XqbZUm1f4vSbxWZzpJXFteQgTk86xPzI7OTtQUa5BJ7HGlE_sOwaA/s16000/serie%20primera%20dif.png" /></a></div><br /><div style="text-align: left;">És probable que uns ulls experimentats hagin reconegut la sèrie 3, 6, 10, 15, 21, 28... Són, efectivament, els <a href="https://xeix.org/Centre-Aprenentatge-Cientificomatematic/recursos/pinzellades-de-cultura-matematica/article/el-nombres-triangulars" target="_blank">nombres triangulars</a>. Però, en cas de no haver-la identificat, podem continuar cercant regularitats afegint columnes amb segones diferències, terceres... fins que trobem que la sèrie s'estabilitza (si és que ho fa, clar). En cas de voler buscar la fórmula la quantitat de diferències ens dona una pista del seu grau. En el nostre cas ho fa en la tercera diferència.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj8Xo-kMwGUpiSh5ikSnt1igPnD_E3ykqZETOu_t5rQFqJ4HBiD-aWSNNGeoqHRSXdFnXaiKEejHWo0G9X_4JTN3QTSyovJIitRWFV8cxzwDz4U1FauAmo1LmLoXJ1buBJqCD03yoXZMbTRL7xMZpun7A3fdNvJECfX5xZP-rLfJOqv60u40-U2lxMyEg/s405/serie%202%203%20dif.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="405" data-original-width="314" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj8Xo-kMwGUpiSh5ikSnt1igPnD_E3ykqZETOu_t5rQFqJ4HBiD-aWSNNGeoqHRSXdFnXaiKEejHWo0G9X_4JTN3QTSyovJIitRWFV8cxzwDz4U1FauAmo1LmLoXJ1buBJqCD03yoXZMbTRL7xMZpun7A3fdNvJECfX5xZP-rLfJOqv60u40-U2lxMyEg/s16000/serie%202%203%20dif.png" /></a></div><br /><div style="text-align: left;">Si bé no és fàcil deduir una fórmula general, no ho és tant continuar la taula a partir dels patrons obsercats. Aquesta possibilitat està a l'abast de la gran majoria del nostre alumnat.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;">La fórmula general és:</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhHyFfF4WEAiLl1sd3i097ST4kNlbHt0ePOR7h0OZi794ExtBIuvoVPwMEhgWrM_gJqKJaBWqkvHgFx3HWO1Ql3JK8ceZSt_2f3hH4copApvV5dh3TMOQ2b5T3TNcmWdpPofpkEn0SuBd2YiPFruSlgnzjmh2Mom18z9__fzElE-hROIMff3ASvuilgeA/s239/formula%20tetra.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="84" data-original-width="239" height="84" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhHyFfF4WEAiLl1sd3i097ST4kNlbHt0ePOR7h0OZi794ExtBIuvoVPwMEhgWrM_gJqKJaBWqkvHgFx3HWO1Ql3JK8ceZSt_2f3hH4copApvV5dh3TMOQ2b5T3TNcmWdpPofpkEn0SuBd2YiPFruSlgnzjmh2Mom18z9__fzElE-hROIMff3ASvuilgeA/s1600/formula%20tetra.png" width="239" /></a></div><br /><div style="text-align: left;">També ulls experimentats poden haver reconegut la sèrie de sumes inicial, o la fórmula mostrada ara, com la dels <a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Nombre_tetra%C3%A8dric" target="_blank">nombres tetraèdrics</a>.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: center;"><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiOUxa5r_h2oj-BLR5rsWSlxf4Y1tARcj9e922aIgU-he7stjfhtPjU9wR1Wek4gzH2CLLBhQSb_sHcNI5DbzFfnXcbW9yRozTrApOfcTkrWzKw3B59Qztt-RK5-mABd2JTJkIPv5Cmr842asOhXDlZEFGrNka3OJTwsLTCHrSo34LZIDsolPz142tycA/s644/nombres%20tetraedrics.gif" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="201" data-original-width="644" height="125" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiOUxa5r_h2oj-BLR5rsWSlxf4Y1tARcj9e922aIgU-he7stjfhtPjU9wR1Wek4gzH2CLLBhQSb_sHcNI5DbzFfnXcbW9yRozTrApOfcTkrWzKw3B59Qztt-RK5-mABd2JTJkIPv5Cmr842asOhXDlZEFGrNka3OJTwsLTCHrSo34LZIDsolPz142tycA/w400-h125/nombres%20tetraedrics.gif" width="400" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Nombres tetraèdrics (Imatge de <a href="https://mathigon.org/course/sequences/figurate" target="_blank">Mathigon-Figurate numbers</a>)</td></tr></tbody></table></div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #660000; font-size: medium;">I a l'aula?</span></b><br /></div><div style="text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li>Hi ha una primera proposta clara: promoure la cerca de patrons. Segons l'edat donarem més pistes o menys. També, segons l'edat demanarem argumentacions, o no, del perquè de cada relació. També podem estar atents a altres preguntes que poden sorgir a l'aula: sobre màxims i mínims, sobre fer un estudi similar a una taula additiva, subtractiva...</li><li>Si per a algun curs superior esteu interessats en presentar les demostracions de les dues darreres sèries us recomanem adreçar-vos al llibre. Partint de la propietat de que els gnòmons sumen cubs, es demostra quina és la fórmula de la suma dels cubs d'<i>n </i>nombres consecutius. La demostració de les sumes de les diagonals és un bonic exemple de demostració per inducció.</li><li>A la suma de diagonals apareixen els nombres triangulars i els tetraèdrics. Sobre nombres triangulars trobareu tres articles més en aquest blog: <i><a href="http://calaix2.blogspot.com/search?q=nombres+triangulars#:~:text=d%E2%80%99abril%20de%202014-,Triangles%20d%27or,-Amb%20aquest%20t%C3%ADtol" target="_blank">Triangles d'or</a>, <a href="http://calaix2.blogspot.com/2018/11/fem-nos-preguntes-sobre-la-persistencia.html" target="_blank">Fem-nos preguntes sobre la "persistència multiplicativa"</a>,</i> on també hi surten els tetraèdrics<i>, </i>i <i><a href="http://calaix2.blogspot.com/2022/12/el-problema-del-testament-del-nabab-i.html" target="_blank">El problema del testament del Nabab i la "resolució per síntesi"</a></i>.</li></ul><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://3.bp.blogspot.com/-eKD-Don5nbw/W-x1Oc3hR8I/AAAAAAAADyE/e5wMShb-n9sNeVhhimBxfLjwiCqzNfGkgCLcBGAs/s492/pascal.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="213" data-original-width="492" src="https://3.bp.blogspot.com/-eKD-Don5nbw/W-x1Oc3hR8I/AAAAAAAADyE/e5wMShb-n9sNeVhhimBxfLjwiCqzNfGkgCLcBGAs/s16000/pascal.png" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Nombres triangulars (3a diagonal ) i tetraèdrics (4a diagonal) del Triangle de Pascal</td></tr></tbody></table><div style="text-align: center;"><br /></div><ul style="text-align: left;"><li>També al Blog del PuntMat, a l'article <i><a href="http://puntmat.blogspot.com/2012/11/nombres-amb-forma-iii.html" target="_blank">Nombres amb forma (III)</a></i>, hi ha una proposta didàctica on apareixen tots dos tipus de nombres. Com no, al web NRICH (<i><a href="https://nrich.maths.org/5525" target="_blank">Triangle Numbers</a></i>) ens proposen, entre altres activitats, un bonic patró amb els nombres triangulars sobre la taula pitagòrica.</li></ul><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjJtD8aty-2_vqbFkoIcS2ZsORYhiLPaObfG36mAou8u1_1NiK7fwBylDyH6hSGFWgVD585KGrUZ86PFJ2sfzHFVfw5e-T63wGT-T_e3ht6c4HoRdaDmiiGSDjdn50BPWOFc1KMfowS1tGQwQX0_CPubhXwAEoVfwi6hgjp9e1F9Xh62G-vlLm7j20Q1A/s638/triangle%20numbers.gif" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="638" data-original-width="614" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjJtD8aty-2_vqbFkoIcS2ZsORYhiLPaObfG36mAou8u1_1NiK7fwBylDyH6hSGFWgVD585KGrUZ86PFJ2sfzHFVfw5e-T63wGT-T_e3ht6c4HoRdaDmiiGSDjdn50BPWOFc1KMfowS1tGQwQX0_CPubhXwAEoVfwi6hgjp9e1F9Xh62G-vlLm7j20Q1A/w385-h400/triangle%20numbers.gif" width="385" /></a></div></div></div>Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7448640108700542412.post-10586017006459696252023-03-27T20:29:00.005+02:002023-04-02T11:28:04.740+02:00Sextines i nombres de Queneuau<p>Sovint, encara que sembli contradictori, posar restriccions estimula la creativitat. Pensem, per exemple, en els grans descobriments de la geometria grega nascuts de la restricció de l'ús exclusiu del regle i el compàs. I, en un terreny ben diferent, en la imaginació posada en cinema, escriptura o música per esquiva la fèrria censura durant l'època franquista o de la primera transició. En aquest article parlarem d'una forma de poesia, basada en un joc combinatori i que, convenientment adaptat, ens pot servir per a preparar alguna activitat a l'aula que connectin llengua i matemàtiques. Ens pot servir, per exemple, per a una proposta per a Sant Jordi. La forma de poema més convencional, dels poemes que estudiarem. és la <i>sextina</i>, però que podrem convertir, en <i>tercina</i>, <i>cinquina</i>... o el que ens convingui.</p><p></p><ul style="text-align: left;"><li><b><span style="color: #660000;">La sextina</span></b></li></ul>Segons moltes fonts, l'inventor de la <i>sextina</i> és el trobador occità del segleXII <a href="Arnaut Daniel" target="_blank">Arnaut Daniel</a>. Aquesta forma poètica ha arribat fins als nostres dies perquè l'han adoptat altres poetes antics, com <a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Dante_Alighieri" target="_blank">Dante</a>, <a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Francesco_Petrarca" target="_blank">Petrarca</a>, <a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Lu%C3%ADs_de_Cam%C3%B5es" target="_blank">Camões</a> o <a href="https:// estres.wikipedia.org/wiki/Fernando_de_Herrera" target="_blank">Fernando de Herrera</a>, i més recents com <a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Rudyard_Kipling" target="_blank">Kipling</a>, <a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Ezra_Pound" target="_blank">Ezra Pound</a>, <a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Jaime_Gil_de_Biedma" target="_blank">Gil de Biedma</a>... A Catalunya s'hi van dedicar, especialment, <a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Joan_Brossa_i_Cuervo" target="_blank">Joan Brossa</a> i <a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Maria_Merc%C3%A8_Mar%C3%A7al_i_Serra" target="_blank">Maria Mercè Marçal</a>, que van escriure llibres sencers amb aquesta forma.<div><br /></div><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgiG57xIGb71tiOBlmN_FnhX42T4g1ifKx56YhdseLUzdgyn2Rq4H2lgmdrKg8mEOD_rqmITJm0lPuYJgLppeVq18P_bQmyPWnwGvURR-3suscqGrJCaXYlDlAJSya66FVRNOAcX7HAtd7PQOWu3vrmhbXVitsiJAx9mzH0TMl1WamiqHmd1Od_Ipv3Ew/s691/brossa_sextines.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="500" data-original-width="691" height="232" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgiG57xIGb71tiOBlmN_FnhX42T4g1ifKx56YhdseLUzdgyn2Rq4H2lgmdrKg8mEOD_rqmITJm0lPuYJgLppeVq18P_bQmyPWnwGvURR-3suscqGrJCaXYlDlAJSya66FVRNOAcX7HAtd7PQOWu3vrmhbXVitsiJAx9mzH0TMl1WamiqHmd1Od_Ipv3Ew/s320/brossa_sextines.jpg" width="320" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgbY3MqBNPY3cBDJFCYXOK72hzEJEaHRUnTXt35rAcRXH274z4rcyy4XStfDe92zI5RPUZS9w_1ljfqwxE1taU_T9buNB0Qg4E_Ce80swFgE1A6-3EnNM7DapzxHOkV2--Mhfl1CFqxU_CstGh9LVxkPk51-Ffe6tGr9qh0LIppusc9HP0Mzw5wsCmDAg/s320/Mar%C3%A7al%20(1).png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="250" data-original-width="320" height="250" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgbY3MqBNPY3cBDJFCYXOK72hzEJEaHRUnTXt35rAcRXH274z4rcyy4XStfDe92zI5RPUZS9w_1ljfqwxE1taU_T9buNB0Qg4E_Ce80swFgE1A6-3EnNM7DapzxHOkV2--Mhfl1CFqxU_CstGh9LVxkPk51-Ffe6tGr9qh0LIppusc9HP0Mzw5wsCmDAg/s1600/Mar%C3%A7al%20(1).png" width="320" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><p></p><div>Una <i>sextina </i>estricta és un poema de 36 o 39 versos i, normalment, d'onze síl·labes. Els 36 primers versos s'organitzen en sis estrofes de sis versos cadascuna. Opcionalment, es pot afegir una tornada de tres versos finals (que farien els 39). L'interès matemàtic està les regles combinatòries que s'utilitzen en la seva construcció.</div></div><div><br /></div><div>Mirem un exemple: La primera estrofa de la <i>Sextina reivindicativa</i>, de Maria Mercè Marçal ("Terra de mai" dins de "La germana, l'estrangera"), on marquem en negreta les paraules que seran la clau del poema: les "paraules-rima":</div><div style="text-align: center;"><br /></div><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px; text-align: left;"><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px; text-align: left;"><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px; text-align: left;"><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px; text-align: left;"><div style="text-align: center;"><div style="text-align: left;">Amor, ja que m'has dit que et digui <b>què</b></div></div></blockquote></blockquote></blockquote><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px; text-align: left;"><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px; text-align: left;"><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px; text-align: left;"><div style="text-align: center;"><div style="text-align: left;">vull, t'ho diré ben clar: contra l'<b>horari</b>,</div></div></blockquote></blockquote></blockquote><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px; text-align: left;"><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px; text-align: left;"><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px; text-align: left;"><div style="text-align: center;"><div style="text-align: left;">el meu desig reivindica el <b>lleure</b></div></div></blockquote></blockquote></blockquote><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px; text-align: left;"><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px; text-align: left;"><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px; text-align: left;"><div style="text-align: center;"><div style="text-align: left;">total, i tu i el teu desig per <b>paga</b>,</div></div></blockquote></blockquote></blockquote><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px; text-align: left;"><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px; text-align: left;"><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px; text-align: left;"><div style="text-align: center;"><div style="text-align: left;">pujar parets d'amor pet tot <b>ofici</b></div></div></blockquote></blockquote></blockquote><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px; text-align: left;"><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px; text-align: left;"><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px; text-align: left;"><div style="text-align: center;"><div style="text-align: left;">i pintar de diumenge la <b>setmana</b>.</div></div></blockquote></blockquote></blockquote></blockquote><p>Aquestes paraules-rima tornen a aparèixer a la segona estrofa, però en un altre ordre:</p><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px; text-align: left;"><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px; text-align: left;"><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px; text-align: left;"><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px; text-align: left;"><p>Ja ho sé! Tot no pot ser caps de <b>setmana</b><br />
i postes de sol. Sí, ja ho sé. I <b>què</b>!<br />
Deixa'm clamar, adolescent d'<b>ofici</b>,<br />
per la mort violenta de l'<b>horari</b><br />
per mà d'amor. El meu desig, cap <b>paga</b><br />
no vol, si posa duanes al <b>lleure</b>.</p></blockquote></blockquote></blockquote></blockquote><p>A la resta d'estrofes tornaran a repetir-se, però de forma que no cauran mai al mateix vers. Per exemple, <b>lleure</b> la trobem al 3r vers, a la 1a estrofa, i al 6è, a la segona. En les següents estrofes sortirà en el 1r, el 2n, el 4t i el 5è vers.</p><p>El poema es tanca amb una tornada en què les paraules-rima s'ordenen com a la primera estrofa, posant-ne dos per vers.</p><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><p style="text-align: left;">amor, per <b>què</b> ens escapça el vol l'<b>horari</b>,<br />
confina el <b>lleure</b> i, per ben poca <b>paga</b>,<br />
amo d'<b>ofici</b>, ens roba la <b>setmana</b>?</p></blockquote></blockquote></blockquote></blockquote><p>Podeu llegir tota la sextina, i tres més, en aquest <a href="pot ser interessant">enllaç</a>.</p><p>L'esquema general de distribució de les paraules-rima és la següent:</p><div align="center">
<table border="1" bordercolorlight="#000000" style="border-collapse: collapse; width: 350px;">
<tbody><tr>
<td align="center" bgcolor="#9F9F00">
Estrofa</td>
<td align="center" bgcolor="#9F9F00"> </td>
<td align="center" bgcolor="#9F9F00"> </td>
<td align="center" bgcolor="#9F9F00"> </td>
<td align="center" bgcolor="#9F9F00"> </td>
<td align="center" bgcolor="#9F9F00"> </td>
<td align="center" bgcolor="#9F9F00"> </td>
</tr>
<tr>
<td align="center">1a</td>
<td align="center">1</td>
<td align="center">2</td>
<td align="center">3</td>
<td align="center">4</td>
<td align="center">5</td>
<td align="center">6</td>
</tr>
<tr>
<td align="center">2a</td>
<td align="center">6</td>
<td align="center">1</td>
<td align="center">5</td>
<td align="center">2</td>
<td align="center">4</td>
<td align="center">3</td>
</tr>
<tr>
<td align="center">3a</td>
<td align="center">3</td>
<td align="center">6</td>
<td align="center">4</td>
<td align="center">1</td>
<td align="center">2</td>
<td align="center">5</td>
</tr>
<tr>
<td align="center">4a</td>
<td align="center">5</td>
<td align="center">3</td>
<td align="center">2</td>
<td align="center">6</td>
<td align="center">1</td>
<td align="center">4</td>
</tr>
<tr>
<td align="center">5a</td>
<td align="center">4</td>
<td align="center">5</td>
<td align="center">1</td>
<td align="center">3</td>
<td align="center">6</td>
<td align="center">2</td>
</tr>
<tr>
<td align="center">6a</td>
<td align="center">2</td>
<td align="center">4</td>
<td align="center">6</td>
<td align="center">5</td>
<td align="center">3</td>
<td align="center">1</td>
</tr>
</tbody></table></div><p> Podem observar un perfecte <a href="http://calaix2.blogspot.com/2013/11/quadrats-greco-llatins-un-joc-util.html" target="_blank">quadrat llatí</a>, en què no es repeteix cap paraula a cap fila ni a cap columna.</p><p>Hem aplicat a les paraules-rima un mètode de permutació que fa que cada mot vagi a parar a un vers diferent cada vegada. Però, si l'estudiem, veurem, a més, que per la seva forma de construcció, en una permutació més tornaria a l'ordre original. Podem descriure cada permutació com llegir les paraules-rima ordenadament sobre una espiral. La següent animació ens permet veure el model de permutació.</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgznOtZ5bLa4QE-6AvB5MCcQR0uQL4HFwWb9T_Hv5H0p0k3PAbW9tJVu9_NBCKqdqeZ8mo1MKfqaXc6uLwNjA4PAjouaeyf1RMtZIKFPsDFjKse-KpZSu2uc-hk6b7Po9mSYhmDlwbx7YwTwOW35-odzIiBmh-d8Ym69iEQZmH7ic5MtgHa0S1c3_X_EQ/s660/sextina.gif" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="660" data-original-width="378" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgznOtZ5bLa4QE-6AvB5MCcQR0uQL4HFwWb9T_Hv5H0p0k3PAbW9tJVu9_NBCKqdqeZ8mo1MKfqaXc6uLwNjA4PAjouaeyf1RMtZIKFPsDFjKse-KpZSu2uc-hk6b7Po9mSYhmDlwbx7YwTwOW35-odzIiBmh-d8Ym69iEQZmH7ic5MtgHa0S1c3_X_EQ/s16000/sextina.gif" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">És l'única forma de permutació que, en un cicle de sis moviments, les sis paraules tornen a quedar com al principi? Evidentment que no. Però l'estètica d'aquesta, basada en els desplaçaments sobre una espiral, és prou interessant. Per exemple, ens podem demanar si hi ha altres nombres, a banda del 6, amb <i>n</i> elements i que en <i>n</i> permutacions completi un cicle que el deixi com al principi?</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><h2 style="clear: both; text-align: left;"><b><span style="color: #990000;">Ho estudiem?<span><a name='more'></a></span></span></b></h2><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Cal dir que el primer que es va fer aquesta pregunta va ser l'escriptor francès Raymond Queneau, fundador del grup <a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Oulipo" target="_blank">Oulipo</a>. En honor seu els nombres que permeten aquest tipus de permutació es diuen <i>nombres de Queneau</i>.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">No té gaire sentit estudiar els casos de l'1 i el 2. Per tant, començarem pel 3. També ens saltarem el 6, que ja hem analitzat. Cada línia horitzontal ens mostra en quin l'ordre en què han d'aparèixer les paraules-rima en cadascuna de les successives estrofes.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li><b><span style="color: #660000;">Estudi del 3</span></b></li></ul>Aquest és un "nombre de Quenau". Per tant, podrem fer un tipus de poema de tres estrofes, amb tres versos cadascuna i amb tres paraules-rima. Si féssim una permutació més obtindríem 1-2-3 de nou. Podem inventar-nos el nom d'aquesta forma poètica: "tercina".</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgO-aYCK5G3hTz4O_uuhgMvLPWdRBVrqaAXkQUu9egMAIoC3sFC0gg40nvJjhcMz2eXmZyOAlMj1ps9QMf1FBrhkOrBBxshYE2BYLGj1uOzm__AdMpgR_HqBEBjNjh6Fo2qmFDf1Cxf1xFEkLNVsX34rtC_1cfhjoavWkHDP8emIV_u2ThKUz14o6FHwQ/s316/estudi%203.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="128" data-original-width="316" height="128" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgO-aYCK5G3hTz4O_uuhgMvLPWdRBVrqaAXkQUu9egMAIoC3sFC0gg40nvJjhcMz2eXmZyOAlMj1ps9QMf1FBrhkOrBBxshYE2BYLGj1uOzm__AdMpgR_HqBEBjNjh6Fo2qmFDf1Cxf1xFEkLNVsX34rtC_1cfhjoavWkHDP8emIV_u2ThKUz14o6FHwQ/s1600/estudi%203.png" width="316" /></a></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li><b><span style="color: #660000;">Estudi del 4</span></b></li></ul>Fàcilment, podem veure que el quatre no ens serveix per a aquesta forma poètica. No tindrem "quartines", ja que el cicle no és de quatre, sinó de tres permutacions.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiLoLnqOPnOCY0LY1Jw_VVdwscHMWgTbQHbBcrU2X5UxcpJUourFcgq93_6gxJ12P6LXvLfmsywXiiPlskHvpuqtPrab5YkOZPe6UwmijKHCAxwtbTS5uZ5-gLaJdyQyRdHnnZJvqhKT0wC_vNoJg6qUnUFVkxn8u9I_r4DBupdO1l96xComwUSQr-aPA/s403/estudi%204.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="178" data-original-width="403" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiLoLnqOPnOCY0LY1Jw_VVdwscHMWgTbQHbBcrU2X5UxcpJUourFcgq93_6gxJ12P6LXvLfmsywXiiPlskHvpuqtPrab5YkOZPe6UwmijKHCAxwtbTS5uZ5-gLaJdyQyRdHnnZJvqhKT0wC_vNoJg6qUnUFVkxn8u9I_r4DBupdO1l96xComwUSQr-aPA/s16000/estudi%204.png" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Si recordem que amb la permutació de sis obteníem un <i>quadrat llatí</i>, sense repeticions a files i columnes, mentre es va construint ja es pot intuir que no anem per bon camí: el tres roman invariable en el seu lloc.</div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><ul><li><b><span style="color: #660000;">Estudi del 5</span></b></li></ul>Sí que tindrem "quintines".</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg9uEWXkshJMns0yKPMQiJll4z4Mie2INk9vTEN2XAse-WYorJy9qZQBeyuMBuhubwCvErjsUJoWetbdJcc1sDVz7L5TXTdiBfd3deVtzK9YTqn-txmQPeq8hMyMwR8sjllx3G5w6khGRod1xjdxgx5PcVbpLGvi34sE-HUpHANth5v7sHg_4e_P2VToQ/s471/estudi5.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="236" data-original-width="471" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg9uEWXkshJMns0yKPMQiJll4z4Mie2INk9vTEN2XAse-WYorJy9qZQBeyuMBuhubwCvErjsUJoWetbdJcc1sDVz7L5TXTdiBfd3deVtzK9YTqn-txmQPeq8hMyMwR8sjllx3G5w6khGRod1xjdxgx5PcVbpLGvi34sE-HUpHANth5v7sHg_4e_P2VToQ/s16000/estudi5.png" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><ul><li><b><span style="color: #660000;">Estudi del 7</span></b></li></ul>A partir d'ara ho representarem amb taules. Veurem que el set no permet fet "septines". A la 5a permutació recuperem l'ordre original. També podem observar que la 5a paraula-rima no canvia mai de lloc, que la 3a i la 6a es van alternant el vers en el 3r i el 5è. També hi ha un cicle de tres nombres (1, 7 i 4) en el 1r, el 2n i el 7è vers.<div><br /><div>
<div align="center">
<table border="1" bordercolorlight="#000000" style="border-collapse: collapse; width: 350px;">
<tbody><tr>
<td align="center" bgcolor="#9F9F00">
Estrofa</td>
<td align="center" bgcolor="#9F9F00"> </td>
<td align="center" bgcolor="#9F9F00"> </td>
<td align="center" bgcolor="#9F9F00"> </td>
<td align="center" bgcolor="#9F9F00"> </td>
<td align="center" bgcolor="#9F9F00"> </td>
<td align="center" bgcolor="#9F9F00"> </td>
<td align="center" bgcolor="#9F9F00"> </td>
</tr>
<tr>
<td align="center"><b>1a</b></td>
<td align="center"><b>1</b></td>
<td align="center"><b>2</b></td>
<td align="center"><span style="color: green;"><b>3</b></span></td>
<td align="center"><b>4</b></td>
<td align="center"><span style="color: red;"><b>5</b></span></td>
<td align="center"><span style="color: green;"><b>6</b></span></td>
<td align="center"><b>7</b></td>
</tr>
<tr>
<td align="center">2a</td>
<td align="center">7</td>
<td align="center">1</td>
<td align="center"><span style="color: green;">6</span></td>
<td align="center">2</td>
<td align="center"><span style="color: red;">5</span></td>
<td align="center"><span style="color: green;">3</span></td>
<td align="center">4</td>
</tr>
<tr>
<td align="center">3a</td>
<td align="center">4</td>
<td align="center">7</td>
<td align="center"><span style="color: green;">3</span></td>
<td align="center">1</td>
<td align="center"><span style="color: red;">5</span></td>
<td align="center"><span style="color: green;">6</span></td>
<td align="center">2</td>
</tr>
<tr>
<td align="center">4a</td>
<td align="center">2</td>
<td align="center">4</td>
<td align="center"><span style="color: green;">6</span></td>
<td align="center">7</td>
<td align="center"><span style="color: red;">5</span></td>
<td align="center"><span style="color: green;">3</span></td>
<td align="center">1</td>
</tr>
<tr>
<td align="center"><b>5a</b></td>
<td align="center"><b>1</b></td>
<td align="center"><b>2</b></td>
<td align="center"><span style="color: green;"><b>3</b></span></td>
<td align="center"><b>4</b></td>
<td align="center"><span style="color: red;"><b>5</b></span></td>
<td align="center"><span style="color: green;"><b>6</b></span></td>
<td align="center"><b>7</b></td>
</tr>
<tr>
<td align="center">6a</td>
<td align="center"> </td>
<td align="center"> </td>
<td align="center"> </td>
<td align="center"> </td>
<td align="center"> </td>
<td align="center"> </td>
<td align="center"> </td>
</tr>
<tr>
<td align="center">7a</td>
<td align="center"> </td>
<td align="center"> </td>
<td align="center"> </td>
<td align="center"> </td>
<td align="center"> </td>
<td align="center"> </td>
<td align="center"> </td>
</tr>
</tbody></table>
</div>
<p> </p><ul><li><b><span style="color: #660000;">Estudi del 8</span></b></li></ul>El vuit tampoc compleix els nostres requisits. A la cinquena estrofa es repeteix la primera distribució de paraules.</div><div><br /></div><div>
<div align="center">
<table border="1" bordercolorlight="#000000" style="border-collapse: collapse; width: 350px;">
<tbody><tr>
<td align="center" bgcolor="#9F9F00">
Estrofa</td>
<td align="center" bgcolor="#9F9F00"> </td>
<td align="center" bgcolor="#9F9F00"> </td>
<td align="center" bgcolor="#9F9F00"> </td>
<td align="center" bgcolor="#9F9F00"> </td>
<td align="center" bgcolor="#9F9F00"> </td>
<td align="center" bgcolor="#9F9F00"> </td>
<td align="center" bgcolor="#9F9F00"> </td>
<td align="center" bgcolor="#9F9F00"> </td>
</tr>
<tr>
<td align="center"><b>1a</b></td>
<td align="center"><b>1</b></td>
<td align="center"><b>2</b></td>
<td align="center"><b>3</b></td>
<td align="center"><b>4</b></td>
<td align="center"><b>5</b></td>
<td align="center"><b>6</b></td>
<td align="center"><b>7</b></td>
<td align="center"><b>8</b></td>
</tr>
<tr>
<td align="center">2a</td>
<td align="center">8</td>
<td align="center">1</td>
<td align="center">7</td>
<td align="center">2</td>
<td align="center">6</td>
<td align="center">3</td>
<td align="center">5</td>
<td align="center">4</td>
</tr>
<tr>
<td align="center">3a</td>
<td align="center">4</td>
<td align="center">8</td>
<td align="center">5</td>
<td align="center">1</td>
<td align="center">3</td>
<td align="center">7</td>
<td align="center">6</td>
<td align="center">2</td>
</tr>
<tr>
<td align="center">4a</td>
<td align="center">2</td>
<td align="center">4</td>
<td align="center">6</td>
<td align="center">8</td>
<td align="center">7</td>
<td align="center">5</td>
<td align="center">3</td>
<td align="center">1</td>
</tr>
<tr>
<td align="center"><b>5a</b></td>
<td align="center"><b>1</b></td>
<td align="center"><b>2</b></td>
<td align="center"><b>3</b></td>
<td align="center"><b>4</b></td>
<td align="center"><b>5</b></td>
<td align="center"><b>6</b></td>
<td align="center"><b>7</b></td>
<td align="center"><b>8</b></td>
</tr>
<tr>
<td align="center">6a</td>
<td align="center"> </td>
<td align="center"> </td>
<td align="center"> </td>
<td align="center"> </td>
<td align="center"> </td>
<td align="center"> </td>
<td align="center"> </td>
<td align="center"> </td>
</tr>
<tr>
<td align="center">7a</td>
<td align="center"> </td>
<td align="center"> </td>
<td align="center"> </td>
<td align="center"> </td>
<td align="center"> </td>
<td align="center"> </td>
<td align="center"> </td>
<td align="center"> </td>
</tr>
<tr>
<td align="center">8a</td>
<td align="center"> </td>
<td align="center"> </td>
<td align="center"> </td>
<td align="center"> </td>
<td align="center"> </td>
<td align="center"> </td>
<td align="center"> </td>
<td align="center"> </td>
</tr>
</tbody></table>
</div>
<p></p><ul style="text-align: left;"><li> <b><span style="color: #660000;">Més nombres: la sèrie de nombres de Queneau</span></b></li></ul>Si continuem l'estudi, per exemple fins a 15, descobrirem els primers nombres que formen la sèrie dels <i>nombres de Queneau</i>.<p></p><p style="text-align: center;">1, 2, 3, 5, 6, 9, 11, 14</p><p style="text-align: left;">Si la busquem a l'OEIS (L'enciclopèdia electrònica de les sèries de nombres enters) ens apareixerà com la sèrie <a href="https://oeis.org/A054639" target="_blank">A054639</a>. Ens la defineix com a "Nombres de Queneau: nombres <i>n</i> tals que la permutació de Queneau-Daniel {1, 2, 3, ..., n} -> {n, 1, n-1, 2, n-2, 3, ...} és d'ordre <i>n</i>." Els primers termes són:</p><p style="text-align: center;">1, 2, 3, 5, 6, 9, 11, 14, 18, 23, 26, 29, 30, 33, 35, 39, 41, 50, 51, 53, 65, 69, 74, 81, 83, 86, 89, 90, 95, 98, 99, 105, 113, 119, 131, 134, 135, 146, 155, 158, 173, 174, 179, 183, 186, 91, 91, 91, 91, 91, 91 221, 230, 231, 233, 239...</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">És difícil veure el patró. Si voleu saber les característiques completes d'un nombre de Queneau podeu llegir l'article de Marta Macho al <a href="https://culturacientifica.com/2013/08/07/los-numeros-de-queneau/" target="_blank">Quadern de Cultura Científica</a>. La demostració completa de les seves propietats les trobareu a l'article "<a href="https://mathinfo.unistra.fr/websites/math-info/irem/Publications/L_Ouvert/n118/o_118_19-37.pdf" target="_blank">Entre mathématiques et littérature: les nombres de Queneau</a>" de Vanessa Vallet.<br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li><b><span style="color: #660000;">Una característica necessària, però no suficient.</span></b></li></ul>Hi ha una relació, no gaire difícil de descobrir, entre els nombres de Queneau i els nombres primers. Si <i>n</i> és un nombre de Queneau, 2<i>n</i>+1 serà un nombre primer. La inversa no és certa. Si 2<i>n</i>+1 és un nombre primer no té per què ser un nombre de Queneau. Calen algunes condicions addicionals. Mirem una taula amb els nombres de l'1 al 15.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: center;">
<table border="1" bordercolor="#000000" bordercolorlight="#000000" style="border-collapse: collapse; width: 600px;">
<tbody><tr>
<td align="center"><b>Nombre</b></td>
<td align="center"><b>1</b></td>
<td align="center"><b>2</b></td>
<td align="center"><b>3</b></td>
<td align="center"><b>4</b></td>
<td align="center"><b>5</b></td>
<td align="center"><b>6</b></td>
<td align="center"><b>7</b></td>
<td align="center"><b>8</b></td>
<td align="center"><b>9</b></td>
<td align="center"><b>10</b></td>
<td align="center"><b>11</b></td>
<td align="center"><b>12</b></td>
<td align="center"><b>13</b></td>
<td align="center"><b>14</b></td>
<td align="center"><b>15</b></td>
</tr>
<tr>
<td align="center"><b>2n+1</b></td>
<td align="center">3</td>
<td align="center">5</td>
<td align="center">7</td>
<td align="center">9</td>
<td align="center">11</td>
<td align="center">13</td>
<td align="center">15</td>
<td align="center">17</td>
<td align="center">19</td>
<td align="center">21</td>
<td align="center">23</td>
<td align="center">25</td>
<td align="center">27</td>
<td align="center">29</td>
<td align="center">31</td>
</tr>
<tr>
<td align="center"><b>Primer?</b></td>
<td align="center"><span style="color: green;">Sí</span></td>
<td align="center"><span style="color: green;">Sí</span></td>
<td align="center"><span style="color: green;">Sí</span></td>
<td align="center"><span style="color: red;">No</span></td>
<td align="center"><span style="color: green;">Sí</span></td>
<td align="center"><span style="color: green;">Sí</span></td>
<td align="center"><span style="color: red;">No</span></td>
<td align="center"><span style="color: green;">Sí</span></td>
<td align="center"><span style="color: green;">Sí</span></td>
<td align="center"><span style="color: red;">No</span></td>
<td align="center"><span style="color: green;">Sí</span></td>
<td align="center"><span style="color: red;">No</span></td>
<td align="center"><span style="color: red;">No</span></td>
<td align="center"><span style="color: green;">Sí</span></td>
<td align="center"><span style="color: green;">Sí</span></td>
</tr>
<tr>
<td align="center"><b>Queneau?</b></td>
<td align="center"><span style="color: green;">Sí</span></td>
<td align="center"><span style="color: green;">Sí</span></td>
<td align="center"><span style="color: green;">Sí</span></td>
<td align="center"><span style="color: red;">No</span></td>
<td align="center"><span style="color: green;">Sí</span></td>
<td align="center"><span style="color: green;">Sí</span></td>
<td align="center"><span style="color: red;">No</span></td>
<td align="center"><span style="color: red;">No</span></td>
<td align="center"><span style="color: green;">Sí</span></td>
<td align="center"><span style="color: red;">No</span></td>
<td align="center"><span style="color: green;">Sí</span></td>
<td align="center"><span style="color: red;">No</span></td>
<td align="center"><span style="color: red;">No</span></td>
<td align="center"><span style="color: green;">Sí</span></td>
<td align="center"><span style="color: red;">No</span></td>
</tr>
</tbody></table></div><p style="text-align: left;">Observarem els casos del 8 i el 15. El doble més u de cadascun d'ells és un nombre primer (17 i 31 respectivament), però no són nombres de Queneau. Com hem dit abans, als articles esmentats aclareixen totes les característiques que han d'acomplir.</p><span><!--more--></span><p style="text-align: left;"><b><span style="color: #990000; font-size: medium;">I a l'aula?</span></b></p><p style="text-align: left;"></p><ul style="text-align: left;"><li>Pot ser interessant investigar quins nombres permeten fer aquestes permutacions en espiral per a descobrir els primers nombres de la sèrie. I un cop estudiat, podem convidar a fer poemes amb alguns d'aquests nombres. Dependrà de l'edat que proposarem "tercines", "cinquines" o "sextines". I, potser, prescindint de la mètrica. Millor coordinar-se amb qui faci llengua i doni la seva opinió.</li><li>Podem llegir algunes sextines. A banda de les de Maria Mercè Marçal i d'altres que podeu trobar per internet, són molt interessants les de Joan Brossa. Hi ha una edició, <i><a href="https://www.fundaciojoanbrossa.cat/producte/viatge-per-la-sextina-1976-1986/" target="_blank">Viatge per la sextina</a></i>, que conté totes les que va escriure. Amb una cerca podeu trobar algunes com "<a href="http://www.xtec.cat/iesalella/brossa/brossa/brossaentrada.htm" target="_blank">La sextina de la pau</a>", o la "<a href="https://visat.cat/traduccions-literatura-catalana/cat/fragments/251/144/-/0/-/joan-brossa.html" target="_blank">Cançó sextina</a>" que va dedicar a la mateixa Maria Mercè Marçal. En aquest mateix blog vam dedicar una part d'un article a <a href="http://calaix2.blogspot.com/2012/04/casualitats-creences-impressions.html" target="_blank">un joc amb les tres primeres estrofes</a> de la "Sextina de la pau".</li><li>Una altra possibilitat és fer "sextines visuals". El mateix Brossa en va fer una. Cal tenir sis còpies d'una imatge, retallar-la en sis bandes iguals i ordenar-les amb la permutació de la sextina. Podeu veure en la següent imatge les dues "primeres estrofes".</li></ul><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj3HtaWEgwhfLiGCzB77pvNTbm5G-JsmzkxPcwalb9kSwdhAXyMsKm0N366AzAh1Uk3g3utlITZH_lrbby9NFzY3KsShVCwlPNSIVubEN0EnnKPxvjoGqntjGwSsAN2z1pP89y8HyIFAPtO7fUYGg2CG3kLWkR5WCx9xGY57mBFxRFTcuFCZGd6lWTP7g/s495/sextina%20visual%20fragment.jpg" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="293" data-original-width="495" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj3HtaWEgwhfLiGCzB77pvNTbm5G-JsmzkxPcwalb9kSwdhAXyMsKm0N366AzAh1Uk3g3utlITZH_lrbby9NFzY3KsShVCwlPNSIVubEN0EnnKPxvjoGqntjGwSsAN2z1pP89y8HyIFAPtO7fUYGg2CG3kLWkR5WCx9xGY57mBFxRFTcuFCZGd6lWTP7g/s16000/sextina%20visual%20fragment.jpg" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><a href="https://repositori.macba.cat/bitstream/handle/11350/43716/DIG_A-JBR-03496-006-120_l.pdf?sequence=1&isAllowed=y" target="_blank">Enllaç a la sextina completa</a></td></tr></tbody></table><div style="text-align: center;"><br /></div><ul style="text-align: left;"><li>Podem investigar altres permutacions que permetin recuperar l'ordre inicial d'<i>n</i> elements en <i>n</i> passes. Hi ha una de molt senzilla</li></ul><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiXrkfGgoWRvUS5L1d2r0uDlvKM_7HFd0_Q9hrpaBQG8RKCQWqLNN-ERD6cx4YbiJ95ACVycfqqyQISwuIwpJpyLkE1hEkI5U_9vpzsqWDMF3BoRCiQzAzu1VHJBVjwlj4moLlleHja-syOtbZyuGtGYc4DZ0HzmUvsNQPv7BYE-gcSQCU021A2TVkEGQ/s507/permutacio%20simple.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="507" data-original-width="336" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiXrkfGgoWRvUS5L1d2r0uDlvKM_7HFd0_Q9hrpaBQG8RKCQWqLNN-ERD6cx4YbiJ95ACVycfqqyQISwuIwpJpyLkE1hEkI5U_9vpzsqWDMF3BoRCiQzAzu1VHJBVjwlj4moLlleHja-syOtbZyuGtGYc4DZ0HzmUvsNQPv7BYE-gcSQCU021A2TVkEGQ/s16000/permutacio%20simple.png" /></a></div><p></p></div></div><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><p style="text-align: left;"></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Aquest model de permutació el podem observar en la sorprenent composició <i>Clapping music</i> d'Steve Reich (1972). Hi ha 12 "espais sonors", vuit s'omplen amb una palmada i quatre són silencis. Dos músics interpretan aquests ritmes a la vegada. Un dels músics el repeteix durant tota la peça, sense modificacions. L'altre, cada vuit vegades, fa una permutació. Després de dotze voltes s'hi tornen a trobar. Podem observar el resultat en aquest vídeo.</div><p></p></blockquote><p style="text-align: center;"></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><iframe allowfullscreen="" class="BLOG_video_class" height="266" src="https://www.youtube.com/embed/YPU5XrmORCQ" width="320" youtube-src-id="YPU5XrmORCQ"></iframe></div><p></p><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><p style="text-align: center;"></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Hi ha altres vídeos amb diferents versions (<a href="https://youtu.be/FcFyl8amoEE" target="_blank">més musics</a>, amb la <a href="https://youtu.be/u55XIK_4buI" target="_blank">partitura</a>...)</div></blockquote><p></p><ul style="text-align: left;"><li>Raymond Queneau va fer molts altres experiments poètics. Un va ser el seu llibre "<a href="https://culturacientifica.com/2018/08/29/100-000-000-000-000-poemas/" target="_blank">Cent Mille Milliards de Poèmes</a>" (1961). És un llibre de poemes combinatori. Va escriure 10 sonets amb la mateixa estructura de rimes. Els catorze versos dels deu sonets, s'enquadernen de forma que els primers versos quedin a la mateixa altura, els segons també, etc. Finalment es retallen. D'aquesta manera podem triar el primer vers del setè sonet, combinar-lo amb el segon vers del tercer sonet, amb el tercer del cinquè, etc. D'aquesta manera tenim 10<sup>14</sup> poemes diferents: cent bilions. A l'Institut Montserrat de Barcelona, al curs 2017 i sota la tutela, entre d'altres, del professor Pau Senra, l'alumnat va crear el seu propi exemplar. Es van pactar quatre rimes (A-"ada", B-"ó", C-"ena", D-"í") per a la construcció dels sonets (ABAB ABAB CCD CCD).</li></ul><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi3HE7LcYZ8ojL2dKq490AyR04wJY2j54is130kfOxwSnzuGu3LHhnSXoLD5OIsoD-qn8I6yY_Tr_6LjiCBnxIqemPwqEtucI_JUgMwPFDSDFfvTlHeniap3WKNSPaqu17tf1kUMsXtFXS5fIPbElUVAGvgMspior_CtioIVpVWXNibXGtWmURcmwBKDw/s600/Ou%20cas.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="450" data-original-width="600" height="480" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi3HE7LcYZ8ojL2dKq490AyR04wJY2j54is130kfOxwSnzuGu3LHhnSXoLD5OIsoD-qn8I6yY_Tr_6LjiCBnxIqemPwqEtucI_JUgMwPFDSDFfvTlHeniap3WKNSPaqu17tf1kUMsXtFXS5fIPbElUVAGvgMspior_CtioIVpVWXNibXGtWmURcmwBKDw/w640-h480/Ou%20cas.jpg" width="640" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Una imatge del llibre fet a l'INS Montserrat</td></tr></tbody></table><p></p><p></p><ul style="text-align: left;"><li>Potser no cal ser tant ambiciós, però podem fer altres experiments combinatoris. En aquest mateix blog podeu trobar algunes idees a l'article "<a href="http://calaix2.blogspot.com/2012/10/combinar-i-comptar-joguines-poemes.html" target="_blank">Combinar i comptar (joguines, poemes, discursos...)</a>". </li></ul><p></p><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><p style="text-align: left;">Ja podeu veure les possibilitats: matemàtiques, literatura, música... </p></blockquote><div><div><p></p></div></div>Unknownnoreply@blogger.com5tag:blogger.com,1999:blog-7448640108700542412.post-36948858118445628952023-02-19T18:56:00.001+01:002023-02-19T18:56:35.115+01:00"Assagem" amb el rugbi<p>Si hem vist retransmissions de partits de futbol, més d'una vegada haurem sentit a la locució que el davanter, o davantera, "ha perdut angle". Bé, l'angle de tir a la porteria no es pot perdre, sempre hi és. Però sí que es pot anar reduint. En general, quan més ens allunyem de la vertical de la porteria menor és aquest angle de tir: l'angle format per la pilota i els dos pals de la porteria. També s'utilitza l'expressió quan el jugador/a s'acosta massa, per un costat de la porteria, a la línia de fons. Tot i que, en aquest cas, l'angle també es perd quan t'allunyes massa d'aquesta.</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjXZCnT2by_kWuxRi8x7GL1B6rnmxjXhRElJ2RtWw17Npqz5lVVsOqwxhnva0wBtsP2O4gk4kpbJxgfqJxKVGq8Ffp1M3Hzp-Ze2CqwVHu_AwHMQK5Cg4ds2eUaiHtSMz2h66pTwxTZ5jI6k_fNnSeMpGDRgT3haeTHRpRPH9BByuoCHC9flDOn5yk6dw/s749/futbol1.gif" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="348" data-original-width="749" height="297" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjXZCnT2by_kWuxRi8x7GL1B6rnmxjXhRElJ2RtWw17Npqz5lVVsOqwxhnva0wBtsP2O4gk4kpbJxgfqJxKVGq8Ffp1M3Hzp-Ze2CqwVHu_AwHMQK5Cg4ds2eUaiHtSMz2h66pTwxTZ5jI6k_fNnSeMpGDRgT3haeTHRpRPH9BByuoCHC9flDOn5yk6dw/w640-h297/futbol1.gif" width="640" /></a></div><br /><p style="text-align: left;">Però també hi ha tot un arc, conegut com a <i><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Arc_capa%C3%A7" target="_blank">arc capaç</a></i>, sobre el que ens podem moure mantenint sempre el mateix angle de tir. El centre d'aquest arc està situat en la mediatriu del segment format pels dos pals de la porteria. El seu radi pot variar: a cada radi correspon un angle diferent. La mida d'aquest l'angle dependrà de la proximitat del centre de la circumferència al "segment porteria". Com més a prop, més gran.</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg3GfAwoRLpvzVeQSTsKb0mC1mEZavLxZMvh2f0hJC-hXSBPqDyVSritPByq_wJPjXQvyLyLJnGAc9_1qT48BM48h3SH0s99tI5sMRjsik1pPRlf4lx1cnscTaz6kzuyVzTlEFAhvkCwsJKT-Sc10um74iPuJ5uzX-Cn3WfXpK-CRdiol6gMdqBgGnWcA/s518/futbol12.gif" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="392" data-original-width="518" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg3GfAwoRLpvzVeQSTsKb0mC1mEZavLxZMvh2f0hJC-hXSBPqDyVSritPByq_wJPjXQvyLyLJnGAc9_1qT48BM48h3SH0s99tI5sMRjsik1pPRlf4lx1cnscTaz6kzuyVzTlEFAhvkCwsJKT-Sc10um74iPuJ5uzX-Cn3WfXpK-CRdiol6gMdqBgGnWcA/s16000/futbol12.gif" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">L'estudi de l'angle de tir, en el cas del futbol, no és del tot interessant perquè les situacions de joc són les que són. No es pot triar gaire des d'on tirar; ni tan sols en les faltes. Però el rugbi sí que té una jugada especial, la "transformació" que compta amb un marge de tria. Posem-nos en situació amb aquesta jugada.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">La situació en les que un equip obté més punts és amb l'<i>assaig</i>: 5 punts. Un <i>assaig</i> s'aconsegueix quan un jugador/a travessa la línia de fons de l'equip contrari i planta la pilota a terra. Un cop fet l'<i>assaig</i> el mateix equip pot aconseguir dos punts extres si realitza una <i>transformació. </i>Per fer-la un dels jugadors/es de l'equip que ha fet l'<i>assaig</i> posa la pilota en el lloc que triï sobre la vertical del punt d'assaig. A aquesta perpendicular l'anomenarem, a partir d'ara, <i>línia o recta de transformació</i>. Llavors, xuta la pilota per fer-la passar entre tres pals: per sobre de l'horitzontal i entre els dos verticals.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEixQvKREm-B17YlngJLNDroClDOPtRNaAYCX8pfH1r9OPUVL4TUsz-6QsaCbfMYjI2VW01knijltHWd5MsX8WdIOCejVLZdQE_mxgJoy0E8Nby1f-TSlRmeeTrHexhqRO7GNr0_GV6NdIIqgRwZQo3SQXcQ52a3z21d-f5Sq-yepcv1zAqca7kx-LEO1g/s733/camp.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="368" data-original-width="733" height="321" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEixQvKREm-B17YlngJLNDroClDOPtRNaAYCX8pfH1r9OPUVL4TUsz-6QsaCbfMYjI2VW01knijltHWd5MsX8WdIOCejVLZdQE_mxgJoy0E8Nby1f-TSlRmeeTrHexhqRO7GNr0_GV6NdIIqgRwZQo3SQXcQ52a3z21d-f5Sq-yepcv1zAqca7kx-LEO1g/w640-h321/camp.png" width="640" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">En aquest estudi prescindirem de l'alçada i mirarem només l'angle de tir. I en el cas particular que la <i>línia de transformació</i> no estigui entre els pals. Podem experimentar amb aquesta la <a href="https://www.geogebra.org/m/tytnd4ms" target="_blank">construcció </a>feta amb GeoGebra i anar movent el punt de tir sobre la perpendicular al lloc d'assaig. Observarem que l'angle varia, però hi ha un lloc òptim, on l'angle és el més gran possible per a aquella recta.</div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjZ94ddAaRytuNZbSmWGMKiypsgEXCNw76dAoBBAT3PgHzxSk0ZD-2Q-EvMVlddT9sM1C21r1qr74vunowJBJNX-aVxWdNjVNIXpMkYdo-XcxnBCodg0270TuVKZ8w6Sur5zoMNcq99lJUQry0K4NocQYf1Toq-BfFIYJKkaUSY-ELs6ycv3VCdO9-h3Q/s343/angle_tempteig.gif" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="300" data-original-width="343" height="350" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjZ94ddAaRytuNZbSmWGMKiypsgEXCNw76dAoBBAT3PgHzxSk0ZD-2Q-EvMVlddT9sM1C21r1qr74vunowJBJNX-aVxWdNjVNIXpMkYdo-XcxnBCodg0270TuVKZ8w6Sur5zoMNcq99lJUQry0K4NocQYf1Toq-BfFIYJKkaUSY-ELs6ycv3VCdO9-h3Q/w400-h350/angle_tempteig.gif" width="400" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><a href="https://www.geogebra.org/m/tytnd4ms" target="_blank">Enllaç a la construcció interactiva</a></td></tr></tbody></table><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Un cop plantejada la situació venen les preguntes:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li>Com podem localitzar geomètricament aquest punt d'angle màxim?</li><li>Si anem movent la recta de transformació, quina línia tracen els diferents punts d'angle màxim?</li></ul><span style="color: #660000; font-size: medium;"><b>Ho estudiem?</b></span></div><span><a name='more'></a></span><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><span style="color: #660000;"><b>On posar la pilota?</b></span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Primer cal fer algunes consideracions prèvies</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li>Els dos pals i el lloc on plantarem la pilota formaran un triangle circumscrit en una circumferència que tindrà el seu centre en algun punt de la mediatriu que passa entre els dos pals.</li><li>Com hem vist abans, tots els punts situats sobre aquesta circumferència i en l'arc que està al mateix costat del segment format pels dos pals, tindran la mateixa mesura.</li><li>Les solucions vàlides estaran en un o dos punts de la circumferència que toquin o tallin la <i>línia de transformació</i>.</li></ul>No és difícil observar que, a mesura que el radi de la circumferència va augmentant, l'angle de tir va disminuint. Si la circumferència no toca la de la<i> recta de transformació</i> no tenim solucions. Quan la talla veiem que hi apareixen dues, amb angles iguals, però que també van fent-se més petits.</div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgV4dHiUYa2R5Vuf_PUvwXQPFJKF5Ay9eK0_S4ZtLHs1VVZYh3vl_FPy9rtNv6TZdeNi7Z4jKL38c3mXHiQaquvq0uustVISv--08GOP_zDPxfVRP_BMBT2sYpUaJHpH2SSBCFERLsEJ2DIiVYNkrdkIY6zHAfcj1ycx3v7bxkuVscw_QUACCpOF7wM2Q/s385/angle_decreixent.gif" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="385" data-original-width="384" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgV4dHiUYa2R5Vuf_PUvwXQPFJKF5Ay9eK0_S4ZtLHs1VVZYh3vl_FPy9rtNv6TZdeNi7Z4jKL38c3mXHiQaquvq0uustVISv--08GOP_zDPxfVRP_BMBT2sYpUaJHpH2SSBCFERLsEJ2DIiVYNkrdkIY6zHAfcj1ycx3v7bxkuVscw_QUACCpOF7wM2Q/s16000/angle_decreixent.gif" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><a href="https://www.geogebra.org/m/yyu8wvay" target="_blank">Enllaç a la construcció</a> amb GeoGebra</td></tr></tbody></table><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Quan tindrem la solució òptima? Sembla lògic: quan la circumferència només toqui la recta, no quan la talli. És a dir: en el punt de tangència. A partir d'aquí l'angle començarà a minvar.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjQf2X2iw4HBVZ9CSL5LzYKYbRL0cNt2b-bjqN5Seeg543YJw4CDQbyi7l-FTnxZ0mrdK8YpGTZ5CEEO1Dxet_rB9rrdu2D0yqepTT0th83x77N_bgut6LwuDH5oy0cTtPaNLZ1QNTLvEDyH8ZLsr_agqLulKtrFxiePmwK8XRUxxS7r8urYY6ixVaeOQ/s795/tres%20posicions.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="268" data-original-width="795" height="216" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjQf2X2iw4HBVZ9CSL5LzYKYbRL0cNt2b-bjqN5Seeg543YJw4CDQbyi7l-FTnxZ0mrdK8YpGTZ5CEEO1Dxet_rB9rrdu2D0yqepTT0th83x77N_bgut6LwuDH5oy0cTtPaNLZ1QNTLvEDyH8ZLsr_agqLulKtrFxiePmwK8XRUxxS7r8urYY6ixVaeOQ/w640-h216/tres%20posicions.png" width="640" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">L'angle màxim, que talla la recta, s'obté en el punt de tangència: 36,31º<br /><a href="https://www.geogebra.org/m/e6nmytw3" target="_blank">Enllaç a la construcció</a> dinàmica per a comparar solucions</td></tr></tbody></table><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><span style="color: #660000;"><b><br /></b></span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><span style="color: #660000;"><b>Com es distribueixen els punts òptims?</b></span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Si anem movent la recta perpendicular al punt d'assaig, la <i>recta de transformació</i>, on s'aniran col·locant els punts òptims de xut? Quina línia formaran?</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Abans de continuar llegint potser que feu una conjectura. I després de fer-la proveu amb aquesta construcció que té la traça del punt activada.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><iframe height="381px" scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/q9y4z7me/width/663/height/381/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" style="border: 0px;" title="Problema rugbi: traça" width="663px"> </iframe></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://www.geogebra.org/m/mqsbfnqm" target="_blank">Enllaç a la construcció dinàmica</a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Observem que és una corba, però no podem veure exactament de quin tipus és. GeoGebra ens permet trobar el lloc geomètric i veure més clarament la línia.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgcGvDA9wA1uBLhyvZbWB3VtlTp2EwtMMZGFdPuEc8LHmf9cO9Y9tiu9JefuMVw0qcBS1ppCyRCeVA4hmWN5LyBy3yfnE0837ep5ap8sXJd498_47Z5j7y5DdtFffx36TdaToKpswqGl7Ops0V-YidcV7qsHGCiL01lPfGUKt9TsUIa6lXvuOFBVTwTgw/s527/hip1.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="320" data-original-width="527" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgcGvDA9wA1uBLhyvZbWB3VtlTp2EwtMMZGFdPuEc8LHmf9cO9Y9tiu9JefuMVw0qcBS1ppCyRCeVA4hmWN5LyBy3yfnE0837ep5ap8sXJd498_47Z5j7y5DdtFffx36TdaToKpswqGl7Ops0V-YidcV7qsHGCiL01lPfGUKt9TsUIa6lXvuOFBVTwTgw/s16000/hip1.png" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Veure-li dos braços comença a fer sospitar de quina mena de corba es pot tractar. Potser que ara tirem una mica d'analítica. Intentarem buscar quina és la funció de la línia.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li>L'origen de coordenades serà el punt mitjà entre els dos pals. L'eix d'abcises serà, en conseqüència la línia d'assaig.</li><li>La <i>x</i> ens vindrà donada per la intersecció de la <i>recta de transformació</i> amb la d'assaig.</li><li>La <i>y</i>, que haurem de calcular, ens indicarà la segona coordenada de la posició de tir.</li></ul>Un gràfic ens ajudarà a calcular el valor de l'ordenada.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg8VSOwzgfXx95hvPHPc-m2sfDXZrDjesnGU1QGWB3H1b9n7XleMwUqje2CUXhM8s70v3Mo6Gd1AOrOV0-QLaCNt_9NLI-D7FPdYU0h-0TKbmNMqC6cBNi8QN0MJHepY-eG2ESWV03i8GpQsJUj5yqMBufeL42J4ucrjamHultKwaQ4wAOcMru5RVYf7Q/s716/ded_form.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="305" data-original-width="716" height="273" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg8VSOwzgfXx95hvPHPc-m2sfDXZrDjesnGU1QGWB3H1b9n7XleMwUqje2CUXhM8s70v3Mo6Gd1AOrOV0-QLaCNt_9NLI-D7FPdYU0h-0TKbmNMqC6cBNi8QN0MJHepY-eG2ESWV03i8GpQsJUj5yqMBufeL42J4ucrjamHultKwaQ4wAOcMru5RVYf7Q/w640-h273/ded_form.png" width="640" /></a></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">La clau està en el triangle rectangle vermell:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li>La <i>y</i> és un dels catets. Té la mateixa distància que hi ha del punt A (intersecció de la línia de transformació amb la d'assaig) al punt P (que està en la paral·lela a línia d'assaig).</li><li>L'<i>a, </i>l'altre catet, és la meitat de la distància entre els pals.</li><li>El radi de la circumferència, la línia OB, és la hipotenusa. Per construcció té la mateixa longitud que CA i OP, que és la <i>x</i> de la nostra funció.</li></ul>Si apliquem el teorema de Pitàgores i aïllem la <i>y</i>, tindrem la funció buscada i que es correspon, exactament, amb el lloc geomètric trobat anteriorment.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgDlSVVkrSYtsBn1yqW0Jdl4l3dKdgYMm1CsfwLbL66ZSBbP1ZbRfFm8wOnJ9mrK2EUaBefergPQvLYJxnPzesfWn3PQ4xca2DW9c0SVSEEvXQJS-OEwFedBeuAVzKxMt4wYCzovFWSd7i8A35CWJXtVhz9wMUr2gA_LjdY5tbLehwWc1vF6Ll484G22g/s384/formula.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="63" data-original-width="384" height="53" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgDlSVVkrSYtsBn1yqW0Jdl4l3dKdgYMm1CsfwLbL66ZSBbP1ZbRfFm8wOnJ9mrK2EUaBefergPQvLYJxnPzesfWn3PQ4xca2DW9c0SVSEEvXQJS-OEwFedBeuAVzKxMt4wYCzovFWSd7i8A35CWJXtVhz9wMUr2gA_LjdY5tbLehwWc1vF6Ll484G22g/s320/formula.png" width="320" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhSVqEACZ2QoDxFatRAqIaRAV3akGxTEw4H1cZ5k0F5SjfRSmQ3jMDvYzaMirANY-qcnoocLor2HXq-EHHx5siY508_OBPZaH14DitXR1tYdGnniMcPn5GofHp3Bi_HqXGVHYojw7zT6u4UfeYImBhxt0sWb1Qik7ChkUiJmfJK5v6tQtss0CMmp1gehg/s766/funcio2.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="430" data-original-width="766" height="360" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhSVqEACZ2QoDxFatRAqIaRAV3akGxTEw4H1cZ5k0F5SjfRSmQ3jMDvYzaMirANY-qcnoocLor2HXq-EHHx5siY508_OBPZaH14DitXR1tYdGnniMcPn5GofHp3Bi_HqXGVHYojw7zT6u4UfeYImBhxt0sWb1Qik7ChkUiJmfJK5v6tQtss0CMmp1gehg/w640-h360/funcio2.png" width="640" /></a></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Si no hem reconegut la corba encara podem posar la fórmula en formes més "canòniques" i veure que es correspon a la d'una hipèrbola.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgzZICswVTkIrniZh-ljpUE_Xk_OMzVeq_zMBTlN_ZR2liTdzClipj51zAn2ObaJozTnD_FAdAgRUW_hhqCiKvrqmHbMd6XdMOrG8S852kFcx5bGz0Ud1nn5jow5aWNLQIOaOyy0yE3BRHAfvaDd9D7iRDcyZmR7aDzmBFmef0MKS6oEGBLPaOoOeZ75w/s364/formula2.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="89" data-original-width="364" height="78" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgzZICswVTkIrniZh-ljpUE_Xk_OMzVeq_zMBTlN_ZR2liTdzClipj51zAn2ObaJozTnD_FAdAgRUW_hhqCiKvrqmHbMd6XdMOrG8S852kFcx5bGz0Ud1nn5jow5aWNLQIOaOyy0yE3BRHAfvaDd9D7iRDcyZmR7aDzmBFmef0MKS6oEGBLPaOoOeZ75w/s320/formula2.png" width="320" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">A partir de la fórmula de la funció no és massa complicat veure que les asímptotes formen 45º amb els eixos de coordenades.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">A l'<a href="https://www.geogebra.org/m/fbseqdrr" target="_blank">enllaç</a> teniu una construcció amb GeoGebra que us permetrà experimentar amb tot el que s'ha explicat a l'article.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgj19-ql1DUHKHS4OWWU6SyD5QZo6YiyuAjlmeK3SP-iE-tHoJ57EIm2lK4aCaKMrUY0X9GfvxWfZCh_TDcwI8baK__w7fapEwLVkgBKUBF6R2SLOw3VOwjOcyXKvEB_ioVPx-Eg3I_wXHFiwKRZlA2dIOwtgOGLqgEXWcbf5QPSpgCIXvcyXrhH7QnIA/s691/applet%20rugbi.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="497" data-original-width="691" height="288" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgj19-ql1DUHKHS4OWWU6SyD5QZo6YiyuAjlmeK3SP-iE-tHoJ57EIm2lK4aCaKMrUY0X9GfvxWfZCh_TDcwI8baK__w7fapEwLVkgBKUBF6R2SLOw3VOwjOcyXKvEB_ioVPx-Eg3I_wXHFiwKRZlA2dIOwtgOGLqgEXWcbf5QPSpgCIXvcyXrhH7QnIA/w400-h288/applet%20rugbi.png" width="400" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><a href="https://www.geogebra.org/m/fbseqdrr" target="_blank">Construcció amb GeoGebra</a></td></tr></tbody></table><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><span style="color: #660000;">I a l'aula?</span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li>Aquesta situació ens proporciona un bon context per treballar l'<i>angle inscrit</i> sobre una circumferència i les seves propietats. Tal com hem plantejat l'activitat no juga un paper important en l'activitat, però també el podem relacionar amb l'<i>angle central</i>.</li></ul><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjMirMmp60f3sIS5tt4VRdfGmK2UrEiHWWwz8A1YmNimpvSHH5fHojJdHk9epbdpBEiebQ3zIz_r_FWiR6Ylq386-9qAXjMwaN0jCIu37eWKhUFDSo4d8g-xqRoV0F249_K-wmktHIQdtl9qaYEviplnv0DlIVnz9wplap0yMklTVFpit-4KvJyC8X-bw/s744/angle%20inscrit.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="537" data-original-width="744" height="289" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjMirMmp60f3sIS5tt4VRdfGmK2UrEiHWWwz8A1YmNimpvSHH5fHojJdHk9epbdpBEiebQ3zIz_r_FWiR6Ylq386-9qAXjMwaN0jCIu37eWKhUFDSo4d8g-xqRoV0F249_K-wmktHIQdtl9qaYEviplnv0DlIVnz9wplap0yMklTVFpit-4KvJyC8X-bw/w400-h289/angle%20inscrit.gif" width="400" /></a></div><div style="text-align: center;"><br /></div><ul style="text-align: left;"><li>Per trobar les condicions en què s'ha de donar l'angle màxim pot ser una bona pista mostrar en GeoGebra la circumferència circumscrita a l'angle sobre la <i>línia de transformació</i>.</li></ul><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjLB4M7mZfQ6ip93m7L97CWUoVWvkg_otQJjXvSc-K6pA6bGLw7qDDKv5H7EPA8wao4HCtz4u22Bi0ZlJW1SvwM2AEOPbGGDh1C5_weYKEL07yUFvmgo5zUKUQnVFJLqX7bxXxzj6hrfx_I5CQiyFpOWowpu6NOVqnJ53E6YMAlbn-MO-KS7QsOG7cQxw/s385/circumcentre_rugbi.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="385" data-original-width="384" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjLB4M7mZfQ6ip93m7L97CWUoVWvkg_otQJjXvSc-K6pA6bGLw7qDDKv5H7EPA8wao4HCtz4u22Bi0ZlJW1SvwM2AEOPbGGDh1C5_weYKEL07yUFvmgo5zUKUQnVFJLqX7bxXxzj6hrfx_I5CQiyFpOWowpu6NOVqnJ53E6YMAlbn-MO-KS7QsOG7cQxw/s320/circumcentre_rugbi.gif" width="319" /></a></div><ul style="text-align: left;"><li>Com s'ha vist en l'estudi del problema, aquesta situació permet diferents nivells d'aprofundiment. Podem arribar fins on els coneixements i l'edat de l'alumnat ens ho aconsellin. Però podem aprofitar l'eina de GeoGebra per parlar del que significa l'expressió <i>lloc geomètric</i> i, sense demostrar-ho que ho és, comentar que és una <i>hipèrbola</i>. Ja la podrem recuperar en un altre moment quan l'estudiem amb més calma.</li></ul></div>Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7448640108700542412.post-12941383106340076642022-12-17T20:47:00.002+01:002022-12-17T20:47:34.312+01:00El problema del testament del Nabab i la "resolució per síntesi"<p> Al llibre <i><a href="https://www.sintesis.com/matem%C3%A1ticas%3A%20cultura%20y%20aprendizaje-72/problemas%20aritm%C3%A9ticos%20escolares-libro-1238.html" target="_blank">Problemas aritméticos escolares</a>,</i> de Luis Puig i Fernando Cerdán (1988), es proposen dos mètodes de resolució de problemes que podem utilitzar amb força efectivitat en molts d'aquells, més o menys, "escolarment tradicionals".<br /></p><ul style="text-align: left;"><li><b>Mètode d'anàlisi</b>: partir de la pregunta i retrocedir cap a les dades (quines dades em calen per contestar la pregunta? Les tinc? Si no les tinc que em cal per descobrir-les?...).</li><li><b>Metode de síntesi</b>: partir de les dades i avançar cap a la pregunta (què puc saber amb les dades que tinc? És el que em demanen? Si no és així, què podria esbrinar amb el que tinc?...)</li></ul>Al llibre s'incorporen dos esquemes que il·lustren clarament els dos mètodes.<p></p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEggmOsS_mXPhRv8MZmthkFM7sAfApj5rI6r2guen8Br0i4ZulCI2EXwnoYPCiCaKM25SEVHRpQmI4njXDahVI0TeDQnLZiDbwUWNE1tEAvzJ7h6rgdZ2AnJJGLD1ILu58yMLITOs0dXaeF6XwXrUbH8QFGCBC1xH0WFdB7l4YzedSBhyfi_gG8Vt634Eg/s625/m_analisi.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="601" data-original-width="625" height="616" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEggmOsS_mXPhRv8MZmthkFM7sAfApj5rI6r2guen8Br0i4ZulCI2EXwnoYPCiCaKM25SEVHRpQmI4njXDahVI0TeDQnLZiDbwUWNE1tEAvzJ7h6rgdZ2AnJJGLD1ILu58yMLITOs0dXaeF6XwXrUbH8QFGCBC1xH0WFdB7l4YzedSBhyfi_gG8Vt634Eg/w640-h616/m_analisi.png" width="640" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Mètode d'anàlisi: de la incògnita a les dades</td></tr></tbody></table><br /><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgvgNQE_Cb3ZrordEBajFckmPZlZHZdzhKe-CJGUitWCxiSd1tVLezWOz0OwkxqEBa2QykJZTq0VAE-1CtostEiY-EQF-6oAZWRIkJ7jCKSaaK6xYv_-ItO0VpPkAE3A8hM1rvN-BH0E2FSXyrAcsVSUMLLk2OdPm2v_Gj8wr1Z_GY14AOrQNZL_rbytQ/s756/m_sintesi.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="616" data-original-width="756" height="522" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgvgNQE_Cb3ZrordEBajFckmPZlZHZdzhKe-CJGUitWCxiSd1tVLezWOz0OwkxqEBa2QykJZTq0VAE-1CtostEiY-EQF-6oAZWRIkJ7jCKSaaK6xYv_-ItO0VpPkAE3A8hM1rvN-BH0E2FSXyrAcsVSUMLLk2OdPm2v_Gj8wr1Z_GY14AOrQNZL_rbytQ/w640-h522/m_sintesi.png" width="640" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Mètode de síntesi: de les dades a la incògnita</td></tr></tbody></table><br />Habitualment, tenim més tendència a pensar d'una manera o de l'altra. És clar que en problemes d'investigació, dels que acostumem (o ens hauríem d'acostumar) a proposar l'aula, aquest esquema és massa rígid. Però, com he comentat, en problemes més tradicionals, tipus "llibre de text", ens poden ser útils. Si més no, per poder pensar preguntes orientadores per a fer al nostre alumnat.<div><br /></div><div>No entrarem ara a posar exemples de resolució d'un mateix problema per cada mètode. Però sí que comentarem un curiós repte que <a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/%C3%89douard_Lucas" target="_blank">Édouard Lucas</a> planteja al llibre <a href="http://edouardlucas.free.fr/oeuvres/arithmetique%20amusante.pdf" target="_blank">L’arithmétique amusante</a> (1895) i que també trobem al 4t volum de les seves <a href="http://edouardlucas.free.fr/oeuvres/recreations_math_04_lucas.pdf" target="_blank">Récréations mathématiques</a>. Aquest problema, com veurem, s'ajusta molt bé a una resolució pel <i>mètode de síntesi</i>.</div><div><br /></div><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><div style="text-align: left;">"<b>El testament del <a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Nabab" target="_blank">Nabab</a></b>. Un <i>nabab</i> deixa als seus fills un certa quantitat de diamants d'igual valor, en les següents condicions: El primer agafa un diamant i 1/7 dels que queden; el segon agafa dos diamants i 1/7 dels que queden; el tercer agafa tres diamants i 1/7 del que queda, i així successivament. Després del repartiment de tots els diamants, totes les parts obtingudes són iguals. Es demana la quantitat de diamants i la de fills"</div></blockquote><p style="text-align: center;"></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhGAHYKEhVNxeVaw9WAQAUUfv8v2Cr95dSwm-BWXyrpWDE3lRNOu4J8YmsYE9pFnZrfTEP4ERxqnO4l3MzDc6DQtIqzKgzHHue_BNVOVPMFYahr_-Rn1Vc99CEtZs_aoV1lOjqe2b6yUWxLSsyD-6wantLmG1l21OmZpUs3PhObZQOHHGnC3YaZShwYSw/s640/diamants.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="360" data-original-width="640" height="225" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhGAHYKEhVNxeVaw9WAQAUUfv8v2Cr95dSwm-BWXyrpWDE3lRNOu4J8YmsYE9pFnZrfTEP4ERxqnO4l3MzDc6DQtIqzKgzHHue_BNVOVPMFYahr_-Rn1Vc99CEtZs_aoV1lOjqe2b6yUWxLSsyD-6wantLmG1l21OmZpUs3PhObZQOHHGnC3YaZShwYSw/w400-h225/diamants.jpg" width="400" /></a></div><br /><div style="text-align: left;"> Al llarg de l'article, tot evitant inicialment un platenjament algebraic, comentarem la resolució aritmètica per <i>síntesi</i>. Però també estudiarem la seva generalització per a diferents particions (en terços, quarts, etc.) i descobrirem una connexió una mica inesperada. A més, mostrarem la resolució que proposa Lucas i una d'algebraica.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;">Però, abans d'entrar en matèria, cal esmentar que Lucas subtitula el repte com "Un problema d'aritmètica índia" i, fins i tot, relaciona la seva resolució amb mètodes proposats pel matemàtic indi, del segle V, <a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Aryabhata" target="_blank">Aryabhata</a>. No sabem si és cert o no. En tot cas, els problemes de repartiments, i entre ells els d'herències, són un clàssic en els llibres matemàtics antics.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #990000; font-size: medium;">Comencem a resoldre el problema?</span></b><span><a name='more'></a></span></div><p></p><div><p style="text-align: left;">Com hem dit, inicialment, defugirem l'utilització de l'àlgebra en la resolució del problema. Atacarem una resolució purament lògico-aritmètica.</p><p style="text-align: left;">Tal com està plantejat l'enunciat és difícil retrocedir de la pregunta a les dades (anàlisi). Per tant, mirem algunes coses que puguem saber a partir d'elles (síntesi). Comencem estudiant què podem esbrinar, ni que sigui de forma aproximada, observant que en el càlcul de les parts de cada fill s'han de fer setens en una de les seves fases.</p><p style="text-align: left;"></p><ul style="text-align: left;"><li><span style="color: #660000;"><b>Què ens diuen els setens?</b></span></li></ul><p></p><p style="text-align: left;">Del denominador de la fracció podem deduir una quantitat plausible de fills. També de tenir en compte que el primer només retira un diamant abans de fer la partició en setens i que tots acaben amb la mateixa quantitat de diamants, és a dir, que s'ha fet una partició exacta de la quantitat inicial. Una de les primeres coses que podem deduir és que no poden ser 8 germans o més, perquè si el primer es queda pràcticament un setè sencer ens faltarien diamants repartint-los en parts iguals entre vuit. Tampoc poden ser set germans exactament i per la mateixa raó: el primer es queda pràcticament un setè del total inicial, però no arriba. De fet, també podem veure que la fracció del total amb la que acaba cada germà ha de ser propera a 1/7, però sense arribar-hi. La facció més propera a 1/7 de la quantitat inicial serà 1/6. No és molt arriscat pensar, doncs, que la quantitat de fills és 6.</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhgc_FkUiaOmHP9hJxVDEEotA_QDxmWEy_VKZk_wDEmqzlXCnQMW1axZUVM7J9itSDG_DRsX9E7Yu1dECrpr9z45ePKbjgMZDcQRpK86wBcGYXxyvUaiYntNlz6IgNIIYvf5LvM8gNJLJ5GKG5YLeHd87Q8W48Oh3Og1HNqhyzCT5vLFHGPsqPSKRpnjg/s471/setens_sisens.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="286" data-original-width="471" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhgc_FkUiaOmHP9hJxVDEEotA_QDxmWEy_VKZk_wDEmqzlXCnQMW1axZUVM7J9itSDG_DRsX9E7Yu1dECrpr9z45ePKbjgMZDcQRpK86wBcGYXxyvUaiYntNlz6IgNIIYvf5LvM8gNJLJ5GKG5YLeHd87Q8W48Oh3Og1HNqhyzCT5vLFHGPsqPSKRpnjg/s16000/setens_sisens.png" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Una altra cosa que sabem, ja que els diamants no els partirem en trossets, és que un cop restat un de la quantitat total inicial tenim un múltiple de set. Si no el primer germà no podria agafar, ni deixar, una quantitat entera de diamants. Dit d'una altra manera, la quantitat inicial excedeix en un a un múltiple de 7. Poden ser nombres com 8, 15, 22, etc.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li><b><span style="color: #660000;">Podem esbrinar més coses a partir de l'enunciat?</span></b></li></ul> La resposta és que sí. Per exemple, si tenim en compte que el primer dels fills segur que té un diamant (el que aparta abans de dividir per 7), que el segon en tindrà un mínim de dos, el tercer tres, etc., podem pensar una quantitat mínima de diamants. Continuem amb la hipòtesi de sis germans:</div></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">Quantitat mínima total: 1+2+3+4+5+6 = 21 diamants</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Si ara busquem nombres, a partir de 21, de la forma 7<i>n</i>+1 trobarem 22, 29, 36, 43... </div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">No són massa nombres per fer proves.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li><b><span style="color: #660000;">Primera resolució: per tempteig</span></b></li></ul>Si provem amb el primer dels nombres, 22, veurem que no ens funciona a partir del segon germà, perquè ja no obtenim com a resultat un nombre natural.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><ul><li><b>Fill 1</b>: 22-1=21; 1/7=3; es queda 4 diamants (1+3) i en deixa 18 (22-4). </li><li><b>Fill 2</b>: 18-2=16; 16/7=<span style="color: #990000;">2,285...</span></li></ul></ul></div><p> El 29 tampoc ens funcionarà. Però veurem que el 36 ens dona la solució del problema:</p><ul style="text-align: left;"><ul><li><b>Fill 1</b>: 36-1=35; 35/7=5; es queda 6 diamants (1+5) i en deixa 30 (36-6). </li><li><b>Fill 2</b>: 30-2=28; 28/7=4; se'n queda 6 diamants (2+4) i en deixa 24 (30-6).</li><li><b>Fill 3</b>: 24-3=21; 21/7=3; se'n queda 6 diamants (3+3) i en deixa 18 (24-6).</li><li><b>Fill 4</b>: 18-4=148; 14/7=2; se'n queda 6 diamants (4+2) i en deixa 12 (18-6).</li><li><b>Fill 5</b>: 12-5=7; 7/7=1; se'n queda 6 diamants (5+2) i en deixa 6 (12-6).</li><li><b>Fill 6</b>; 6-6=0: se'n queda els 6 que resten.<br /><br /></li></ul><li> <b><span style="color: #660000;">Primera revisió del problema: simpliquem el tempteig</span></b>.</li></ul>Sempre cal revisar la resolució d'un problema per si la podem millorar. Per exemple, ens podem demanar si ens podríem haver evitat el tempteig. La resposta és que sí. Només observar que, si la quantitat de fills és sis, la quantitat total de diamants ha de ser un mútliple de 6. Per què? Perquè la part que els hi ha tocat del total (1/6) ha de ser també un nombre natural. Només haurem de trobar un nombre de la forma 7<i>n</i>+1 que també sigui múltiple de sis. El més petit que trobem és 36. <div><br /></div><div>Si provem amb nombres més grans que acompleixen també les dues propietats, com 78, 120, 162, etc. veurem que els repartiments no funcionen. Vol dir això que 36 és solució única? De moment, no ho podem saber.<br /><div><ul><li> <b><span style="color: #660000;">Segona revisió del problema: i si les parts del testament són terços, quarts, cinquens...</span></b></li></ul><p>Intentar generalitzar un problema és sempre interessant. No cal dir que no és difícil reproduir els raonaments fets per altres quantitats particions. Per exemple, si el testament manés repartir, després de les retirades prèvies de diamants per cada fill en el seu torn, en terços, veurem que una solució pot ser 4 diamants i 2 germans, o que per una divisió en quarts la resposta seria 9 diamants i 3 germans. No és difícil fer una conjectura de generalització.</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiWIe3jXVH5tazWq7Vxjpzlcl9_HnzGhu3RfCKBNHRjctc5dEwZw90iPwYz2VdY8ZoItktezxdHIaue5MF5mIZIBl582Y7l753frotkKl2QElnsmhnsyf2Fsuo_70zZNWrK1weip9c_aetVMK2YA1t9DM_g0fm-cia72Y7SXt9S8h_DVWrhgCj9BhP4hg/s788/taula.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="365" data-original-width="788" height="296" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiWIe3jXVH5tazWq7Vxjpzlcl9_HnzGhu3RfCKBNHRjctc5dEwZw90iPwYz2VdY8ZoItktezxdHIaue5MF5mIZIBl582Y7l753frotkKl2QElnsmhnsyf2Fsuo_70zZNWrK1weip9c_aetVMK2YA1t9DM_g0fm-cia72Y7SXt9S8h_DVWrhgCj9BhP4hg/w640-h296/taula.png" width="640" /></a></div>La conjectura sembla plausible. Continuem amb el dubte de si aquestes solucions són úniques. Podem trobar una justificació no algebraica de les solucions?</div><div><br /></div><div><ul><li><b><span style="color: #660000;">Una connexió interessant</span></b></li></ul><p>Observem gràficament la solució obtinguda del nostre problema original.</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi0UMuaNqzIzxk4EQivZXFKNVktvG0GWSPiajRqk_plVYETERyto3rb3qN1CiitZNO9xcBKQVXAdpK5_T28WfDPhXcSa8n8ncIW1OHk1xzbfJl50_pOp5MlFzDhew-5nAGp8qNrhnm545VZwXJBcEpCI2RowHBcu8AIyQryicJAOVmmq6GbgTMCUF3mWw/s201/solucio%20grafica.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="200" data-original-width="201" height="200" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi0UMuaNqzIzxk4EQivZXFKNVktvG0GWSPiajRqk_plVYETERyto3rb3qN1CiitZNO9xcBKQVXAdpK5_T28WfDPhXcSa8n8ncIW1OHk1xzbfJl50_pOp5MlFzDhew-5nAGp8qNrhnm545VZwXJBcEpCI2RowHBcu8AIyQryicJAOVmmq6GbgTMCUF3mWw/s1600/solucio%20grafica.png" width="201" /></a></div>A banda de veure que la quantitat total de diamants és un nombre quadrat, amb tants fills com diamants per fill, observem també dos nombres triangulars. El blau representa els diamants que reben per "ordre de fill" i els vermell els de les divisions en setens. Té sentit que la quantitat total hagi de ser un quadrat? Del tot. L'útltim dels fills ha d'agafar, amb la quantitat que li toqui, tots els diamants que queden, perquè si agafés 1/7 del que li queda sobrarien diamants. Se n'ha de trobar tants com el seu número s'ordre. Això força que la quantitat de fills i de quota de diamants siguin iguals.</div><div><br /></div><div>Les quantitats donades a cada fill per norma, abans d'afegir el setè, són una sèrie progressiva creixent (1, 2, 3, 4...) i que formen un nombre triangular. Si tots han d'acabar amb la mateixa quantitat de diamants, per a cada fill anterior a l'últim hem de fer una sèrie regressiva, dels seus setens correponents, que compensi el que ha agafat "per ordre" i iguali amb el germà anterior. Així el penúltim afegirà un diamant amb el seu setè, l'antepenúltim dos, l'anterior 3... És a dir, entre tots els diamants que s'agafen "a setens", formaran el nombre triangular immediatament anterior al de la quantitat de fills. I recordem que la suma de dos nombres triangulars consecutius és sempre un nombre quadrat.</div><div><br /></div><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjQahRGGeisEoPrzI1Heh-sK_WgvmzltI2m-TfymE3GUza3VH7Q2KsoxtzAzqqRr19HSt9dBzzx35wMB-khSCd2k0zCiYuXHrt22uWbr9TsV_QEw2tUrvTsltp8H_kLm-cHfUqw44gFJZ6K1Hjikcln0JfUNStic4ove5BvawEN0QMdRtHCa5kxiFPb1g/s578/suma%20triangulars.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="187" data-original-width="578" height="208" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjQahRGGeisEoPrzI1Heh-sK_WgvmzltI2m-TfymE3GUza3VH7Q2KsoxtzAzqqRr19HSt9dBzzx35wMB-khSCd2k0zCiYuXHrt22uWbr9TsV_QEw2tUrvTsltp8H_kLm-cHfUqw44gFJZ6K1Hjikcln0JfUNStic4ove5BvawEN0QMdRtHCa5kxiFPb1g/w640-h208/suma%20triangulars.png" width="640" /></a></div><br /><div style="text-align: left;"><ul><li><b><span style="color: #660000;">Tercera revisió del problema: la solució és única.</span></b></li></ul><p>Acabem de veure que la solució del total de diamants ha de ser un nombre quadrat i que, el costat d'aquest quadrat, ha de ser la quantitat de fills. També que aquest costat és una unitat inferior a la mida de la partició. Fer set parts a cada nou repartiment, implica que són sis fills. Les expressions generals que havíem obtingut a la taula són correctes. I, a més, ara ja podem afirmar que la solució és única per a cada cas.</p><p>L'observació de que la quantitat de diamants ha de ser la suma de dos nombres triangulars també la podíem haver intuït des del començament. Això significa que tenim una nova resolució "sintetitzada".</p><ul><li><b><span style="color: #660000;">La "resolució" d'en Lucas</span></b></li></ul></div><p style="text-align: left;">Édouard Lucas proposa una visualització de la solució molt interessant i que us presentem en la següent animació.</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEheyLBsdJVXVbESAnQixVaGrIld2Oo29jm3JFC_-B6GECzpGACkOUyXIKdvjv90LhDkeeMXQAns5ld2slAVnGHkoP8g0b_1lgHLqYZq3Pzqkw9fa6RPLVSCJkFjB0b7U5gzq64ISU1Ib1KVlvoKEEypCeYLTgjPtI017W2QaJA2LmRkU8kiiwhwPM_nGw/s255/nabab.gif" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="148" data-original-width="255" height="232" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEheyLBsdJVXVbESAnQixVaGrIld2Oo29jm3JFC_-B6GECzpGACkOUyXIKdvjv90LhDkeeMXQAns5ld2slAVnGHkoP8g0b_1lgHLqYZq3Pzqkw9fa6RPLVSCJkFjB0b7U5gzq64ISU1Ib1KVlvoKEEypCeYLTgjPtI017W2QaJA2LmRkU8kiiwhwPM_nGw/w400-h232/nabab.gif" width="400" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Cal dir que Lucas fa una trampa. L'assenyala molt bé Italo Ghersi en el seu llibre <a href="https://archive.org/details/ghersi-matematica-dilettevole-curiosa" target="_blank">Matematica dilettevole e curiosa</a>, del 1913, i on recull altres problemes de Lucas. Ghersi diu "Aquest mètode, que podem anomenar gràfic, té el defecte de començar per la solució... en comptes d'acabar amb ella; es parteix d'un quadrat de 36 peces... perquè se sap que han de ser aquestes." És a dir, tenim més un visualització de la solució que una autèntica resolució. Lucas no explica d'on treu el 36.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div><ul><li><b><span style="color: #660000;">Anem a l'àlgebra</span></b></li></ul></div><p>Podem resoldre el problema amb particions en setens molt fàcilment si hem fet els raonaments inicials per a deduir que la quantitat de fills, si més no plausiblement, és de 6. Només cal igualar la part que rep el primer fill (un més 1/7 del que queda) amb el que s'obté de dividir el total de diamants entre 6, ja que tots reben la mateixa quantitat final.</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgORFACyUazzfjPKO7Wa1d_HASMc1-Nvbygd6EaK7eBAqDWMYD7IPZazRfjznC_iEusZqIJJg6OUni_7seG613j0LbeS4_DgcyH-hq47__dv6at46_XbmHcq3aP20c69rFLl6APUji-6bpuRYEAPkzvKvdA4XyvFXIydTgVT1_XoDwDSBHcnCQRY5JKEQ/s215/e10.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="60" data-original-width="215" height="60" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgORFACyUazzfjPKO7Wa1d_HASMc1-Nvbygd6EaK7eBAqDWMYD7IPZazRfjznC_iEusZqIJJg6OUni_7seG613j0LbeS4_DgcyH-hq47__dv6at46_XbmHcq3aP20c69rFLl6APUji-6bpuRYEAPkzvKvdA4XyvFXIydTgVT1_XoDwDSBHcnCQRY5JKEQ/s1600/e10.png" width="215" /></a></div><p style="text-align: left;">Però també el podem resoldre sense aquest supòsit; sense tenir en compte la quantitat total de germans. Només cal expressar algebraicament el que reben el 1r i el 2n germà i igualar les dues expressions, ja que sabem que al final tenen la mateixa quantitat. Aquesta idea ens pot servir també per qualsevol tipus de partició amb altres denominadors. Fent-ho així, tornarem a arribar a la conclusió de que la quantitat de fills ha de ser <i>a</i>-1 i el total de diamants (<i>a</i>-1)<sup>2</sup>. Podeu veure el desenvolupament algebraic d'aquest problema en el següent <a href="https://drive.google.com/file/d/1ywoDRegjx7Uk1Ig64Qk3a8OSW1lQAL9d/view?usp=share_link" target="_blank">document enllaçat</a>.</p><p style="text-align: left;"><br /><b><span style="color: #660000; font-size: medium;">I a l'aula?</span></b></p><p style="text-align: left;"><br />Aquest és un problema que, segons com es vulgui atacar, és plantejable a tota la secundària. Fins i tot, amb versió "setens" o denominadors menors, al final de la primària.</p><p style="text-align: left;"></p><ul style="text-align: left;"><li>Una possibilitat és plantejar una situació inicial senzilla (amb quarts, cinquens...) i, després d'una investigació per tempteig pur o tempteig orientat, investigar la generalització "a la força bruta" i investigar el patró de la generalització utilitzant algun full de càlcul. En <a href="https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SASCKOge5qRB2KQnK4TBJiOzbbxa_ioeTobpKT0GmWs/edit?usp=share_link" target="_blank">aquest enllaç</a> en teniu un exemple de full de càlcul que permet canviar els denominadors i veure quan s'obté una solució amb tots els nombres naturals i iguals. No és, si més no del tot, "pensament computacional", però sí que fem servir eines tecnològiques. També és una situació que ens permet ensenyar a utilitzar les fórmules del full de càlcul.</li><li>És important que tinguem pensades les preguntes que volem fer servir a l'aula per orientar les resolucions de problemes o les qüestions d'ampliació. El guió plantejat a l'explicació ens pot donar pistes sobre on dirigir l'atenció del nostre alumnat. En concret, les de la part incial de l'article, apunten a intentar esbrinar el que podem descobrir a partir de les informacions aportades per l'enunciat: quants fills han de ser, comparar fraccions...</li><li>La connexió amb els nombres triangulars no és, inicialment, evident. Especialment si no es coneixen. És una oportunitat per treballar-los.</li><li>Aquest problema ens pot servir de "carta de presentació" per altres problemes curiosos de repatiments i fer observar que sempre han estat una preocupació històrica. Un exemple el trobem, al llibre <a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Suma_de_la_Art_d%27Arism%C3%A8tica" target="_blank">Summa de l'art d'Arismètica</a>, de Francesc Santcliment i imprés al segle XV. Està considerat el primer llibre de matemàtica comercial en català, i un dels primers d'Europa. En ell hi ha tot una capítol dedicat als repartiments proporcionals titulat "Regles de companyies". L'autor hi diu "car per ço es diuen de companyies, que així es passen a risc de perdre com de guanyar i, guanyant, que cadascú n'haja tal part segons té o ha estat en la companyia, i perdent per lo semblant". Mirem un problerma del llibre:</li></ul></div></div><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><div style="text-align: left;">"...han comprat lo càrrec d'una nau, i lo primer paga 1/2. I lo segon 1/3. I lo terç paga 1/4. I venent lo dit càrrec i trobent-se en guany 357 lliures. Vejam que té d'haver cadascú segons la part que cadascú ha pagat"</div></blockquote></blockquote><p style="text-align: center;"></p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEimSLREVkUz0kpAO1-ms-9io2odE-6SS6AmEI9mOn_72-OU1xUY5T9BIk4MDpEEU9mEmC1c9AF3b-pb0Y5foVU6LV_1pRAhjvh0u_5yoXecTEIyDHVfxZyow2RLAVwdKg68EwiNHYbFldhh3cGfpUhScHWDug469yzSJ4E_luWOGmmQzbf3CC-mH411fw/s587/pagina_summa.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="587" data-original-width="372" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEimSLREVkUz0kpAO1-ms-9io2odE-6SS6AmEI9mOn_72-OU1xUY5T9BIk4MDpEEU9mEmC1c9AF3b-pb0Y5foVU6LV_1pRAhjvh0u_5yoXecTEIyDHVfxZyow2RLAVwdKg68EwiNHYbFldhh3cGfpUhScHWDug469yzSJ4E_luWOGmmQzbf3CC-mH411fw/w254-h400/pagina_summa.png" width="254" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Pàgina de la <i>Summa</i> amb part de la resolució del problema</td></tr></tbody></table><br /><p></p><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><p style="text-align: left;">Un dels aspectes interessants del problema és que les parts aportades entre els tres comerciants suma més de la unitat. Si volem fer un repartiment apropiat amb el sistema monetari català de l'època, hem de tenir en compte que una <i>lliura </i>són 20 <i>sous </i>i un <i>sou</i>, 12 <i>diners</i>. </p></blockquote><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><div><div style="text-align: left;">També als <a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Els_nou_cap%C3%ADtols_de_les_arts_matem%C3%A0tiques" target="_blank">Els nou capítols de les arts matemàtiques</a>, llibre xinès del segle III a.n.e, en dedica un apartat: "Repartiments proporcionals segons el rang". Un exemple: </div></div></blockquote><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><div><div style="text-align: left;"> </div></div></blockquote><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><div><div style="text-align: left;">"Tenim cinc oficials de rangs diferents entre els quals s'han de repartir 5 monedes segons el rang als quals corresponen, respectivament 5,4,3,2 i 1. Quina quantitat en rep cadascun?" (Nota: una moneda es pot fraccionar)</div></div></blockquote></blockquote><div><div><br /><p></p></div></div>Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7448640108700542412.post-85362870902619734322022-09-27T10:40:00.003+02:002022-09-27T10:40:34.175+02:00La tauleta babilònica IM 67118: geometria, àlgebra i una mica de "pensament computacional"<p>L'objectiu d'aquest article és donar a conéixer un problema de geometria que apareix a la tauleta babilònica IM 6178. Aquesta tauleta es conserva al Museu Nacional d'Iraq de Bagdad i es va trobar al jaciment de <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Tell_al-Dhiba%27i" target="_blank">Tell edh-Dhiba'i</a> . Se li calculen uns de 3800 anys d'antiguitat.</p><div><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEihupNuI6s7TqHeus4f47RzmbZETh0aTLHoyRDrmyvJU98jXnr8wxYg4EZXfkwyaMW8IeBrKm8QlkntgBoQq8IsRYZId9OfRyjhICg_eeW0CuhQgiGo1FGulgv8m2QgfxaIwPRVE9igaRbEr-KEW6G4c5wTB2p5VFRT6FvECXq8r1ap9cKmszdJMlbWaw/s720/500px-Clay_tablet,_mathematical,_geometric-algebraic,_similar_to_the_Pythagorean_theorem._From_Tell_al-Dhabba'i,_Iraq._2003-1595_BCE._Iraq_Museum.jpg" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="720" data-original-width="500" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEihupNuI6s7TqHeus4f47RzmbZETh0aTLHoyRDrmyvJU98jXnr8wxYg4EZXfkwyaMW8IeBrKm8QlkntgBoQq8IsRYZId9OfRyjhICg_eeW0CuhQgiGo1FGulgv8m2QgfxaIwPRVE9igaRbEr-KEW6G4c5wTB2p5VFRT6FvECXq8r1ap9cKmszdJMlbWaw/s320/500px-Clay_tablet,_mathematical,_geometric-algebraic,_similar_to_the_Pythagorean_theorem._From_Tell_al-Dhabba'i,_Iraq._2003-1595_BCE._Iraq_Museum.jpg" width="222" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Imatge de l'anvers de la tauleta (Font: Viquipèdia)<br /><br /></td></tr></tbody></table><div>El problema que es planteja i resol és el següent:</div><div><br /></div><div style="text-align: center;"><span style="font-size: large;">Trobar la longitud i l'amplada d'un rectangle donades la seva àrea (0,75) i la diagonal (1,25).</span></div><div style="text-align: center;"><br /></div><div>No cal dir que la redacció original no és estrictament així, ni que les mesures, a la tauleta original, estan donades en numeració sexagesimal. </div><div><br /></div><div>Al revers de la tauleta (on continua el text de l'anvers) hi ha un esquema del problema amb les dades.</div><div><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjs33pPTJ3K-SH66XgO2klnsAxHXGOGU4rqwa4pocDNrOW-hAeamy11fyqW6LbZpQz-wZRaCFUBsHhtQw4PgqjhQ3OdXqt2vaM0E_ySqYBA1LQ0yOWFlHv2V7RKcw6_l4h2x26gIPGi8f3DSTwDHxuCRPEe0GWwjxEt5xfmA1E8-CbG2prA5j6QLhM2eA/s846/tauleta_revers2.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="748" data-original-width="846" height="354" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjs33pPTJ3K-SH66XgO2klnsAxHXGOGU4rqwa4pocDNrOW-hAeamy11fyqW6LbZpQz-wZRaCFUBsHhtQw4PgqjhQ3OdXqt2vaM0E_ySqYBA1LQ0yOWFlHv2V7RKcw6_l4h2x26gIPGi8f3DSTwDHxuCRPEe0GWwjxEt5xfmA1E8-CbG2prA5j6QLhM2eA/w400-h354/tauleta_revers2.png" width="400" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Revers de la tauleta i esquema ampliat<br /><br /></td></tr></tbody></table><p>Un aspecte que dona què pensar és la semblança d'estil i contingut amb molts dels problemes que apareixen tradicionalment als llibres de text actuals. Podríem obrir tot un debat sobre aquesta qüestió. Però també ens podem demanar per què pot ser interessant treballar aquest problema a l'aula. Entre d'altres, hi ha tres raons a considerar:</p><p></p><ul style="text-align: left;"><li>perquè ens permet treballar aspectes d'història de les matemàtiques: quina mena de problemes es plantejaven a l'antiga Mesopotàmia? Com els resolien? Quines matemàtiques es coneixien? Com les representaven? Com les explicaven?...</li><li>perquè la resolució actual i la babilònica són força diferents i ens permetrà fer descobertes i connexions riques entre àlgebra i geometria. Fins i tot, descobrir aspectes sorprenents en una reinterpretació geomètrica de les expressions <b>(a+b)<sup>2</sup> </b>i <b>(a-b)</b><sup style="font-weight: bold;">2</sup>.</li><li>perquè si entenem que l'últim convidat curricular, el <i>pensament computacional</i>, està directament relacionat, en un sentit general, amb l'algorítmia, podem fer un estudi interpretatiu, des d'aquest enfocament, de l'algoritme de resolució proposat a la tauleta.</li></ul><p></p><p>Però tornem ara al problema. Mirem primer la resolució moderna.</p><div><ul style="text-align: left;"><li><span style="color: #660000; font-size: medium;"><b>Resolució amb un sistema d'equacions</b></span></li></ul></div><div>No és molt difícil de plantejar: una primera equació que relacionarà la diagonal amb els costats, emprant el teorema de Pitàgores, i una segona equació a partir del càlcul de l'àrea.</div><div><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgipff6ava4dWTLfYNKIr-eCtOS5fs0iGU09c6cUxyi9CFO2R8oGx5aWIEyS3sX9OsiOjZsaKT3mntZQovw1la13aR9olP7I1L1MVvST3ZDxqkcGIBoy_7He8NecvdB8jV9kOPNNqNMnj90imweMkvBinLKjSE2X_z4PZARxKMd_U-fg7CZY3TfYUqBAw/s444/euqcio%20resolta.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="175" data-original-width="444" height="158" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgipff6ava4dWTLfYNKIr-eCtOS5fs0iGU09c6cUxyi9CFO2R8oGx5aWIEyS3sX9OsiOjZsaKT3mntZQovw1la13aR9olP7I1L1MVvST3ZDxqkcGIBoy_7He8NecvdB8jV9kOPNNqNMnj90imweMkvBinLKjSE2X_z4PZARxKMd_U-fg7CZY3TfYUqBAw/w400-h158/euqcio%20resolta.png" width="400" /></a></div><ul style="text-align: left;"><li><b><span style="color: #660000; font-size: medium;">El mètode babilònic</span></b></li></ul><div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; color: black; font-family: "Times New Roman"; font-size: medium; font-style: normal; font-variant-caps: normal; font-variant-ligatures: normal; font-weight: 400; letter-spacing: normal; orphans: 2; text-align: left; text-decoration-color: initial; text-decoration-style: initial; text-decoration-thickness: initial; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: 2; word-spacing: 0px;">El text original de la tauleta el podeu trobar en aquest<span> </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/IM_67118" target="_blank">enllaç</a><span> </span>a la Viquipèdia. Aquí seguirem la trducció més alleugerida que apareix al llibre<span> </span><i>La cresta del pavo real</i><span> </span>de G. Gheverghese. A la següent taula tenim les instruccions que s'hi donen, pas a pas, amb els càlculs associats en el nostre sistema decimal.</div><div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; color: black; font-family: "Times New Roman"; font-size: medium; font-style: normal; font-variant-caps: normal; font-variant-ligatures: normal; font-weight: 400; letter-spacing: normal; orphans: 2; text-align: left; text-decoration-color: initial; text-decoration-style: initial; text-decoration-thickness: initial; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: 2; word-spacing: 0px;"><br /></div><div class="separator" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; clear: both; color: black; font-family: "Times New Roman"; font-size: medium; font-style: normal; font-variant-caps: normal; font-variant-ligatures: normal; font-weight: 400; letter-spacing: normal; orphans: 2; text-align: center; text-decoration-color: initial; text-decoration-style: initial; text-decoration-thickness: initial; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: 2; word-spacing: 0px;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjmisbp9ACzJYKI6DASCiZEGiMEnvkubjrWc75f3_NHizw8SYhdeO7Mgn3phsEvuE1aL3WVmuY5rhI25nYVmyoSf62C4l-qbOrB1LPD6Fzrf11rBrautjGdX9ia4JbPrJaaxfPbo77zLTpd3kbKL8vByUbuGrwOH7pV-Dhgt_B1rnnFsLE110S5WagxhA/s683/taula_resolucio.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="486" data-original-width="683" height="455" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjmisbp9ACzJYKI6DASCiZEGiMEnvkubjrWc75f3_NHizw8SYhdeO7Mgn3phsEvuE1aL3WVmuY5rhI25nYVmyoSf62C4l-qbOrB1LPD6Fzrf11rBrautjGdX9ia4JbPrJaaxfPbo77zLTpd3kbKL8vByUbuGrwOH7pV-Dhgt_B1rnnFsLE110S5WagxhA/w640-h455/taula_resolucio.png" style="cursor: move;" width="640" /></a></div><div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; color: black; font-family: "Times New Roman"; font-size: medium; font-style: normal; font-variant-caps: normal; font-variant-ligatures: normal; font-weight: 400; letter-spacing: normal; orphans: 2; text-align: left; text-decoration-color: initial; text-decoration-style: initial; text-decoration-thickness: initial; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: 2; word-spacing: 0px;"><br /></div><div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; color: black; font-family: "Times New Roman"; font-size: medium; font-style: normal; font-variant-caps: normal; font-variant-ligatures: normal; font-weight: 400; letter-spacing: normal; orphans: 2; text-align: left; text-decoration-color: initial; text-decoration-style: initial; text-decoration-thickness: initial; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: 2; word-spacing: 0px;">Tant a les tauletes mesopotàmiques com als papirs egipcis, s'acostumen a plantejar els problemes i, a continuació, s'expliquen, sense cap mena de justificació, les passes per a resoldre'ls. Si prescindim de les dades concretes que se'ns donen, el que ens proporcionen és un algoritme per a resoldre altres problemes idèntics. Només haurem de canviar les dades d'entrada i seguir les mateixes indicacions operatives. Però una cosa que podem començar a intuir, només mirant la taula, és que l'algoritme de resolució de la tauleta no sembla tenir una relació molt directa amb les passes de resolució del nostre sistema d'equacions anterior. Què feien i per què?</div><p><b><span style="color: #660000; font-size: medium;">T'animes a analitzar l'algoritme de la taulera IM 67118?</span></b></p><p><b><span></span></b></p><a name='more'></a><p></p><p>Per a ajudar a la interpretació sobre què pot amagar l'algoritme, és millor que treballem algebraicament, perquè les relacions entre els nombres es podran veure més clares. Podem fer una taula, semblant a l'anterior, on es presentin els càlculs explicats. Cal advertir que en el pas 8 hem fet una simplificació que no està indicada en l'algoritme, però és un pas que ens ajudarà a observar una relació que, sense simplificar, quedaria amagada.</p><div><br /></div><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiynmyoKur6yZ0oFULQGrvafBWFz2VmanZL1MhQ62PjtaicW7Ec4UbNHH7KyLJO3ur9IvkVLcXJYlHqixGKAqWpJMoxM80eFqw32xvSJ2rLuo3AH_F8ziqrZ3jN_-xS2OL5Ea8jvuVy8EvxsX71A5QFBSNlsE12Csf5PuUQ-mj9xfxwXWfU40TCRWuMCA/s681/taula_resolucio2.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="595" data-original-width="681" height="560" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiynmyoKur6yZ0oFULQGrvafBWFz2VmanZL1MhQ62PjtaicW7Ec4UbNHH7KyLJO3ur9IvkVLcXJYlHqixGKAqWpJMoxM80eFqw32xvSJ2rLuo3AH_F8ziqrZ3jN_-xS2OL5Ea8jvuVy8EvxsX71A5QFBSNlsE12Csf5PuUQ-mj9xfxwXWfU40TCRWuMCA/w640-h560/taula_resolucio2.png" width="640" /></a></div><br /><div>Una de les primeres coses que podem percebre és que la solució té poc a veure amb la resolució del sistema d'equacions "modern" que hem plantejat nosaltres al principi. Per tant, la solució babilònica va per un altre camí ben diferent. I aquí hi trobarem una gran sorpresa. Intentarem veure què signifiquen les expressions <b>d<sup>2</sup>+2A</b> i <b>d<sup>2</sup>-2A</b> que tant de pes semblen tenir en el mètode proposar a la tauleta IM 67118.</div><div><br /></div><div>Un dels aspectes que s'ha de treballar a l'aula, respecte a l'àlgebra, és la interpretació de les relacions que mostren les expressions algebraiques. I, si és possible, a connectar-les. Mirem el quadrat del binomi a+b, des de dos angles geomètrics diferents. El primer és el més clàssic.</div><div><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgh5vpGL69Dq6IU6Zserdkr2SlLn7iqaCEQ9Jxj25PQN8gN_8b23lBs1FZ40YxgO8mHCsmshuSbS_bjSxr31aQv-uc79oJXnmdr_dlsVMt66-aPAFilhIE5QpAYeUfC1ISpr33UR8zgvcwEk3R-A2A8ewYKCt9RqtoWVpNpiHHBYB1NhbD8H0HWP2sQ1A/s415/quadrat%20binomi1.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="415" data-original-width="340" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgh5vpGL69Dq6IU6Zserdkr2SlLn7iqaCEQ9Jxj25PQN8gN_8b23lBs1FZ40YxgO8mHCsmshuSbS_bjSxr31aQv-uc79oJXnmdr_dlsVMt66-aPAFilhIE5QpAYeUfC1ISpr33UR8zgvcwEk3R-A2A8ewYKCt9RqtoWVpNpiHHBYB1NhbD8H0HWP2sQ1A/s320/quadrat%20binomi1.png" width="262" /></a></div><div class="separator" style="clear: both;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both;">Però el segon, molt menys conegut, sembla que ja devia formar part dels sabers babilònics.</div><div class="separator" style="clear: both;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjZkMVAfLLhYKwgcssx_1s-HZxep47bsVNEHloBKNUvq_G6UXEQSA_wbs54ILJM5FbXLFAhTr8pvizzFtU069pZRP05f6OiVFVNxzd5PIR-K9aXLeSYGPFcjz8Zn6TA68OCyX-6iXp0g-AWH-BGGWQvGdinb9wdlrI96reryD9iEcNiDcXoCwA86zIuYw/s363/quadrat%20binomi2.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="363" data-original-width="340" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjZkMVAfLLhYKwgcssx_1s-HZxep47bsVNEHloBKNUvq_G6UXEQSA_wbs54ILJM5FbXLFAhTr8pvizzFtU069pZRP05f6OiVFVNxzd5PIR-K9aXLeSYGPFcjz8Zn6TA68OCyX-6iXp0g-AWH-BGGWQvGdinb9wdlrI96reryD9iEcNiDcXoCwA86zIuYw/s320/quadrat%20binomi2.png" width="300" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div>És a dir, el quadrat de la suma dels dos costats d'un rectangle és igual a la suma del quadrat de la seva diagonal més el doble de la seva àrea. D'una manera semblant podem deduir que <b>(a-b)<sup>2</sup>=d<sup>2</sup>-2A</b>. Sabent això podem deduir que en el pas 4 de l'algoritme es calcula la suma dels dos costats del rectangle directament, a partir de les mesures de la diagonal i de l'àrea. I al pas 8 la meitat de la seva diferència. A la imatge es mostra el càlcul per a obtenir la diferència, no la seva meitat.</div><div><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjK7OqyArKyAagB1SDpqSAscs6voGFZOBhiqv4Ft-oGYPpj2wVpVct2GgXBVGYB3xiH6UcguZ64aj0ZxHEpSgrrShF-gTIi-rVU9Qp1dDDZS6VptoGcuExVKu5gK38NNSn46jVuI62hI1jcEhvbAn5ORFzMXSfF7nMSpqGFoCxJOFdUc8Nvk5jzGRKY0A/s632/suma%20i%20dif%20de%20costats.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="589" data-original-width="632" height="373" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjK7OqyArKyAagB1SDpqSAscs6voGFZOBhiqv4Ft-oGYPpj2wVpVct2GgXBVGYB3xiH6UcguZ64aj0ZxHEpSgrrShF-gTIi-rVU9Qp1dDDZS6VptoGcuExVKu5gK38NNSn46jVuI62hI1jcEhvbAn5ORFzMXSfF7nMSpqGFoCxJOFdUc8Nvk5jzGRKY0A/w400-h373/suma%20i%20dif%20de%20costats.png" width="400" /></a></div><div class="separator" style="clear: both;">Les passes 9 i 10 són el remat final: què obtenim si sumem la suma i la diferència de dos nombres? El doble d'un d'ells. I si les restem? El doble de l'altre nombre! Amb unes divisions per 2 ja tenim les solucions buscades.</div><div class="separator" style="clear: both;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgN5tiGQLqpysZT1jU9Rd8KaYQQASXJwVDSk71hOZTDZZDZ1DlJb1vXbwYZsXAvrGiW-zvrinO76Pnfdp7hmx_EdECH9xHJM8sojanjT-GC6stfSIqMkG5PK0xADPZGxBZ-6NcDbl6IVftEyTJ-xlZKYJ7gXx6u80AfL0MnOBb-WnJCoKdfsGwT2Lpdqw/s874/calcul%20finals.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="204" data-original-width="874" height="150" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgN5tiGQLqpysZT1jU9Rd8KaYQQASXJwVDSk71hOZTDZZDZ1DlJb1vXbwYZsXAvrGiW-zvrinO76Pnfdp7hmx_EdECH9xHJM8sojanjT-GC6stfSIqMkG5PK0xADPZGxBZ-6NcDbl6IVftEyTJ-xlZKYJ7gXx6u80AfL0MnOBb-WnJCoKdfsGwT2Lpdqw/w640-h150/calcul%20finals.png" width="640" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both;">Una meravella de resolució plena de sorpreses i que queden desvetllades per la interpretació d'expressions algebraiques i connexions entre elles i aspectes geomètrics.</div><div class="separator" style="clear: both;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both;">Hi ha una altra forma geomètrica de visualitzar el parell de relacions <b>(a-b)<sup>2</sup>=d<sup>2</sup>-2A </b>i <b>(a+b)<sup>2</sup>=d<sup>2</sup>+2A</b>.</div><div class="separator" style="clear: both;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhxUZPvTPssFkz4s5jB4TlSG8NE_JHnpnNpVzcTRSOw8Mdms5K-zwtaZOTzWATWrmnFb_nJikpry-wHKqscn0Q_Gw6JUiGt2GtJ-6Kxx8orVJ77MXQNcwwMBgY3-gAtSJ0Wy1yFg7Fm6swOyMaJXvw9X-VjTkMtWwN5nRB8Z7e4qKrNQ4-gMDww2CA9Mg/s761/igualtat1.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="299" data-original-width="761" height="252" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhxUZPvTPssFkz4s5jB4TlSG8NE_JHnpnNpVzcTRSOw8Mdms5K-zwtaZOTzWATWrmnFb_nJikpry-wHKqscn0Q_Gw6JUiGt2GtJ-6Kxx8orVJ77MXQNcwwMBgY3-gAtSJ0Wy1yFg7Fm6swOyMaJXvw9X-VjTkMtWwN5nRB8Z7e4qKrNQ4-gMDww2CA9Mg/w640-h252/igualtat1.png" width="640" /></a></div><p><br /></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgdW7aZ2hn_kiz6kNc1FjKtTWDCV9fBMudhycA1fX88-WYA99eg1TBHY11xwIIP0nSRXKvvg-ZbvoTu-qvDMHIE1FsJRDLYQwQlhkTJvkODC6g6AsNhQlAEam_F16_vOGpS7CrdfdEEQrWr5Rb8Vt9DIrVb0FdJGwN9XQ78V8Z6W6jjuxgYnPcyYtrqSQ/s733/igualtat2.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="294" data-original-width="733" height="256" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgdW7aZ2hn_kiz6kNc1FjKtTWDCV9fBMudhycA1fX88-WYA99eg1TBHY11xwIIP0nSRXKvvg-ZbvoTu-qvDMHIE1FsJRDLYQwQlhkTJvkODC6g6AsNhQlAEam_F16_vOGpS7CrdfdEEQrWr5Rb8Vt9DIrVb0FdJGwN9XQ78V8Z6W6jjuxgYnPcyYtrqSQ/w640-h256/igualtat2.png" width="640" /></a></div><div>És plausible, encara que no estigui documentat de forma directa, que a l'antiga Mesopotàmia coneguessin</div><ul><li><b><span style="color: #660000; font-size: medium;">I a l'aula?</span></b></li></ul><div>Tornem als tres aspectes plantejats a la primera part de l'article.</div><div><ul style="text-align: left;"><li><b>L'aspecte històric</b>. No entrarem en remarcar les grans "virtuts" de treballar aspectes d'història de les matemàtiques a l'aula. Algunes d'elles són força evidents: veure la matemàtica com una ciència en evolució, proporcionar un context ric per a la resolució de problemes i ser font de connexions, etc. Concretament, en aquest problema, és important destacar la forma de "representació del problema": retòrica. El llenguatge algebraic, tal com l'entenem ara, té pocs segles d'existència. El que actualment representaríem amb una fórmula, a l'antiguitat es donava com una cadena d'instruccions de càlcul on, en comptes d'utilitzar lletres per a representar les variables, es donaven uns valors d'exemple, que nosaltres podríem canviar posteriorment. I les possibles justificacions les obtindrem d'una mena d'àlgebra geomètrica, poc documentada en el cas de mesopotàmia o Egipte, però profusament constatada en les matemàtiques gregues, àrabs o xineses.</li><li><b>L'aspecte matemàtic</b>. De tot l'engranatge matemàtic emprat cal destacar-ne un, també relacionat amb l'àlgebra. Sovint treballem la traducció algebraica en un sentit: expressar una sèrie de càlculs en una mena de fórmula, que després manipularem més o menys, per a simplificar-la, segons ho permeti aquesta. Es treballa una mica menys la "traducció inversa", és a dir, explicar retòricament (de forma oral o escrita), quins càlculs ens demana una expressió algebraica o inferir, i explicar també, quines relacions existeixen entre les variables que hi apareixen. Molt menys encara es treballa el "reconeixement" d'expressions: la connexió d'expressions "noves" amb "expressions "ja conegudes". En <a href="http://calaix2.blogspot.com/search?q=babiloni" target="_blank">uns articles anteriors</a> ja vam estudiar un problema sobra àrees de trapezis on, sorprenentment, apareixia el Teorema de Pitàgores i que només el vèiem a la fórmula final, ja que no s'havia utilitzat directament en cap moment. Aquí ens passa una cosa semblant: el problema ens convida a mirar d'una altra manera el desenvolupament del quadrat del binomi i a reconèixer en ell uns aspectes geomètrics que, molt probablement, mai havíem observat.</li><li><b>La relació amb el treball computacional</b>. Aquí cal estendre's una mica més. Hi ha molta discussió, i més des de la seva inclusió al currículum, sobre què significa "pensament computacional". Hi ha dos extrems clars, aquells pels què el pensament computacional és pràcticament qualsevol cosa i aquells que només ho és allò que està orientat a la programació. Entre aquestes dues posicions podem trobar una altra, segurament més assenyada, en la que aquest tipus de pensament està relacionat, més o menys fortament, amb l'algorítmia, sense necessitat d'entendre aquest terme d'una forma estricta. Podem concretar una mica més si analitzem una definició del terme "algoritme". Per exemple, podem agafar la del llibre <i><a href="https://www.belin-education.com/histoire-dalgorithmes" target="_blank">Histoire d’algorithmes</a></i> (coordinat per Jean-Luc Chabert):<blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><p>"Un algoritme es defineix com un conjunt finit i organitzat d’instruccions que ha de donar resposta a un problema."</p></blockquote><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiNnj3pmG6PzDcU9fLQGfaMAd9r3shKjE7v2GMbuLmxH4_FQgXKmOg_hVZxodZ5J9dv65T0IkiFX2HuOwymB7Wes1EittYRFQp7fnLxGSaFwtmhYSjMeh5pzD9FoK6I5TGseSJ1UyTSbX3mGlmi4vsrlT6AhIgZhg25DidDpLRyQUJrXQZjZ9oJCFLx7Q/s450/70115518.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="450" data-original-width="321" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiNnj3pmG6PzDcU9fLQGfaMAd9r3shKjE7v2GMbuLmxH4_FQgXKmOg_hVZxodZ5J9dv65T0IkiFX2HuOwymB7Wes1EittYRFQp7fnLxGSaFwtmhYSjMeh5pzD9FoK6I5TGseSJ1UyTSbX3mGlmi4vsrlT6AhIgZhg25DidDpLRyQUJrXQZjZ9oJCFLx7Q/s320/70115518.jpg" width="228" /></a></div><p>De la definició, entenem que l'algorítmia (i, per tant, el pensament computacional) està íntimament lligada a la resolució de problemes. I que, d'alguna manera, l'algoritme ens explica què hem de fer per a resoldre'l. Si davant d'un problema tenim un algoritme que el soluciona, no tenim problema. Només l'hem d'aplicar, encara que no entenguem què estem fent. Això sí, l'algoritme ha d'estar clarament explicat i no hem de tenir dubtes del que hem de fer a cada pas. Però a l'aula hem d'aspirar a alguna cosa més que a aquesta aplicació cega dels algoritmes. De fet, a l'aula s'haurien de treballar tres aspectes clau de nivells diferents:</p><p></p><ul><li>Saber aplicar l'algoritme relatiu a un problema concret.</li><li>Saber interpretar un algoritme, saber explicar per què funciona. És a dir, investigar cap a on ens condueix el conjunt de passes que el formen i per què les fem.</li><li>Saber construir el mètode per a resoldre un problema determinat i descriure les passes del mètode de forma clara.</li></ul></li></ul>No cal arribar, a l'últim pas, a escriure un algoritme, en llenguatge de programació o no, sinó, semzillament, trobar la manera d'explicar a una altra persona què ha de fer per resoldre una qüestió determinada. Explicar un mètode, una recepta. Podeu ampliar idees sobre aquests tres punts al vídeo de la proposta "<a href="https://youtu.be/_oZNy1And-o?t=3016" target="_blank">Si tinc un algoritme, no tinc problema</a>" del C2EM 2020 on es planteja treballar cadascun d'aquests aspectes: l'aplicació, en un context de laberints, la justificació, a partir d'algoritmes aritmètics antics, i la construcció, a partir de jocs d'estratègia.<br /><br /><ul style="text-align: left;"><li><b>I amb els més petits?</b> És molt clar que aquest és un problema més idoni per al final de l'ESO o per batxillerat. Però part de les idees plantejades es poden treballar amb alumnat de cursos inferiors amb altres problemes. Per exemple del <a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Papir_de_Rhind" target="_blank">Papir d'Ahmes</a> egipci on tenim una col·lecció de 87 problemes, molts d'ells més accessibles. Al papir, com a la tauleta comentada en aquest article, s'enuncien els problemes i s'indiquen, un a un, els càlculs que s'han de fer. En aquest <a href="http://www.egiptologia.org/ciencia/matematicas/papiro_rhind.htm" target="_blank">enllaç</a> podeu trobar la relació de problemes. Però, per a obrir boca, compartim un parell de problemes:<br /><br /></li><ul><li><b>Problema 26</b>. "Una quantitat i el seu quart es converteixen en 15, i es demana calcular la quantitat."</li><ol><li>"Pren el 4 i llavors se n'obté 1/4 en 1, en total 5"</li><li>"Divideix entre 5 15 i obtens 3"</li><li>"Multiplica 3 per 4 obtenint 12, del qual 1/4 és 3, en total 15"<br /><br /></li></ol><li><b>Problema 51</b>. "Quina és l'àrea dun triangle (rectangle) de costat 10 jet i base 4 jet?"</li></ul><ol><ol><li>"Pren la meitat de 4 per formar un rectangle".</li><li>"Multiplica 10 per 2 i el resultat, 20. És l'àrea buscada".</li></ol></ol></ul></div>Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7448640108700542412.post-23427845271358714232022-05-14T18:33:00.002+02:002022-06-01T17:58:08.575+02:00Passar de 6 i rectificació de passar de 12<p>Abans de llegir aquest article, i si no voleu tenir espòilers , és millor que llegiu una entrada anterior relacionada: <a href="http://calaix2.blogspot.com/2020/03/passar-de-12.html" target="_blank"><i>Passar de 12</i></a>. Si ja coneixeu l'activitat, o us és diferent que s'esguerrin algunes sorpreses, podeu continuar. En tot cas, i per situar, recordem breument com era l'activitat <i>Passar de 12</i>.</p><p></p><ul style="text-align: left;"><li>Agafem un dau</li><li>L'anem tirant i sumant les puntuacions.</li><li>Ens aturem quan arribem a una suma superior a 12. (Atenció! 12 no val! Ha de ser superior: 13, 14, 15...)</li></ul><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-6TnCTb1jelY/XmUk8VUh4GI/AAAAAAAAERk/4dww5_ch3v83aLw2-9ibXBS1Fc0sQeqLQCLcBGAsYHQ/s460/daus.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="132" data-original-width="460" height="92" src="https://1.bp.blogspot.com/-6TnCTb1jelY/XmUk8VUh4GI/AAAAAAAAERk/4dww5_ch3v83aLw2-9ibXBS1Fc0sQeqLQCLcBGAsYHQ/s320/daus.png" width="320" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Exemple de tirades que s'aturen a 16</td></tr></tbody></table><br /><div style="text-align: left;">La pregunta de l'activitat era demanar per quin nombre apostaríem com a resultat final. Si fem l'experiment a l'aula veurem que la majoria d'apostes estan entre el 14 i el 16. Però, i d'aquí ve la sorpresa de l'activitat, el resultat més probable és 13. La raó que donàvem, en el seu moment, era que a 13 podem arribar des de sis resultats anteriors, des de 7, 8, 9, 10, 11 o 12, traient amb el dau un 6, un 5, un 4, un 3, un 2 o un 1, respectivament. A 14 arribarem des de cinc resultats. A 13 des de quatre... I així fins al darrer resultat possible, 18, al que només podem arribar d'una manera: des de 12 i traient un sis. Presentàvem la següent taula per a justificar el raonament.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-AutqZPdk4Io/XmUwRMQVktI/AAAAAAAAERw/tXJ-aXJ5bEQcPKK9gThPa-6zbSgcKdbiQCLcBGAsYHQ/s629/taula_passar_12.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="317" data-original-width="629" src="https://1.bp.blogspot.com/-AutqZPdk4Io/XmUwRMQVktI/AAAAAAAAERw/tXJ-aXJ5bEQcPKK9gThPa-6zbSgcKdbiQCLcBGAsYHQ/s16000/taula_passar_12.png" /></a></div><div><br /></div>Aquests resultats es corresponen força bé amb els que es poden obtenir amb un <a href="https://scratch.mit.edu/projects/373672191" target="_blank">applet fet amb scratch</a> que ens permet experimentar tantes vegades com vulguem.<br /><div style="text-align: center;"><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjNrOZDGCnyDclnDJZIYgBCk8zvAIUJ4s9S4uBelyK4dFjb5UEFvmjZcj6DZmSim8Qit3ESKwKkrHBYQq0BGW77km0MZuE3LVPT94EnlyKzYXV12EpdrMloWMTgN-zoT36WFpy0Jdzh-WxMsfo4tjl0SqVaifME67Sk_fc-XsPuw-ItUloE7b3vUndCKA/s456/resultats%2012%20milio.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="335" data-original-width="456" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjNrOZDGCnyDclnDJZIYgBCk8zvAIUJ4s9S4uBelyK4dFjb5UEFvmjZcj6DZmSim8Qit3ESKwKkrHBYQq0BGW77km0MZuE3LVPT94EnlyKzYXV12EpdrMloWMTgN-zoT36WFpy0Jdzh-WxMsfo4tjl0SqVaifME67Sk_fc-XsPuw-ItUloE7b3vUndCKA/s16000/resultats%2012%20milio.png" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Resultats d'un milió d'experiments amb l<a href="https://scratch.mit.edu/projects/373672191" target="_blank">'applet</a></td></tr></tbody></table><br />Fins aquí el que teníem. Però tot va trontollar quan la Cecilia Calvo, "la de l'ull precís", em va enviar un missatge que va posar en dubte l'explicació donada. Tot venia d'una adaptació del joc que va preparar per a fer-lo més analitzable a l'aula: <i>Passar de 6</i>. En aquest cas es pot fer un anàlisi més exhaustiu de totes les possibilitats. És a dir, mirar exactament de quantes maneres diferents puc arribar a un resultat concret..<p></p><p>Si apliquem el raonament presentat originalment a l'activitat <i>Passar de 12</i>, ara només hauríem de fer una petita adaptació de valors de la taula justificativa, però arribaríem als mateixos resultats que amb el 12.</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhHs_XZIxJzttiSKt2D8_eH4CF46ne_y0fw6TNi7bpL2IGQu5sj1rUBUXWU6b3rwe0FFMdsSEU3zqg3xAWEuGlAopQRRAqKjtBIi7ql0nf-zllkT3KO9NgiYFbdHSYkawTxNov34c7ePI-qgkc7bpqlkGeDMZik0Uw9b9wsNKbQIWpE4o6bEvbtd7YPRA/s508/taul%20passar%206%20inexacta.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="301" data-original-width="508" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhHs_XZIxJzttiSKt2D8_eH4CF46ne_y0fw6TNi7bpL2IGQu5sj1rUBUXWU6b3rwe0FFMdsSEU3zqg3xAWEuGlAopQRRAqKjtBIi7ql0nf-zllkT3KO9NgiYFbdHSYkawTxNov34c7ePI-qgkc7bpqlkGeDMZik0Uw9b9wsNKbQIWpE4o6bEvbtd7YPRA/s16000/taul%20passar%206%20inexacta.png" /></a></div><p style="text-align: left;">Però si fem la mirada que proposa la Cecília, cercar exhaustivament tots els casos, els resultats als que s'arriben són diferents.</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhqiT9YAgsD39cveLbQMBrvQtE91VAL9uiF8rREYphYJnCXrMh_01OIazPF4FYf3XlglZudTbt_3KtiP_IP17veDE7qn8KX5wjQ59CynPmXIQoGVa_TkgrcdDjSKMoM0XlQkxykuCTsqOpkZYynYumdScBQbSv8aT4JruyDj4Dm7XAh_tKJGd9h8j9Ivg/s501/comparacio%20c-blog.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="501" data-original-width="425" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhqiT9YAgsD39cveLbQMBrvQtE91VAL9uiF8rREYphYJnCXrMh_01OIazPF4FYf3XlglZudTbt_3KtiP_IP17veDE7qn8KX5wjQ59CynPmXIQoGVa_TkgrcdDjSKMoM0XlQkxykuCTsqOpkZYynYumdScBQbSv8aT4JruyDj4Dm7XAh_tKJGd9h8j9Ivg/s16000/comparacio%20c-blog.png" /></a></div><div><br /></div>Així que vaig rebre el missatge de la Cecilia vaig recordar una famosa cita d'un dels pares del càlcul de probabilitats, Pierre-Simon Laplace, que al seu <i>Essai philosophique sur les probabilités </i>escrivia:<div><br /></div><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><div style="text-align: left;"><div>“La teoria de probabilitats va unida a consideracions delicades i no és estrany que, partint de les mateixes dades, dues persones arribin a resultats diferents.”</div></div></blockquote><p>La prova del cotó de que, com no, el raonament de la Cecilia era el correcte, ens la dona l'experimentació amb un nou<a href="https://scratch.mit.edu/projects/686906211/fullscreen/" target="_blank"> applet Passar de 6</a>. </p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjVVO1SVfLodG0bU4txpIJILK5l5crQiKqOKlmhpZsmaukM0_gaaXxxEBWdrn5VCBlljRZlMOVinhO-KTlCUkUthBPJOYWBVeYQhB15TQsfjULNyqNfIzNT1G-69tzzRPGxrobJV72wFwmJtvo9VMBjOGBYbVDvC1jFoY0BmUbX70cid6KGlZDkJddAfg/s425/resultats%206%20milio.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="303" data-original-width="425" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjVVO1SVfLodG0bU4txpIJILK5l5crQiKqOKlmhpZsmaukM0_gaaXxxEBWdrn5VCBlljRZlMOVinhO-KTlCUkUthBPJOYWBVeYQhB15TQsfjULNyqNfIzNT1G-69tzzRPGxrobJV72wFwmJtvo9VMBjOGBYbVDvC1jFoY0BmUbX70cid6KGlZDkJddAfg/s16000/resultats%206%20milio.png" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Resultats d'un milió d'experiments amb l'<a href="https://scratch.mit.edu/projects/686906211" target="_blank">applet</a></td></tr></tbody></table><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div>Aquesta nova mirada posava en dubte els resultats previstos per al joc <i>Passar de 12</i>, tot i que l'experimentació els corroborava.<div><br /></div><div>Ho mirem tots amb calma de nou? Revisem l'estudi del joc? Apliquem l'anàlisi de la Cecilia al cas de 12 i altres casos nous?</div><div><b><span style="color: #990000;"><br /></span></b></div><div><b><span style="color: #990000;">Us animeu a continuar?</span></b></div><span><a name='more'></a></span><div>Un senzill raonament ens fa veure que l'estudi abreujat que proposàvem al blog és més inexacte que l'exhaustiu. L'abreujat estudiava només la darrera tirada, no es plantejava de quina manera s'havia arribat a la situació anterior a aquesta. És a dir, miràvem què podia passar si a la penúltima jugada teníem, per exemple, un nou, però suposàvem que els camins per arribar a nou eren els mateixos que per arribar a set, vuit, deu, onze o dotze, cosa que no és certa. Com es diu sovint "la percepció retrospectiva és una ciència exacta".</div><div><br /><b><span style="color: #990000;">L'estudi exhaustiu per al cas del 6 com a "frontera"</span></b></div><div><b><span style="color: #990000;"><br /></span></b></div><div>Seguirem la línia proposada per la Cecilia. Per a fer l'estudi exhaustiu hem d'investigar tots els camins per arribar a un resultat concret. Per exemple, per arribar a 11 tenim un total de 48 possibilitats. A la taula apareixen organitzades segons la quantitat de tirades.</div><div><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjmmiocF3gEVMoe7uhXfEzUnzigRDrVip0mx8atj9IXrUEmiYkO5Ulggvoq3JUuRapaH82w4R_d_1LIYyV_9RkSWGSeuNCwrLkQ-VI3YzDKPSa2c3jt4eMY0opNKMmimVKCVpeejSSrEpfjDRzfY1KXVX4WvX0J4T9K68dk7LbriG727wOSD0TqQY2ORA/s465/taula%20resultat%2011.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="303" data-original-width="465" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjmmiocF3gEVMoe7uhXfEzUnzigRDrVip0mx8atj9IXrUEmiYkO5Ulggvoq3JUuRapaH82w4R_d_1LIYyV_9RkSWGSeuNCwrLkQ-VI3YzDKPSa2c3jt4eMY0opNKMmimVKCVpeejSSrEpfjDRzfY1KXVX4WvX0J4T9K68dk7LbriG727wOSD0TqQY2ORA/s16000/taula%20resultat%2011.png" /></a></div><br /><div style="text-align: left;">Si fem l'estudi de la quantitat de casos per a cada resultat i cada quantitat de tirades (entre un mínim de 2 i un màxim de 7) obtindrem la següent taula que ens indica, per exemple, que per a obtenir un resultat de10 en 4 tirades tenim 19 casos (o camins) diferents.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgpx2s8GnJDKgfpCxtvKO_d344HlW5Lyb0hFKquOyuiC_VP8FHfLUVOcg7HyeR7F1BiO7R2JeDRCmT5xb0AxoEKWebgMqTzfp8nUc9UnU_oEalom4zqlGVD1bNzdmSCAbdwKQQ1W49oxLceua6tBqYswokrN0tnIT4RmztGkIUn1faBVYCmGshs9m4mlg/s488/taula%20casos%206.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="273" data-original-width="488" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgpx2s8GnJDKgfpCxtvKO_d344HlW5Lyb0hFKquOyuiC_VP8FHfLUVOcg7HyeR7F1BiO7R2JeDRCmT5xb0AxoEKWebgMqTzfp8nUc9UnU_oEalom4zqlGVD1bNzdmSCAbdwKQQ1W49oxLceua6tBqYswokrN0tnIT4RmztGkIUn1faBVYCmGshs9m4mlg/s16000/taula%20casos%206.png" /></a></div><br /><div style="text-align: left;">Ara ens toca calcular la probabilitat de cada casella. Per trobar-la, per exemple per la casella d'obtenir 8 amb dues tirades, haurem de tenir en compte que, hi ha 5 casos favorables de 36 possibles (6<sup>2</sup>). Amb tres tirades hi ha 15 favorables i els possibles seran 216 (6<sup>3</sup>), amb quatre tirades són 20 favorables entre 1296 (6<sup>4</sup>) possibles, etc.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg2ThS8j-0ITYsDSnAwYhEiTzTuEWZ_Obx70wiP1vLOQgHDrXpvSGtdqhDBWCLD4qeEI38c0PZXLvFjbN-6BUk17t08ercVSzn_4KQ7abrFc_ke3wPoDBJEZMlLZYL12ULRKtUknYPO9ho2cqn4D2Sz1qUsx0C4ObGMpLY_J5sy-v_bM-8FrFAjEJoHGA/s484/taula%20probabiltat%206.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="315" data-original-width="484" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg2ThS8j-0ITYsDSnAwYhEiTzTuEWZ_Obx70wiP1vLOQgHDrXpvSGtdqhDBWCLD4qeEI38c0PZXLvFjbN-6BUk17t08ercVSzn_4KQ7abrFc_ke3wPoDBJEZMlLZYL12ULRKtUknYPO9ho2cqn4D2Sz1qUsx0C4ObGMpLY_J5sy-v_bM-8FrFAjEJoHGA/s16000/taula%20probabiltat%206.png" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Ja només queden els càlculs i el recompte final. Per exemple, per saber la probabilitat d'obtenir 10 haurem de sumar les probabilitats de tota la columna del 10 (la de fer-ho en dues tirades, més la de fer-ho en tres, més la de quatre...).</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEglXa5Fg8uynvmUMi6-NrryIIFNc2DbGzIa_tuMb6W1AAICKUWYs1RAZ6XjMwgbTewh5ZtTcbsHAPpCtFceQU5624Bf_n5zt5Gkij3hPmFvTwUe6afiiaU4DILU4U1s6QiGLWOJl9PyMvWUIT6wLqw-E7vAxEsDKV70FCragO4RhjlyVvZjiQMjla_ibA/s513/taula%20probabilitat%206-b.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="358" data-original-width="513" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEglXa5Fg8uynvmUMi6-NrryIIFNc2DbGzIa_tuMb6W1AAICKUWYs1RAZ6XjMwgbTewh5ZtTcbsHAPpCtFceQU5624Bf_n5zt5Gkij3hPmFvTwUe6afiiaU4DILU4U1s6QiGLWOJl9PyMvWUIT6wLqw-E7vAxEsDKV70FCragO4RhjlyVvZjiQMjla_ibA/s16000/taula%20probabilitat%206-b.png" /></a></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Aquests resultats sí que s'ajusten bé amb els que hem obtingut experimentant un milió de vegades.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjVVO1SVfLodG0bU4txpIJILK5l5crQiKqOKlmhpZsmaukM0_gaaXxxEBWdrn5VCBlljRZlMOVinhO-KTlCUkUthBPJOYWBVeYQhB15TQsfjULNyqNfIzNT1G-69tzzRPGxrobJV72wFwmJtvo9VMBjOGBYbVDvC1jFoY0BmUbX70cid6KGlZDkJddAfg/s425/resultats%206%20milio.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="303" data-original-width="425" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjVVO1SVfLodG0bU4txpIJILK5l5crQiKqOKlmhpZsmaukM0_gaaXxxEBWdrn5VCBlljRZlMOVinhO-KTlCUkUthBPJOYWBVeYQhB15TQsfjULNyqNfIzNT1G-69tzzRPGxrobJV72wFwmJtvo9VMBjOGBYbVDvC1jFoY0BmUbX70cid6KGlZDkJddAfg/s16000/resultats%206%20milio.png" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Resultats d'un milió d'experiments amb l'<a href="https://scratch.mit.edu/projects/686906211" target="_blank">applet</a></td></tr></tbody></table><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div><b><span style="color: #990000;">L'estudi exhaustiu per al cas del 12 com a "frontera"</span></b></div><div><b><span style="color: #990000;"><br /></span></b></div><div>És el moment de refer el càlcul de la probabilitat per a quan juguem a "passar de 12". Les quantitats de tirades possibles ara estaran entre un mínim de 3 i un màxims de 13. Ara són massa els casos com per a trobar-los manualment. Per tant hem tirat d'ordinador per a obtenir els resultats.</div><div><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjsEFS65q859rXPMy1FW-CbXTBwcsZ0ROZN5HvdMLiSE3TzOEavoENbWx3iHrsqk9wrzLXsK5JiH1LxaMvMyo81nooVVRicvpSoWzSG-X_5nfT69PyU4KftdX7NtU79hG-fo-cysOrW5wTp3fq2t8vw4K85FG1mihxxtUIU6zHTEX6m20ciD8bjg-sdsQ/s487/taula%20casos%208.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="362" data-original-width="487" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjsEFS65q859rXPMy1FW-CbXTBwcsZ0ROZN5HvdMLiSE3TzOEavoENbWx3iHrsqk9wrzLXsK5JiH1LxaMvMyo81nooVVRicvpSoWzSG-X_5nfT69PyU4KftdX7NtU79hG-fo-cysOrW5wTp3fq2t8vw4K85FG1mihxxtUIU6zHTEX6m20ciD8bjg-sdsQ/s16000/taula%20casos%208.png" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Per a calcular les probabilitats totals de cada resultat possible haurem sumar les que apareguin a la seva columna. Cal recordar que els casos possibles de la 1a fila són 36 (6<sup>2</sup>), de la 2a són 216 (6<sup>3</sup>)... i així fins a la 7a fila que seran 13 060 694 016 (6<sup>7</sup>).</div><div style="text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEghM4rMFNMRLyUQG6dT8EmhJgQgnD8PJU1eTyUtYkZaoZBmYa6APg6kwZ1ih5PTHA-s0atwd5twXhPcH0qz10MYTEHa3wQ1ahe91-1rSv6TG2_on8XWwvLc_-DETaOe-SHlQz2uoUSUg5XjcrOglUz9acywQQzYmpexmmlOUneKqnT0KBOdwslC5OJE9w/s484/taula%20probabiltat%208.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="391" data-original-width="484" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEghM4rMFNMRLyUQG6dT8EmhJgQgnD8PJU1eTyUtYkZaoZBmYa6APg6kwZ1ih5PTHA-s0atwd5twXhPcH0qz10MYTEHa3wQ1ahe91-1rSv6TG2_on8XWwvLc_-DETaOe-SHlQz2uoUSUg5XjcrOglUz9acywQQzYmpexmmlOUneKqnT0KBOdwslC5OJE9w/s16000/taula%20probabiltat%208.png" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div>Si comparem el "mètode Cecilia" amb el que s'augurava al Blog en el seu moment, es veurà que els resultats són molt pròxims i d'aquí que les petites diferències, passessin desapercebudes al comparar-les als resultats experimentals.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg--e16-0hmyZi8BIgWGUke-nZALfZ2g8k8LVTJ6CPiNezSJoingwTachYTtL6fcmXuWgjNv6zoPfyThTQsFi3kASy-1nT3WCl0RkvZjNs_w9LHhZLHazHa_PmOW6WOVX7BUxHNRQmTFP45vC1AR3MOKsTUqQ4LHugVGPJFY9-xfmPRFP43b5qwXvhIHg/s502/comparacio%201%20c-blog.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="502" data-original-width="441" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg--e16-0hmyZi8BIgWGUke-nZALfZ2g8k8LVTJ6CPiNezSJoingwTachYTtL6fcmXuWgjNv6zoPfyThTQsFi3kASy-1nT3WCl0RkvZjNs_w9LHhZLHazHa_PmOW6WOVX7BUxHNRQmTFP45vC1AR3MOKsTUqQ4LHugVGPJFY9-xfmPRFP43b5qwXvhIHg/s16000/comparacio%201%20c-blog.png" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div>Tornem a comparar amb l'experiment "del milió" i veiem que, ara, els resultats són molt més ajustats. Les diferència no passen d'una centèsima.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjNrOZDGCnyDclnDJZIYgBCk8zvAIUJ4s9S4uBelyK4dFjb5UEFvmjZcj6DZmSim8Qit3ESKwKkrHBYQq0BGW77km0MZuE3LVPT94EnlyKzYXV12EpdrMloWMTgN-zoT36WFpy0Jdzh-WxMsfo4tjl0SqVaifME67Sk_fc-XsPuw-ItUloE7b3vUndCKA/s456/resultats%2012%20milio.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="335" data-original-width="456" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjNrOZDGCnyDclnDJZIYgBCk8zvAIUJ4s9S4uBelyK4dFjb5UEFvmjZcj6DZmSim8Qit3ESKwKkrHBYQq0BGW77km0MZuE3LVPT94EnlyKzYXV12EpdrMloWMTgN-zoT36WFpy0Jdzh-WxMsfo4tjl0SqVaifME67Sk_fc-XsPuw-ItUloE7b3vUndCKA/s16000/resultats%2012%20milio.png" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Resultats d'un milió d'experiments amb l'<a href="https://scratch.mit.edu/projects/373672191" target="_blank">applet</a></td></tr></tbody></table><div style="text-align: center;"><br /></div><div style="text-align: left;"><div><b><span style="color: #990000;">I a l'aula?</span></b></div><div><ul style="text-align: left;"><li>Un itinerari interessant d'activitats pot ser començar pel repte de "passar de 12" (fer la conjectura, experimentar amb daus i recollir dades de tota l'aula, experimentar amb un applet) i plantejar l'explicació "inexacta" com a hipòtesi de treball. Després es pot presentar l'activitat "passar de 6" i repetir el procés, si més no en part (conjectura, experimentació amb l'applet). Un cop descobert que els resultats no s'ajusten del tot podem buscar, de forma col·laborativa, totes les possibilitats, tal com s'han explicat aquí, i fer el càlcul ajustat de les probabilitats de cada resultat. I iniciar una discussió sobre el que no estava en el primer raonament</li><li>Pot ser interessant estudiar altres fronteres, fins i tot inferiors a 6. Amb alumnat més petit podem demanar, per a una frontera <i>f,</i> com es poden saber els resultats finals possibles i entre quines quantitats de tirades haurem d'estudiar. En tot cas la cerca exhaustiva de casos pot ser pesada i és millor repartir-la per grups, per exemple uns que trobin els de dues i tres tirades, altres els de quatre, etc.</li><li>Compartim un <a href="https://docs.google.com/spreadsheets/d/11ovEzL7DlSQadAHtTiVEc08g9n6XmtYf/edit?usp=sharing&ouid=105082730523268614684&rtpof=true&sd=true" target="_blank">full de càlcul</a> (gens polit, de treball) on teniu estudiats els casos de fronteres, des d'1 a 12. Hi trobareu taules, per a cada frontera, on s'indica la quantitat de camins per a cada resultat i segon la quantitat de tirades. També hi ha taules amb les probabilitats calculades. Pot ser curiós comparar com evolucionen les probabilitats calculades d'una manera o d'un altra. La següent animació mostra els gràfics d'evolució de fronteres (<i>f</i>) d'1 a 12 i de resultats <i>f</i>+1 a <i>f</i>+6. Les calculades amb l'estudi exhaustiu de casos hi apareixen en blau, i les que es troben, com fèiem inicialment, mirant només "des d'on venim", en vermell. És fàcilment observable com, a mesura que <i>f</i> creix els dos càlculs s'acosten.</li></ul><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhkUM65CBL5tI72eqymnbaSX0PuvUf7DPSqYK5swd2vv0B-g_mpALVpX5qF8mqX45xqVawD1UugfnLgm8XA9Y3wM18KU1c3pIxYL4BgiemU9jb7wGO2UH323fNv981zRislf3ozsan6P3i57zvcas2Q5A2ism5yRfrT2rX2atstMyQ2vC-wVrKLHN0zfQ/s481/grafics%20f.gif" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="289" data-original-width="481" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhkUM65CBL5tI72eqymnbaSX0PuvUf7DPSqYK5swd2vv0B-g_mpALVpX5qF8mqX45xqVawD1UugfnLgm8XA9Y3wM18KU1c3pIxYL4BgiemU9jb7wGO2UH323fNv981zRislf3ozsan6P3i57zvcas2Q5A2ism5yRfrT2rX2atstMyQ2vC-wVrKLHN0zfQ/s16000/grafics%20f.gif" /></a></div></div><div style="text-align: center;"><ul><li style="text-align: left;">Compartim també un applet que permet investigar experimentalment amb qualsevol "frontera" i triant la quantitat de partides de l'experiment.</li></ul><div style="text-align: center;"><iframe allowfullscreen="" allowtransparency="true" frameborder="0" height="402" scrolling="no" src="https://scratch.mit.edu/projects/686988097/embed" width="485"></iframe><br /><a href="https://scratch.mit.edu/projects/686988097" target="_blank">Enllaç al programa</a></div><ul><li style="text-align: left;">I un aclariment final que sorgeix de les dades recollides. Abans constatàvem que la fal·làcia del raonament de mirar "d'on venim" raïa en no tenir en compte que als "penúltims resultats" (7, 8, 9, 10, 11 o 12) s'arribava per diferents quantitats de camins. En certa manera que era "equiprobable" arribar a 7, 8, etc. El recompte de casos ens confirma que no és així:</li></ul><ul><ul><li style="text-align: left;">Per arribar a 7 hi ha 63 camins i una probabilitat del 25,36 %</li><li style="text-align: left;">Per arribar a 8 hi ha 125 camins i una probabilitat del 26,8 %</li><li style="text-align: left;">Per arribar a 9 hi ha 248 camins i una probabilitat del 28,04 %</li><li style="text-align: left;">Per arribar al 10 hi ha 492 camins i una probabilitat del 28,93 %</li><li style="text-align: left;">Per arribar a l'11 hi ha 976 camins i una probabilitat del 29,34%</li><li style="text-align: left;">Per arribar al 12 hi ha 1936 camins i una probabilitat del 29,08 %</li></ul></ul><br /></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #990000; font-size: medium;">Addenda "fontiana"</span></b></div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;"><span id="docs-internal-guid-ff51030c-7fff-5465-7783-cb7b4a1ddb97"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;">Poques hores després de publicar l’article vaig rebre un correu d'en <a href="https://twitter.com/jfontgon?lang=ca" target="_blank">Jordi Font</a>, professor de didàctica de les matemàtiques de la UB i de l’<a href="http://matematiquesmarines.blogspot.com/" target="_blank">INS Baix a Mar</a> de Vilanova i la Geltrú, on m’explicava que estava barrinant unes idees sobre el problema. També m’adreçava a la coneguda enciclopèdia de sèries numèriques <b>OEIS</b>. Allà n’hi ha una amb els "nombres hexanaccis" que recull el total de les diferents maneres d’obtenir un determinat resultat amb tirades successives d’un sol dau. És la sèrie <a href="https://oeis.org/A001592" target="_blank">A001592</a>. Poc després em va anar enviant una sèrie de correus on anava desgranant una forma de trobar els diferents camins per arribar a cada resultat d’una forma recurrent. Això és molt interessant perquè es pot treballar a l’aula directament, sense necessitat de la creació d’un programa informàtic específic. Conèixer la quantitat de camins és bàsic per a calcular les probabilitats exactes.</p><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><br /></p><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;">Intentaré explicar breument el seu raonament. I començarem per reproduir com obtenir la sèrie OEIS. És a dir, estudiar com arribar a un nombre <i>n</i>, amb un sol dau.</p><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><br /></p><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;">Imaginem que estudiem a quines quantitats podem arribar amb una sola tirada. En aquest cas és clar que només podem arribar a 1, 2, 3, 4, 5 i 6. I amb dues tirades? Podem arribar a 2 (1-1), a 3 (1-2; 2-1), a 4 (1-3, 2-2, 3-1), a 5 (1-4, 2-3, 3-2, 4-1) a 6 (1-5,2-4,3-3,4-2,5-1)... i així fins a 12 (6-6). Si només contemplem un màxim de dues tirades tenim els camins per obtenir d’1 a 12 en la següent taula:</p><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><br /></p><div align="center" dir="ltr" style="margin-left: 0pt;"><table style="border-collapse: collapse; border: none;"><colgroup><col width="62"></col><col width="18"></col><col width="29"></col><col width="29"></col><col width="29"></col><col width="29"></col><col width="29"></col><col width="29"></col><col width="29"></col><col width="29"></col><col width="29"></col><col width="29"></col><col width="29"></col></colgroup><tbody><tr style="height: 15.75pt;"><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><br /></td><td colspan="12" style="background-color: #93c47d; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre;">Quantitat</span></p></td></tr><tr style="height: 15.75pt;"><td style="background-color: #93c47d; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre;">Tirades</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre;">1</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre;">2</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre;">3</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre;">4</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre;">5</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre;">6</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre;">7</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre;">8</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre;">9</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre;">10</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre;">11</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre;">12</span></p></td></tr><tr style="height: 15.75pt;"><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre;">1</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre;">1</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre;">1</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre;">1</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre;">1</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre;">1</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre;">1</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre;">0</span></p></td></tr><tr style="height: 15.75pt;"><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre;">2</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre;">1</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre;">2</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre;">3</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre;">4</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre;">5</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre;">6</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre;">5</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre;">4</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre;">3</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre;">2</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre;">1</span></p></td></tr><tr style="height: 15.75pt;"><td style="background-color: #e06666; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; color: white; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre;">Camins</span></p></td><td style="background-color: #f4cccc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre;">1</span></p></td><td style="background-color: #f4cccc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre;">2</span></p></td><td style="background-color: #f4cccc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre;">3</span></p></td><td style="background-color: #f4cccc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre;">4</span></p></td><td style="background-color: #f4cccc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre;">5</span></p></td><td style="background-color: #f4cccc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre;">6</span></p></td><td style="background-color: #f4cccc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre;">6</span></p></td><td style="background-color: #f4cccc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre;">5</span></p></td><td style="background-color: #f4cccc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre;">4</span></p></td><td style="background-color: #f4cccc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre;">3</span></p></td><td style="background-color: #f4cccc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre;">2</span></p></td><td style="background-color: #f4cccc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre;">1</span></p></td></tr></tbody></table></div><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span id="docs-internal-guid-b9201c7b-7fff-650f-621d-f736decbe0c7"><br /></span></p><div><div>Amb tres tirades obtindrem nous camins entre 3 i 18 que haurem d’afegir als anteriors. El raonament que ens proposa en Jordi Font és el següent. Imaginem que tenim els camins per arribar a un nombre <i>n</i>,</div><div><ul style="text-align: left;"><li>Per arribar-hi amb un 1 tinc tots els camins que arriben a <i>n</i>-1</li><li>Per arribar-hi amb un 2 tinc tots els camins que arriben a <i>n</i>-2</li><li>Per arribar-hi amb un 3 tinc tots els camins que arriben a <i>n</i>-3</li><li>Per arribar-hi amb un 4 tinc tots els camins que arriben a <i>n</i>-4</li><li>Per arribar-hi amb un 5 tinc tots els camins que arriben a <i>n</i>-5</li><li>Per arribar-hi amb un 6 tinc tots els camins que arriben a <i>n</i>-6</li></ul></div><div><br /></div><div>Per exemple, a la taula anterior podem saber de quantes maneres arribem a 8 en dues tirades sumant els camins que tenim per arribar a 2 (8-6), a 3 (8-5)… i així fins a 7 (8-1) amb un sola tirada.</div></div><div><br /></div><div style="text-align: center;"><span id="docs-internal-guid-e633eebe-7fff-a90e-43c1-3f7b75332869"><div align="center" dir="ltr" style="margin-left: 0pt;"><table style="border-collapse: collapse; border: none;"><colgroup><col width="58"></col><col width="22"></col><col width="29"></col><col width="29"></col><col width="29"></col><col width="29"></col><col width="29"></col><col width="29"></col><col width="29"></col><col width="29"></col><col width="29"></col><col width="29"></col><col width="29"></col></colgroup><tbody><tr style="height: 15.75pt;"><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><br /></td><td colspan="12" style="background-color: #93c47d; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">Quantitat</span></p></td></tr><tr style="height: 15.75pt;"><td style="background-color: #93c47d; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">Tirades</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">2</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">3</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">4</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">5</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">6</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">7</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">8</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">9</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">10</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">11</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">12</span></p></td></tr><tr style="height: 15.75pt;"><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="background-color: #ffd966; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="background-color: #ffd966; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="background-color: #ffd966; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="background-color: #ffd966; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="background-color: #ffd966; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="background-color: #ffd966; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td></tr><tr style="height: 15.75pt;"><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">2</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">2</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">3</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">4</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">5</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">6</span></p></td><td style="background-color: #f1c232; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; color: #ea4335; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; font-weight: 700; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">5</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">4</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">3</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">2</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td></tr><tr style="height: 15.75pt;"><td style="background-color: #e06666; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><span style="background-color: transparent; color: white; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">Camins</span></p></td><td style="background-color: #f4cccc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="background-color: #f4cccc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">2</span></p></td><td style="background-color: #f4cccc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">3</span></p></td><td style="background-color: #f4cccc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">4</span></p></td><td style="background-color: #f4cccc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">5</span></p></td><td style="background-color: #f4cccc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">6</span></p></td><td style="background-color: #f4cccc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">6</span></p></td><td style="background-color: #f4cccc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">5</span></p></td><td style="background-color: #f4cccc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">4</span></p></td><td style="background-color: #f4cccc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">3</span></p></td><td style="background-color: #f4cccc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">2</span></p></td><td style="background-color: #f4cccc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td></tr></tbody></table><br /></div><div dir="ltr" style="margin-left: 0pt; text-align: left;"><div dir="ltr" style="margin-left: 0pt;">Dit d’una altra manera. Si volem saber la quantitat de camins per arribar a una quantitat <i>n</i> amb una quantitat <i>k</i> de tirades el que hem de fer és sumar les quantitats de camins que tenim per a <i>n</i>-6 fins a <i>n</i>-1 en <i>k</i>-1 tirades.</div><div dir="ltr" style="margin-left: 0pt;"><br /></div><div dir="ltr" style="margin-left: 0pt;">Si per exemple, volem ampliar la taula anterior fins a tres tirades només cal aplicar la norma explicada: anar a la fila superior (la de dues tirades) i sumar els valors de les sis cel·les anteriors a la nostra columna. A la taula es veu com trobar la quantitat de camins (25) amb tres tirades per arribar a 12. I tenim també, sumant la columna, que amb dues o tres tirades podem arribar amb un total de 26 maneres diferents.</div><div dir="ltr" style="margin-left: 0pt;"><br /></div><div dir="ltr" style="margin-left: 0pt; text-align: center;"><span id="docs-internal-guid-efd61aa4-7fff-3faf-9f82-714efe02fbae"><div align="left" dir="ltr" style="margin-left: 0pt;"><table style="border-collapse: collapse; border: none;"><colgroup><col width="56"></col><col width="30"></col><col width="30"></col><col width="30"></col><col width="30"></col><col width="30"></col><col width="30"></col><col width="30"></col><col width="30"></col><col width="30"></col><col width="30"></col><col width="30"></col><col width="30"></col><col width="30"></col><col width="30"></col><col width="30"></col><col width="30"></col><col width="30"></col><col width="30"></col></colgroup><tbody><tr style="height: 15.75pt;"><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><br /></td><td colspan="12" style="background-color: #93c47d; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">Quantitat</span></p></td><td colspan="6" style="background-color: #93c47d; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><br /></td></tr><tr style="height: 15.75pt;"><td style="background-color: #93c47d; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">Tirades</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">2</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">3</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">4</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">5</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">6</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">7</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">8</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">9</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">10</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">11</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">12</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">13</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">14</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">15</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">16</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">17</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">18</span></p></td></tr><tr style="height: 15.75pt;"><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td></tr><tr style="height: 15.75pt;"><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">2</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">2</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">3</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">4</span></p></td><td style="background-color: #f6b26b; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">5</span></p></td><td style="background-color: #f6b26b; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">6</span></p></td><td style="background-color: #f6b26b; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">5</span></p></td><td style="background-color: #f6b26b; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">4</span></p></td><td style="background-color: #f6b26b; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">3</span></p></td><td style="background-color: #f6b26b; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">2</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td></tr><tr style="height: 15.75pt;"><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">3</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">3</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">6</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">10</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">15</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">21</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">25</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">27</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">27</span></p></td><td style="background-color: #f6b26b; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">25</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">21</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">15</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">10</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">6</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">3</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td></tr><tr style="height: 15.75pt;"><td style="background-color: #e06666; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><span style="background-color: transparent; color: white; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">Camins</span></p></td><td style="background-color: #f4cccc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="background-color: #f4cccc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">2</span></p></td><td style="background-color: #f4cccc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">4</span></p></td><td style="background-color: #f4cccc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">7</span></p></td><td style="background-color: #f4cccc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">11</span></p></td><td style="background-color: #f4cccc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">16</span></p></td><td style="background-color: #f4cccc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">21</span></p></td><td style="background-color: #f4cccc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">26</span></p></td><td style="background-color: #f4cccc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">29</span></p></td><td style="background-color: #f4cccc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">30</span></p></td><td style="background-color: #f4cccc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">29</span></p></td><td style="background-color: #f4cccc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; color: #ea4335; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; font-weight: 700; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">26</span></p></td><td style="background-color: #f4cccc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">21</span></p></td><td style="background-color: #f4cccc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">15</span></p></td><td style="background-color: #f4cccc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">10</span></p></td><td style="background-color: #f4cccc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">6</span></p></td><td style="background-color: #f4cccc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">3</span></p></td><td style="background-color: #f4cccc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td></tr></tbody></table></div></span></div><div><br /></div></div></span></div><div><div>El problema no acaba aquí. Quan juguem a “passar d’<i>n</i>” podem arribar des d’<i>n</i>+1 fins a <i>n</i>+6. No tots els camins valen. Fins a <i>n</i>+1 el mètode explicat val perfectament. Però des d'<i>n</i>-2 alguns camins no: tots aquells que a la penúltima tirada estan en un valor per sobre d’<i>n</i>. Per exemple, si juguem a “passar de 12”, el camí que arribi a 15 traient un 2 al dau no valdrà perquè el valor anterior era 13 i ja “passava de 12”, hauríem aturat el joc. Així que en Jordi ens convida a fer una nova observació:</div><div><br /></div><div>En aquesta taula veiem a cada casella des d’on podem arribar a <i>n</i>+1, <i>n</i>+2, etc. segons el resultat del dau. (Tenint en compte que <i>n</i>>5).</div></div><div><br /></div><div style="text-align: center;"><span id="docs-internal-guid-a8426cc3-7fff-7a49-6c77-fcd5608e99dc"><div align="center" dir="ltr" style="margin-left: 0pt;"><table style="border-collapse: collapse; border: none;"><colgroup><col width="70"></col><col width="31"></col><col width="31"></col><col width="31"></col><col width="31"></col><col width="31"></col><col width="31"></col></colgroup><tbody><tr style="height: 15.75pt;"><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><br /></td><td colspan="6" style="background-color: #93c47d; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204) rgb(0, 0, 0) rgb(204, 204, 204) rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #000000 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 0pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">Arribar a...</span></p></td></tr><tr style="height: 15.75pt;"><td style="background-color: #93c47d; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 0pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">Traient...</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">n+1</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">n+2</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">n+3</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">n+4</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">n+5</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">n+6</span></p></td></tr><tr style="height: 15.75pt;"><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">n</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><br /></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><br /></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><br /></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><br /></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><br /></td></tr><tr style="height: 15.75pt;"><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">2</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">n-1</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">n</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><br /></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><br /></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><br /></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><br /></td></tr><tr style="height: 15.75pt;"><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">3</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">n-2</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">n-1</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">n</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><br /></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><br /></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><br /></td></tr><tr style="height: 15.75pt;"><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">4</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">n-3</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">n-2</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">n-1</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">n</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><br /></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><br /></td></tr><tr style="height: 15.75pt;"><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">5</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">n-4</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">n-3</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">n-2</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">n-1</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">n</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><br /></td></tr><tr style="height: 15.75pt;"><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">6</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">n-5</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">n-4</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">n-3</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">n-2</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">n-1</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-color: rgb(204, 204, 204); border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-style: solid; border-top: solid #cccccc 0.75pt; border-width: 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">n</span></p></td></tr></tbody></table></div><div align="center" dir="ltr" style="margin-left: 0pt;"><br /></div></span></div><div><div>Per veure-ho més clar apliquem tot el mètode, des del principi, per a esbrinar tots els camins pel joc “passar de 6”.</div><div><br /></div><div>Primer esbrinem quants camins tenim per arribar a 7 des del mínim de dues tirades fins a set amb el mètode de comptar els 6 resultats de la fila anterior. Veiem que tenim 63 camins.</div></div><div style="text-align: center;"><br /></div><div style="text-align: center;"><span id="docs-internal-guid-124ca9cf-7fff-109f-d3de-bb1b4db5681a"><div align="center" dir="ltr" style="margin-left: 0pt;"><table style="border-collapse: collapse; border: none;"><colgroup><col width="52"></col><col width="30"></col><col width="30"></col><col width="30"></col><col width="30"></col><col width="30"></col><col width="30"></col><col width="30"></col></colgroup><tbody><tr style="height: 15.75pt;"><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><br /></td><td colspan="7" style="background-color: #93c47d; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">Quantitat</span></p></td></tr><tr style="height: 15.75pt;"><td style="background-color: #93c47d; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">Tirades</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">2</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">3</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">4</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">5</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">6</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">7</span></p></td></tr><tr style="height: 15.75pt;"><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="background-color: #d5a6bd; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="background-color: #d5a6bd; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="background-color: #d5a6bd; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="background-color: #d5a6bd; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="background-color: #d5a6bd; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="background-color: #d5a6bd; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td></tr><tr style="height: 15.75pt;"><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">2</span></p></td><td style="background-color: #9fc5e8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="background-color: #9fc5e8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="background-color: #9fc5e8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">2</span></p></td><td style="background-color: #9fc5e8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">3</span></p></td><td style="background-color: #9fc5e8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">4</span></p></td><td style="background-color: #9fc5e8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">5</span></p></td><td style="background-color: #d5a6bd; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">6</span></p></td></tr><tr style="height: 15.75pt;"><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">3</span></p></td><td style="background-color: #ea9999; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="background-color: #ea9999; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="background-color: #ea9999; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="background-color: #ea9999; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">3</span></p></td><td style="background-color: #ea9999; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">6</span></p></td><td style="background-color: #ea9999; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">10</span></p></td><td style="background-color: #9fc5e8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">15</span></p></td></tr><tr style="height: 15.75pt;"><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">4</span></p></td><td style="background-color: #f6b26b; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="background-color: #f6b26b; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="background-color: #f6b26b; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="background-color: #f6b26b; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="background-color: #f6b26b; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">4</span></p></td><td style="background-color: #f6b26b; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">10</span></p></td><td style="background-color: #ea9999; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">20</span></p></td></tr><tr style="height: 15.75pt;"><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">5</span></p></td><td style="background-color: #fff2cc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="background-color: #fff2cc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="background-color: #fff2cc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="background-color: #fff2cc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="background-color: #fff2cc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="background-color: #fff2cc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">5</span></p></td><td style="background-color: #f6b26b; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">15</span></p></td></tr><tr style="height: 15.75pt;"><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">6</span></p></td><td style="background-color: #d9ead3; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="background-color: #d9ead3; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="background-color: #d9ead3; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="background-color: #d9ead3; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="background-color: #d9ead3; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="background-color: #d9ead3; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="background-color: #fff2cc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">6</span></p></td></tr><tr style="height: 15.75pt;"><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">7</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="background-color: #d9ead3; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td></tr></tbody></table><br /></div><div dir="ltr" style="margin-left: 0pt; text-align: left;">Ara ens toca esbrinar la quantitat de camins per arribar a 8, sense haver passat de 6 en cap moment. Haurem de tenir en compte que podem arribar des del valors 2 a 6.</div><div dir="ltr" style="margin-left: 0pt; text-align: left;"><br /></div><div dir="ltr" style="margin-left: 0pt; text-align: center;"><span id="docs-internal-guid-07c92d82-7fff-2d7d-29f0-c3670e56952d"><div align="center" dir="ltr" style="margin-left: 0pt;"><table style="border-collapse: collapse; border: none;"><colgroup><col width="52"></col><col width="30"></col><col width="30"></col><col width="30"></col><col width="30"></col><col width="30"></col><col width="30"></col><col width="30"></col><col width="28"></col></colgroup><tbody><tr style="height: 15.75pt;"><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><br /></td><td colspan="8" style="background-color: #93c47d; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">Quantitat</span></p></td></tr><tr style="height: 15.75pt;"><td style="background-color: #93c47d; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">Tirades</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">2</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">3</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">4</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">5</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">6</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">7</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">8</span></p></td></tr><tr style="height: 15.75pt;"><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="background-color: #d5a6bd; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="background-color: #d5a6bd; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="background-color: #d5a6bd; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="background-color: #d5a6bd; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="background-color: #d5a6bd; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td></tr><tr style="height: 15.75pt;"><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">2</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="background-color: #9fc5e8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="background-color: #9fc5e8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">2</span></p></td><td style="background-color: #9fc5e8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">3</span></p></td><td style="background-color: #9fc5e8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">4</span></p></td><td style="background-color: #9fc5e8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">5</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">6</span></p></td><td style="background-color: #d5a6bd; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">5</span></p></td></tr><tr style="height: 15.75pt;"><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">3</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="background-color: #ea9999; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="background-color: #ea9999; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">3</span></p></td><td style="background-color: #ea9999; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">6</span></p></td><td style="background-color: #ea9999; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">10</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">15</span></p></td><td style="background-color: #9fc5e8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">15</span></p></td></tr><tr style="height: 15.75pt;"><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">4</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="background-color: #f6b26b; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="background-color: #f6b26b; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">4</span></p></td><td style="background-color: #f6b26b; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">10</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">20</span></p></td><td style="background-color: #ea9999; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">20</span></p></td></tr><tr style="height: 15.75pt;"><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">5</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="background-color: #fff2cc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="background-color: #fff2cc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">5</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">15</span></p></td><td style="background-color: #f6b26b; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">15</span></p></td></tr><tr style="height: 15.75pt;"><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">6</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="background-color: #d9ead3; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">6</span></p></td><td style="background-color: #fff2cc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">6</span></p></td></tr><tr style="height: 15.75pt;"><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">7</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="background-color: #d9ead3; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: right;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td></tr></tbody></table><br /></div><div dir="ltr" style="margin-left: 0pt; text-align: left;"><div dir="ltr" style="margin-left: 0pt;">De manera similar podem anar ampliant la taula fins arribar a 12.</div><div><br /></div><div style="text-align: center;"><span id="docs-internal-guid-78c022f1-7fff-e3cf-3a04-c7ce81afa33d"><div align="center" dir="ltr" style="margin-left: 0pt;"><table style="border-collapse: collapse; border: none;"><colgroup><col width="52"></col><col width="28"></col><col width="28"></col><col width="28"></col><col width="28"></col><col width="28"></col><col width="28"></col><col width="28"></col><col width="28"></col><col width="28"></col><col width="28"></col><col width="28"></col><col width="28"></col></colgroup><tbody><tr style="height: 15.75pt;"><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><br /></td><td colspan="12" style="background-color: #93c47d; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">Quantitat</span></p></td></tr><tr style="height: 15.75pt;"><td style="background-color: #93c47d; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">Tirades</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">2</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">3</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">4</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">5</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">6</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">7</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">8</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">9</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">10</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">11</span></p></td><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">12</span></p></td></tr><tr style="height: 15.75pt;"><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="background-color: #fff2cc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="background-color: #fff2cc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="background-color: #fff2cc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="background-color: #fff2cc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="background-color: #fff2cc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="background-color: #fff2cc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td></tr><tr style="height: 15.75pt;"><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">2</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">2</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">3</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">4</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">5</span></p></td><td style="background-color: #fff2cc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">6</span></p></td><td style="background-color: #fff2cc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">5</span></p></td><td style="background-color: #fff2cc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">4</span></p></td><td style="background-color: #fff2cc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">3</span></p></td><td style="background-color: #fff2cc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">2</span></p></td><td style="background-color: #fff2cc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">5</span></p></td></tr><tr style="height: 15.75pt;"><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">3</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">3</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">6</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">10</span></p></td><td style="background-color: #fff2cc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">15</span></p></td><td style="background-color: #fff2cc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">15</span></p></td><td style="background-color: #fff2cc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">14</span></p></td><td style="background-color: #fff2cc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">12</span></p></td><td style="background-color: #fff2cc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">9</span></p></td><td style="background-color: #fff2cc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">10</span></p></td></tr><tr style="height: 15.75pt;"><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">4</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">4</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">10</span></p></td><td style="background-color: #fff2cc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">20</span></p></td><td style="background-color: #fff2cc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">20</span></p></td><td style="background-color: #fff2cc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">20</span></p></td><td style="background-color: #fff2cc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">19</span></p></td><td style="background-color: #fff2cc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">16</span></p></td><td style="background-color: #fff2cc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">10</span></p></td></tr><tr style="height: 15.75pt;"><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">5</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">5</span></p></td><td style="background-color: #fff2cc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">15</span></p></td><td style="background-color: #fff2cc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">15</span></p></td><td style="background-color: #fff2cc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">15</span></p></td><td style="background-color: #fff2cc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">15</span></p></td><td style="background-color: #fff2cc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">14</span></p></td><td style="background-color: #fff2cc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">5</span></p></td></tr><tr style="height: 15.75pt;"><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">6</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="background-color: #fff2cc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">6</span></p></td><td style="background-color: #fff2cc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">6</span></p></td><td style="background-color: #fff2cc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">6</span></p></td><td style="background-color: #fff2cc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">6</span></p></td><td style="background-color: #fff2cc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">6</span></p></td><td style="background-color: #fff2cc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td></tr><tr style="height: 15.75pt;"><td style="background-color: #b6d7a8; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">7</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td><td style="background-color: #fff2cc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="background-color: #fff2cc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="background-color: #fff2cc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="background-color: #fff2cc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="background-color: #fff2cc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">1</span></p></td><td style="background-color: #fff2cc; border-bottom: solid #cccccc 0.75pt; border-left: solid #cccccc 0.75pt; border-right: solid #cccccc 0.75pt; border-top: solid #cccccc 0.75pt; overflow-wrap: break-word; overflow: hidden; padding: 2pt 2pt 2pt 2pt; vertical-align: bottom;"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: center;"><span style="background-color: transparent; font-family: Arial; font-size: 10pt; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">0</span></p></td></tr></tbody></table><br /></div><div dir="ltr" style="margin-left: 0pt; text-align: left;"><div dir="ltr" style="margin-left: 0pt;">Ara que tenim els camins per a dues tirades. tres, etc. podrem calcular les probabilitats tal com havíem explicat.</div><div dir="ltr" style="margin-left: 0pt;"><br /></div><div dir="ltr" style="margin-left: 0pt;">En Jordi Font va acabar la sèrie de correus afegint alguns interrogants per a l'aula que, amb el seu permís, transcric.</div><div dir="ltr" style="margin-left: 0pt;"><br /></div><div dir="ltr" style="margin-left: 0pt;"><div dir="ltr" style="margin-left: 0pt;"><ul style="text-align: left;"><li>Podem intentar construir un full de càlcul ampliant tant com vulguem una taula com la darrera?</li><li>Podem consultar i treballar l’article d’OEIS o algun dels que està citat?</li><li>Una pregunta relativament fàcil per a contestar a l'aula: Amb quantes tirades passaré de 12? Està clar que, com a mínim, necessitaré 3 tirades i, com a màxim, 13. Podríem fer-ho amb N tirades trobar la cota superior i inferior?</li><li>Pensament computacional: podem fer un petit programa per tal d’estudiar algunes preguntes com les següents:</li><ul><li></li><li>Què és més probable que per passar de 12 ho faci em 3 o 4 tirades? Quina és la quantitat de tirades per passar de 12 amb més probabilitat? I per passar de N tirades? (molt més difícil)</li><li>Quina és la mitjana de tirades que em cal per passar de 12? És a dir, quina és l’esperança? I per passar de N tirades? (molt més difícil).</li></ul></ul></div></div></div></span></div></div></span></div></span></div></span></div></div></div>Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7448640108700542412.post-27879317566442724472022-03-30T18:03:00.001+02:002023-11-01T11:20:58.753+01:00Estudiem una fórmula egípcia per a l'àrea dels quadrilàters<p> Al 1855, <a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Karl_Richard_Lepsius" target="_blank">Karl Richard Lepsius</a> va publicar un estudi sobre les inscripcions jeroglífiques del Temple d'Horus que es troba a Edfú.</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgMntcn5vDpUn0cz2sneXnAfr_Raiium4f3jasSOtQuKv5YZ9088mBReUPbTpjcLfDZBNKTTEQB8vEcXGZSmCdw5wBgzo15HwlFsp95mW13cfXcEurFEBOlaqzxOOA3u5oo2jpnaCa6ALBiuIt1sa_3gdbYdlXvqIuoHGl0kpQhbCR3AXjme5gnDnYrLA/s640/640px-Temple_Edfou_Egypte.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="480" data-original-width="640" height="300" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgMntcn5vDpUn0cz2sneXnAfr_Raiium4f3jasSOtQuKv5YZ9088mBReUPbTpjcLfDZBNKTTEQB8vEcXGZSmCdw5wBgzo15HwlFsp95mW13cfXcEurFEBOlaqzxOOA3u5oo2jpnaCa6ALBiuIt1sa_3gdbYdlXvqIuoHGl0kpQhbCR3AXjme5gnDnYrLA/w400-h300/640px-Temple_Edfou_Egypte.jpg" width="400" /></a></div><p>Al 1921 el matemàtic <a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Thomas_Little_Heath" target="_blank">Thomas Little Heath</a> escrivia, a la seva història de les matemàtiques gregues, aquesta frase a partir del treball de Lepsius.</p><p style="text-align: left;"></p><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><p>"De moltes d'aquestes inscripcions que van ser publicades per Lepsius en recollim que 1/2(<i>a</i>+<i>c</i>)·1/2(<i>b</i>+<i>d</i>) era una fórmula per a l'àrea d'un quadrilàter els costats dels quals són, per ordre, <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i>, <i>d</i>."</p></blockquote><p>Dit d'una altra manera, l'àrea d'un quadrilàter es calculava trobant la d'un rectangle que tenia per costats la mitjana dels costats oposats.</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiIO5KWha63I0fl1rsJk-Zcf8gk1oRi1pNkET5Yv7gy75Q-Zvrq-SbD3rovh0dXWgG-DATc9NHAOa86fYi1wfS74GH8hCeakJ3W83j0zgudrQwb_bqEa7PnHOUn9Q6Uqs7FC7nacdPjJ1gfuV_k5HS1ckHNYgGhs8GtC3gq2E2E0W4CXkasl7G30384fw/s609/formula_edfu.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="304" data-original-width="609" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiIO5KWha63I0fl1rsJk-Zcf8gk1oRi1pNkET5Yv7gy75Q-Zvrq-SbD3rovh0dXWgG-DATc9NHAOa86fYi1wfS74GH8hCeakJ3W83j0zgudrQwb_bqEa7PnHOUn9Q6Uqs7FC7nacdPjJ1gfuV_k5HS1ckHNYgGhs8GtC3gq2E2E0W4CXkasl7G30384fw/s16000/formula_edfu.png" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">A partir d'aquesta informació ens podem fer algunes preguntes:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li>Funciona sempre bé aquesta fórmula?</li><li>Si no és així, quan funciona?</li><li>Si no funciona, l'error és molt gran? Molt petit? De què depèn?</li></ul>Podem estudiar aquest tema, en el què GeoGebra ens serà de gran utilitat, gradualment: paral·lelograms, estels, trapezis isòsceles i quadrilàters generals. I, pel camí, anirem definint algunes de les condicions per a que aquests quadrilàters quedin determinats. Això ens permetrà també fer algun petit estudi funcional. És a dir, podem trobar una línia de treball que pot abastar del Cicle Superior de Primària al final de l'ESO. Acabarem l'article amb una adaptació, també trobada al mateix temple, per a l'àrea dels triangles.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Però, per "fer boca", podem veure ràpidament que la "fórmula egípcia" no funciona. Només cal observar un exemple, que bé ens podria servir pels nivells més baixos: els rombes. Aquestes figures queden determinades només amb un costat i un angle. Quan l'angle és de 90º tenim el quadrat. Justament el mètode egipci, i tenint en compte que en el rombe els costats són iguals, fa que l'àrea de qualsevol rombe sigui "igual" a la del quadrat amb el mateix costat, cosa evidentment falsa.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhzZMDKatuLsOzEwXHGflRNMyrr7T4kBS48Doi_v2mDG4qpiUiqmT9kv1oy7Qourjezu-bq8zKHZ5qH4lDZllMnUj2L-dqKuMeLc-jLjlaSMYYuy-21TVPwhM-9Jc2da9JhboR5n1Stn76K24ghLlq5y0-dbhK-7IOOvq4oXtptWt_bkw-DP7Hi8u_Wbg/s523/rombe_quadrat.gif" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="225" data-original-width="523" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhzZMDKatuLsOzEwXHGflRNMyrr7T4kBS48Doi_v2mDG4qpiUiqmT9kv1oy7Qourjezu-bq8zKHZ5qH4lDZllMnUj2L-dqKuMeLc-jLjlaSMYYuy-21TVPwhM-9Jc2da9JhboR5n1Stn76K24ghLlq5y0-dbhK-7IOOvq4oXtptWt_bkw-DP7Hi8u_Wbg/s16000/rombe_quadrat.gif" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">L'àrea d'un rombe de costat 5 pot prendre valors de 0 (0º) a 25 (90º)</td></tr></tbody></table><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Un dels aspectes més curiosos d'aquesta fórmula és que està datada aproximadament en el segle I a.n.e, quan Euclides, al mateix Egipte, però més al nord, havia publicat ja el seus <i>Elements</i>.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><span style="color: #990000; font-size: medium;">Estudiem el la "fórmula egípcia" amb més detall?</span></b></div><span><a name='more'></a></span><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li><b><span style="color: #990000;">Paral·lelograms</span></b></li></ul>Una primera pregunta que podem fer a l'aula (i que sortirà de manera recurrent en aquesta activitat) és quines mesures necessitem per determinar un paral·lelogram. No és difícil veure que amb la mesura de dos costats i un angle en tenim prou. Quan els costats són desiguals tindrem un rectangle en el cas de que l'angle sigui de 90º. Seran rombes o quadrats quan els costats siguin iguals.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">En el cas dels paral·lelograms, en què els costats oposats són iguals, la "fórmula egípcia" es converteix en la d'un rectangle que té per costats els dos donats.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiI5Mhll4rvRUs1bzALgFoVzoRF3p8u86MnN-jUUvAOCLpe4YveDH7SXES8K5nfT0l49DELGyHPMlvfx7MJJODVpBkKPYQ1K-hkPDZ7QtAdwqu3Qg9COK9T9XijD5N5S-ooCFhJwFo0bAdTm78jo5oEsIBOtBKALrOMinOZmYS2IvE6FAKhpQ8juTI-AQ/s180/for_egip_par.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="72" data-original-width="180" height="72" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiI5Mhll4rvRUs1bzALgFoVzoRF3p8u86MnN-jUUvAOCLpe4YveDH7SXES8K5nfT0l49DELGyHPMlvfx7MJJODVpBkKPYQ1K-hkPDZ7QtAdwqu3Qg9COK9T9XijD5N5S-ooCFhJwFo0bAdTm78jo5oEsIBOtBKALrOMinOZmYS2IvE6FAKhpQ8juTI-AQ/s1600/for_egip_par.png" width="180" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Podem veure com l'àrea només coincideix exactament quan la figura és un rectangle i que s'aproxima més quan l'angle s'acosta als 90º.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><iframe height="471px" scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/eu8ka4mt/width/710/height/471/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" style="border: 0px;" title="Fórmula del temple d'Edfu per a l'àrea dels quadrilàters (Paral·lelograms 1)" width="710px"> </iframe><br /><a href="https://www.geogebra.org/m/v38ddxwy" target="_blank">Enllaç a la construcció</a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Una pregunta possible a fer és demanar que conjecturin quan l'àrea del paral·lelogram serà la meitat de la del rectangle "egipci". Molt probablement diran que serà als 45º, però experimentant observaran que l'angle ha de ser de 30º (on l'error serà del 100%)</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Podem fer un estudi més acurat tenint en compte que podem calcular l'àrea del paral·lelogram coneixent els dos costats (<i>a </i>i <i>b</i>) i l'angle que formen (α).</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgXnGGNqf7aMs-nFONHSVezYe9_yoJ8zU34hL8LLLt9Zuj3-UBFj8JZRhlytINbv3qlPLYeo8HO3k45wZ0YF2XV_ptu1DUqshsoaRx_suom2jU0Qkfopk2F4N4wPEiRpaePlBHy0vn2WfvCDdcwIXI08SAAYje3HNK2kaWAxcw0OIP8iz4GDwTxAJ5VLg/s440/area%20parallelogram.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="161" data-original-width="440" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgXnGGNqf7aMs-nFONHSVezYe9_yoJ8zU34hL8LLLt9Zuj3-UBFj8JZRhlytINbv3qlPLYeo8HO3k45wZ0YF2XV_ptu1DUqshsoaRx_suom2jU0Qkfopk2F4N4wPEiRpaePlBHy0vn2WfvCDdcwIXI08SAAYje3HNK2kaWAxcw0OIP8iz4GDwTxAJ5VLg/s16000/area%20parallelogram.png" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">D'aquesta manera, si fixem valors per <i>a</i> i <i>b</i>, podem fer una funció que ens doni l'àrea depenent de com variï l'angle α (entre 0º i 90º). També queda justificada la resposta sobre la meitat de l'àrea del rectangle, donat que el sinus de 30º és 1/2. Que només en el cas del rectangle la fórmula egípcia coincideix amb la real també queda justificat, perquè el sinus de 90º és 1.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><iframe height="688px" scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/ecz2yjdq/width/699/height/688/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" style="border: 0px;" title="Fórmula del temple d'Edfu per a l'àrea dels quadrilàters (Paral·lelograms 2)" width="699px"> </iframe><br /><a href="https://www.geogebra.org/m/rgupnzgh" target="_blank">Enllaç a la construcció</a> </div><div style="text-align: center;"><br /></div><ul><li><b><span style="color: #990000;">Estels i fletxes (deltoides)</span></b></li></ul>Aquests oblidats quadrilàters també queden determinats, com els paral·lelograms, per dos costats i l'angle que formen. La diferència està en que els costats iguals no són oposats sinó contigus. Seran <i>estels</i> si tots els angles són convexos i <i>fletxes</i> si n'hi ha un de còncau. Totes dues figures també es coneixen com a <i>deltoides, </i>convexos o còncaus respectivament. Podeu veure activitats sobre <i>estels</i> per a fer a l'aula en aquest <a href="http://xtec.gencat.cat/web/.content/alfresco/d/d/workspace/SpacesStore/0067/9a896b3e-4cd7-45c5-b4a0-67313c7eba58/estels_matematiques.pdf" target="_blank">enllaç</a>.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">L'adaptació de la "fórmula egípcia" a aquest cas, en què el costat oposat a <i>a</i> és <i>b</i> i l'oposat a <i>b</i> és <i>a</i>, fa que l'àrea obtinguda sigui equivalent a la d'un quadrat que té com a costat la mitjana dels dos.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjYls2tolXvXx-LRex6Ma2lvanVk06FhaDtCStUsjpeVtV7r1DAbLZeX8kvt9SkdrKcorc7tIWUWDOpmetdb5jeq5oieoA0geQN4hLz53DiG2AxM8CMURLjq1h8429jl6Foto3ZelgXkfwF8mN2LKQY5y45oi9qnb1TQg1Bal-G929L0u3rMBvouuA9IA/s230/for_egip_estel.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="80" data-original-width="230" height="80" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjYls2tolXvXx-LRex6Ma2lvanVk06FhaDtCStUsjpeVtV7r1DAbLZeX8kvt9SkdrKcorc7tIWUWDOpmetdb5jeq5oieoA0geQN4hLz53DiG2AxM8CMURLjq1h8429jl6Foto3ZelgXkfwF8mN2LKQY5y45oi9qnb1TQg1Bal-G929L0u3rMBvouuA9IA/s1600/for_egip_estel.png" width="230" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Una petita exploració, ara amb angles de 0º a 180º, ja que no hi ha la simetria de solucions passats els 90º com en el cas dels paral·lelograms, ens farà veure, de nou, que l'àrea real i l'obtinguda per la fórmula egípcia només coincideixen quan els costats són iguals i l'angle és de 90º, quan és un quadrat. També en aquest cas l'àrea meitat s'aconsegueix en 30º i 150º.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><iframe height="471px" scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/uqmqfcna/width/565/height/471/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" style="border: 0px;" title="Fórmula del temple d'Edfu per a l'àrea dels quadrilàters (Estels 1 2)" width="565px"> </iframe><br /><a href="https://www.geogebra.org/m/vjvh6vsq" target="_blank">Enllaç a la construcció</a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">L'àrea dels <i>estels</i> es pot calcular fàcilment a partir de les diagonals. És la mateixa que la de l'àrea del rombe (D·d/2), que és un <i>estel</i> particular: el de costats iguals. Però si volem investigar a partir dels dos costats i l'angle ens convé utilitzar una fórmula que relacioni aquestes tres dades. No és difícil convertir un <i>estel</i> en un paral·lelogram equivalent amb els mateixos costats i el mateix angle. Per tant, podem utilitzar la mateixa fórmula que pels paral·lelograms.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi1AIvOIKib7nJUiyNa5OxZ_ysG9T_4Y_7VFXmc0NCtAQFjd14Uz9sVUD883iOcNxTuqLQtKBw3pPqS1quLSXghieg-C2igTG4ucoLGB1wBU3Sk0Jnonmv-Sjha8bYbVsnw86SkM1LfdOFZVgBky6OyUo9BqOjJdMppgYIlkNMg-OgxBpZlFUBhPdaIPg/s288/estel_trans_par.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="226" data-original-width="288" height="226" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi1AIvOIKib7nJUiyNa5OxZ_ysG9T_4Y_7VFXmc0NCtAQFjd14Uz9sVUD883iOcNxTuqLQtKBw3pPqS1quLSXghieg-C2igTG4ucoLGB1wBU3Sk0Jnonmv-Sjha8bYbVsnw86SkM1LfdOFZVgBky6OyUo9BqOjJdMppgYIlkNMg-OgxBpZlFUBhPdaIPg/s1600/estel_trans_par.png" width="288" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Ara sí que podem fer un estudi general per aquest cas, igual que hem fet abans amb els paral·lelograms.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><iframe height="594px" scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/en9z6tst/width/739/height/594/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" style="border: 0px;" title="Fórmula del temple d'Edfu per a l'àrea dels quadrilàters (Deltoides 2)" width="739px"> </iframe></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://www.geogebra.org/m/jdwnt82s" target="_blank">Enllaç a la construcció</a></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><ul><li><b><span style="color: #990000;">Trapezi isòsceles</span></b></li></ul>Per a determinar un trapezi, en general, necessitem tres costats i un angle. Si només tenim els quatre costats no queda definit. Potser és més interessant estudiar el cas particular dels trapezis isòsceles, que podem determinar amb tres costats i unes poques "armes constructives" per a centrar els dos costats paral·lels. Si apliquem la fórmula general egípcia, i partint que els costats <i>b</i> i <i>d</i> (anomenats, com fins ara, cíclicament) són iguals. la fórmula per calcula l'àrea seria la següent.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiroGftM3AEN60icZbsUtMIovDNGzMuayO7j0qwypR8Lt2JrQxoMKj390soaucCjZz5C8yf2OCxWZ0zGJeP_TC9eOwy-vvQTyfa-6y2i6UT_hVCsWFRN59R9TCX0Z14FMq8i-TEKEpcy8Ysj91XZeVmd9658jkmonoXAIvW4EBM7P217FysMNQikX4hlQ/s255/formula_trapezi_isos_egip.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="75" data-original-width="255" height="75" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiroGftM3AEN60icZbsUtMIovDNGzMuayO7j0qwypR8Lt2JrQxoMKj390soaucCjZz5C8yf2OCxWZ0zGJeP_TC9eOwy-vvQTyfa-6y2i6UT_hVCsWFRN59R9TCX0Z14FMq8i-TEKEpcy8Ysj91XZeVmd9658jkmonoXAIvW4EBM7P217FysMNQikX4hlQ/s1600/formula_trapezi_isos_egip.png" width="255" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">La podem interpretar com l'àrea d'un rectangle que té per costats la mitjana dels costats paral·lels i per altura el costat igual. Clarament és superior a l'àrea real del trapezi perquè, si la comparem a la fórmula tradicional de l'àrea, el costat desigual és més gran que l'altura.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Podem experimentar amb aquesta construcció.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><iframe height="463px" scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/g8gy86uf/width/579/height/463/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" style="border: 0px;" title="Fórmula del temple d'Edfu per a l'àrea dels quadrilàters (Trapezi isòsceles 1))" width="579px"> </iframe><br /><a href="https://www.geogebra.org/m/t69reh5t" target="_blank">Enllaç a la construcció</a></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Un cop més l'àrea "egípcia" i la real coincidiran només quan tinguem un rectangle (<i>a</i>=<i>c</i>). Mirem ara l'estudi general. Hem de fer ara una especificació. Comptem amb que es fixen els costats <i>a </i>i <i>b</i> i la variable és el costat <i>c</i>, al que hem donat una longitud màxima igual a l'altra base (<i>a</i>). Com es veurà la funció de "l'àrea egípcia" (de color verd) ara també varia amb <i>c</i>.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><iframe height="496px" scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/fpaagyws/width/674/height/496/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" style="border: 0px;" title="Fórmula del temple d'Edfu per a l'àrea dels quadrilàters (Trapezi isòsceles 2)" width="674px"> </iframe><br /><a href="https://www.geogebra.org/m/meatvcca" target="_blank">Enllaç a la construcció</a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><ul><li><b><span style="color: #990000;">Quadrilàters generals</span></b></li></ul>Quantes dades necessitem per a determinar un quadrilàter general? Quatre costats no el determinen. Necessitarem, com a mínim, un angle (i saber quins costats el formen). Podem veure que dos costats i una angle determinen un triangle en el que el 3r costat és una diagonal. Aquesta diagonal, amb els altres dos costats, determinen el 2n triangle que completa el quadrilàter.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjQiNX4Ye1zbNbYU4NmMkuKPYd693lpaSoYLeu8tyYpnliKoFfItC3tq7XLUwn4R_QXLiWhjU2HAzQFgIuZf7drfZqZTTNlKkijG0W1yzkrEZ-RFFGKhHEXMBSkowK5E4Jo_d_zljrpONTAdGIwcJ1mvDLe1zkegBlVpHnSXdUhAuc608auzrfiJ2ax8Q/s348/quadrilater_diagonal.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="302" data-original-width="348" height="278" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjQiNX4Ye1zbNbYU4NmMkuKPYd693lpaSoYLeu8tyYpnliKoFfItC3tq7XLUwn4R_QXLiWhjU2HAzQFgIuZf7drfZqZTTNlKkijG0W1yzkrEZ-RFFGKhHEXMBSkowK5E4Jo_d_zljrpONTAdGIwcJ1mvDLe1zkegBlVpHnSXdUhAuc608auzrfiJ2ax8Q/s320/quadrilater_diagonal.png" width="320" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Podem fer coincidir l'àrea real i "l'egípcia"? En quines condicions? Experimentem.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><iframe height="508px" scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/tbjffszs/width/632/height/508/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" style="border: 0px;" title="Fórmula del temple d'Edfu per a l'àrea dels quadrilàters (1)" width="632px"> </iframe></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://www.geogebra.org/m/cstwgnnp" target="_blank">Enllaç a la construcció</a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Per a fer l'anàlisi general i poder generar la funció per a un angle variable i quatre costats donats hem utilitzat una fórmula que relaciona aquestes cinc dades.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiZvSDacWQUygaIiYJoMQCcsg6d9TIdxiXplZ0ADDcFhC6gkYuqoQwx2fZzxqVOasHU_-AeTSbD6nlS7ohSkSyOYPGeaeN8mbJvZJKzMNKxHkzTajE6Z701dAEr4ZcmdgFwGHUCZYrjg2v08pVeqRLDJ1Vr4rP8RgLE7gVhrugy_PrMXfyUT45aUkyoUg/s697/for_quadri.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="90" data-original-width="697" height="83" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiZvSDacWQUygaIiYJoMQCcsg6d9TIdxiXplZ0ADDcFhC6gkYuqoQwx2fZzxqVOasHU_-AeTSbD6nlS7ohSkSyOYPGeaeN8mbJvZJKzMNKxHkzTajE6Z701dAEr4ZcmdgFwGHUCZYrjg2v08pVeqRLDJ1Vr4rP8RgLE7gVhrugy_PrMXfyUT45aUkyoUg/w640-h83/for_quadri.png" width="640" /></a></div>En aquest cas indiquem, a més, per a quan graus s'obté l'àrea màxima i, per tant, la més propera a "l'àrea egípcia".<div><br /></div><div><div style="text-align: center;"><iframe height="689px" scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/j4stdguz/width/706/height/689/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" style="border: 0px;" title="Fórmula del temple d'Edfu per a l'àrea dels quadrilàters (2)" width="706px"> </iframe></div><div style="text-align: center;"><a href="https://www.geogebra.org/m/ry4xaucd" target="_blank">Enllaç a la construcció</a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div>Amb poques experimentacions veurem que, ara, sovint no aconseguim mai arribar a l'àrea egípcia i que normalment estarem més a prop quan l'angle està rondant els 90º, però amb marges que poden arribar a ser de més de 10º. També veurem que la funció no és sempre simètrica entre 0 i 180º.<br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><ul><li><b><span style="color: #990000;">Algunes conclusions i algunes preguntes</span></b></li></ul>En general hem vist que la fórmula trobada a Edfú no és gaire bona i que, excepte en els rectangles, que és coincident, dona sempre un resultat per excés. Aquest excés és menor quan més s'acosta la forma del quadrilàter a la d'un rectangle. En aquests casos, la fórmula dona un resultat relativament proper i, si no té molta importància l'error, és molt fàcil d'utilitzar. D'aquí el seu possible ús pels agrimensors. A la inscripció del temple d'Horus el quadrilàter donat té com a costats 15-3,5-16-4 que, amb 90º entre <i>a</i> i <i>b</i> dona un error d'un 2,5% i amb 99,82º només d'1,28%.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Algunes preguntes més que ens podem fer:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li>Podem mesurar l'error mitjà?</li><li>Com poder saber entre quins angles serà menor l'error, per exemple d'un ±3% de marge?</li><li>Podem modificar lleugerament la fórmula, però calculant sempre només amb les mesures dels costats?</li></ul>D'algunes d'aquestes preguntes trobareu les respostes en un magnífic article d'Erik Tou (<a href="https://digitalcommons.tacoma.uw.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1848&context=ias_pub">Measuring the Accuracy of an Ancient Area Formula</a>, 2014)</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li><span style="color: #990000;"><b>Adaptació pels triangles</b></span></li></ul>Sembla que a algunes de les inscripcions del temple d'Horus, segons el <a href="https://books.google.es/books?id=hRXWDwAAQBAJ&lpg=PA124&ots=DEuaa_i9jR&dq=area%20quadrilateral%20triangle%20egyptian%20edfu&hl=ca&pg=PA124#v=onepage&q=area%20quadrilateral%20triangle%20egyptian%20edfu&f=false" target="_blank">text de Little Heath</a>, es suggereix que la fórmula també serveix per als triangles si considerem un dels costats com a "res", és a dir, zero. Així l'àrea es calcularia multiplicant la semisuma de dos costats per la meitat del tercer. La primera qüestió curiosa que es deriva és que podem obtenir tres àrees diferents per a un mateix triangle, depenent de quins costats agafem per a sumar i quin com a costat solt.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><iframe height="299px" scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/g9cnx4ep/width/682/height/299/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" style="border: 0px;" title="Fórmula del temple d'Edfu per a l'àrea dels triangles (2)" width="682px"> </iframe><br /><a href="https://www.geogebra.org/m/pgbjjkcz" target="_blank">Enllaç a la construcció</a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Podem experimentar i observar en quines condicions "l'àrea egípcia" s'acosta més a la real i en quines s'allunya més. Ens podem demanar coses com, quins costats triar per a fer la semisuma per a comtetre l'error més petit? En quina mena de triangles es minimitza l'error?</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><iframe height="706px" scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/qumetgas/width/671/height/706/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" style="border: 0px;" title="Fórmula del temple d'Edfu per a l'àrea dels triangles (1)" width="671px"> </iframe><br /><a href="https://www.geogebra.org/m/neg7mw2v">Enllaç a la construcció</a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Al llibre <i><a href="https://urss.ru/cgi-bin/db.pl?lang=sp&blang=en&page=Book&id=111812" target="_blank">El surgimiento de la matemática</a></i> (I. Yá. Depman) es recull un text del segle XIX, del matemàtic M.V. Ostrogradski, on s'explica que a determinades zones de Rússia es feia servir una fórmula diferent.</div></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">"En una ocasió viatjava per la meva província natal de Poltava. Veig un home a un camp fent alguna cosa que a primer cop d'ull no vaig comprendre. Resulta que estava mesurant la terra. Li vaig preguntar com mesurava l'àrea d'un terreny de forma triangular. Em va contestar que multiplicava la longituid de dos costats del triangle i feia la meitat. Novament li vaig demanar: "Aquí tothom ho fa així?"- Em va respondre que a la província (és a dir, els agrimensors de la província) ho feien d'una altra manera. però que aquí, a la comarca, totr procedien així".</div></div></blockquote><p>També pot ser interessant mirar-se una mica aquest mètode. Per exemple, demanar-nos en quin únic cas s'obté l'àrea real del triangle. </p><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b style="color: #990000;">I a l'aula?</b><br /><ul style="text-align: left;"><li>El primer que ha de tenir clar l'alumnat és que tres segments poden determinar un triangle (i un de sol) i que quatre costats no determinen un quadrilàter. No hi ha res millor que comprovar-ho amb materials, per exemple pals de fusta amb bagues als extrems. Si amb cordills lliguem tres pals i fem un triangle, aquest és rígid. Si en lliguem quatre fent un quadrilàter es pot deformar de moltes maneres. Fins i tot és bonic amb aquest material fer una piràmide triangular. Í, si tots els pals són iguals, fer un octaedre o un icosaedre. Tot és de nyigui-nyogui fins que lliguem l'últim pal i tanquem tots els triangles; llavors s'aguanta perfectament rígid sobre una base. També, si només volem treballar en el pla, ho podem fer amb tires de <i>meccano </i>o de cartolina i enquadernadors.</li></ul><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiiUW8VX5vDWuLBBpo6cu9m0etes_FAiefKWK8TFJPedNUYCz_gecUTfBJfw_6fgPPN4hyEW-bSk1wU0vhOXZdk2YVw60QCE2B7qsQk6UCpC0dz_zGvzAxtNKsFhK4iBm6AZkYPMVQZ4fMyhpTYpGEv4ZpNJVA_aIdgyWYJpkhOVUiqKVdrDJuXJoACdQ/s600/quadrilaters_mecano.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="273" data-original-width="600" height="182" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiiUW8VX5vDWuLBBpo6cu9m0etes_FAiefKWK8TFJPedNUYCz_gecUTfBJfw_6fgPPN4hyEW-bSk1wU0vhOXZdk2YVw60QCE2B7qsQk6UCpC0dz_zGvzAxtNKsFhK4iBm6AZkYPMVQZ4fMyhpTYpGEv4ZpNJVA_aIdgyWYJpkhOVUiqKVdrDJuXJoACdQ/w400-h182/quadrilaters_mecano.png" width="400" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">El quadrilàter és "flexible"</td></tr></tbody></table><br /><div style="text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li>Al final de la primària o al principi de la secundària potser no cal fer un treball gaire exhaustiu. Es pot plantejar la fórmula, en el seu context històric, i demanar investigar si és certa, si alguna vegada és exacta, quan la diferència entre la real i la calculada és més gran... GeoGebra, que ens proporciona les àrees de forma automàtica, pot ser una bona eina per a treballar amb quadrilàteres generals. També podem fer-ho sobre paper calculant les àrees de quadrilàters generals amb una quadrícula. O utilitzant un geoplà. Aquí tindrem un interessant problema afegit ja que, si bé les àrees es poden deduir força bé, les longituds dels costats, quan no són ortogonals, les haurem de mesurar directament i en relació a la mida del quadrat unitat del geoplà. (O fent servir el teorema de Pitàgores amb els més grans).</li><li>Aquest tema ens pot ajudar a trobar un context per treballar l'error absolut i el relatiu. A batxillerat es pot fer un estudi sobre l'error mitjà i indagar formes de millorar la fórmula per a aconseguir aproximacions més bones tenint en compte, només la longitud dels costats.</li><li>Si treballem diferents figures serà interessant parlar del mínim de dades que necessitem per a determinar-les. També intentar fer les construccions pertinents. Per exemple, la del trapezi isòsceles a partir de tres costats o la dels quadrilàteres generals a partir dels quatre costats i un angle.</li><li>Amb el més grans podem ampliar el tema amb alguns estudis com els que hem proposat. Hi apareixeran qüestions de trigonometria, funcions...</li><li>Pel cas dels triangles podem comparar les bondats i defectes de la fórmula exacta, l'egípcia i la russa. Demostrar, per exemple que amb la fórmula d'Edfú no obtindrem mai l'àrea exacta. Per a el càlcul exacte de l'àrea. podem utilitzar la d'<a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_d%27Her%C3%B3" target="_blank">Heró</a> que es basa en la longitud dels costats.</li></ul></div></div><p></p></div>Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7448640108700542412.post-14221335713989217402022-03-15T19:05:00.066+01:002022-03-17T17:30:47.547+01:00Corones. D'un problema a un teorema<p>En aquest article seguiré un itinerari, pràcticament clavat, al que ens van presentar en una xerrada, i si la memòria no em falla, els il·lustres membres del MMACA, Josep Rey i Manel Udina. Van connectar dos problemes que coneixia de manera independent i que no se m'havia acudir mai relacionar. El problema inicial, que no era exactament el mateix que ells van plantejar, el recordo del llibre de Mariano Mataix "Cajón de sastre matemático" (1981). El problema, més o menys, deia així:</p><p></p><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><p style="text-align: left;">"Suposem que tenim dues circumferències concèntriques. Tracem una tangent a la interior que tallarà l'exterior en un punt. La distància entre aquest punt i el de tangència és d'un metre. Troba la superfície de la corona circular que formen les dues circumferències."</p></blockquote><p style="text-align: center;"></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEhcvj7k2ADPkqLnhrk8YNLrLVuoo23LrWSV4BON7qDF4ZGM_raNeXSC72kp3e9rvsEbn3LhvKLYkJpFlZZZKxVvFaJLoFOFGKtFu-b9GTBzdr90oPwhVlLN_Ax4rv6zCfreD24MSmYaCmDRJvXbAtSwyhsh9DE4nxOi3QXjMaTo7HWxmXwqS5YLhHKkrA=s415" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="400" data-original-width="415" height="308" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEhcvj7k2ADPkqLnhrk8YNLrLVuoo23LrWSV4BON7qDF4ZGM_raNeXSC72kp3e9rvsEbn3LhvKLYkJpFlZZZKxVvFaJLoFOFGKtFu-b9GTBzdr90oPwhVlLN_Ax4rv6zCfreD24MSmYaCmDRJvXbAtSwyhsh9DE4nxOi3QXjMaTo7HWxmXwqS5YLhHKkrA=s320" width="320" /></a></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Sembla increïble però el problema es pot resoldre tot i disposar només d'una informació tan mínima. Això si, cal l'ajuda "d'una idea feliç". Com a pista només cal recordar que la fórmula de l'àrea de la corona és π(R<sup>2</sup>-r<sup>2</sup>) i que aquesta expressió, R<sup>2</sup>-r<sup>2</sup>, ens pot recordar com calcular un catet d'un triangle rectangle utilitzant el teorema de Pitàgores. Un cop resolguem aquest problema veurem que té altres sorpreses amagades i l'anirem ampliant fins a relacionar-lo amb un dels teoremes més bonics i sorprenents: el de Holditch. Aquest teorema el vaig veure per primera vegada en el preciós llibre de Clifford A. Pickover <i>El libro de las matemáticas</i>. Ja explicarem més tard què proposa. Només apuntarem que té a veure amb àrees de corones i escuradents, amb un punt marcat, que es mouen per la vora de figures corbes. Tot i així, qui me'l va redescobrir va ser el web de <i>Gaussianos</i> en un magnífic article que referenciaré al final.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><p></p><p></p></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEgwh0Wi3lDub_-MBL88Md9YugQSa0PYDcc1qG7x38ikFWTKaMhOPfxENWpxSuMh8PGC76cUwsSM_ug2SmlWyIsOwIvNvXRLYyMxQUos5flRkC8PnrEjDyAklgK1LJHYm4VBBZMQDnhe9TZrYSEj5lP4HLIcjht1o5KtrzUcp1DQ5Be9dbFnlzVagL0X-g=s500" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="309" data-original-width="500" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEgwh0Wi3lDub_-MBL88Md9YugQSa0PYDcc1qG7x38ikFWTKaMhOPfxENWpxSuMh8PGC76cUwsSM_ug2SmlWyIsOwIvNvXRLYyMxQUos5flRkC8PnrEjDyAklgK1LJHYm4VBBZMQDnhe9TZrYSEj5lP4HLIcjht1o5KtrzUcp1DQ5Be9dbFnlzVagL0X-g=s16000" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><a href="https://www.reddit.com/r/math/comments/28kaak/holditchs_theorem_x_post_from_reducationalgifs/" target="_blank">Font de la imatge</a></td></tr></tbody></table><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><span style="color: #990000; font-size: medium;">Us animeu a continuar llegint?</span></b></div><span><a name='more'></a></span><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">En aquest esquema podem veure la resolució del problema inicial i que l'àrea de la corona és, justament π. Es basa en l'observació de que el segment (la semicorda) d'1 m és el catet d'un triangle rectangle format pels radis de les dues circumferències. Justament aquesta distància és la que apareix a la fórmula del càlcul de l'àrea de la corona circular i és dada suficient per calcular-la. (Tenim que R<sup>2</sup>-r<sup>2</sup>=1).</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEiNstBjIztqqwIX2SUOH-MH75VrhyldGK218V4CiDEgHmcxM0_gvEQFaisHcp9PD27s319vmJhCmQ85QT5gqV0aLe3CI8QWoxXZNVVkKSGZvEGnS2TPQV_56x8KZ56lXcxn_81OrvfOYWGae0muixdhQ4aanA1JipkVdhtl301Uolif2g4GK6y39FlagQ=s490" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="457" data-original-width="490" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEiNstBjIztqqwIX2SUOH-MH75VrhyldGK218V4CiDEgHmcxM0_gvEQFaisHcp9PD27s319vmJhCmQ85QT5gqV0aLe3CI8QWoxXZNVVkKSGZvEGnS2TPQV_56x8KZ56lXcxn_81OrvfOYWGae0muixdhQ4aanA1JipkVdhtl301Uolif2g4GK6y39FlagQ=s16000" /></a></div>En molts problemes és interessant prescindir de les mides concretes que se'ns proporcionen i treballar amb variables: generalitzar-lo. Així, sovint, es desvetllen més clarament les relacions entre les diferents dades que apareixen en el problema. En aquest cas, els dos radis i la longitud de la semicorda. Si anomenem <i>a</i> a aquest segment obtenim que l'àrea de la corona és π<i>a</i><sup>2</sup>.<div><br /></div><div><div style="text-align: center;">.<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEh4oYwpAiLXk9TtBO-CGYUdY3hk0unSEi07pgXhx8UUn6PTXMAo5jTfRCBTEObO4p1kZEG7n6dMhUOrwM0VIEXaWu5J1JPZ10s4DRO_o386fSHbkToq6tu9zcAK8cOBXjhT7uFf5uv0aTBHrk2mEAsd-Js7I2G7rww2pYb8-N2hOu1R-EEfK5FOvatz-Q=s451" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="451" data-original-width="430" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEh4oYwpAiLXk9TtBO-CGYUdY3hk0unSEi07pgXhx8UUn6PTXMAo5jTfRCBTEObO4p1kZEG7n6dMhUOrwM0VIEXaWu5J1JPZ10s4DRO_o386fSHbkToq6tu9zcAK8cOBXjhT7uFf5uv0aTBHrk2mEAsd-Js7I2G7rww2pYb8-N2hOu1R-EEfK5FOvatz-Q=s16000" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Aquí podem tenir una primera sorpresa. L'àrea de la corona és equivalent a la d'un cercle que té com a radi aquesta semicorda.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEjObo8N9Hp9a-c2f_qpIptmiKk-DhS-Hva7rzzyTmWerFaomnFSpjx1QYD0NUR7qkzwLh7m2aIAFXOPnjKSCx7nPWxPjRxlqPqb18pcgky02PBidgPxYTYWbs84Ka3KxTFWKNZfj0GF1M_daPCZMF7NXEVV1lBSlVgWpxfDfBXoiVxAn8fTpp-UjI0BRg=s482" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="452" data-original-width="482" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEjObo8N9Hp9a-c2f_qpIptmiKk-DhS-Hva7rzzyTmWerFaomnFSpjx1QYD0NUR7qkzwLh7m2aIAFXOPnjKSCx7nPWxPjRxlqPqb18pcgky02PBidgPxYTYWbs84Ka3KxTFWKNZfj0GF1M_daPCZMF7NXEVV1lBSlVgWpxfDfBXoiVxAn8fTpp-UjI0BRg=s16000" /></a></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">La segona sorpresa és que, si no cal conèixer els radis dels cercles concèntrics i l'àrea només depèn de la longitud de la semicorda, significa que l'àrea de la corona no depèn de forma directa d'aquesta radis. Totes les corones circulars que tinguin la mateixa longitud de semicorda tangent al cercle interior tindran la mateixa àrea, independentment del seus radis.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><iframe height="652px" scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/fuhwdvhe/width/676/height/652/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" style="border: 0px;" title="Problema corones circulars (1)" width="676px"> </iframe></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://www.geogebra.org/m/weeudz7a" target="_blank"><span style="font-size: x-small;">Enllaç a la construcció</span></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><span style="color: #990000; font-size: medium;">Modifiquem el problema una mica</span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Ara podem imaginar la circumferència interior dibuixada d'una altra manera. Imaginem que tenim una circumferència qualsevol i un palet (per exemple un escuradents) amb un punt marcat. Si fem moure el palet per la part interior de la circumferència, de manera que els dos extrems sempre toquin el seu perímetre, el punt que haguem marcat traçarà, en el seu moviment, una nova circumferència interior. Aquest punt pot estar centrat o no en el palet, és a dir, a la corda que fem moure tot al voltant de la circumferència.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><iframe height="516px" scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/uec8dka9/width/530/height/516/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" style="border: 0px;" title="Problema corona circular (2)" width="530px"> </iframe><br /><a href="https://www.geogebra.org/m/wzvbkspe" target="_blank"><span style="font-size: x-small;">Enllaç a la construcció</span></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Si el punt està centrat en la corda, el problema de calcular l'àrea de la corona circular creada seria similar al que hem plantejat al principi. Podem observar que, per simetria, l'àrea màxima s'obté, justament, quan el punt és el central de la corda. En tot cas, si no està centrat, no ens serveixen del tot els càlculs anteriors. Els haurem de retocar.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Començarem per nomenar <i>a</i> i <i>b</i> les longituds en què queda dividida la corda. També anomenarem <i>R</i> al radi del cercle inicial (l'exterior) i <i>r</i> al del cercle interior dibuixat pel punt.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEiGDypHU1TYUQm909BV8iUO1mhyik-C6fCgCYQor4GmD4Vrv_677c1xS1zE4xux6o1GcQKhjDG0k3GJBu94jxh853PpLXGUyA72dDFMd554Cps-iOJndPKW1r__3HVS6VLsEXhfigndQh55KgEipEpCuciy7uf97OmtGxbGd-KzxVYV9lduAZiEkcvO9Q=s386" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="380" data-original-width="386" height="315" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEiGDypHU1TYUQm909BV8iUO1mhyik-C6fCgCYQor4GmD4Vrv_677c1xS1zE4xux6o1GcQKhjDG0k3GJBu94jxh853PpLXGUyA72dDFMd554Cps-iOJndPKW1r__3HVS6VLsEXhfigndQh55KgEipEpCuciy7uf97OmtGxbGd-KzxVYV9lduAZiEkcvO9Q=s320" width="320" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Podem considerar com a incògnita addicional el segment <i>x</i> que uneix el centre de les circumferències amb el punt mitjà de la corda. És un segment interessant perquè ens divideix el triangle format pels radis i el segment <i>a</i> en dos triangles rectangles.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEgG1fr9z__lIeXdEB5_5qxa7_jmzHzhotGofVmMePzcowkd_iavPS_jHni7J931cYFaUp9EV1EIwNRQls8okvaVmoOebHmrLgRlTn_ehoYgaIP3J6PEplUoWkNrb0fxzVTKNOdit0vOVyi7Xil1gKhctyBQzf7h7HJCO8sPtneYorZAU2zo5gU-0O0_9w=s387" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="387" data-original-width="373" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEgG1fr9z__lIeXdEB5_5qxa7_jmzHzhotGofVmMePzcowkd_iavPS_jHni7J931cYFaUp9EV1EIwNRQls8okvaVmoOebHmrLgRlTn_ehoYgaIP3J6PEplUoWkNrb0fxzVTKNOdit0vOVyi7Xil1gKhctyBQzf7h7HJCO8sPtneYorZAU2zo5gU-0O0_9w=s320" width="308" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Agafant el triangle rectangle de la dreta, podem esbrinar la longitud d'<i>x</i> en funció d'<i>R</i>, <i>a</i> i <i>b</i>. Més que <i>x</i>, ens interessa esbrinar <i>x<sup>2</sup></i>, ja que estarem treballant molta estona amb els quadrats de les variables.</div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEh2b5Ei2E1CGMOZtWFc8RlRLujXzvBpx3w6UyEIaKVDKfUht2Wo43xBK1xwKbDvJyJQqMxHwzInr097DnSFHDCVSjkUKRW8oN5fCR5lPHXPbHUmJCjAzH6Pr9L6xyuOMTLgqE3tHnOmve9clO01BwWejuXsXleNhTuldeyJbg0GekEx009tyk0QU9jfKg=s385" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="380" data-original-width="385" height="316" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEh2b5Ei2E1CGMOZtWFc8RlRLujXzvBpx3w6UyEIaKVDKfUht2Wo43xBK1xwKbDvJyJQqMxHwzInr097DnSFHDCVSjkUKRW8oN5fCR5lPHXPbHUmJCjAzH6Pr9L6xyuOMTLgqE3tHnOmve9clO01BwWejuXsXleNhTuldeyJbg0GekEx009tyk0QU9jfKg=s320" width="320" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Si mirem ara el triangle rectangle de la part esquerra, que relaciona <i>r</i>, <i>x</i> i la distància entre el punt assenyalat a la corda i el centre d'aquesta, tindrem el valor d'<i>r</i><i><sup>2</sup></i> relacionat amb <i>x</i>, <i>a</i> i <i>b.</i> Com veurem la relació amb <i>x</i> ens portarà a la relació amb <i>R</i>.</div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEgy8BtMrqiozZDzR30VgV7jLQ8ejM3MIbXHpak2gC9Y8bwKAEv2Dk_CjPo4pXdXnAyND9k-oD4j0bIgBJSLsc3ER-WcC7mIjY9zQX9ibWAr5XbQmvBPE42VE0I9chfmLgRGafjLkjgFipN-HqhK6MEdVIf2DVcgfXi1wPELDIRTO-9qFt8O7DHambNbhw=s407" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="407" data-original-width="382" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEgy8BtMrqiozZDzR30VgV7jLQ8ejM3MIbXHpak2gC9Y8bwKAEv2Dk_CjPo4pXdXnAyND9k-oD4j0bIgBJSLsc3ER-WcC7mIjY9zQX9ibWAr5XbQmvBPE42VE0I9chfmLgRGafjLkjgFipN-HqhK6MEdVIf2DVcgfXi1wPELDIRTO-9qFt8O7DHambNbhw=s320" width="300" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Ara només ens queda treballar amb les expressions trobades per a calcular l'àrea de la corona circular. El que farem serà substituir <i>x</i><sup>2</sup> a la segona equació per l'expressió equivalent de la primera. Així obtindrem quan val <i>r</i><sup>2</sup>. Després substituirem, a la fórmula de l'àrea de la corona circular, <i>r</i><sup>2 </sup>pel valor obtingut.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEjzgNwK1a1M0dhcrxRQz-4ub8uzXRlicVFpRzoaYLXJR3RW4BbanUPRjsi8ASLywrgeCq8YWHWBAg84WaUGA2G_ZStIvi24VnMS5eESAg2A8RkIBh9cgkkVrmgn58mG6WY0V13egwIxQOwf1Pz4EpNZ_WKiQK7mqOrqcadf92hH8uhPcIK0qTaGkFYtTQ=s515" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="205" data-original-width="515" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEjzgNwK1a1M0dhcrxRQz-4ub8uzXRlicVFpRzoaYLXJR3RW4BbanUPRjsi8ASLywrgeCq8YWHWBAg84WaUGA2G_ZStIvi24VnMS5eESAg2A8RkIBh9cgkkVrmgn58mG6WY0V13egwIxQOwf1Pz4EpNZ_WKiQK7mqOrqcadf92hH8uhPcIK0qTaGkFYtTQ=s16000" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Si observem el resultat al que hem arribat veurem que, com al problema inicial, els radis de les circumferències no hi juguen un paper directe, el que importa és on està situat el punt sobre la corda. De retruc veiem que el problema inicial és un cas particular d'aquest (quan el punt és el mitjà de la corda) i que, en aquest cas, a més s'obté l'àrea màxima per a una corda donada. Però si mirem atentament l'expressió obtinguda (π<i>ab</i>) podem reconèixer l'àrea d'una el·lipse que té com a semieixos les dues longituds en les que queda dividida la corda.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><iframe height="522px" scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/zbnk3wvm/width/695/height/522/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" style="border: 0px;" title="Problema corones circulars (3)" width="695px"> </iframe><br /><a href="https://www.geogebra.org/m/wqwxsyqn" target="_blank"><span style="font-size: x-small;">Enllaç a la construcció</span></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><span style="color: #990000; font-size: medium;">I si provem amb una el·lipse?</span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Tot bon problema porta a preguntes noves. Pot ser interessant canviar la corba sobre la que fem girar al corda. I si provem amb una el·lipse? Una primera qüestió que ens podem plantejar és si la figura que dibuixarà el punt assenyalat a la corda serà una altra el·lipse concèntrica. I. si és així, aquesta el·lipse serà com l'exterior però més petita? O tindrà una forma diferent? Us convidem a experimentar amb aquest applet fet amb GeoGebra.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><iframe height="620px" scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/nt7327px/width/572/height/620/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" style="border: 0px;" title="Problema de les corones (4) El·lipse" width="572px"> </iframe><br /><a href="https://www.geogebra.org/m/jm8ydggv" target="_blank">Enllaç a la construcció</a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Amb poca experimentació haureu observat que el punt de la corda traça figures ben diverses, i poc previsibles, que dificulten els càlculs de l'àrea de la corona.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEhqgwI7udCxq9v0H3k95NwiumlcpwzbtCIVqxqH6xAruhzw5lxueDX7er2oX9PGIBW21qCsFZcunZhY-1PEisV__RSL_cZj0LjQLWeNyLp7OiWff2C0mfEMMehaTvqUcxt612Q8O3CgldmNVaOYkNstf1P4gkFJbKl5WNxF1oxCyAtG2ElacSiYXOpRQg=s430" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="340" data-original-width="430" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEhqgwI7udCxq9v0H3k95NwiumlcpwzbtCIVqxqH6xAruhzw5lxueDX7er2oX9PGIBW21qCsFZcunZhY-1PEisV__RSL_cZj0LjQLWeNyLp7OiWff2C0mfEMMehaTvqUcxt612Q8O3CgldmNVaOYkNstf1P4gkFJbKl5WNxF1oxCyAtG2ElacSiYXOpRQg=s16000" /></a></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">De moment fem un acte de fe en que la fórmula π<i>ab </i>continua funcionant<i>.</i></div><div style="text-align: center;"><br /></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #990000; font-size: medium;">El Teorema de Holditch</span></b></div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;">Hamnet Holdicht va ser un matemàtic anglès del segle XIX i el seu resultat més famós és el del teorema que porta el seu nom. Aquest teorema ve a dir que:</div><div style="text-align: left;"><br /></div></div></div><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><div><div style="text-align: center;"><div style="text-align: left;">"Si tenim una corba tancada convexa i fem girar sobre ella una corda de longitud fixa i amb un punt sobre aquesta corda a distàncies <i>a</i> i <i>b</i> dels seus extrems, el lloc geomètric d'aquest punt genera una altra corba, també tancada, d'un àrea menor a la primera en π<i>ab</i>".</div></div></div></blockquote><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEidWOnzXYwUABZxVS-FuopSztdSn0XH8SGXQQqtxwpuyONtPH1BSGKC0w554V-NV5Tnh9MSsILXqlBfb90BUAaRv_735b6Z6JZ9_vxFIo4WENt6EP7bl2yP8mYn21paGATGqkzTS7plQ5-UytWmEi2weiSk6EYM0Txf598gfLViWvDt1WraAZp8qL0ELA=s600" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><img border="0" data-original-height="300" data-original-width="600" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEidWOnzXYwUABZxVS-FuopSztdSn0XH8SGXQQqtxwpuyONtPH1BSGKC0w554V-NV5Tnh9MSsILXqlBfb90BUAaRv_735b6Z6JZ9_vxFIo4WENt6EP7bl2yP8mYn21paGATGqkzTS7plQ5-UytWmEi2weiSk6EYM0Txf598gfLViWvDt1WraAZp8qL0ELA=s16000" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Holditch%27s_theorem" target="_blank">Font de la imatge: Viquipèdia</a></td></tr></tbody></table><p>El teorema anterior generalitza la propietat i el resultat obtingut per a les corones circulars per a qualsevol corba tancada i convexa. Ben bonic! L'àrea de la corona generada és independent de la forma i mida de la corba inicial. Només depèn de la longitud de la corda (o de l'escuradents si ho fem amb material) i d'on haguem marcat el punt que traça la corba interior. I, per a més màgia, l'àrea és equivalent a la d'una el·lipse que té per semieixos les dues longituds en les que està dividida la corda.</p><p>No ens allargarem amb la demostració del teorema que podeu trobar en aquests dos enllaços:</p><p></p><ul style="text-align: left;"><li><a href="https://www.gaussianos.com/el-teorema-de-holditch-un-resultado-geometrico-inesperado/" target="_blank">Web de Gaussianos</a>. A l'article <i>El teorema de Holditch, un resultado geométrico inesperado</i> hi trobareu una imatge amb la demostració original de Holditch. Ocupa una pàgina només.</li><li><a href="https://mat.uab.cat/matmat_antiga/PDFv2019/v2019n02.pdf" target="_blank">MATerials MATemàtics</a>. A aquesta revista matemàtica hi ha un complet article d'Armengol Gasull, <i>Gemmes matemàtiques </i>(2019), on recull un conjunt de "demostracions belles i boniques". Una d'elles mostra la d'aquest teorema,</li></ul>I, si voleu ampliar, també tenim un article de Lluís Santaló, <i>S</i><a href="https://dugifonsespecials.udg.edu/bitstream/handle/10256.2/10473/SANTAL%c3%93%20080.pdf?sequence=1&isAllowed=y" style="font-style: italic;" target="_blank">obre el teorema de Holdicht y análogos en geometría no euclidiana</a>. Però ja avisem que no és una "lectura fàcil".<p></p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEi2b6a5k1Tb9VJFRBNVT9uXGqIhmurx4fn9CSsMCHwvGKDgyfbZkwdjPTPDohZ5HWfA1yxeeQ4tTVobqbz0iuAAjykhY2XbcyLjdV68ZBWJH-5RhQ5UQkCAwAHlTGzskTOKXbIDVaEzEHvifHh7KWQyxH0519zuT4J4dEfvweAe67WBX4tjq2t0Y81zhQ=s434" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="330" data-original-width="434" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEi2b6a5k1Tb9VJFRBNVT9uXGqIhmurx4fn9CSsMCHwvGKDgyfbZkwdjPTPDohZ5HWfA1yxeeQ4tTVobqbz0iuAAjykhY2XbcyLjdV68ZBWJH-5RhQ5UQkCAwAHlTGzskTOKXbIDVaEzEHvifHh7KWQyxH0519zuT4J4dEfvweAe67WBX4tjq2t0Y81zhQ=s16000" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Fragment de l'article de Santaló</td></tr></tbody></table><p style="text-align: center;"><br /></p><p><b><span style="color: #990000; font-size: medium;">I a l'aula?</span></b></p><p></p><ul style="text-align: left;"><li>Crec que l'objectiu de fer entrar aquesta activitat a l'aula és poder fer conèixer un teorema tan bell, sorprenent i antiintuïtiu. Que l'àrea entre les dues corbes sigui independent de la mida i forma d'aquestes és una primera sorpresa. Que, a més, l'àrea només depengui de la mida de la corda i de la seva divisió i es correspongui amb la d'una el·lipse que té com a semieixos les mesures d'aquesta divisió, és el remat. El grau de treball matemàtic que es faci pel mig dependrà de l'edat. No crec que sigui necessàri conèixer la demostració final del teorema. Potser per aquell alumnat de batxillerat que ho demani. Tot i que aquesta té el seu encant. Personalment, recordo una magnífica estona, a la seu del Creamat, en la que l'Anton Aubanell l'anava desgranant i me l'anava explicant.</li></ul><ul style="text-align: left;"><li>El problema inicial és plantejable a l'aula amb uns certs coneixements d'àlgebra i geometria. El difícil, però, és tenir "la idea feliç" del dibuix que fa construir el triangle rectangle que ens ajuda a solucionar-lo. Per tant, podem graduar l'ajuda i les pistes que donem. El que és interessant és fer les interpretacions algebraiques posteriors. Un cop fet el cas de la semicorda de mida 1, podem demanar la d'una de longitud <i>a</i>. Resolt el primer cas, aquest no plantejarà tantes dificultats. I després fer les reflexions sobre l'expressió algebraica obtinguda i observar que no depèn dels radis i que l'àrea de la corona és igual a la del cercle de radi igual a la semicorda. Saber interpretar expressions algebraiques, desvetllar les relacions que es mostren, és una de les capacitats algebraiques més interessants a treballar a l'aula.</li></ul><ul style="text-align: left;"><li>L'extensió a la idea de fer girar sobre una circumferència una corda amb un punt marcat es pot explicar i experimentar a l'aula sense necessitat de justificacions especials. Podem fer el paral·lelisme entre el cas treballat (punt mig de la corda) i el més general (punt descentrat), tot comentant que el cercle és un cas especial de l'el·lipse i que, per això en un cas és <i>π<i>a</i></i><i><sup>2</sup></i> (perquè les dues longituds de divisió són iguals) i en l'altre, π<i>ab, </i> (perquè són diferents). En tot cas, el problema de calcular l'àrea de la corona circular amb el punt descentrat sobre la corda, es pot proposar com a problema d'ampliació.</li></ul><ul style="text-align: left;"><li>Sobre corbes diferents als cercles hi ha alguns applets de GeoGebra que ens poden ser útils per mostrar. A continuació us en proposem un parell.<br /><br /></li><ul><li>Applet de G. Wengler que permet experimentar sobre diferents el·lipses.</li></ul></ul><br /><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEjlDWf5S_ZV7CvQnD0p4LPL84DvKA-IPr4b42WZK_DewPf2n3rySsA5pSY07ILSfu8yoCEOFWJZe4pHIjHCmgxtZSGuXjmAoZAio7bT-zHVKt4FkLoigr9iIyfzRP2hoglR4QTHZw-13FS_-QoEuEAmnfR7E2g44fPnKaUhnoK1YY3r_LzfYJQhy8StNw=s600" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="357" data-original-width="600" height="238" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEjlDWf5S_ZV7CvQnD0p4LPL84DvKA-IPr4b42WZK_DewPf2n3rySsA5pSY07ILSfu8yoCEOFWJZe4pHIjHCmgxtZSGuXjmAoZAio7bT-zHVKt4FkLoigr9iIyfzRP2hoglR4QTHZw-13FS_-QoEuEAmnfR7E2g44fPnKaUhnoK1YY3r_LzfYJQhy8StNw=w400-h238" width="400" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><a href="https://www.geogebra.org/m/RScgNz6J" target="_blank">Enllaç a l'applet</a></td></tr></tbody></table><ul style="text-align: left;"><ul><li>Applet Thijs que permet experimentar per una corba tancada més general.</li></ul></ul><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEhNNRZBXERj-davk94AeYFxpryeeGG4owy0as9IF6iJH0-QFYEjBvMd3KWmUHi7veF1HJM40dtdt5qDf8ZOIp8w-9x0fVFYFsG3a7x3lCpyAIC9CQyGHhQtIIdoxlpOoa6DRYMSnzEyZQP6Vh9RCu4Dm2lWEBucyim77hR_vsoFsYkf-1Mi8PDdfyOwxQ=s473" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="454" data-original-width="473" height="384" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEhNNRZBXERj-davk94AeYFxpryeeGG4owy0as9IF6iJH0-QFYEjBvMd3KWmUHi7veF1HJM40dtdt5qDf8ZOIp8w-9x0fVFYFsG3a7x3lCpyAIC9CQyGHhQtIIdoxlpOoa6DRYMSnzEyZQP6Vh9RCu4Dm2lWEBucyim77hR_vsoFsYkf-1Mi8PDdfyOwxQ=w400-h384" width="400" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><a href="https://www.geogebra.org/m/HUprjjw7" target="_blank">Enllaç a l'applet</a></td></tr></tbody></table><div style="text-align: center;"><br /></div>Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7448640108700542412.post-82898129236290846752022-02-06T11:30:00.002+01:002022-02-06T13:19:34.869+01:00Còniques a la badia de Roses<p>Fa molts anys em va caure a les mans un text de Josep Pla titulat "El vent de garbí i la tramuntana". Un dels seus apartats es titulava <i>Explicacions científiques</i>. En ell, per primera vegada, vaig trobar la referència a les formes el·líptiques de la badia de Roses. En Pla comenta un escrit de <a href="https://www.enciclopedia.cat/ec-gec-0038897.xml" target="_blank">Frederic Macau</a> (1917-1970) on hi ha tot l'estudi matemàtic pertinent, les seves justificacions geològiques i climàtiques i un petit teorema que ell mateix anomena "Teorema de l'Empordà"</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEicMbNwJJnQJ2cLd6tizNn42nBmIKfb0VwoEussERyG3v2JpMv9zEaem0YKP8-KQu0bX2iwW5fdax5fPxrC5-bG1zixM9vxY7Kpef2JJZl0SsSFtnLqwGncEypHBBO1CpYq34GfiTYitlhKBXSE6TvZ_GqY4dgIq0T5oty18h_xDM2JrSaL2alDhzqcgw=s800" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="470" data-original-width="800" height="376" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEicMbNwJJnQJ2cLd6tizNn42nBmIKfb0VwoEussERyG3v2JpMv9zEaem0YKP8-KQu0bX2iwW5fdax5fPxrC5-bG1zixM9vxY7Kpef2JJZl0SsSFtnLqwGncEypHBBO1CpYq34GfiTYitlhKBXSE6TvZ_GqY4dgIq0T5oty18h_xDM2JrSaL2alDhzqcgw=w640-h376" width="640" /></a></div><p>En el text de Pla es diu:</p><p></p><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><p style="text-align: left;">És absolutament obvi que el perfil del golf de Roses és la forma més admirable, més impressionant, d'una més excelsa bellesa, més inoblidable de l'Empordà. (../..) És una forma de gran bellesa, produïda per la naturalesa en cru, que mai, potser, l'obsessió artística no arribarà a dibuixar una forma que s'hi assembli. (../..) El senyor Macau se l'ha mirada amb ulls d'artista i de científic -n'ha donat una informació de gran categoria. Una visió superficial del golf fa aparèixer una forma el·líptica geomètricament perfecta. És una el·lipse com si hagués estat traçada amb un tiralínies per un delineant expertíssim. Però d'el·lipses, n'hi ha dues: una de petita, del cantó de Roses, i una de més llarga del cantó de l'Escala. L'eix de l'el·lipse de la banda de Roses coincideix en direcció i situació amb la perllongació dins del mar de l'últim tram del Muga. L'eix de l'el·lipse de la banda de l'Escala, coincideix, encara que no tan exactament, amb la direcció i la perllongació del penúltim tram del Fluvià".</p></blockquote><p>El text continua donant més detalls matemàtics recollits de l'escrit de Macau on, a més, hi ha alguna referència a la proporció àuria. Si el voleu llegir es titula "<a href="https://raco.cat/index.php/AnnalsEmpordanesos/article/view/116598" target="_blank">L'Alt Empordà geometritzat per la Tramontana</a>".</p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEhwA_LCU0zRqAiV2TeL0BLzgsbtflcRtkXEZ6vjuVxoT9BiHdA0kwimu0WFCCfFJJuRg3QbM8w4qHqBtu0Tkm8EnD866Nj6mJ16xMYVIMSDQqz0tu3KHT0NTPz5BLGP5GVlRMkmvvO4WXyI-mefGz5hrYfB_ySr2XaEQnSpXbzDou3GPxj0Ncss3pV_nw=s841" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="562" data-original-width="841" height="428" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEhwA_LCU0zRqAiV2TeL0BLzgsbtflcRtkXEZ6vjuVxoT9BiHdA0kwimu0WFCCfFJJuRg3QbM8w4qHqBtu0Tkm8EnD866Nj6mJ16xMYVIMSDQqz0tu3KHT0NTPz5BLGP5GVlRMkmvvO4WXyI-mefGz5hrYfB_ySr2XaEQnSpXbzDou3GPxj0Ncss3pV_nw=w640-h428" width="640" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Imatge original del text de Frederic Macau</td></tr></tbody></table><br /><p>La segona vegada que em vaig trobar amb una referència a l'estudi de Macau va ser a l'exposició de <a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Perejaume" target="_blank">Perejaume</a> "Maniobres de Perejaume", a l'any 2014.</p><p>La tercera, va ser a la revista NouBiaix, al n. 79, també de 2014, on Lluís Sabater, de l'IES Llança, feia tot un estudi amb GeoGebra de les propostes de Macau. L'article es titulava <a href="https://publicacions.iec.cat/repository/pdf/00000213/00000014.pdf" target="_blank">El Teorema de l'Empordà (de F. Macau) vist amb el GeoGebra</a>.</p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEhhSzjZhrs_csqXXSHj945-6QxW-arIGAJ0j7RqaWxarUc1o72bvdlZs1jJLc81z0IgD3Ekz3Q3kngS7N_TX42J-e4muJD-z8mT2CFQr5zI6NGQ8stMNVgAKSViHJeAT-tP1DWjPaweZEAXgoPv_Cg-wHCTb0O91sLMkuZ84EXZsm6Xc8wEoeBF-ZlbxA=s700" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="388" data-original-width="700" height="354" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEhhSzjZhrs_csqXXSHj945-6QxW-arIGAJ0j7RqaWxarUc1o72bvdlZs1jJLc81z0IgD3Ekz3Q3kngS7N_TX42J-e4muJD-z8mT2CFQr5zI6NGQ8stMNVgAKSViHJeAT-tP1DWjPaweZEAXgoPv_Cg-wHCTb0O91sLMkuZ84EXZsm6Xc8wEoeBF-ZlbxA=w640-h354" width="640" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><a href="https://www.geogebra.org/m/xY677VGR" target="_blank">Enllaç a la construcció de Lluís Sabater</a></td></tr></tbody></table><br /><p style="text-align: left;">Ja avanço que, amb tots el meu sincer respecte per l'obra de Macau, aquestes coses no me les pren mai del tot seriosament. Per una banda, la natura "no és exacta". Per una altra, nosaltres fem passar les línies per on ens va millor. Quantes vegades hem vist obres que troben tot de proporcions àuries dibuixant rectangles auris amb aproximacions triades a conveniència?</p><p style="text-align: center;"></p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEjVmPxX8KmJgjzXbxRfDZBq0eP3q9hypXaJhXuuA70ybesoRlXwkiapmTP8Ap0P5cb628qPpiT3iW0EdI-nUvluh8box9s6qTkdSv5GLP39nQzLW51SvSMPYOcHdriBmJmMJUrn6jtBqnrJoJnujC5vWufbSKiE4-5t9ESBPWfa2eZxvH83CzCsrnHg5Q=s400" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="400" data-original-width="389" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEjVmPxX8KmJgjzXbxRfDZBq0eP3q9hypXaJhXuuA70ybesoRlXwkiapmTP8Ap0P5cb628qPpiT3iW0EdI-nUvluh8box9s6qTkdSv5GLP39nQzLW51SvSMPYOcHdriBmJmMJUrn6jtBqnrJoJnujC5vWufbSKiE4-5t9ESBPWfa2eZxvH83CzCsrnHg5Q=s16000" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Aquí em deixo un colze, aquí un tros de mà, aquí...</td></tr></tbody></table><br /><p></p><div style="text-align: left;">Però l'observació de la forma aproximadament el·líptica de la badia (o de suma dels arcs de dues el·lipses) és innegable. Una altra cosa és de quina o de quines el·lipses. Un dels grans mèrits de Frederic Macau és que ho va fer tot a mà. Nosaltres disposem d'eines molt més còmodes per a posar-nos a jugar: imatges ortogràfiques accessibles, GeoGebra...</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #990000; font-size: medium;">Ens hi posem?</span></b></div><span><a name='more'></a></span><div style="text-align: left;">Una de les eines de GeoGebra que ens pot ser més fàcils d'utilitzar és la "Cònica que passa per cinc punts".</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEjVeSad-GG1uB5rEbtbAr_33F3o5elSppwQPdNBo9EEcrkIX3_qE50-ufsX5-pBT6pQUDeeGCyWehWDA4GcgxwOY9bdKypeuYl2yGe5nYL9u3mr-IbXa9nThi_xbqrd_S6RStzB1NvpUhrTxtlqZHo-myfQT8c3mfdL1AnwjEJTXl0jelMnDjAlhSkF6A=s318" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="270" data-original-width="318" height="270" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEjVeSad-GG1uB5rEbtbAr_33F3o5elSppwQPdNBo9EEcrkIX3_qE50-ufsX5-pBT6pQUDeeGCyWehWDA4GcgxwOY9bdKypeuYl2yGe5nYL9u3mr-IbXa9nThi_xbqrd_S6RStzB1NvpUhrTxtlqZHo-myfQT8c3mfdL1AnwjEJTXl0jelMnDjAlhSkF6A" width="318" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Només ens caldrà inserir una imatge de la badia que podem agafar de <a href="https://www.google.com/maps/@42.1890874,3.0995499,39826m/data=!3m1!1e3?hl=ca" target="_blank">Google Maps</a> o de l'<a href="http://www.icc.cat/vissir3/index.html?LRBXd2nFe" target="_blank">ICG</a>C i assenyalar cinc punts sobre la costa. Se'ns dibuixarà una paràbola, una hipèrbole o una el·lipse segons on col·loquem els cinc punts. Podeu intentar practicar movent els punts d'aquest applet de GeoGebra.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><iframe height="818px" scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/hvfx3azw/width/556/height/818/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/true/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" style="border: 0px;" title="Mou els cinc punts sobre la costa de la badia i intenta aconseguir una el·lipse, una hipèrbole i una paràbola que s'ajustin al màxim a la costa." width="556px"> </iframe><br /><a href="https://www.geogebra.org/m/u9cgf4pv" target="_blank">Enllaç a la construcció</a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">I si no teniu ganes de provar ara, a continuació podeu veure tres imatges amb algunes còniques possibles.</div><p></p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEhe8ecPjmm_fsgO09RQI_dE8omB1JLxY7_Lpuh-b0HQhyaR-KX3KRH8y2AonY33hEVjhc3VJIiMqLRydaBwwfiU8iz7vns27WBSujOkWQh_jsy6G7Gv0kauDbEIBra5yqBTxfHYSZNf6WoZsnBjDAvQvB3S7rkIGulK0MLWMvH13dWQhEGeyodLMAiZ_g=s670" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="670" data-original-width="486" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEhe8ecPjmm_fsgO09RQI_dE8omB1JLxY7_Lpuh-b0HQhyaR-KX3KRH8y2AonY33hEVjhc3VJIiMqLRydaBwwfiU8iz7vns27WBSujOkWQh_jsy6G7Gv0kauDbEIBra5yqBTxfHYSZNf6WoZsnBjDAvQvB3S7rkIGulK0MLWMvH13dWQhEGeyodLMAiZ_g=s16000" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Una sola el·lipse posant els límits entre l'entrada de Roses i la zona d'Empúries</td></tr></tbody></table><br /><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEg8njaYH7vLsz6iw6K_Fi5XBxZvTrDQ_3VhpLqnaJtroc5erEVUsxqrvURHLZ_gVCs0RrzmfcSAnF43gqkVte2PdC2cn_AewZmrHTBVLdKimKICUkQSkpAf4BpUnQRs1GtgSqlpX9SEOhiDnNPKmqEMeAyShPvJIvIw2alUzaeZ3ySQKUEtY9Eqtl860g=s458" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="458" data-original-width="454" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEg8njaYH7vLsz6iw6K_Fi5XBxZvTrDQ_3VhpLqnaJtroc5erEVUsxqrvURHLZ_gVCs0RrzmfcSAnF43gqkVte2PdC2cn_AewZmrHTBVLdKimKICUkQSkpAf4BpUnQRs1GtgSqlpX9SEOhiDnNPKmqEMeAyShPvJIvIw2alUzaeZ3ySQKUEtY9Eqtl860g=s16000" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Una hipèrbola posant els límits entre La Muga i Empúries</td></tr></tbody></table><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEhdvX0NsBndsuqpTEUBpp29uhOA4lBPjVQmgC42XfAATFziWS1V8GoBAPAc4iNjo_Cvx8ZJuOMMEsGpPNvulGkSp_2e6ZtY5HcdxA2kE-ghQAexxwfKXgpYvTIPZosVpV5DJrxD0Ax_isppdv3nrnd48uLS3cIH1c00uQbe0NDhGlVtZmqKmEDXJRotgA=s584" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="584" data-original-width="416" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEhdvX0NsBndsuqpTEUBpp29uhOA4lBPjVQmgC42XfAATFziWS1V8GoBAPAc4iNjo_Cvx8ZJuOMMEsGpPNvulGkSp_2e6ZtY5HcdxA2kE-ghQAexxwfKXgpYvTIPZosVpV5DJrxD0Ax_isppdv3nrnd48uLS3cIH1c00uQbe0NDhGlVtZmqKmEDXJRotgA=s16000" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Una paràbola entre el Port de Sta. Margarida i Empúries</td></tr></tbody></table><br /><p style="text-align: left;">Una altra possibilitat d'exploració, és intentar endevinar on estan els focus de les el·lipses i després comprovar el nostre grau d'encert. Ens pot ajudar a fer-nos una idea de la posició dels focus en relació a l'excentricitat de les el·lipses.</p><p style="text-align: center;"><iframe height="662px" scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/bmqtbcnj/width/484/height/662/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/true/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" style="border: 0px;" title="Aquestes son, aproximadament, les dues el·lipses proposades per Frederic Macau, per forma la badia de Roses. Marca on creus que estan els focus i després comprova com t'ha anat." width="484px"> </iframe><br /><a href="https://www.geogebra.org/m/znzskm8r" target="_blank">Enllaç a la construcció</a></p><p style="text-align: left;"><b><span style="color: #990000;">I a l'aula?</span></b></p><p style="text-align: left;"></p><ul style="text-align: left;"><li>Aquesta activitat, com s'ha vist, s'ha proposat d'una manera molt senzilla: una primera experimentació amb l'eina "Cònica que passa per cinc punts" de GeoGebra. Una segona relacionada amb els focus de l'el·lipse. Crec que està bé per familiaritzar-se, en un context curiós, amb les còniques sense fer un treball analític o geomètric exhaustiu. També ens pot ajudar a veure que, sovint, és difícil discernir visualment si un arc és d'el·lipse, hipèrbola o paràbola (o catenària, que, tot i no ser una cònica, és freqüent en construccions).<br /><br /></li><li>Es pot ampliar l'activitat a partir de la lectura de l'article de Frederic Macau i de la demostració del <i>Teorema de l'Empordà</i> proposada per Lluís Sabater. I debatre sobre la hipòtesis dels dos arcs d'el·lipse proposats, la recta de tangència i la que uneix els centres de les el·lipses seguint la línia de la Tramuntana, les orientacions dels eixos petits amb el rius, les justificacions geològiques i climàtiques... I parlar sobre la versemblança de les seves teories.</li></ul><ul style="text-align: left;"><li>De fet, és una oportunitat per parlar, d'aquestes qüestions matemàtiques o pseudomatemàtiques. En podem trobar altres exemples en la literatura. I molt especialment relacionades amb la proporció àuria, com també passa en el text de Macau que la troba en la relació entre les longituds dels dos semieixos grans de les dues el·lipses (13,9 km : 8,6 km = 1,616...).</li></ul><p></p><p></p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEgmC5GqjCjffj0xcSSxmm-QiXadmFSoRdsmTqLrY1qWNXK4xfV_OIa4GhrqxHYlmZjflmPAJ_aALf9Ws3rdgUh-Oz0CSMvjXR1SSWEAuRQD9q_56mMzrOq1IU00pd7us7bzKASF-z8-4sa--iQ1OtpWiizzUFqlMYZhCq9o6FH7r-c7qMyOsa_queY4DQ=s625" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="599" data-original-width="625" height="613" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEgmC5GqjCjffj0xcSSxmm-QiXadmFSoRdsmTqLrY1qWNXK4xfV_OIa4GhrqxHYlmZjflmPAJ_aALf9Ws3rdgUh-Oz0CSMvjXR1SSWEAuRQD9q_56mMzrOq1IU00pd7us7bzKASF-z8-4sa--iQ1OtpWiizzUFqlMYZhCq9o6FH7r-c7qMyOsa_queY4DQ=w640-h613" width="640" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">El Delta de l'Ebre en una el·lipse?</td></tr></tbody></table><br />Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7448640108700542412.post-79645722117728105082022-01-26T17:21:00.003+01:002022-03-23T18:42:14.609+01:00Prostafairesis, taules de quarts de quadrats... Multipliquem d'una altra manera!<p>Buscar formes de simplificar les activitats complexes ha estat un dels motors del desenvolupament tecnològic (i cultural) de la humanitat. El càlcul és una d'aquestes activitats i, actualment, en gran part el deleguem en les màquines, sobretot si son llargs, molt repetititus o amb nombres complicats. Però el camí per arribar fins aquí ha estat llarg. Tristament, encara hi ha docents que discuteixen l'ús de les calculadores a l'aula. Un cosa és discutir "sobre l'ús" (quan, quant, com, per a què), però una altra "discutir-ne l'ús". La calculadora ha d'estar a l'aula. Però els que tenim una edat podem recordar els temps en el què aquest debat no tenia sentit, perquè les calculadores de butxaca eren uns ens estranys al teu entorn, unes autèntiques rareses. Els que vam estudiar el batxillerat pre-EGB encara vam haver de comprar llibres amb taules de logaritmes i estudiar com les multiplicacions es podien convertir en sumes, les divisions en restes, les potències en productes i les arrels en divisions. L'aplicació dels logaritmes a la simplificació dels càlculs complexos va ser fonamental des del segle XVII fins a ben entrat el XX. Als anys 70 encara era habitual veure "calculistes" fent anar el regle de càlcul, de base logarítmica.</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEhbZwPl27VlZhzkkBRHWlK6It959p8jWRCbTB6m7LHqQuoQzcw9m_ZUecYc0BfBgBS05-wisyGbon8QitSxeimskdcs7lh0Jk7IiXeQWngfKOVAtPgVPRhTvPE9TAV_gDPpOebs2cLL89kRdAsA1o3CYA2v8YltGK9WWqsfQCJVN7QcKRSOZQQXU7LyXA=s1200" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="434" data-original-width="1200" height="231" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEhbZwPl27VlZhzkkBRHWlK6It959p8jWRCbTB6m7LHqQuoQzcw9m_ZUecYc0BfBgBS05-wisyGbon8QitSxeimskdcs7lh0Jk7IiXeQWngfKOVAtPgVPRhTvPE9TAV_gDPpOebs2cLL89kRdAsA1o3CYA2v8YltGK9WWqsfQCJVN7QcKRSOZQQXU7LyXA=w640-h231" width="640" /></a></div>Però abans del segle XII ja existien altres mètodes per alleugerir les grans multiplicacions reduint-les a sumes i restes de nombres extrets de taules numèriques. Alguns, basats en taules de quadrats, sembla que venen de l'antiga Mesopotàmia i van durar fins als inicis del segle XX. D'altres, basats en taules trigonomètriques, van ser usats des del segle XVI fins al triomf generalitzat dels logaritmes, amb els que van conviure molts anys. Aquest segon mètode rebia el nom de <i>prostafairesis</i>.<div><br /></div><div>Abans d'estudiar-los amb més calma veiem un exemple d'aplicació de cadascun (tot recordant que es basen en l'ús de taules numèriques "prefabricades")</div><div><br /></div><div><ul style="text-align: left;"><li><b>Amb taula de quadrats</b>.</li></ul>Imaginem que volem multiplicar 785·296 = 232 360</div><div><ol style="text-align: left;"><li>Sumem els dos nombres<br /> 785+296 = 1 081</li><li>Restem els dos nombres<br /> 785-296 = 489</li><li>Busquem a una taula de quadrats els de la suma i de la diferència anteriors<br /> 1081<sup>2 </sup>= 1 168 561<br /> 489<sup>2 </sup>=239 121.</li><li>Restem aquests dos resultats<br /> 1 168 561 - 239 121 = 929 440</li><li>Fem la quarta part de la resta anterior i obtenim el resultat del producte buscat<br /> 929 440/4 = 232 360</li></ol><div><ul><li><b>Amb trigonometria</b></li></ul>Fem la mateixa multiplicació 785·296 = 232 360</div><div><ol style="text-align: left;"><li>"Arreglem" els nombres perquè estiguin entre 0 i 1. En aquest cas dividint cadascun per 1000 (0,785 i 0,296). A aquesta operació li direm "escalar els nombres".</li><li>Busquem a angle quin correspondrien els nombres anteriors si aquests fossin els seus cosinus. Ho podem fer amb una taula trigonomètrica i mirant l'arccosinus, que sovint a la calculadora ens apareix com <i>cos</i><sup>-1</sup>.<br /> Arccos (0,785) = 38,27932174º<br /> Arccos (0,296) = 72,78248857º</li><li>Sumem i restem els dos angles anteriors<br /> 38,27932174º+72,78248857º=111,06181031º<br /> 38,27932174º-72,78248857º = -34,50316683º</li><li>Mirem a la taula trigonomètrica els cosinus dels dos angles anteriors<br /> cos (111,06181031º) = -0.35937488<br /> cos (-34,50316683º) = 0.82409488</li><li>Sumem els cosinus anteriors<br /> -0,35937488 + 0,82409488 = 0,46472</li><li>Fem la meitat del resultat anterior.<br /> 0,46472/2 = 0,23236</li><li>Només queda "reescalar" el resultat. Donat que havíem dividit inicialment cada nombre entre 10<sup>3</sup>, ara haurem de multiplicar per 10<sup>6</sup>.<br /> 0,23236 · 1000000= 232 360</li></ol>Potser semblaran algoritmes molt alambinats, però amb càlculs de navegació, astronòmics o d'enginyeria escurçaven molt el temps emprats en la seva realització. Només calia disposar d'unes bones taules de quadrats o trigonomètriques.</div></div><div><br /></div><div><span style="color: #990000; font-size: medium;"><b>Els mirem amb més calma? Com es justifiquen?</b></span></div><span><a name='more'></a></span><div><br /></div><div><b><span style="color: #990000;">Multiplicar amb quarts de quadrats</span></b></div><div><br /></div><div>Aquest algoritme està ben documentat i explicat al llibre de Raúl Ibáñez "<a href="https://www.catarata.org/libro/los-secretos-de-la-multiplicacion_115756/" target="_blank">Los secretos de la multiplicación</a>". També al seu article dels <i>Cuadernos de Cultura Científica</i> "<a href="https://culturacientifica.com/2016/09/07/suenan-los-babilonios-multiplicaciones-electricas/" target="_blank">¿Sueñan los babilonios con multiplicaciones eléctricas?</a>". En ell s'insinua que es podia haver utilitzat a l'antiga Mesopotàmia, de la que sabem que disposaven de tauletes amb taules de quadrats. Les taules de quadrats es van continuar publicant fins al 1920. En moltes d'elles, a més, hi havia una columna per als "quarts de quadrat", que son d'una gran utilitat per a aquest algoritme, ja que ens estalvien la darrera divisió que hem fet a l'exemple de la introducció.</div><div><br /></div><div>Es basa en els coneguts "productes notables" (a+b)<sup>2</sup> i (a+b)<sup>2</sup>. Si restem els resultats de les expressions anteriors podem trobar-ne una que les lliga el producte de dos nombres.</div><div><br /></div><div style="text-align: center;"><div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEhZnDkpvRZO5_vQ0tubTQmP7Q3_1-cmpVOgsQXLdYlNzLy2t-wKOHsWBiWGjuaC1E2u-Y0JJa7NIjfOjO-uHAZfQJA4mvzmBL4_mms9I1Q0R3Mx6Ch87VCSZkztO45rzXa3aUGc2R9zuN5CJKX-FeuRxjKuASKEQLP_ld6_TcGBfwO8MJX7RcfujUB42w=s643"><img border="0" data-original-height="137" data-original-width="643" height="136" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEhZnDkpvRZO5_vQ0tubTQmP7Q3_1-cmpVOgsQXLdYlNzLy2t-wKOHsWBiWGjuaC1E2u-Y0JJa7NIjfOjO-uHAZfQJA4mvzmBL4_mms9I1Q0R3Mx6Ch87VCSZkztO45rzXa3aUGc2R9zuN5CJKX-FeuRxjKuASKEQLP_ld6_TcGBfwO8MJX7RcfujUB42w=w640-h136" width="640" /></a></div><br /><div style="text-align: left;"> També podem visualitzar aquesta igualtat geomètricament.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEhF1awO8bFgmFGxDpn5RXhGnou8ks3p3wsuoNo2-9pqqw-DqalfJNZJEZKav1G2deEUwar9y_OKL0Jok7UK8FAdwc2646mMFL5BqXC_9jIile2wwY5iwMfLynoLMJ5daLI5WgY6T49RONcJREmeovZ2vJKHE6uhv2VhwJMrR3it6wpke5ARP_7ro-fYhg=s656" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="351" data-original-width="656" height="342" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEhF1awO8bFgmFGxDpn5RXhGnou8ks3p3wsuoNo2-9pqqw-DqalfJNZJEZKav1G2deEUwar9y_OKL0Jok7UK8FAdwc2646mMFL5BqXC_9jIile2wwY5iwMfLynoLMJ5daLI5WgY6T49RONcJREmeovZ2vJKHE6uhv2VhwJMrR3it6wpke5ARP_7ro-fYhg=w640-h342" width="640" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><a href="https://www.geogebra.org/m/kadnng6a" target="_blank">Construcció dinàmica amb GeoGebra</a></td></tr></tbody></table><br /><div style="text-align: left;">Aquesta igualtat ens permet realitzar qualsevol producte de manera ràpida, si tenim a l'abast bones taules de quarts de quadrats. Només en caldran una suma i dues restes. Si treballem amb decimals només haurem de fer un petits ajustaments amb els nombres inicials, que després haurem de saber compensar.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;">A continuació teniu un <i>applet</i> fet amb Snap que aplica aquest algoritme.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: center;"><iframe allow="geolocation; microphone; camera" allowfullscreen="" frameborder="0" height="390" src="https://snap.berkeley.edu/embed?project=Producte%20per%20quarts%20de%20quadrats&user=joanjareno&showTitle=true&showAuthor=true&editButton=true&pauseButton=true" width="480">
</iframe><br /><a href="https://snap.berkeley.edu/embed?project=Producte%20per%20quarts%20de%20quadrats&user=joanjareno&showTitle=true&showAuthor=true&editButton=true&pauseButton=true" target="_blank">Enllaç al programa</a></div><div style="text-align: center;"><br /></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #990000;">Prostafairesis</span></b></div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;">El significat etimològic d'aquest mot és <i>addició</i> i <i>sostracció</i>, del grec <i>prosthesis </i>(πρόσθεσις) i <i>aphairesis </i>(ὰφαίρεσις). Com algoritme de simplificació de les multiplicacions i divisions complexes, es va començar a aplicar en el segle XVI. El seu funcionament es basa en les fórmules trigonomètriques descobertes pel matemàtic i astrònom egipci del segle X <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ibn_Yunus" target="_blank">Ibn Yunus</a>, i redescobertes després per <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Johannes_Werner" target="_blank">Johannes Werner</a> al segle XVI.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;">La fórmula utilitzada és la següent:</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEgkWvtmtyVeg69RlgjHB8VvqNYnyLr4dk0lBo7hMF2H03zHLYwEJaqC19g8YUyiJJDUpDpjfX8U8Uw7lCGAjtzdcxvrYL-L5IeTLTjEYNAXVKQRF1df89cBwPJ52k5ZBNQv90Fi-vXpuMvZTaLiBX4kmqCX9jL_uifw52tG4Z_uumB0qx-pE4vMt4Al8Q=s560" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="104" data-original-width="560" height="74" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEgkWvtmtyVeg69RlgjHB8VvqNYnyLr4dk0lBo7hMF2H03zHLYwEJaqC19g8YUyiJJDUpDpjfX8U8Uw7lCGAjtzdcxvrYL-L5IeTLTjEYNAXVKQRF1df89cBwPJ52k5ZBNQv90Fi-vXpuMvZTaLiBX4kmqCX9jL_uifw52tG4Z_uumB0qx-pE4vMt4Al8Q=w400-h74" width="400" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">No és difícil de demostrar a partir de les fórmules trigonomètriques dels cosinus dels angle suma i diferència de dos angles..</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEhRSDl9W88BVwLW1TYRy6YbA9VRwfMJYBRPfASn_RMb6J1fat3nHM1lr9laSHL0dMRozMkkxwoZEYzNxdNLkGXhm_AGuNzj8caUofhAK5XFq1qiakvYaO7_IjGVfMF04QEwY9SbnJBF086YZWmpxNqaB3kXdwABawrIiUwF68Dst74fnzADa2X7eHcA-Q=s649" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="186" data-original-width="649" height="184" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEhRSDl9W88BVwLW1TYRy6YbA9VRwfMJYBRPfASn_RMb6J1fat3nHM1lr9laSHL0dMRozMkkxwoZEYzNxdNLkGXhm_AGuNzj8caUofhAK5XFq1qiakvYaO7_IjGVfMF04QEwY9SbnJBF086YZWmpxNqaB3kXdwABawrIiUwF68Dst74fnzADa2X7eHcA-Q=w640-h184" width="640" /></a></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Podeu trobar un demostració de la fórmula del cosinus d'un angle suma en aquesta construcció dinàmica de Jaume Salvó (<a href="https://www.geogebra.org/m/mpZsenZz" target="_blank">enllaç</a>).</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">En tot cas la fórmula de la <i>prostafairesis </i>ens permet resoldre un producte amb una suma, una resta i una divisió per dos. L'únic que hem de fer és considerar els nostres nombres com si fossin els cosinus d'uns angles determinats i, amb una taula trigonomètrica, esbrinar a quins angles corresponen. Després només caldrà sumar i restar els angles i fer els càlculs convenients convenients amb els seus cosinus. És similar al procés "d'anada i tornada" que es fa amb el càlcul amb logaritmes. Cal, però, una preparació: donat que el cosinus d'un angle està entre 0 i 1 hem de escalar els nombres que volem multiplicar entre aquesta valors. Ho farem dividint cada nombre per la potència de 10 corresponent (10<sup>a </sup>i 10<sup>b</sup>). Finalment haurem de reescalar el resultat, que haurem obtingut amb un valor també entre 0 i 1, per aconseguir el resultat real correcte. Ho farem multiplicant-lo per 10<sup>a+b</sup><span style="text-align: center;">.</span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><span style="text-align: center;"><br /></span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><span style="text-align: center;">Podem veure el procés amb aquest <i>applet </i>fet amb Snap.</span></div></div><div><br /></div><div style="text-align: center;"><iframe allow="geolocation; microphone; camera" allowfullscreen="" frameborder="0" height="390" src="https://snap.berkeley.edu/embed?project=Producte%20prostafairesis&user=joanjareno&showTitle=true&showAuthor=true&editButton=true&pauseButton=true" width="480">
</iframe></div><div style="text-align: center;"><a href="https://snap.berkeley.edu/embed?project=Producte%20prostafairesis&user=joanjareno&showTitle=true&showAuthor=true&editButton=true&pauseButton=true" target="_blank">Enllaç al projecte en Snap</a></div><div style="text-align: center;"><br /></div><div style="text-align: left;">Aquesta fórmula de <i>prostafairesis </i>es pot adaptar fàcilment a la divisió. Només cal canviar el 2n factor per la inversa del cosinus: la secant. També cal adaptar l'ecalat dels nombres: el divisor l'haurem de deixar amb una sola xifra entera diferent de zero. El reescalat final també l'haurem de modificar convenientment.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;">En aquest <i>applet</i> podeu veure el procediment.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: center;"><iframe allow="geolocation; microphone; camera" allowfullscreen="" frameborder="0" height="390" src="https://snap.berkeley.edu/embed?project=Divisi%C3%B3%20prostafairesis&user=joanjareno&showTitle=true&showAuthor=true&editButton=true&pauseButton=true" width="480">
</iframe><br /><a href="https://snap.berkeley.edu/embed?project=Divisi%C3%B3%20prostafairesis&user=joanjareno&showTitle=true&showAuthor=true&editButton=true&pauseButton=true" target="_blank">Enllaç al projecte en Snap</a></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #990000;"><br /></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #990000;">I a l'aula?</span></b></div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li>És culturalment interessant conèixer els esforços de la humanitat per afrontar els problemes de cada època amb la "tecnologia" del seu temps. Abans de la calculadora electrònica es feien servir les eines del moment. Les taules numèriques hi van jugar un paper important. També ens pot ajudar a veure que algunes fórmules (com els productes notables o les relacions trigonomètriques) han tingut una utilitat pràctica, "han servit" per a alguna cosa.</li><li>Les demostracions algebraica i visual de l'equivalència de 4<i>ab</i> a la resta entre els quadrats de la suma i de la diferència d'<i>a</i> i <i>b</i> no és difícil de fer... o de seguir. Pot ser interessant treballar-les. Per altra banda en podem transportar mentalment a èpoques antigues i emular alguns càlculs amb una taula de quarts de quadrats com la que teniu <a href="https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Kj7jc5u4krbY6mNjI8zLO-x9Y1AhgHGKcC12e1TbUPk/edit?usp=sharing" target="_blank">aquí enllaçada</a>. </li><li>Si hem treballat les fórmules dels cosinus d'un angle suma i un angle diferència, la demostració algebraica de la fórmula de la <i>prostafaerisis</i> tampoc és complicada. En aquest cas serà difícil de disposar de taules en paper o digitals, però podem utilitzar les tecles <i>cos </i>i <i>cos</i><sup>-1</sup>, recordant que, prèviament, hem d'escalar els nombres. Però si el vostre institut és antic, probablement trobareu algun llibre de taules amagat per algun racó del departament!</li><li>També es poden fer programes amb <a href="https://scratch.mit.edu/" target="_blank">Scratch</a> o <a href="https://snap.berkeley.edu/" target="_blank">Snap</a>. El del quarts de quadrat no té cap problema. Però el de <i>prostafairesis</i> planteja tot un joc amb el tema d'escalar i reescalat els nombres que és interessant. </li></ul></div>Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7448640108700542412.post-25569371372862456802021-12-15T18:55:00.005+01:002021-12-15T18:55:40.208+01:00La numeració oral Ngkolmpu<p> Aquest repte l'he trobat entre la magnífica sèrie de problemes setmanals proposats per Alex Bellos a l'edició digital de <i>The Guardian</i>. Concretament és la <a href="https://www.theguardian.com/science/2021/aug/09/can-you-solve-it-numbers-in-new-guinea" target="_blank">proposta del 9 d'agost de 2021</a> i que modificaré ben poc.</p><p>Al web <i><a href="http://xtec.cat/~jjareno/calculus/" target="_blank">Càlculus</a> </i>ja vaig incorporar algunes activitats en les què es treballaven les numeracions orals. Es tractava d'esbrinar, a partir d'uns pocs exemples inicials, com es dirien alguns nombres demanats en la llengua proposada, o traduir quines quantitats representaven algunes expressions donades. A una d'elles, <a href="http://xtec.cat/~jjareno/calculus/comptar/activitats/numerals/a_numerals1.htm" target="_blank"><i>Construïm numerals</i></a>, un dels objectius és observar la idea de que amb el concepte d'agrupament i algunes operacions bàsiques, es construeixen la majoria de numeracions orals. Com a exemple podem observar que, en català, quan diem "mil tres" estem sumant (1000+3) i quan diem "tres mil" estem multiplicant (3·1000). En una altra activitat (<a href="http://xtec.cat/~jjareno/calculus/escriure/activitats/base/base_6.htm" target="_blank"><i>La base és la base</i></a>) es treballa, a partir també de numeracions orals, la idea de base. Un dels aspectes interessants és que, en les numeracions orals, trobem una varietat més gran de bases que en les escrites. La proposta de Bellos és interessant perquè treballa els dos aspectes conjuntament: no podrem descobrir com funciona la numeració oral presentada si no fem una feina prèvia de descobrir la base.</p><p>La numeració proposada és la de la llengua Ngkolmpu, una varietat dialectal parlada pel poble Kanum de Papua-Nova Guinea.</p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEiLSo8YQWZYUTEgiHLQI9tuyyO_j2TgoSir7UeZJ6WAvlKOkdFJ1VRMmCpqhaDK4fyUwQwJqZ_aqnkQ1VjxiMpXBeZKZXjH67FGAVFSYFG9toiLFkfreGPPDXf4UM6OdZegJjhbqu-1he2Nlm72rScq8MvtkYr41MRu88EqyNoBzPu-aXgr_D1XOVqklw=s450" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="450" data-original-width="338" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEiLSo8YQWZYUTEgiHLQI9tuyyO_j2TgoSir7UeZJ6WAvlKOkdFJ1VRMmCpqhaDK4fyUwQwJqZ_aqnkQ1VjxiMpXBeZKZXjH67FGAVFSYFG9toiLFkfreGPPDXf4UM6OdZegJjhbqu-1he2Nlm72rScq8MvtkYr41MRu88EqyNoBzPu-aXgr_D1XOVqklw=s16000" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Nyams i bananes, part important de l'alimentació del poble Kanum<br />(font: <a href="https://core.ac.uk/download/pdf/156718145.pdf" target="_blank">The Ngkolmpu Language</a>)</td></tr></tbody></table><p style="text-align: left;">En el seu repte de Bellos presenta en llengua Ngkolmpu, i de forma desordenada, els deu primeres nombres cúbics i demana que emparellem adequadament cada expressió amb la potència corresponent. El meu serà lleugerament diferent. Posarem els cubs ja directament aparellats i afegirem deu potències més: d'1 a 20. El que demanarem descriure com funciona els sistema de numeració:</p><p style="text-align: left;"></p><ul style="text-align: left;"><li>Quina és la base?</li><li>Com és diuen cadascuna de les unitats?</li><li>Com es diuen les potències de la base?</li><li>Com es construeix un numeral?</li></ul>De moment aquí teniu la taula amb els exemples:<p></p><p style="text-align: left;"></p>
<div align="center">
<table border="1" bordercolor="#000000" cellpadding="2" cellspacing="0" style="border-collapse: collapse;">
<tbody><tr>
<td align="center" bgcolor="#999966" width="126">
<font color="#FFFFFF">Potència de 3</font></td>
<td align="center" bgcolor="#999966" width="94">
<font color="#FFFFFF">Nombre</font></td>
<td align="center" bgcolor="#999966"><font color="#FFFFFF">Numeral
oral</font></td>
</tr>
<tr>
<td align="center" width="126">1<sup>3</sup></td>
<td align="center" width="94">1</td>
<td align="center">naempr</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" width="126">2<sup>3</sup></td>
<td align="center" width="94">8</td>
<td align="center">naempr traowo yempoka</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" width="126">3<sup>3</sup></td>
<td align="center" width="94">27</td>
<td align="center">eser traowo yuow</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" width="126">4<sup>3</sup></td>
<td align="center" width="94">64</td>
<td align="center">naempr ptae eser traowo eser</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" width="126">5<sup>3</sup></td>
<td align="center" width="94">125</td>
<td align="center">yuow ptae yempoka traowo tampui</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" width="126">6<sup>3</sup></td>
<td align="center" width="94">216</td>
<td align="center">tarumpao</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" width="126">7<sup>3</sup></td>
<td align="center" width="94">343</td>
<td align="center">naempr tarumpao yuow ptae yuow traowo naempr</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" width="126">8<sup>3</sup></td>
<td align="center" width="94">512</td>
<td align="center">yempoka tarumpao yempoka ptae naempr traowo
yempoka</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" width="126">9<sup>3</sup></td>
<td align="center" width="94">729</td>
<td align="center">yuow tarumpao yempoka ptae naempr traowo yuow</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" width="126">10<sup>3</sup></td>
<td align="center" width="94">1000</td>
<td align="center">eser tarumpao yuow ptae eser traowo eser</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" width="126">11<sup>3</sup></td>
<td align="center" width="94">1331</td>
<td align="center">naempr ntamnao tampui traowo tampui</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" width="126">12<sup>3</sup></td>
<td align="center" width="94">1728</td>
<td align="center">naempr ntamnao yempoka tarumpao</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" width="126">13<sup>3</sup></td>
<td align="center" width="94">2197</td>
<td align="center">naempr ntamnao eser tarumpao naempr ptae naempr</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" width="126">14<sup>3</sup></td>
<td align="center" width="94">2744</td>
<td align="center">yempoka ntamnao eser ptae naempr traowo yempoka</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" width="126">15<sup>3</sup></td>
<td align="center" width="94">3375</td>
<td align="center">yempoka ntamnao yuow tarumpao yuow ptae eser traowo yuow</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" width="126">16<sup>3</sup></td>
<td align="center" width="94">4096</td>
<td align="center">yuow ntamnao tampui ptae eser traowo eser</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" width="126">17<sup>3</sup></td>
<td align="center" width="94">4913</td>
<td align="center">yuow ntamnao eser ptae yempoka traowo tampui </td>
</tr>
<tr>
<td align="center" width="126">18<sup>3</sup></td>
<td align="center" width="94">5832</td>
<td align="center">eser ntamnao yuow tarumpao </td>
</tr>
<tr>
<td align="center" width="126">19<sup>3</sup></td>
<td align="center" width="94">6859</td>
<td align="center"> tampui ntamnao naempr tarumpao eser ptae yuow traowo naempr</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" width="126">20<sup>3</sup></td>
<td align="center" width="94">8000</td>
<td align="center">naempr ulamaeke naempr tarumpao naempr traowo yempoka</td>
</tr>
</tbody></table>
</div>
<br /><p></p><div>Si continueu llegint podreu trobar algunes ajudes, un programa que us escriu qualsevol nombre que demaneu, una taula més fàcil que aquesta per a nombres més petits i l'explicació de la numeració.</div><div><br /></div><div><b><span style="color: #990000; font-size: medium;">Voleu seguir?</span></b></div><span><a name='more'></a></span><div><b><span style="color: #990000;">Primeres ajudes</span></b></div><div><br /></div><div>Aquestes pistes poden ser útils per a utilitzar-les també a l'aula. No cal que les llegiu totes de cop. Proveu amb una. Si no us en sortiu passeu a l'altra... i així successivament.</div><div><ul style="text-align: left;"><li>En un sistema de numeració la base, i les seves potències, apareixen formant "paraules" noves. Per exemple, en el nostre cas tenim paraules específiques per a "deu" (<span style="text-align: -webkit-center;">10</span><sup style="text-align: -webkit-center;">1</sup>), "cent" (<span style="text-align: -webkit-center;">10</span><sup style="text-align: -webkit-center;">2</sup>), "mil" (<span style="text-align: -webkit-center;">10</span><sup style="text-align: -webkit-center;">3</sup>), etc. Tenim moltes paraules curtes?</li><li>Seguint amb la pista anterior, només tenim dos exemples que representats amb una sola paraula: <i>naempr</i>, que és 1, i <i>tarumpao</i>, que és <span style="text-align: -webkit-center;">6</span><sup style="text-align: -webkit-center;">3</sup>.</li><li>Us heu fixat a la fotografia quants nyams posen a la majoria de grups?</li><li>Hi ha unes paraules que apareixen molt sovint en posicions estratègiques: <i>traowo</i> al penúltim lloc, <i>ptae</i> dos llocs abans, <i>tarumpao</i> dos abans... Semblen unes paraules clau que indiquen la mida de grups i que, probablement estiguin relacionades amb potències de la base.</li><li>Seguin el raonament anterior, si mirem el 8, que es diu <i>naempr traowo yempoka</i>, el podem interpretar com "1-grup-el que sobra". El 27 (<span style="text-align: -webkit-center;"><i>eser traowo yuow</i>) seria "Tants-grup-el que sobra".</span> Si assignem un valor a <i>traowo </i>podem fer també una hipòtesi de valors de <i>yempoka </i>(al 8) i d'<i>eser</i> i <i>yuow </i>al 27.</li><li>Podem continuar aplicant la nostra hipòtesi de base a 64 i mirar si el valor que ens surt per a <i>ptae</i> (que també ocupa lloc de "nom de grup", ens quadra amb la hipòtesi que hem fet, ja que hauria de ser una potència d'aquesta . Després podem veure si ens quadra per a 125, tot deduint quin valor representa <i>tampui</i>.</li><li>Fins a 1000 el nom de grup més gran que tenim és <i>tarumpao,</i> que ja sabem quan val perquè està a la taula. Podem anar confirmant les nostres conjectures.</li><li>... i de mica en mica anar descobrint el valor de totes les paraules i com es construeixen els numerals.</li></ul><b><span style="color: #990000;">Un applet d'ajuda</span></b><div><br /></div><div>Bé... més que ajuda podria ser un "solucionador". Per això aconsellaríem limitar les consultes que feu a un màxim de cinc.</div></div><div><br /></div><div style="text-align: center;"><iframe allow="geolocation; microphone; camera" allowfullscreen="" frameborder="0" height="390" src="https://snap.berkeley.edu/embed?project=Numeraci%C3%B3%20Ngkolmpu%20-%205%20preguntes%20%20&user=joanjareno&showTitle=true&showAuthor=true&editButton=true&pauseButton=true" width="480">
</iframe></div><div style="text-align: center;"><br /></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #990000;">Una taula més senzilla</span></b><div><br /></div><div>Potser podem començar per una versió més senzilla, presentant una taula amb nombres més petits i que ajudin més clarament a descobrir com funciona la numeració. Un exemple pot ser aquesta.</div><div><br /></div><div><div align="center" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; color: black; font-family: "Times New Roman"; font-size: medium; font-style: normal; font-variant-caps: normal; font-variant-ligatures: normal; font-weight: 400; letter-spacing: normal; orphans: 2; text-decoration-color: initial; text-decoration-style: initial; text-decoration-thickness: initial; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: 2; word-spacing: 0px;">
<table border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="border-collapse: collapse;">
<tbody><tr>
<td align="center" bgcolor="#999966" width="94">
<font color="#FFFFFF">Nombre</font></td>
<td align="center" bgcolor="#999966">
<font color="#FFFFFF">Numeral oral</font></td>
</tr>
<tr>
<td align="center" width="94">1</td>
<td align="center">naempr</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" width="94">3</td>
<td align="center">yuow</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" width="94">9</td>
<td align="center">naempr traowo yuow</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" width="94">10</td>
<td align="center">naempr traowo eser</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" width="94">19</td>
<td align="center">yuow traowo naempr</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" width="94">20</td>
<td align="center">yuow traowo yempoka</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" width="94">26</td>
<td align="center">eser traowo yempoka</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" width="94">30</td>
<td align="center">tampui traowo</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" width="94">39</td>
<td align="center">naempr ptae yuow</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" width="94">50</td>
<td align="center">naempr ptae yempoka traowo yempoka</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" width="94">64</td>
<td align="center">naempr ptae eser traowo eser</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" width="94">100</td>
<td align="center">yempoka ptae eser traowo eser</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" width="94">198</td>
<td align="center">tampui ptae yuow traowo</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" width="94">220</td>
<td align="center">naempr tarumpao eser</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" width="94">500</td>
<td align="center">yempoka tarumpao naempr ptae tampui traowo
yempoka</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" width="94">817</td>
<td align="center">yuow tarumpao eser ptae eser traowo naempr</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" width="94">1000</td>
<td align="center">eser tarumpao yuow ptae eser traowo eser</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" width="94">1300</td>
<td align="center">naempr ntamnao eser</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" width="94">3785</td>
<td align="center">yempoka ntamnao tampui tarumpao yuow ptae tampui</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" width="94">5000</td>
<td align="center">yuow ntamnao tampui tarumpao tampui traowo
yempoka</td>
</tr>
</tbody></table>
</div>
</div></div><div><br /></div><div>Un cop estudiada la taula podem demanar a l'aula que ens tradueixin o ens escriguin un nombre donat.</div><div><ul style="text-align: left;"><li>Quin nombre és <i>eser ntamnao tampui tarumpao eser ptae eser</i>?</li><li>Com es diu el nombre 7000?</li></ul><b><span style="color: #990000;"><div><b><span style="color: #990000;"><br /></span></b></div>Explicació de la numeració</span></b><div><br /></div><div>I per si no heu fet la feina de descobrir com va la numeració, només cal dir que la clau està en veure que la base, ben inusual, és 6. Tenim paraules especials pels nombres de l'1 al 5 i un nom per a cada potència de 6.</div></div><div style="text-align: center;"><br /></div><div style="text-align: center;"><div align="center">
<table class="wikitable" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; border-collapse: collapse; border: 1px solid rgb(0, 0, 0); color: #202122; font-family: sans-serif; font-size: 14px; font-style: normal; font-variant-caps: normal; font-variant-ligatures: normal; font-weight: 400; letter-spacing: normal; margin: 1em 0px; orphans: 2; text-align: start; text-decoration-color: initial; text-decoration-style: initial; text-decoration-thickness: initial; text-transform: none; white-space: normal; widows: 2; width: 40%px; word-spacing: 0px;">
<tbody><tr>
<td align="center" bgcolor="#999966" colspan="2" style="border: 1px solid rgb(0, 0, 0); padding-bottom: 0.2em; padding-left: 0.4em; padding-right: 0.4em; padding-top: 0.2em; padding: 0.2em 0.4em;">
<b><span style="color: white;">Nombres de l'1 al 5</span></b></td>
<td align="center" bgcolor="#999966" colspan="2" style="border: 1px solid rgb(0, 0, 0); padding-bottom: 0.2em; padding-left: 0.4em; padding-right: 0.4em; padding-top: 0.2em; padding: 0.2em 0.4em;">
<b><span style="color: white;">Potències de 6</span></b></td>
</tr>
<tr>
<td align="center" style="border: 1px solid rgb(0, 0, 0); padding-bottom: 0.2em; padding-left: 0.4em; padding-right: 0.4em; padding-top: 0.2em; padding: 0.2em 0.4em;">
1</td>
<td align="center" style="border: 1px solid rgb(0, 0, 0); padding-bottom: 0.2em; padding-left: 0.4em; padding-right: 0.4em; padding-top: 0.2em; padding: 0.2em 0.4em;">
naempr</td>
<td align="center" style="border: 1px solid rgb(0, 0, 0); padding-bottom: 0.2em; padding-left: 0.4em; padding-right: 0.4em; padding-top: 0.2em; padding: 0.2em 0.4em;">
6<sup style="font-size: 11.2px; line-height: 1;">1</sup>=6</td>
<td align="center" style="border: 1px solid rgb(0, 0, 0); padding-bottom: 0.2em; padding-left: 0.4em; padding-right: 0.4em; padding-top: 0.2em; padding: 0.2em 0.4em;">
traowo</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" style="border: 1px solid rgb(0, 0, 0); padding-bottom: 0.2em; padding-left: 0.4em; padding-right: 0.4em; padding-top: 0.2em; padding: 0.2em 0.4em;">
2</td>
<td align="center" style="border: 1px solid rgb(0, 0, 0); padding-bottom: 0.2em; padding-left: 0.4em; padding-right: 0.4em; padding-top: 0.2em; padding: 0.2em 0.4em;">
yempoka</td>
<td align="center" style="border: 1px solid rgb(0, 0, 0); padding-bottom: 0.2em; padding-left: 0.4em; padding-right: 0.4em; padding-top: 0.2em; padding: 0.2em 0.4em;">
6<sup style="font-size: 11.2px; line-height: 1;">2</sup>=36</td>
<td align="center" style="border: 1px solid rgb(0, 0, 0); padding-bottom: 0.2em; padding-left: 0.4em; padding-right: 0.4em; padding-top: 0.2em; padding: 0.2em 0.4em;">
ptae</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" style="border: 1px solid rgb(0, 0, 0); padding-bottom: 0.2em; padding-left: 0.4em; padding-right: 0.4em; padding-top: 0.2em; padding: 0.2em 0.4em;">
3</td>
<td align="center" style="border: 1px solid rgb(0, 0, 0); padding-bottom: 0.2em; padding-left: 0.4em; padding-right: 0.4em; padding-top: 0.2em; padding: 0.2em 0.4em;">
yuow</td>
<td align="center" style="border: 1px solid rgb(0, 0, 0); padding-bottom: 0.2em; padding-left: 0.4em; padding-right: 0.4em; padding-top: 0.2em; padding: 0.2em 0.4em;">
6<sup style="font-size: 11.2px; line-height: 1;">3</sup>=216</td>
<td align="center" style="border: 1px solid rgb(0, 0, 0); padding-bottom: 0.2em; padding-left: 0.4em; padding-right: 0.4em; padding-top: 0.2em; padding: 0.2em 0.4em;">
tarumpao</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" style="border: 1px solid rgb(0, 0, 0); padding-bottom: 0.2em; padding-left: 0.4em; padding-right: 0.4em; padding-top: 0.2em; padding: 0.2em 0.4em;">
4</td>
<td align="center" style="border: 1px solid rgb(0, 0, 0); padding-bottom: 0.2em; padding-left: 0.4em; padding-right: 0.4em; padding-top: 0.2em; padding: 0.2em 0.4em;">
eser</td>
<td align="center" style="border: 1px solid rgb(0, 0, 0); padding-bottom: 0.2em; padding-left: 0.4em; padding-right: 0.4em; padding-top: 0.2em; padding: 0.2em 0.4em;">
6<sup style="font-size: 11.2px; line-height: 1;">4</sup>=1296</td>
<td align="center" style="border: 1px solid rgb(0, 0, 0); padding-bottom: 0.2em; padding-left: 0.4em; padding-right: 0.4em; padding-top: 0.2em; padding: 0.2em 0.4em;">
ntamnao</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" style="border: 1px solid rgb(0, 0, 0); padding-bottom: 0.2em; padding-left: 0.4em; padding-right: 0.4em; padding-top: 0.2em; padding: 0.2em 0.4em;">
5</td>
<td align="center" style="border: 1px solid rgb(0, 0, 0); padding-bottom: 0.2em; padding-left: 0.4em; padding-right: 0.4em; padding-top: 0.2em; padding: 0.2em 0.4em;">
tampui</td>
<td align="center" style="border: 1px solid rgb(0, 0, 0); padding-bottom: 0.2em; padding-left: 0.4em; padding-right: 0.4em; padding-top: 0.2em; padding: 0.2em 0.4em;">
6<sup style="font-size: 11.2px; line-height: 1;">5</sup>=7776</td>
<td align="center" style="border: 1px solid rgb(0, 0, 0); padding-bottom: 0.2em; padding-left: 0.4em; padding-right: 0.4em; padding-top: 0.2em; padding: 0.2em 0.4em;">
ulamaeke</td>
</tr>
</tbody></table>
</div><div style="text-align: left;">Els numerals es construeixen amb un sistema additiu-multiplicatiu especificant, ordenadament de gran a petit, quants grups tenim de cada potència de 6 i afegint les unitats que sobren. </div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;">Si hem de traduir un nombre ho podem fer de forma molt directa. Així el nombre de la primera pregunta de l'apartat anterior el podrem traduir així:</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: center;"> <div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEjfBBhlUOWwepBs7nFCij16p-Sjnd4fA_MKmPjkc0lMVEo_oMvG_phh924TsiyT7XHAdTko88pPiq4w6vslDJT1_EqeeDJMMlkZZWT3NusnicL_Rou-QprdlqNkd3XeJe9O2EcZZg-1so9vS2zl1UUbnEMwg0XuRpt3_LY3babkaIg5X9I-24kaFfyoNw=s810" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="138" data-original-width="810" height="68" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEjfBBhlUOWwepBs7nFCij16p-Sjnd4fA_MKmPjkc0lMVEo_oMvG_phh924TsiyT7XHAdTko88pPiq4w6vslDJT1_EqeeDJMMlkZZWT3NusnicL_Rou-QprdlqNkd3XeJe9O2EcZZg-1so9vS2zl1UUbnEMwg0XuRpt3_LY3babkaIg5X9I-24kaFfyoNw=w400-h68" width="400" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Si el que volem és dir el nombre 7000 de la segona pregunta tindrem més feina. Primer hem de buscar la seva descomposició polinòmica en potències de 6.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEiafpQCvmrZ7ta3ytixkLok7kd_lbl9VHwyGHBVlRQpl4esT3pNKTWhVrN0kpgIUQ2IpeK57y9xBuQzzWl-ICxSDM-QsIvOrSQt9r2bZgXv9dtLZSEOHjFD16teGQcPDwCUwfcMjsIqceB_64G8yxvwumXdZnnCTLWcb6EKKoEu1YHEcIQYFE0Ub8wUOg=s1101" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="500" data-original-width="1101" height="290" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEiafpQCvmrZ7ta3ytixkLok7kd_lbl9VHwyGHBVlRQpl4esT3pNKTWhVrN0kpgIUQ2IpeK57y9xBuQzzWl-ICxSDM-QsIvOrSQt9r2bZgXv9dtLZSEOHjFD16teGQcPDwCUwfcMjsIqceB_64G8yxvwumXdZnnCTLWcb6EKKoEu1YHEcIQYFE0Ub8wUOg=w640-h290" width="640" /></a></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><div><span style="color: #990000;"><b>I a l'aula?</b></span></div><div><br /></div><div><ul style="text-align: left;"><li>Segurament a l'aula és més fàcil posar la segona taula. Està més en la línia dels exemples que es treballen en el web del Càlculus. Però també pot ser molt bona opció donar la primera i només passar la segona als grups que estiguin encallats.</li><li>Treballar amb una numeració com la de la llengua Ngkolmpu ens crea un marc idoni per a fer reflexions a l'aula sobre com funciona el nostre sistema de numeració oral i, de retruc, l'escrit on les potències de la base no s'indiquen amb signes especials sinó amb la posició. Pot ajudar a entendre'l i, per què no?, valorar-ho millor.</li><li>Es pot animar a l'alumnat a fer un programa semblant al que hem mostrat (<a href="https://snap.berkeley.edu/embed?project=Numeraci%C3%B3%20Ngkolmpu%20&user=joanjareno&showTitle=true&showAuthor=true&editButton=true&pauseButton=true" target="_blank">enllaç</a>). Està fet de manera senzilla (el que implica codi més llarg per les repeticions) per a que pugui servir de guia. No cal fer-lo per a nombres tan grans.</li><li>I us convidem a explorar, si no el coneixeu, el web <a href="http://xtec.cat/~jjareno/calculus/" target="_blank">Càlculus</a> amb activitats sobre la història de les numeracions. Els problemes d'interactivitat per tenir molts <i>applets </i>fets amb flash els podeu evitar seguint aquesta <a href="http://calaix2.blogspot.com/p/flash.html" target="_blank">guia</a>.</li></ul></div></div></div></div>Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7448640108700542412.post-45826905380707747122021-11-09T11:25:00.006+01:002021-11-10T12:57:40.994+01:00"Camins de glòria" i matemàtiques<p> <i>Camins de glòria</i> és el títol català de la pel·lícula d'Stanley Kubrick <i>Paths of Glory</i>. En castellà la vam conèixer com a <i>Senderos de gloria. </i>Es va estrenar al 1957, però a Espanya no la vam poder veure als cines fins a l'any 1986, onze any després de la mort del dictador. Una "transició" lenta. A França, però, també van haver d'esperar fins al 1975. Un film sens dubte perillós perquè fa pensar, i molt. Menys coneguda que la pel·lícula és la novel·la en la que es basa, escrita per <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Humphrey_Cobb">Humphrey Cobb</a> i publicada al 1935, abans de la 2a Guerra Mundial. Cobb havia lluita al front durant la Gran Guerra i sabia de què parlava. Tan el film com la novel·la son dos grans al·legats antibel·licistes i antimilitaristes. </p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-rk-jxACh9Zg/YYD7cdzbNzI/AAAAAAAAG6E/9why8BLBA1Y-20QyutjgAMD93rJL4eMhACLcBGAsYHQ/s500/Paths_of_Glory_%25281957_poster%2529.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="500" data-original-width="329" height="320" src="https://1.bp.blogspot.com/-rk-jxACh9Zg/YYD7cdzbNzI/AAAAAAAAG6E/9why8BLBA1Y-20QyutjgAMD93rJL4eMhACLcBGAsYHQ/w211-h320/Paths_of_Glory_%25281957_poster%2529.jpg" width="211" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Estem en un d'aquells casos en el què la pel·lícula supera en molts aspectes a la novel·la. Però aquesta també és molt interessant de llegir. Vaig tenir a les mans una edició publicada durant el franquisme. No recordo si als anys 50 o 60. Era molt curiós llegir el pròleg en el què, tot i criticar els aspectes antimilitaristes i defensar l'exèrcit francès, es donaven un seguit d'arguments per a defensar la publicació de l'obra. Imagino que era una argúcia editorial per convèncer a la censura Actualment tenim una nova <a href="https://capitanswing.com/libros/senderos-de-gloria/" target="_blank">traducció castellana</a> (en català no em consta que n'hi hagi cap) feta per Ricardo García Pérez. Aquesta és l'edició de la que transcriurem el fragments relacionats amb les matemàtiques i, molt especialment, amb la probabilitat. Els presentarem per ordre d'aparició... i sense fer espòilers, que cal visitar i revisitar aquesta història. Per altra banda, els fragments triats de la novel·la no apareixen a la pel·lícula.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Veurem que poden ser un bon punt de partida per a parlar a l'aula de certes creences que tenim en el camp de la probabilitat.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><span style="color: #990000; font-size: medium;"><b>T'animes a llegir-los?</b></span></div><span><a name='more'></a></span><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><span style="color: #990000;">1r fragment: sofisma d'aglomeració</span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Aquest fragment correspon a la primera part de la novel·la. Una de les companyies que serà centre de la novel·la és bombardejada. </div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">"Sonó un silbido en el aire, muy alto, por encima de ellos. Descendió con una velocidad escalofriante hasta producir un rugido tremendo. Los hombres vacilaron al detectar un impacto directo y, a continuación, se agruparon instintivamente buscando protección en la carne de los demás. Paolacci los miró, paralizado, incapaz de emitir ningún sonido. Vio a algunos de ellos tenderse a lo largo, a otros volver la espalda y encogerse, a otros empezar a correr en todas direcciones. Vio que en los pocos segundos que el obús tardó en descender, las dos medias secciones se las habían arreglado, increíblemente, para constituirse en un grupo indiferenciado.</div></blockquote></div><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><p style="text-align: left;">Hubo dos detonaciones, casi tan simultáneas que parecieron una. El fogonazo de las explosiones dejó en su mente una instantánea fantástica del caos.</p></div></blockquote><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><p style="text-align: left;"><span> (../..)</span></p></blockquote><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><p>Cuando se disipó el humo no quedaba nadie para ver que, donde antes se encontraba la sección, no había ya nada más que dos hoyos en llamas en el centro de un montón de fardos dispersos de ropa inmóvil.</p><p></p></blockquote><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><p style="text-align: left;"> (../..)</p></blockquote><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><p>Durante la entrada habían muerto 32 hombres del 181 y, en la salida, 17 Tirailleurs. Ninguno de ellos había muerto como consecuencia del hacinamiento causado por el otro regimiento, pero, en todo caso, todo el mundo, desde los dos oficiales al mando para abajo, incurrió en el sofisma pasajero y automático de culpar de las bajas a aquella aglomeración. La razón les decía que las posibilidades de que un determinado hombre muriera en un cierto momento eran las mismas tanto si estaba solo como si iba en grupo. La razón, no obstante, no era la predominante, sino que lo era el sentimiento. Y el sentimiento era demasiado violento como para poder prestar atención a la paradoja que suponía que quienes se aglutinaban a toda prisa en busca de protección ante el fuego de artillería estaban convencidos de que, si permanecían agrupados, por invisibles que fueran para el enemigo, atraerían los cañonazos y se llevarían la peor parte. "</p></blockquote><p>El text mostra algunes qüestions d'interès. Es parla del "sofisma passatger i automàtic" de pensar que si els soldats estan junts és més probable que "atreguin les canonades" i que, per contra, si estan separats la probabilitat de ser afectats per la caiguda d'un obús serà menor. El narrador ens deixa clar que les probabilitats individuals no varien. No només tenim aquest tema per a discutir. Per un costat, si els soldats es dispersen les pèrdues humanes seran menors. Per un altre, tot i pensar així, els soldats tenen de forma natural la conducta contrària a la que pensen que els hi dona més probabilitats de supervivència: s'ajunten en comptes de separar-se. Són moments en els que la raó no domina.</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-RFOrKhnB_wA/YYEhPBuuPnI/AAAAAAAAG6M/aJkcSU-VThUUdQYPFITfLhVwuveWMRGRACLcBGAsYHQ/s600/pathsofglory-07.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="363" data-original-width="600" height="194" src="https://1.bp.blogspot.com/-RFOrKhnB_wA/YYEhPBuuPnI/AAAAAAAAG6M/aJkcSU-VThUUdQYPFITfLhVwuveWMRGRACLcBGAsYHQ/s320/pathsofglory-07.jpg" width="320" /></a></div><br /><div class="separator" style="clear: both;"><b><span style="color: #990000;">2n fragment: la fal·làcia del jugador</span></b></div><div class="separator" style="clear: both;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both;">A la segona part, abans d'un gran atac, un dels soldats s'autoaplica la fal·làcia del jugador:</div><div class="separator" style="clear: both;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both;"><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">"«Esta vez me va a tocar», se decía Didier. En realidad, no se veía a sí mismo muerto, pues la imagen escapaba a su imaginación. «La séptima vez que salto por la trinchera y todavía sin un rasguño, eso es más de lo que se podría esperar». Si hubiera cabido en sí razonar sobre las señales en cuya interpretación era tan diestro, él habría dicho: «Esta vez debe tocarme». Sentía que su racha de suerte había adquirido una carga acumulada de probabilidades en contra. Esa carga lo oprimía y sentía vagamente que tenía algo de injusto, que ahora se encontraba en desventaja. Langlois habría sabido asegurarle que sus posibilidades, cualesquiera que fuesen, supongamos que del cincuenta por cien, eran las mismas en cada ataque, con independencia de la frecuencia con que anteriormente hubiera salido bien parado de ellas. Una vez que se lo hubieran expuesto, Didier habría comprendido el razonamiento con facilidad, pero aun así habría continuado casi convencido de que era un hombre señalado."</div></blockquote><p>La nostra idea, en qualsevol joc, de què les ratxes llargues son poc probables, s'imposa de forma inconscient d'una manera molt forta. Una seqüència de vuit cares en vuit llançaments amb una moneda (CCCCCCCC) és tan probable com una distribució particular de cares i creus (com XCCCXXCC). Una altra cosa és que parlem de treure vuit cares en conjunt o tres creus i cinc cares, sense especificar cap ordre. Tot i així el pensament del soldat Didier té un cert sentit, si més no subjectiu: els daus o les monedes no tenen memòria, però nosaltres sí: poques vegades hem vist que surtin vuit cares seguidesen vuit tirades.</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-bS5YozY5YYY/YYEl5p2WMYI/AAAAAAAAG6U/mzE3Mtg86OQkNPkyTwlY1Uv7Xp4Z1_J7ACLcBGAsYHQ/s776/tirades.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="195" data-original-width="776" height="100" src="https://1.bp.blogspot.com/-bS5YozY5YYY/YYEl5p2WMYI/AAAAAAAAG6U/mzE3Mtg86OQkNPkyTwlY1Uv7Xp4Z1_J7ACLcBGAsYHQ/w400-h100/tirades.png" width="400" /></a></div><br /><div class="separator" style="clear: both;"><b><span style="color: #990000;">3r fragment: el sorteig</span></b></div><div class="separator" style="clear: both;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both;">Aquest fragment tampoc apareix a la pel·lícula. Per posar en situació direm que a les tres companyies del regiment protagonista de la història han de triar un soldat per una cosa ben negativa: fer-li un consell de guerra. A la novel·la, no així al film, a una de les companyies decideixen fer-ho per sorteig. La rifa es desenvolupa amb problemes. Anem posant fragments del llibre en el què, pràcticament, tota l'escena es desplega en forma de diàleg</div><div class="separator" style="clear: both;"><br /></div></div><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><div class="separator" style="clear: both;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">"—Van ustedes a reunir a toda la Compañía Número 3 —añadió— en la entrada del barracón del comedor de los sargentos. Habrá sitio suficiente para todos, ¿verdad?</div><div class="separator" style="clear: both;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both;">—Mucho.</div></div></blockquote><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><p style="text-align: left;">—Dos de ustedes entrarán en el barracón y permanecerán junto a cada una de las puertas. El otro se quedará conmigo. Tengo aquí una lista con los nombres y, a medida que vaya leyéndolos, los hombres irán entrando en el barracón de uno en uno. Ustedes los contarán e irán marcándolos en la lista conforme vayan entrando. Cuando estén todos dentro, entraré yo y quedarán descartados todos aquellos cuyo nombre no haya sido enunciado." </p></blockquote><p>Queda evident que no és una llista completa i alguns noms no s'han inclòs. Entre ells alguns dels que no havien participat en l'atac que motiva el consell de guerra. S'inicia una petita discussió sobre qui ha d'estar exclòs i qui no.</p><p></p><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;">"—¿Yo no participé en el ataque…</blockquote><p></p><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px; text-align: left;"><p>—¿Quién ha dicho eso? Venga aquí. ¿Dónde estuvo usted?</p><p>—¿No lo recuerda, jefe? Usted mismo me envió al depósito de municiones a por detonadores por si las bombas que encontrábamos no tenían.</p><p>—Es verdad. Entonces, puede marcharse.</p><p>—Creo que me quedaré por aquí para ver el espectáculo.</p><p>—Salga de aquí, pedazo de cabrón, antes de que cambie de opinión y le haga participar en el sorteo…</p><p>—¡Jesús! Va a hacer un sorteo.</p><p>—Sorteo…</p><p>—Yo no voy a sortear nada…</p><p>—Yo tampoco.</p><p>—No tienen ningún derecho…</p><p>—Los casados deberían quedar exentos.</p><p>—Los hombres cuya madre vive…</p><p>—Desde luego, los que tengan una madre viuda.</p><p>—O hermanas…</p></blockquote><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px; text-align: left;"><p>— Sólo los que se rezagaran…</p><p>—Ya han matado a mis tres hermanos.</p><p>—Yo no he sido un cobarde. No voy a participar en ningún sorteo.</p><p>—Ja, ja. Mira cómo aumenta el número de flojos…</p><p>—No hubo ningún cobarde.</p><p>—El coronel no opina lo mismo que tú.</p><p>—¿Dónde están los cabos? ¿Hay algún…?</p><p>—Yo tengo cuatro hijos…</p><p>—A mí me han condecorado con la Medalla de la Orden de la División y con la del Ejército…</p><p>—¡Basta, señores! —interrumpió Jonnart—. ¡Silencio, les digo! Todo el mundo tiene una buena razón para no querer morir. Las órdenes son las órdenes y uno de ustedes tiene que ser la víctima. Así que se va a sortear."</p></blockquote><p>A continuació s'explica com es realitzarà el sorteig:</p><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px; text-align: left;"><p> "— En esta sala se encuentran ciento once soldados. Voy a cortar ciento once trozos de papel. Uno de ellos se marcará con una cruz. El hombre que extraiga ese trozo de papel comparecerá ante el consejo de guerra. Estoy dándoles una orden, pero, como se trata de un asunto grave, estoy dispuesto a escuchar las objeciones que cualquiera pueda tener contra este método.</p><p>—Sí, yo tengo una objeción. El papel es fino y veremos cuál tiene la cruz.</p><p>—Eso es una tontería. Los trozos de papel van a estar doblados y metidos dentro de mi gorra. A todo el mundo se le vendarán los ojos antes de que se acerque a extraer un papel.</p><p>—Una venda no impide que se vea algo por la parte de abajo, junto a la nariz.</p><p>—Además, el hombre que lo saque podría borrar la cruz o sustituirlo por otro trozo de papel. La mayoría de nosotros lleva alguno. Es fino y viene muy bien para…</p><p>—Vale, de acuerdo —aceptó Jonnart—. Lo haremos del siguiente modo, aunque será más largo…</p><p>—No tenemos ninguna prisa, jefe…</p><p>—Escribiremos dos conjuntos de papeles con números del uno al ciento once. Uno irá a parar a mi gorra y el otro, a la del sargento Darde. Cada hombre se acercará aquí por orden alfabético, sacará un número y lo abrirá de inmediato. Se anotará junto a su nombre. Cuando hayamos sacado todos, el sargento Darde sacará un número de su gorra. El hombre que tenga el correspondiente número será el elegido. Sí, así es mejor. Todos los papeles tendrán una marca y no se sabrá quién es el desafortunado hasta después de que se hayan extraído todos los números.</p><p>—Desafortunado está bien…</p></blockquote><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><p style="text-align: left;">—De acuerdo, Darde. Aquí hay lápiz y papel. Parta cada hoja en cuatro trozos iguales y escriba en ellos los números, del uno al ciento once. Escríbalos con atención, pero no los doble hasta que yo le diga."</p></blockquote><p>Es preparen les paperetes del sorteig i continuen alguns diàlegs. Per exemple, hi ha qui vol triar números per superstició. Un diàleg interessant per a discutir a l'aula.</p><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px; text-align: left;"><p>"—Me gustaría tener el número uno —dijo una voz.</p><p>—¿Por qué el uno?</p><p>—Porque nunca he oído que salga el número uno en ningún sorteo.</p><p>—¡Eres muy listo! Entonces, yo cogeré el cien…</p><p>—Cogerán el que saquen todos ustedes —dijo Jonnart—.".</p></blockquote><p style="text-align: left;"> El següent fragment, en el què han tret ja el número, també és sucós i divertit (si no tenim en compte què li passarà al desafortunat que ha tret el número). Hi ha una discussió sobre quin número ha sortit perquè girat es pot llegir d'una altra manera. A l'aula podem aturar-nos un moment perquè l'alumnat ens digui quins poden ser els altres nombres conflictius abans de corroborar-los amb el text. També hi ha una discussió sobre una qüestió de probabilitats lligada amb la proposta de resolució del problema sorgit amb la doble lectura del nombre.</p><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px; text-align: left;"><p>"Jonnart cogió el trozo de papel de la mano de Darde, lo desdobló y lo aplanó sobre la mesa con la palma de la mano.</p><p>—Sesenta y ocho —dijo.</p><p>Dirigió la vista hacia la lista de la compañía, pero ya antes de que se anunciara el nombre había un hombre que se abrió paso entre todos hacia la mesa.</p><p>—Fasquelle.</p><p>Se oyeron muchos suspiros en el barracón.</p><p>Fasquelle, delante de la mesa, miró el trozo de papel y, a continuación, miró a Jonnart.</p><p>—¿Qué le hace pensar que ese es el número sesenta y ocho, sargento mayor? —preguntó con tranquilidad.</p><p>—Mírelo. ¿No sabe leer? —dijo Jonnart con una aspereza que, en realidad, no era más que irritación hacia sí mismo.</p><p>—Por suerte para mí, sé leer —respondió Fasquelle—. Desde donde yo estoy ese es el número ochenta y nueve, no el sesenta y ocho.</p><p>—Pero puede ver que el sesenta y ocho está justo sobre la línea del papel, ¿no lo ve?, mientras que al revés, el ochenta y nueve, no.</p><p>—¿Me va a mandar a un consejo de guerra por una línea, sargento mayor? —Fasquelle todavía hablaba despacio.</p></blockquote><p style="text-align: center;"></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-jc6HZOmSr1Q/YYTwbB4iqaI/AAAAAAAAG6c/UMLWCOhmsmY-tq60yTAgiiuf1fViZBs6QCLcBGAsYHQ/s896/68.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="297" data-original-width="896" height="133" src="https://1.bp.blogspot.com/-jc6HZOmSr1Q/YYTwbB4iqaI/AAAAAAAAG6c/UMLWCOhmsmY-tq60yTAgiiuf1fViZBs6QCLcBGAsYHQ/w400-h133/68.png" width="400" /></a></div> <p></p><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px; text-align: left;"><p>—Bueno, no. Yo no —replicó Jonnart—. Lo que hay que hacer, entonces, evidentemente, es que usted y el hombre que tiene el ochenta y nueve participen en otro sorteo. ¿Quién tiene el ochenta y nueve? Poujade. Acérquese aquí, Poujade. Tiene usted que echarlo a suertes con Fasquelle.</p><p>—Nada de eso —respondió Poujade—. El número es claramente el sesenta y ocho. Y mi número queda muy lejos del suyo.</p><p>—No está claro —replicó Fasquelle— que este número sea el sesenta y ocho.</p><p>—Además —prosiguió Poujade—, me niego a echarlo a suertes contigo. Me niego a que me obliguen a entrar en un sorteo en el que tengo una de dos probabilidades de que me toque después de haber ganado teniendo una contra ciento once.</p></blockquote><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px; text-align: left;"><p>—No quiero volver a oír hablar de negarse a nada —intervino Jonnart.</p><p>—Bueno —dijo Poujade—, pues si pretende que lo eche a suertes con otro hombre cuando tengo derecho a entrar en un sorteo en el que haya más de cien números, volverá a oírlo. Además, está claro que este número es el sesenta y ocho y el sorteo ya se ha hecho. Yo he sacado un número igual que todos los demás y sin montar ningún alboroto. Se trata de mi vida, sargento mayor, y voy a ejercer mis derechos."</p></blockquote><p>Finalment decideixen tornar a fer el sorteig evitant el problema de la doble lectura dels nombres girables. És interesant el que es comenta sobre la grafia de la xifra 1.</p><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px; text-align: left;"><p>"Se volverá a hacer el sorteo. Conservarán el mismo número, pero arreglaré los otros para que esta vez no haya ningún tipo de confusión.</p><p>Jonnart repasó los trozos de papel de Darde uno por uno, levantando cada uno y mirándolo de arriba abajo. Cuando hubo terminado, había subrayado los siguientes pares de números del siguiente modo:</p><p style="text-align: center;">69 66 99 68 89 86 98</p><p>Había otros números que contenían el 1, como el 18 y el 81 y que podrían haber sido objeto de la misma confusión al darles la vuelta, de no haber sido porque Darde era francés. Como era francés y como había escrito él los dígitos, el sargento había dibujado los unos con dos trazos diferenciados y no había ninguna duda acerca de cómo debía colocarse el papel para leer los números.</p><p>—De acuerdo. ¡Atención, señores! Estamos preparados. Y esta vez no habrá ningún error. Darde, vuelva a mezclar los trozos de papel. Todos los números que podrían confundirse con otros están subrayados. La línea indica cómo debe leerse el número, con la línea debajo.</p><p>—Por favor, sargento —dijo una voz—, a mi compañero y a mí nos gustaría intercambiar el número…</p><p>—No —respondió Jonnart.</p><p>—¿Por qué se les ha ocurrido semejante idea? —preguntó Darde.</p><p>—Bueno, creemos que nuestros números ya nos han ido bien en una ocasión y no quisiéramos pedirles demasiado otra vez…</p><p>—Si les ha ido bien con ellos una vez —dijo Jonnart—, será mejor que no los suelten. ¿Listo, Darde?</p><p>Darde volvió la espalda de nuevo a los hombres, volvió a colocar una mano a la espalda y sintió la gorra ascender y los papeles rodearle la otra mano. Sus dedos volvieron a palpar en busca de un trozo de papel, cogieron un pequeño fajo, soltaron todos excepto uno, que extrajo, y extendió el brazo en alto por encima de la cabeza. Jonnart lo cogió.</p><p>—Número setenta y seis.</p><p>La multitud se echó a ambos lados para abrir paso al poseedor del número 76, pero no era necesario, pues Langlois había estado cerca de la mesa todo el rato."</p></blockquote><p>Com hem vist en el text torna a aparèixer la fal·làcia del jugador quan hi ha soldats que es volen intercanviar els nombres. També podem observar que el 69 no calia incloure'l a la llista de nombres subratllats.</p><p><br /></p><p><b><span style="color: #990000;">I a l'aula?</span></b></p><p></p><ul style="text-align: left;"><li>Als centres de secundària no és inhabitual el visionat de pel·lícules. De vegades sense gaire criteri i com a entreteniment. No estic d'acord amb aquesta utilització. Les pel·lícules que es visionin (al marge dels problemes legals de projecció) han de tenir una finalitat educativa clara. En tot cas, sempre m'ha semblat interessant triar films que no veuran habitualment <i>de motu propio</i> i que tinguin un interès especial. El visionat de "Camins de glòria" relacionat amb altres àmbits (ciències socials, filosofia, ètica, aprenentage de llenguatge cinematogràfic...) serà, indiscutiblement positiu. No des de les matemàtiques perquè, com hem comentat, els fragments que hem presentat no apareixen a la pel·lícula. Però si es veiés la pel·lícula pot ser un bon complement. Tot i així, per treballar els texts no és absolutament necessari veure la cinta. Tenen entitat pròpia.</li><li>Son texts que ens permeten debatre sobre les creences en probabilitat. Aquestes tenen una importància fonamental en les nostres conjectures probabilístiques, Fins i tot hi ha tot un marc teòric sobre el concepte de probabilitat conegut com a <i>Probabilitat subjectiva</i>. Sobre aquesta interpretació subjectivista Santiago Fernández Fernández, en el seu llibre <i><a href="https://www.catarata.org/libro/azar-y-probabilidad-en-matematicas_125111/" target="_blank">Azar y probabilidades matemáticas</a></i>, ens diu el següent. “Podem pensar que la probabilitat subjectiva tracta d’avaluacions arbitràries. Tot i així, hom ha de repensar i actualitzar les seves creences amb base a les evidències disponibles i els fets esdevinguts. Això és, a l’inici hom pot “creure el que vulgui” amb basant-se en els seus coneixements i assignar cert valor de probabilitat; però, a mesura que anem aprenent coses noves, per exemple, via experimentació o perquè s’han contrastat aspectes nous i interessants de la situació, les nostres creences poden variar, el que ens dona peu a actualitzar el nostre valor de probabilitat.”.</li><li>El mateix autor fa referència a uns <a href="https://repository.lboro.ac.uk/articles/thesis/Probability_concepts_in_school_pupils_aged_11_16_years/9375947" target="_blank">estudi</a> en què es mostra que 1/4 de l'alumnat entre 11 i 16 anys pensa que en un dau el 6 és més difícil d'obtenir. Les creences son més fortes del que ens pensem. Només cal pensar en la "fortalesa subjectiva" de la fal·làcia del jugador. Els texts presentats ens poden proporcionar el marc per fer aflorar aquestes creences i contrastar-les. Després podem fer activitats d'aula que les estudiïn.<br /><br /></li></ul><p></p><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><iframe allowfullscreen="" class="BLOG_video_class" height="266" src="https://www.youtube.com/embed/nmDA60X-f_A" width="320" youtube-src-id="nmDA60X-f_A"></iframe></div></div></blockquote><p style="text-align: center;"> Trailer original de <i>Paths of glory</i></p><p style="text-align: center;"><br /></p>Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7448640108700542412.post-74198870572277376582021-10-19T12:37:00.004+02:002021-10-19T12:42:55.988+02:00Ossos i geometries no euclidianes (2)<p> A l'article anterior (<a href="http://calaix2.blogspot.com/2021/10/ossos-i-geometries-no-euclidianes.html" target="_blank">Ossos i geometries no euclidianes-1</a>) vam plantejar un conegut problema amb un enunciat semblant a aquest:</p><p style="text-align: left;"></p><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><p style="text-align: left;">Un os camina un quilòmetre cap al sud seguint un meridià. Gira cap a l'oest i camina un altre quilòmetre seguint un paral·lel. Gira cap al nord i camina un altre quilòmetre seguint un meridià. Al final es troba al punt de partida. De quin color és l'os?</p></blockquote><p>Vam veure que hi havia dos tipus de solucions. Un model amb infinites solucions a l'hemisferi sud del nostre planeta i un altre de més evident a l'hemisferi nord: el punt de sortida i arribada seria el Pol Nord. Vam observar al Pol es formava un triangle amb una suma d'angles interiors de més de 180º. Això no és possible al pla però sí a una superfície esfèrica. Va ser l'excusa per entrar en el mon de la <i>geometria esfèrica</i>, un dels tipus de geometries no euclidianes. En aquest article canviarem les superfícies sobre les que caminarà el nostre os i serà la porta d'entrada a un altre exemple de geometria no euclidiana: la hiperbòlica.</p><p>Imaginem al nostre os caminant sobre un <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Paraboloid#Hyperbolic_paraboloid" target="_blank">paraboloide hisperbòlic</a>. Aquesta superfície la podem trobar en les patates <a href="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/89/Pringles_chips.JPG/800px-Pringles_chips.JPG" target="_blank">Pringles</a> o, més sanament, en una superfície reglada com la que mostren al <a href="https://mmaca.cat/visitans/exposicio-permanent-cornella/sala-george-polya-2/" target="_blank">MMACA</a> per a il·lustrar la multiplicació d'enters en 3D. Observarem que el recorregut de l'os és impossible perquè, deixant de banda la definició exacta de nord i sud, els meridians van sent divergents a mesura que es van separant del que podríem considerar com a zona equatorial.</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-4-5zSi168Oc/YWb9juiZ6kI/AAAAAAAAG3I/X4omZivpPgwKdReHSM9BfLkVw1UoMvengCLcBGAsYHQ/s1024/HyperbolicParaboloidamb%2Bcami.svg.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="979" data-original-width="1024" height="306" src="https://1.bp.blogspot.com/-4-5zSi168Oc/YWb9juiZ6kI/AAAAAAAAG3I/X4omZivpPgwKdReHSM9BfLkVw1UoMvengCLcBGAsYHQ/s320/HyperbolicParaboloidamb%2Bcami.svg.png" width="320" /></a></div><br /><p style="text-align: left;">Proposem el problema a una nova superfície: una <a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Pseudoesfera" target="_blank">pseudoesfera o tractricoide</a>. Aquesta superfície, com l'anterior és infinita. És a dir, les "puntes" no acaben convergint sinó que són asimptòtiques. A l'hemisferi sud tenim, com a l'esfera, infinites solucions. Però al nord no en tenim cap perquè els meridians no convergeixen mai, només es van acostant cada vegada més.</p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-27ymjG4a4jU/YWb_AVz_keI/AAAAAAAAG3Q/iQL0JXrASs4HEg6O1zZi-PBlTv8TRcgqQCLcBGAsYHQ/s805/pseuesfera_itinerari.jpg" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="660" data-original-width="805" height="328" src="https://1.bp.blogspot.com/-27ymjG4a4jU/YWb_AVz_keI/AAAAAAAAG3Q/iQL0JXrASs4HEg6O1zZi-PBlTv8TRcgqQCLcBGAsYHQ/w400-h328/pseuesfera_itinerari.jpg" width="400" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Pseudoesfera i ruta en detall</td></tr></tbody></table><br /><p style="text-align: left;">Les dues superfícies presentades son molt interessants en sí mateixes. Però no ens toca estudiar-les ara. Les hem triat perquè son dos dels models físics de la geometria hiperbòlica, una geometria que tampoc acompleix el 5è postulat d'Euclides, però de forma diferent a les que havíem vist: al pla dèiem que "per un punt extern a una recta només passa una paral·lela a aquesta", i a l'esfera que "per un punt exterior a una "recta esfèrica" no passa cap paral·lela a aquesta". A la geometria hiperbòlica diem que:</p><p style="text-align: center;"><b><span style="font-size: medium;">Per un punt exterior a una recta hiperbòlica passen, com a mínim, dues rectes que són paral·leles a aquesta.</span></b></p><p style="text-align: left;">L'expressió "com a mínim dues", implica que poden ser infinites.</p><p style="text-align: left;">Com vam fer a l'article anterior haurem de redefinir algunes coses com "recta", "angle", "distància", "triangle"... i, a partir d'aquestes redefinicions, veure com podem conduir un debat a l'aula sobre aspectes com la relació amb els postulats euclidians,la suma dels angles interiors d'un triangle, com es calcula la seva àrea, com són les circumferències... No es tracta de fer un estudi a fons sinó de fer un primer contacte, d'aproximar-se a algunes idees generals. I tot amb dues raons de fons:</p><p style="text-align: left;"></p><ul style="text-align: left;"><li>comprendre millor el sistema axiomàtic de les matemàtiques. I, en concret, millorar la comprensió del proposat per Euclides fent una mena "d'estranyament", a base de modificar les seves regles i "moure'ns" en un món diferent.</li><li>aproximar-nos a la revolució matemàtica que va suposar l'aparició de les geometries no euclidianes.</li></ul><p></p><p style="text-align: left;">Aquesta geometria és més difícil d'estudiar amb materials. Podem imprimir algunes superfícies en 3D, però tampoc ens solucionarà gaire cosa, perquè és complex tot el que es relaciona amb la mesura. Aquí teniu un enllaç per a imprimir un <a href="https://www.thingiverse.com/search?q=Hyperbolic+paraboloid&type=things&sort=relevant" target="_blank">paraboloide hiperbòlic</a> i una <a href="https://www.thingiverse.com/thing:3657888" target="_blank">pseudoesfera</a>.</p><p style="text-align: left;">Hi ha alguns models plans de la geometria hiperbòlica. Per exemple, el model del <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Beltrami%E2%80%93Klein_model" target="_blank">Disc de Beltrami-Klien</a> on el pla infinit es representa amb l'interior d'un cercle (la circumferència que el limita no en forma part) i les rectes per cordes d'aquesta circumferència. No entrem ara en el tema de les distàncies. La imatge mostra algunes de les moltes paral·leles a la recta <i>a</i> que passen pel punt P. Les que coincideixen amb la recta <i>a </i>no la tallen perquè, com hem dit abans, la circumferència no forma part del disc.</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-eMAK2ROWduU/YWcFYO0K4cI/AAAAAAAAG3Y/JCaxFf6kqek9gfNkQ2-3m0OK7sK6tlGkgCLcBGAsYHQ/s1200/1200px-Klein_model.svg.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1200" data-original-width="1200" height="320" src="https://1.bp.blogspot.com/-eMAK2ROWduU/YWcFYO0K4cI/AAAAAAAAG3Y/JCaxFf6kqek9gfNkQ2-3m0OK7sK6tlGkgCLcBGAsYHQ/s320/1200px-Klein_model.svg.png" width="320" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Podeu trobar applets de GeoGebra per a treballar amb aquest model, però en aquest article optarem per un altre: el <i>Disc de Poincaré</i>. Pensem que aquest model és millor per treballar-lo a l'aula perquè les rectes no son segments rectilinis, com al model anterior, i la sensació "d'estranyament" serà més gran. Cal dir, però, que qualsevol model que agafem és més complicat que el de la geometria esfèrica, sobre la que podíem experimentar directament, i que té idees més intuïtives. Però si hem treballat la geometria de l'esfera prèviament, aquesta serà més fàcil d'acceptar. Serà com entrar a un món de videojoc amb unes regles diferents. I sobre el que podrem treballar amb GeoGebra ja que no és difícil trobar applets que ens permeten crear, manipular i mesurar objectes.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-H5Zt5u37x6E/YWcI5XxMThI/AAAAAAAAG3g/SDO-HowU0TIff8AmfXxSkunb5WHv34CFwCLcBGAsYHQ/s560/escher4.jpg" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="560" data-original-width="550" height="320" src="https://1.bp.blogspot.com/-H5Zt5u37x6E/YWcI5XxMThI/AAAAAAAAG3g/SDO-HowU0TIff8AmfXxSkunb5WHv34CFwCLcBGAsYHQ/s320/escher4.jpg" width="314" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><i>Límit circular III</i> de M.C Escher (1959).<br />Aquesta obra està basada en el disc de Poincaré</td></tr></tbody></table><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><span style="color: #990000; font-size: medium;">Vols conèixer el món hiperbòlic amb idees per treballar-ho a l'aula?</span></b></div><span><a name='more'></a></span><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><span style="color: #990000;"><br /></span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><span style="color: #990000; font-size: medium;">Com és la vida al Disc de Poincaré?</span></b></div><br /><p style="text-align: left;">Poincaré va descriure el seu disc relacionat amb índexs de refracció i temperatures. Però Martin Gardner, al llibre <i>Damas, parábolas y más mistificaciones matemáticas</i>, opta per descriure'ns aquesta Planilàndia hiperbòlica d'una altra manera. Copiem íntegra la seva descripció:</p><p style="text-align: left;"></p><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><p>"En l'enginyós model de Poincaré, cada punt del pla euclidià es troba en correspondència amb un punt situat a l'interior del cercle (però no sobre la seva circumferència). De l'altre costat de la circumferència l'únic que existeix és, com ha dit Escher, «el no-res més absolut».. </p></blockquote><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><p>Imaginem que aquest model està habitat per planilandesos. Així que vagin allunyant-se de centre ens anirà semblant que es fan progressivament més petits, encara que ells no detectaran la contracció del seu entorn, perquè els seus sentits i els seus instruments de mesura es van contraient en proporció idèntica. Si arribessin a la frontera, la seva grandària seria nul·la, però la frontera els és inaccessible. Si es dirigissin cap a ella amb moviment uniforme, nosaltres els veuríem desaccelerar progressivament, encara que als viatgers els hi semblaria que la seva velocitat és constant. Per tant, el seu univers, que nosaltres percebem finit, és infinit per als planilandesos. Els raigs de llum del món hiperbòlic es propaguen sobre línies geodèsiques, però com (per a nosaltres) la seva velocitat és proporcional a la distància de la frontera, els veuríem descriure arcs de circumferència que a l'aproximar-se al perímetre del disc tendeixen a tallar-lo en angle recte."</p></blockquote><p></p><div>Com veiem les "rectes hiperbòliques" (que a partir d'ara anomenarem senzillament "rectes") són, majoritàriament, arcs de circumferència que son perpendiculars en els punts ideals on tallarien la circumferència del disc, que, recordem, no forma part d'aquest pla hiperbòlic. Les que uneixen dos punts diametralment oposats dels disc sí que son semblants a les nostres rectes euclidianes. Aquesta "distorsió" de les rectes pot ser interessant a l'aula perquè ajuda a visualitzar que estem en una geometria diferent a la del pla euclidià. No pensem que calgui entrar a l'aula en la justificació detallada d'aquesta deformació de les rectes, que prové de la projecció d'un hiperboloide en un pla. Tot i així, als comentaris d'aula finals us proposem una construcció en GeoGebra que pot il·lustrar aquesta conversió de rectes en arcs.</div><div><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-sSmfa78snkQ/YWhdBYWAPAI/AAAAAAAAG3o/Y_FU4UkhY34OvYlqPvCBMXemDvF6oLWPQCLcBGAsYHQ/s331/rectes_hiperboliques.gif" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="315" data-original-width="331" height="305" src="https://1.bp.blogspot.com/-sSmfa78snkQ/YWhdBYWAPAI/AAAAAAAAG3o/Y_FU4UkhY34OvYlqPvCBMXemDvF6oLWPQCLcBGAsYHQ/s320/rectes_hiperboliques.gif" width="320" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"></td></tr></tbody></table><div style="text-align: center;">Rectes hiperbòliques en forma d'arc de circumferència (menys quan són un diàmetre del disc)</div><br /><div style="text-align: left;">Però, tot i no entrar en argumentar el per què d'aquestes rectes, sí que pot ser convenient familiaritzar-se amb elles i veure que són úniques unint dos punts. Podem preparar una construcció en Geogebra com la següent, en la que veurem que hi ha infinits arcs de circumferència que uneixen dos punts, però només hi ha un sol cas en el que l'arc incideix ortogonalment en la circumferència del disc. A l'applet podem moure els punts A i B, però especialment el punt C que ens farà variar els arcs fins aconseguir el que talla amb 90º.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: center;"><iframe height="548px" scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/nwwg6mp7/width/562/height/548/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" style="border: 0px;" title="Estudiem les " width="562px"> </iframe><br /><a href="https://www.geogebra.org/m/ayefybnk" target="_blank">Enllaç a la construcció</a></div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;">Tenim redefinides les rectes. Els segments seran fragments, entre dos punts, d'aquestes rectes. Aquests segments son <i>geodèsiques</i>, ja que uneixen dos punts amb el trajecte més curt possible. Si un habitant d'aquest disc s'hi vol acostar a un altre, seguirà aquesta trajectòria visualment per a nosaltres, tot i que ell tindrà la sensació d'anar en línia recta.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;">Els angles es poden mesurar gairebé de forma euclidiana: serà el format per les tangents a les "rectes". Ara us recomanaríem obrir algun applet de GeoGebra que us permeti dibuixar rectes, mesurar angles, etc. Una molt bona possibilitat és aquest <a href="https://www.geogebra.org/m/eJAw9rcQ" target="_blank">applet de Tibor Marcinek</a>. També en teniu un altre amb el que hem fet l'animació de sota, Si proveu, veureu una cosa ben estranya: si el vèrtex de l'angle s'acosta al centre del disc l'angle és molt gran; si s'acosta a la vora es va reduint i tendint a zero.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-duMzoJ6Aq6A/YWhiyJeui-I/AAAAAAAAG3w/8nJUVqtKMI0fESqr403m8B6NpO_9H5duQCLcBGAsYHQ/s389/angkes_hiperbolics.gif" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="389" data-original-width="383" height="320" src="https://1.bp.blogspot.com/-duMzoJ6Aq6A/YWhiyJeui-I/AAAAAAAAG3w/8nJUVqtKMI0fESqr403m8B6NpO_9H5duQCLcBGAsYHQ/s320/angkes_hiperbolics.gif" width="315" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><a href="https://www.geogebra.org/m/wWacWUbw#material/R5e9AggU" target="_blank">GeoGebra de Soundmanbrad</a></td></tr></tbody></table><br />El fet de que les nostres línies siguin el resultat de projeccions fa que no ens puguem refiar de la vista per comparar distàncies. Cal fer una observació important: segments de longituds visualment semblants tindran llargades diferents segons la zona del disc a la que estiguin; seran aparentment més "curts" a la zona central i més "llargs" a les vores del disc. De la mateixa forma, una mateixa distància "real" s'anirà reduint visualment a mesura que ens acostem a la vora del disc. Això implica que no podem comparar mai la longitud de dos segments a ull o, en general, ponderar llargades, ja que la seva aparença depèn de la posició al disc.<p></p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-QtTzqtHfYxk/YWhnLGluPPI/AAAAAAAAG34/7d1bXR6ngrU0JRFIKdZb-CJFFGgMiUZNACLcBGAsYHQ/s383/segmen_hiperbolics.gif" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="338" data-original-width="383" height="282" src="https://1.bp.blogspot.com/-QtTzqtHfYxk/YWhnLGluPPI/AAAAAAAAG34/7d1bXR6ngrU0JRFIKdZb-CJFFGgMiUZNACLcBGAsYHQ/s320/segmen_hiperbolics.gif" width="320" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Aquest segment sempre mesura dues unitats</td></tr></tbody></table><br /><div>Si ja ens hem fet una idea de les noves regles de funcionament en quant a rectes, angles i distàncies podem fer, com a la proposta sobre la geometria esfèrica de l'article anterior, algunes tasques relacionades amb la comparació amb els postulats d'Euclides i a l'estudi dels triangles.</div><div><br /></div><div><div class="separator" style="clear: both;"><b><span style="color: #990000;"><br /></span></b></div><div class="separator" style="clear: both;"><b><span style="color: #990000; font-size: medium;">Mirem els postulats euclidians.</span></b></div><br /><p>Si comparem els postulats euclidians, referits al pla, adaptats a les noves definicions del disc de Poincaré, observarem que els quatre primers són coincidents i que la discrepància la tenim en el cinquè, el de les paral·leles.</p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-7Ufq2-C6ghg/YWmZRtmngVI/AAAAAAAAG4A/beYvMjjNYTo5yjupQHbtQ2bG8-XwbiP5QCLcBGAsYHQ/s237/post1.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><b><img border="0" data-original-height="235" data-original-width="237" height="235" src="https://1.bp.blogspot.com/-7Ufq2-C6ghg/YWmZRtmngVI/AAAAAAAAG4A/beYvMjjNYTo5yjupQHbtQ2bG8-XwbiP5QCLcBGAsYHQ/s0/post1.png" width="237" /></b></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><b>1r postulat</b>. Per dos punts diferents només hi passa una recta.</td></tr></tbody></table><br /><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-3sQlcKch5RI/YWma7gRsDcI/AAAAAAAAG4I/ToGGvkzfcykfV71B97HXrMgfYgxuMFRcACLcBGAsYHQ/s263/post2.gif" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="260" data-original-width="263" height="260" src="https://1.bp.blogspot.com/-3sQlcKch5RI/YWma7gRsDcI/AAAAAAAAG4I/ToGGvkzfcykfV71B97HXrMgfYgxuMFRcACLcBGAsYHQ/s0/post2.gif" width="263" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><b>2n postulat</b>. Un segment rectilini pot ser allargat sempre.</td></tr></tbody></table><br /><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-7fiTnZ68vLU/YWmcVT_SrrI/AAAAAAAAG4Q/RR0-m4lGhfAag0daXw1XKYfvsoyHTgl-ACLcBGAsYHQ/s240/post3.gif" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><b><img border="0" data-original-height="222" data-original-width="240" height="222" src="https://1.bp.blogspot.com/-7fiTnZ68vLU/YWmcVT_SrrI/AAAAAAAAG4Q/RR0-m4lGhfAag0daXw1XKYfvsoyHTgl-ACLcBGAsYHQ/s0/post3.gif" width="240" /></b></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><b>3r. Postula</b>t. Hi ha una sola circumferència amb un centre i un radi donats.</td></tr></tbody></table><p style="text-align: left;">En aquest cas cal destacar que a la imatge tenim una circumferència que sempre té radi 1 però que queda visualment afectada pel canvi aparent de les distàncies. Fins i tot podem veure que el centre sembla progressivament més "excèntric" a mesura que ens acostem a la vora del disc.</p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-7xgsoxMkds8/YWmfVFWuQmI/AAAAAAAAG4Y/cUq67kDQsVMvMd5BKAgHt1G8tIXaMpAIgCLcBGAsYHQ/s307/post4.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="300" data-original-width="307" height="259" src="https://1.bp.blogspot.com/-7xgsoxMkds8/YWmfVFWuQmI/AAAAAAAAG4Y/cUq67kDQsVMvMd5BKAgHt1G8tIXaMpAIgCLcBGAsYHQ/w265-h259/post4.png" width="265" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><b>4t postulat</b>. Tots els angles rectes són iguals entre sí.</td></tr></tbody></table><br /><p style="text-align: left;">No em puc estar de comentar que aquest postulat sempre l'he trobat estrany. Especialment si tenim en compte que a la definició 10 del primer llibre trobem que "quan una línia recta que està sobre una altra fa que els angles adjacents siguin iguals, cadascun dels angles és recte, i la recta que està sobre l'altra es diu perpendicular a l'altra recta.".</p><p style="text-align: left;">I ara, finalment, bé la discrepància. Entenem com paral·leles rectes que no es tallen, com diu la definició 23 del llibre I dels <i>Elements</i>: "Rectes paral·leles són aquelles que, estant en un mateix pla i sent prolongades indefinidament en ambdós sentits, no troben una a una altra en cap d'ells.". El 5è postulat es pot formular dient que "Per un punt exterior a una recta només hi passa una paral·lela." Si practiquem amb alguns dels GeoGebra que hem proposat veurem infinitat de rectes externes a una recta donada que no la tallen mai: hi ha infinites paral·leles.</p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-xf5F7KS8Iqc/YWmi8moAuDI/AAAAAAAAG4g/Ki5bGAIlvGYc9KhEKnUK1f1Bl_m1pU-GgCLcBGAsYHQ/s295/post5.gif" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="295" data-original-width="288" height="295" src="https://1.bp.blogspot.com/-xf5F7KS8Iqc/YWmi8moAuDI/AAAAAAAAG4g/Ki5bGAIlvGYc9KhEKnUK1f1Bl_m1pU-GgCLcBGAsYHQ/s0/post5.gif" width="288" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><b>5è postulat</b>: Per un punt a una recta passen <b>infinites</b> paral·leles.</td></tr></tbody></table><br /><div class="separator" style="clear: both;"><b><span style="color: #990000; font-size: medium;"><br /></span></b></div><div class="separator" style="clear: both;"><b><span style="color: #990000; font-size: medium;">Estudiem el triangle hiperbòlic.</span></b></div><p>Un triangle hiperbòlic és el que es forma amb tres <i>geodèsiques</i> d'una superfície hipèrbòlica. Com a l'esfera, les geodèsiques no tenen perquè coincidir amb els "paral·lels" que podem haver traçat a la superfície. Recordem, de pas, que les geodèsiques són els trajectes més curts entre dos punts sobre una superfície donada.</p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-T2V5btFYbwo/YWmmvWx4tZI/AAAAAAAAG4o/X_36XEOGmFQZA1wzWhLWWuHAOckArGP2QCLcBGAsYHQ/s295/triangle_hiperbolic.gif" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="295" data-original-width="288" height="295" src="https://1.bp.blogspot.com/-T2V5btFYbwo/YWmmvWx4tZI/AAAAAAAAG4o/X_36XEOGmFQZA1wzWhLWWuHAOckArGP2QCLcBGAsYHQ/s0/triangle_hiperbolic.gif" width="288" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Triangle sobre una pseuesfera. GeoGebra d'<a href="https://www.geogebra.org/m/cvpkctg2" target="_blank">Humberto José Bortolossi</a></td></tr></tbody></table><br /><p style="text-align: left;">Anem ara a estudiar alguns aspectes relatius al triangle en el disc de Poincaré.</p><p style="text-align: left;"></p><ul style="text-align: left;"><li><b>Suma dels angles interiors</b></li></ul>El millor és experimentar amb una construcció de GeoGebra com les que hem recomanat abans. El de <a href="https://www.geogebra.org/m/eJAw9rcQ" target="_blank">Tibor Marcinek</a> té una eina que mesura la suma dels angles directament. Podem començar amb els punts el més ajustats possible a l'exterior del disc i veure que la suma dels angles és pràcticament de 0º. Si els anem portant al centre del disc observarem que la suma s'acosta a 180º (π radians) sense arribar a aconseguir-los.<p></p></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-PRiGBQqXtcc/YWvwn8PJpDI/AAAAAAAAG4w/YzmX6wNNJSMtmj030ikszo2IQeREJaWnQCLcBGAsYHQ/s295/suma_angle_th.gif" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="295" data-original-width="288" height="295" src="https://1.bp.blogspot.com/-PRiGBQqXtcc/YWvwn8PJpDI/AAAAAAAAG4w/YzmX6wNNJSMtmj030ikszo2IQeREJaWnQCLcBGAsYHQ/s0/suma_angle_th.gif" width="288" /></a></div><br /><div style="text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li><b>Grandària dels triangles</b></li></ul>Al pla euclidià els triangles poden ser infinitament grans. A l'esfera, de superfície limitada, no. I a la geometria hiperbòlica? Si hem fet l'experiment de l'apartat anterior haurem observat col·lateralment que la grandària està relacionada amb la suma dels angles (és a dir, dels tres angles concrets del triangle) i que, quan més grans son, més petita és la suma angular. Podem intuir que la grandària del triangle depèn proporcionalment dels seus angles i, de fet, com a la geometria el·líptica (la de l'esfera) dos triangles que tinguin els mateixos angles no son només semblants, com a l'euclidiana, sinó que son congruents, exactament iguals.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;">Si experimentem amb aquest applet de GeoGebra veurem que l'àrea (en un disc de radi 1) coincideix amb el <i>defecte angular</i> en radians: el que li falta per sumar els π radians dels triangles euclidians. En aquest cas, com vam comentar en l'exemple equivalent de la geometria esfèrica, és millor treballar amb radians perquè la relació es fa més evident.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: center;"><iframe height="537px" scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/nmk7auvj/width/481/height/537/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" style="border: 0px;" title="Modificat d'una construcció de soundmanbrad" width="481px"> </iframe><br /><a href="https://www.geogebra.org/m/smjjt7mh" target="_blank">Enllaç a la construcció</a></div><div style="text-align: center;"><br /></div><div style="text-align: left;">Tornem a la pregunta inicial: tenen una grandària il·limitada? La resposta és que no: la seva àrea no pot arribar a π unitats quadrades, quan el defecte angular és màxim: π radians.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;">Deixem una pregunta: com obtindrem el perímetre màxim?</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;"><ul><li><b>Rectes i punts notables del triangle</b></li></ul>Gràcies a les aplicacions creades amb GeoGebra és relativament fàcil investigar aquest aspecte dels triangles hiperbòlics. Trobarem que, en general tot funciona com a la geometria euclidiana. Excepte una cosa: no tots els triangles tenen circumcentre i circumferència circumscrita. En determinades circumstàncies, que podeu investigar, el circumcentre surt fora del disc i no tenim circumferència circumscrita.</div><div style="text-align: center;"><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-HvTFOOhcaHg/YW6ETMCTSKI/AAAAAAAAG5U/tYJ2n0Lbr1ccKP7oMmu5IXHpj3MUhmECQCLcBGAsYHQ/s295/circumcentre_hiperbolic.gif" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="295" data-original-width="288" height="295" src="https://1.bp.blogspot.com/-HvTFOOhcaHg/YW6ETMCTSKI/AAAAAAAAG5U/tYJ2n0Lbr1ccKP7oMmu5IXHpj3MUhmECQCLcBGAsYHQ/s0/circumcentre_hiperbolic.gif" width="288" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><a href="https://www.geogebra.org/m/qvenjhz2" target="_blank">Enllaç a la construcció</a></td></tr></tbody></table><div style="text-align: center;"><br /></div><div style="text-align: left;">Podeu investigar les altres rectes i punts en aquest altre GeoGebra creat per <a href="https://www.geogebra.org/m/ck6ecca5#material/wmmxzpfd" target="_blank">Szilassi Lajos</a>. L'applet, per cert, pertany a un llibre molt complet sobre aquesta geometria.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li><b>Teorema de Pitàgores</b></li></ul>Si experimentem amb un applet com el proposat observarem que la suma dels quadrats dels catets és sempre inferior al quadrat de la hipotenusa.</div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-r0-0Cr6HBPs/YW6E9T92w6I/AAAAAAAAG5c/qR2TdhardAIE-Xs4GpPYph01OvYCEbNiACLcBGAsYHQ/s370/pitagores_hiperbolic.gif" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="370" data-original-width="288" src="https://1.bp.blogspot.com/-r0-0Cr6HBPs/YW6E9T92w6I/AAAAAAAAG5c/qR2TdhardAIE-Xs4GpPYph01OvYCEbNiACLcBGAsYHQ/s16000/pitagores_hiperbolic.gif" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><a href="https://www.geogebra.org/m/hwcnramv" target="_blank">Enllaç a la construcció</a></td></tr></tbody></table><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;"><div class="separator" style="clear: both;"><b><span style="color: #990000; font-size: medium;">Construïm un quadrat</span></b></div><p>Pot ser un repte interessant a l'aula construir un quadrat. Entre altres coses perquè haurem de ressituar alguna idea. El quadrat ha de tenir els quatre costats i els quatre angles iguals. Pot ser interessant mirar si l'alumnat prioritza aquestes condicions o intenta imposar que els angles siguin de 90º. I, un cop decidit això, pensar com realitzar la construcció amb les eines disponibles.</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-UWGlmDN9KKs/YW6GQ2rpRwI/AAAAAAAAG5k/_rvQfBR9n7A-WV8fnVBVemCkTISLTLL8QCLcBGAsYHQ/s303/quadrat_hieprbolic.gif" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="303" data-original-width="288" height="303" src="https://1.bp.blogspot.com/-UWGlmDN9KKs/YW6GQ2rpRwI/AAAAAAAAG5k/_rvQfBR9n7A-WV8fnVBVemCkTISLTLL8QCLcBGAsYHQ/s0/quadrat_hieprbolic.gif" width="288" /></a></div><p style="text-align: center;"><br /></p><p style="text-align: left;"><b><span style="color: #990000;">I a l'aula?</span></b></p><p></p><ul style="text-align: left;"><li>No recomanaríem treballar la geometria hiperbòlica sense haver fet abans l'esfèrica, que és més intuïtiva. Així com en el cas de la geometria esfèrica aconsellàvem molt el debat a partir de l'experimentació amb materials i recursos fets amb GeoGebra, aquí serà millor fer-ho només a partir d'aquests últims.</li><li>Dels diferents models físics o plans per il·lustrar aquesta geometria optem pel Disc de Poincaré per la seva estranyesa en convertir les rectes en arcs de circumferència. Evidenciar aquesta estranyesa ens sembla una bona opció per diferenciar-la de l'euclidiana. Tot i que el model s'ha d'explicar i l'alumnat, en gran part, haurà de fer un "acte de fe" en aspectes com les distàncies o les geodèsiques. Però la nostra intenció és introduir-nos en aquest món, no estudiar-lo amb profunditat ni fer justificacions plenes. Però si es vol il·lustrar una mica, també hi ha construccions en GeoGebra que ens hi poden ajudar. Per exemple, una en 3D d'Ayhan Aksoy.</li></ul><br /><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-3H_aIGtld-8/YW2oBNixpFI/AAAAAAAAG48/6QhSfMP3hMMAOsEsBai274tB_pwjXpfQgCLcBGAsYHQ/s889/projeccio_disc_poincare.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="373" data-original-width="889" height="269" src="https://1.bp.blogspot.com/-3H_aIGtld-8/YW2oBNixpFI/AAAAAAAAG48/6QhSfMP3hMMAOsEsBai274tB_pwjXpfQgCLcBGAsYHQ/w640-h269/projeccio_disc_poincare.png" width="640" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><a href="https://www.geogebra.org/m/pwkuwuzz" target="_blank">Enllaç a la construcció</a></td></tr></tbody></table><br /><p></p></div><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><div style="text-align: left;"><p></p><div style="text-align: left;">Sobre el model cal insistir, com hem comentat anteriorment, en el tipus concret d'arc que formen les rectes (ortogonals a la vora del disc) i que no es poden refiar de l'aparença visual per a valorar distàncies: una mateixa longitud es va empetitint visualment a mesura que s'allunya del centre del disc.</div><p></p></div></blockquote><p></p><ul style="text-align: left;"><li>Un cop entès-acceptat el model del disc de Poincaré sí que podem posar en debat, un a un, els postulats d'Euclides. Si volem, pel cas del cinquè, podem destacar que hi ha dues paral·lels límit (les que tallen la recta en el punt ideal de la vora del disc, que recordem no forma part del pla). que s'anomenen <i>hiperparal·leles</i>,<i> </i>i altres paral·leles que no tallen la recta enlloc, i que s'anomenen <i>ultraparal·leles.</i></li></ul><i><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-qtokfFnOCTA/YW2sG8Mi7fI/AAAAAAAAG5E/Tr8IYZ7zsr0Oi_OXd65IlZISJaTbnG6NwCLcBGAsYHQ/s384/paralleles.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="371" data-original-width="384" height="309" src="https://1.bp.blogspot.com/-qtokfFnOCTA/YW2sG8Mi7fI/AAAAAAAAG5E/Tr8IYZ7zsr0Oi_OXd65IlZISJaTbnG6NwCLcBGAsYHQ/s320/paralleles.png" width="320" /></a></div><div style="text-align: center;"><br /></div></i><ul style="text-align: left;"><li>Hem recomanat l'estudi dels triangles i de la construcció del quadrat, però no cal dir que es poden investigar, experimentalment, o amb cerca documental, altres aspectes com l'adaptació exacta del teorema de Pitàgores o el valor de π.</li><li>També es poden mirar altres adaptacions al pla de les les superfícies hiperbòliques com el model de <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Beltrami%E2%80%93Klein_model" target="_blank">Beltrami-Klein</a> (<a href="https://www.geogebra.org/m/hqvewcks#material/czptumkp" target="_blank">GeoGebra</a>) o el <a href="https://mathenki.wordpress.com/2016/03/22/modelo-hiperbolico-filosofia-y-el-modelo-del-semiplano-superior-de-poincare/" target="_blank">semiplà superior de Poincaré</a> (<a href="https://www.geogebra.org/m/dqc3uKhY#material/DBXvbruR" target="_blank">GeoGebra</a>)</li><li>Pot ser curiós cercar diferents exemples de <a href="https://www.google.com/search?q=hyperbollic+tillings&tbm=isch&ved=2ahUKEwj-n_j_9dXzAhWIAmMBHYsMBoYQ2-cCegQIABAA&oq=hyperbollic+tillings&gs_lcp=CgNpbWcQAzoHCCMQ7wMQJzoECAAQQzoICAAQgAQQsQM6CAgAELEDEIMBOgQIABADOgUIABCABDoLCAAQgAQQsQMQgwE6BAgAEB46BAgAEBNQwXJYjasBYKSxAWgAcAB4AIABVYgB8guSAQIyMZgBAKABAaoBC2d3cy13aXotaW1nwAEB&sclient=img&ei=tG9uYf71JoiFjLsPi5mYsAg&bih=750&biw=1522&rlz=1C1GCEA_enES918ES918&hl=ca" target="_blank">mosaics hiperbòlics</a>, a més del coneguts d'Escher.</li></ul><div style="text-align: center;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-BOklZ8AGwVg/YW5xNpoaCPI/AAAAAAAAG5M/ov4kU__Ap2wwGxbooF7a-4RZQP_TmtObACLcBGAsYHQ/s360/png-transparent-hyperbolic-geometry-tessellation-mathematics-euclidean-geometry-prism-symmetry-shape-parallel-thumbnail.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="360" data-original-width="360" height="320" src="https://1.bp.blogspot.com/-BOklZ8AGwVg/YW5xNpoaCPI/AAAAAAAAG5M/ov4kU__Ap2wwGxbooF7a-4RZQP_TmtObACLcBGAsYHQ/s320/png-transparent-hyperbolic-geometry-tessellation-mathematics-euclidean-geometry-prism-symmetry-shape-parallel-thumbnail.png" width="320" /></a></div></div><ul style="text-align: left;"><li>La matemàtica letona <a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Daina_Taimina" target="_blank">Daina Taimina</a> ha fet i estudiat tot de superfícies hiperbòliques amb ganxet. Són ben boniques de veure i té moltes recollides al seu <a href="http://dainataimina.blogspot.com/" target="_blank">blog</a>. Si voleu també podeu veure un <a href="https://youtu.be/w1TBZhd-sN0" target="_blank">Ted-talk</a> en el què ho explica.</li></ul><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-reKpb3yrq88/YW6L4ioDqjI/AAAAAAAAG5s/TMUQihza2j8LHJMy_9QSTCXULAPepTs7wCLcBGAsYHQ/s320/hplanes%2B061b.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="278" data-original-width="320" height="278" src="https://1.bp.blogspot.com/-reKpb3yrq88/YW6L4ioDqjI/AAAAAAAAG5s/TMUQihza2j8LHJMy_9QSTCXULAPepTs7wCLcBGAsYHQ/s0/hplanes%2B061b.jpg" width="320" /></a></div><ul style="text-align: left;"><li>I, com no, fer conèixer una mica la història d'aquesta geometria, especialment la dels seus creadors més importants: <a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Nikolai_Lobatxevski" target="_blank">Nikolai Lobatxevski</a> i <a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/J%C3%A1nos_Bolyai" target="_blank">János Bolyai</a></li></ul>Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7448640108700542412.post-47690064177204880262021-10-06T10:42:00.011+02:002021-10-19T11:55:08.788+02:00Ossos i geometries no euclidianes (1)<p> Al llibre clàssic de <a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/George_P%C3%B3lya" target="_blank">George Pólya</a> <i>Como plantear y resolver problemas</i> apareix aquest curiós (i ja força conegut) problema:</p><p></p><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><p style="text-align: left;">Partint d'un punt P, un os camina un quilòmetre cap al sud. Canvia llavors de direcció i recorre un quilòmetre a l'est. Després, girant de nou a l'esquerra, recorre un quilòmetre cap al nord per arribar exactament a punt de partida P. De quin color és l'os?</p></blockquote><p style="text-align: center;"></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-nCP0DNfehLk/YVLfuOpn-3I/AAAAAAAAG0c/rwue8YzBXFU1Sq6Xx0dvqO2VnfXns-0ogCLcBGAsYHQ/s640/640px-Ursidae-01.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="478" data-original-width="640" height="239" src="https://1.bp.blogspot.com/-nCP0DNfehLk/YVLfuOpn-3I/AAAAAAAAG0c/rwue8YzBXFU1Sq6Xx0dvqO2VnfXns-0ogCLcBGAsYHQ/w320-h239/640px-Ursidae-01.jpg" width="320" /></a></div><br /><div style="text-align: left;">Si no voleu espòiler millor aturar la lectura aquí mateix i pensar el problema. Si ja el coneixeu o no el voleu pensar ara mateix, podeu continuar.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;">Sembla lògic que, més que contestar sobre el color, el que ens cal és saber on pot estar l'os per a fer un recorregut tan sorprenent. Pólya tria aquest problema per sorprendre'ns fent-nos veure que hi ha dos tipus de solucions. La primera és la que se'ns pot acudir a la majoria: que l'os és blanc perquè el punt P és al Pol Nord. La segona l'explica així:</div><p></p><p></p><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><p></p><p style="text-align: center;"></p><div style="text-align: left;">L'os podria retornar al punt P seguint el mateix meridià que al sortir de P si, en desplaçar-se un quilòmetre cap a l'est descrivís <i>n</i> paral·lels complets, podent ser <i>n</i> igual a 1, 2, 3... En aquest cas P no és el Pol Nord, sinó un punt d'un paral·lel molt proper al Pol Sud.</div><p></p><p></p></blockquote><p>A la imatge teniu un esquema del camí per a <i>n</i>=1, un paral·lel d'exactament un quilòmetre de longitud, Però més al sud en trobaríem de 1/2 quilòmetres i faríem dues voltes, d'1/3, etc.</p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-Xafn4crON_s/YVLkdmSo4wI/AAAAAAAAG0k/UttwjUZC9mIzb-TSzES2pjYvUmxXgkw5wCLcBGAsYHQ/s450/cami_os.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="448" data-original-width="450" height="319" src="https://1.bp.blogspot.com/-Xafn4crON_s/YVLkdmSo4wI/AAAAAAAAG0k/UttwjUZC9mIzb-TSzES2pjYvUmxXgkw5wCLcBGAsYHQ/s320/cami_os.png" width="320" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Esquema fet amb l'<a href="https://www.geogebra.org/m/dky65AjK" target="_blank">applet de GeoGebra</a> de Rafael Cámara</td></tr></tbody></table><br /><p style="text-align: left;">Però tornem a la primera solució, perquè ens trobem amb un triangle ben curiós.</p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-FEHnvwBXsf8/YVLldaa0bjI/AAAAAAAAG0s/1JUx1eLBces-1jWuPg7bH_oMEYFK5FyLQCLcBGAsYHQ/s320/DeQueColorEsElOso_Solucion1.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="320" data-original-width="304" height="320" src="https://1.bp.blogspot.com/-FEHnvwBXsf8/YVLldaa0bjI/AAAAAAAAG0s/1JUx1eLBces-1jWuPg7bH_oMEYFK5FyLQCLcBGAsYHQ/s0/DeQueColorEsElOso_Solucion1.png" width="304" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Imatge extreta del <a href="http://sunya00.blogspot.com/" target="_blank">Blog Sunya</a> de R. Cámara</td></tr></tbody></table><p style="text-align: left;">Si l'observem amb detall veurem que els dos angles inferiors són de 90º. És a dir, la suma dels angles interiors del triangle és clarament superior a 180º. De fet, a l'aula, sempre que he plantejat el problema he explicitat clarament, a l'enunciar-lo, que "l'os baixa per un meridià gira 90º cap a l'est" i que després de caminar pel paral·lel gira "90º cap al nord" i agafa un meridià.</p><p style="text-align: left;">I per què passa això? Perquè no ens estem movent en un pla, sinó en una esfera i les "regles euclidianes", amb les que funcionem normalment, es refereixen al pla. Estem treballant amb una geometria, l'esfèrica, que no acompleix tots els postulats euclidians. Hem aconseguit un punt de partida idoni per parlar-ne i discutir a l'aula sobre les geometries no euclidianes. Debatre sobre les característiques d'aquestes geometries, les seves definicions, els sues postulats i algunes de les seves proposicions, ens servirà també per a conèixer millor l'estructuració de la matemàtica proposada pels <i>Elements </i>d'Euclides. És a dir, parlar-ne de les definicions ens ajudarà a comprendre quina funció tenen; comparar els postulats que s'acompleixen ens permetrà saber que són, quins i per a què serveixen els axiomes bàsics, tant de la geometria plana, com de la nova que estem explorant.</p><p style="text-align: left;">Haurem de començar per redefinir algunes coses com "recta" o "angle" i, un cop fet, podem comparar, postulat a postulat, quins s'acompleixen o no, total o parcialment. Observarem, amb més detall, que el que deixa d'acomplir-se més clarament és el 5è, aquell que diu, en el seu enunciat modern, que "per un punt exterior a una recta donada només és possible traçar una paral·lela". De fet, com veurem, no en passa cap! Podrem aprofitar també per a tractar algunes idees sobre les distàncies reals al nostre planeta i les que mesurem als mapes. Fins i tot, tindrem l'oportunitat d'endinsar-nos una mica en el món dels triangles esfèrics.</p><p style="text-align: left;"><b style="color: #990000; font-size: large;"><br /></b></p><p style="text-align: left;"><b style="color: #990000; font-size: large;">Vols conèixer una mica més aquesta geometria i algunes idees per treballar a l'aula?</b></p><span><a name='more'></a></span><p style="text-align: left;">D'alguna manera, les idees que s'aniran plantejant poden ser guia pels debats a l'aula, en grups reduïts o en gran grup. Aniran apareixent també algunes idees clau que poden servir de pista per orientar les discussions en alguns moments.</p><p style="text-align: left;">Haurem de començar per redefinir rectes i segments, ja que a la superfície de l'esfera no té sentit parlar-ne amb el seu significat habitual. Si entenem un segment com la trajectòria més curta entre dos punts i la recta com l'allargament "infinit" d'aquesta trajectòria, més enllà d'aquests punts extrems, ens trobarem que el segment es converteix en un arc de la circumferència màxima que passa per aquests dos punts. En una esfera s'anomena <i>circumferència màxima</i> a la línia que obtenim sobre la superfície de l'esfera al seccionar-la amb un pla que passa pel seu centre. Posant un símil, és la circumferència que tindrem quan tallem una taronja per la meitat. A la Terra tots els meridians i l'Equador són circumferència màximes. Els paral·lels que no són l'Equador són exemples de <i>circumferències menors</i>. Les circumferències màximes també s'anomenen, de vegades, <i>E-línies</i> o <i>cicles.</i></p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-PK2qPCqqwYQ/YVLz9BmOWUI/AAAAAAAAG00/rS-PeFkFuJsKnyt3ksh3ANlZpoxPbQl_gCLcBGAsYHQ/s645/cerclemaxim.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="323" data-original-width="645" height="160" src="https://1.bp.blogspot.com/-PK2qPCqqwYQ/YVLz9BmOWUI/AAAAAAAAG00/rS-PeFkFuJsKnyt3ksh3ANlZpoxPbQl_gCLcBGAsYHQ/w320-h160/cerclemaxim.png" width="320" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">El segment AB està sobre una circumferència màxima (equivalent a la recta del pla euclidi)</td></tr></tbody></table><br />Aquí tenim un problema de nomenclatura. Si tenim circumferències màximes i menors a què anomenem "segment". Una opció pràctica és que diem <i>geodèsica</i> quan parlem dels segments de les circumferències màximes. De fet, són amb les que treballarem més. Però, posats a introduir vocabulari podem ser més precisos. Una geodèsica és, en general, las trajectòria més curta entre dos punts en qualsevol superfície. En el cas concret de les esferes a aquesta línia s'anomena <i>ortodròmica</i>. Tot i així, un cop fetes aquestes apreciacions i acotat que entenem per "segment" en la geometria esfèrica, sempre serà més còmode i familiar anomenar-los així.<div><b style="color: #990000; font-size: large;"> </b></div><div><b style="color: #990000; font-size: large;">1a tasca: Comparem els postulats de la geometria plana.</b></div><div><br /></div><div>Podem començar a mirar a l'aula, un a un, si els cinc postulats del llibre I dels<i> Elements</i> d'Euclides s'acompleixen també a la geometria de l'esfera. I, si no és així, intentarem modificar-los.<br /><div><br /></div><div><ul style="text-align: left;"><li><b><span style="color: #990000;">Primer postulat</span></b></li></ul></div><div><div>El primer postulat del llibre I dels <i>Elements</i> diu:</div><div><br /></div><div style="text-align: center;"><b>Per dos punts diferents només hi passa una recta.</b></div></div><div style="text-align: center;"><br /></div><div style="text-align: left;">Demanarem al nostre alumnat que adaptin al vocabulari "esfèric" aquest postulat i que estudiï si s'acompleix o no. Una adaptació possible seria:</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: center;"><b>Per dos punts diferents només hi passa una circumferència màxima.</b></div><div><br /></div><div>Però, és sempre cert? Mirem un exemple ben conegut: pels pols de la Terra passen infinits meridians. El que tenen d'especial els pols és que son dos punts <i>antipodals</i>, estan en els extrems d'un diàmetre de l'esfera. Aquests punts antipodals també solen ser anomenats com <i>polars</i>.</div><div><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-xbE6bwODcdY/YVM9Lo6weuI/AAAAAAAAG1E/s_UvRIWXzAkBMFFwUVixaUnSrzUZrDFUACLcBGAsYHQ/s398/meridians.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="398" data-original-width="394" height="320" src="https://1.bp.blogspot.com/-xbE6bwODcdY/YVM9Lo6weuI/AAAAAAAAG1E/s_UvRIWXzAkBMFFwUVixaUnSrzUZrDFUACLcBGAsYHQ/s320/meridians.png" width="317" /></a></div><div style="text-align: center;"><br /></div><div>Això ens portarà a veure que aquest primer postulat no s'acompleix igual que al pla euclidià (i serà la primera prova de que estem en una geometria diferent). Direm que no hi ha <i>unicitat</i>, si més no, que només és parcial. Una reformulació més completa (i que s'ha de demanar a l'alumnat que la faci ell) seria.</div><div><br /></div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: center;"><b>Per dos punts que no son antipodals només hi passa una circumferència màxima. Si ho son hi passen infinites.</b></div><div style="text-align: center;"><br /></div><div style="text-align: left;"><div style="text-align: left;"><ul><li><b><span style="color: #990000;">Segon postulat</span></b></li></ul></div><div style="text-align: left;">Aquest postulat d'Euclides diu que:</div><div><br /></div><div style="text-align: center;"><b>Un segment rectilini pot ser allargat sempre</b>.</div></div><div><div><br /></div><div>També el podem presentar d'una forma més planera:</div><div><br /></div><div style="text-align: center;"><b>Les rectes són infinitament llargues.</b></div><div><br /></div><div>Què podem dir dels nostres segments geodèsics, de les nostres ortodròmiques? Que també... o que no! Per a dir que "també" podem raonar d'aquesta manera: si tenim un segment AB seguirem la circumferència màxima a partir d'A. arribarem a B continuarem i donarem la volta tornant a A, i continuarem fins a B, i fins a A... indefinidament. Per a justificar que el postulat no s'acompleix argumentarem que quan arribem de nou a l'inici (A), quan hem fet una volta, ja no podem continuar sobreescrivint. Una bona discussió per a l'aula i que pot donar a dues redaccions adaptatives diferents del postulat. Una que aniria cap a la <i>unicitat</i>, en aquest postulat, entre les dues geometries i una que divergiria. Una possible formulació divergent seria.</div><div><br /></div><div><br /></div><div style="text-align: center;"><b>Un segment geodèsic es pot allargar fins a una longitud màxima que coincideix amb la de la seva circumferència màxima.</b></div><div><br /></div><div>Un plantejament com aquest ens obliga a pensar en com mesurar una longitud, una <i>distància</i>. Una altra possible debat a obrir a l'aula. Per exemple, de forma general, podem mesurar les distàncies còmodament utilitzant només els graus. Per exemple, un segment geodèsics de 5º 24' tindrà sempre la mateixa longitud en qualsevol lloc d'una mateixa esfera. Si volem saber la distància en altres unitats, per exemple en metres, en la esfera concreta sobre la que treballarem, per exemple el nostre planeta, només haurem d'incorporar el radi i escriure una senzilla fórmula.</div><div><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-KtkuCFcP-yY/YVNEfepogRI/AAAAAAAAG1M/y4FNGsAV4y8WiPXhIt1RwYRQI0lh0kUugCLcBGAsYHQ/s205/formula%2Bdistancia%2Besferica.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="63" data-original-width="205" height="63" src="https://1.bp.blogspot.com/-KtkuCFcP-yY/YVNEfepogRI/AAAAAAAAG1M/y4FNGsAV4y8WiPXhIt1RwYRQI0lh0kUugCLcBGAsYHQ/s0/formula%2Bdistancia%2Besferica.png" width="205" /></a></div><br /><div style="text-align: left;">Un altre argument per a optar per l'incompliment del segon postulat d'Euclides, és que aquest també es podria formular dient que "la distància entre dos punts pot ser infinita" i, en el cas de la geometria esfèrica no és així.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;">Sobre aquest tema de les distàncies hi tornarem més tard.</div><div><br /></div><div><div><ul><li><b><span style="color: #990000;">Tercer postulat</span></b></li></ul></div><div>La versió d'Euclides diu: </div></div><div><br /></div><div style="text-align: center;"><div><b>Hi ha una sola circumferència amb un centre i un radi donats.</b></div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;">La idea de "radi" ens fa tornar a la necessitat de parlar de "distància". Si no ho hem resolt abans a l'aula, ara és el moment. És una situació relativament fàcil d'imaginar. Per exemple si estem al mig del mar, quan no veiem la costa, la línia de l'horitzó és circular. Hem de diferenciar, però, aquestes circumferències, que son menors, de les màximes, que serien equivalents a les rectes euclidianes.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-rdW3KzDHR1Q/YVSIFy7XR7I/AAAAAAAAG1U/pNMNKnk7_9cE3Hmg9cpp5r2bOjbtEReqACLcBGAsYHQ/s413/circumferencies.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="410" data-original-width="413" height="199" src="https://1.bp.blogspot.com/-rdW3KzDHR1Q/YVSIFy7XR7I/AAAAAAAAG1U/pNMNKnk7_9cE3Hmg9cpp5r2bOjbtEReqACLcBGAsYHQ/w200-h199/circumferencies.png" width="200" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Tres circumferències (menors). Dues de concèntriques (com els paral·lels de la Terra)</td></tr></tbody></table><div style="text-align: left;"><br /></div></div><div>Podem acordar, doncs, que aquest postulat té unicitat amb la geometria euclidiana.</div><div><br /></div><div><ul><li><b><span style="color: #990000;">Quart postulat</span></b></li></ul></div><div style="text-align: center;"><b>Tots els angles rectes són iguals entre sí.</b></div><div style="text-align: center;"><br /></div><div style="text-align: left;">A la geometria de l'esfera no hem definit que és un angle. Podem discutir el tema a l'aula. Intuïtivament podem adaptar força bé el concepte que tenim d'ell en el pla. Si volem ser precisos hem de parlar de plans de secció i tangències. Una idea entenedora seria pensar en l'angle que formen els plans de secció de les circumferències màximes.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-CPUJbuX8DpA/YVSQZR0KVpI/AAAAAAAAG1c/PZ3ZVjn_PEswI5kNxmJKH5vvXVSRcgLcwCLcBGAsYHQ/s387/angle%2Besferic.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="385" data-original-width="387" height="199" src="https://1.bp.blogspot.com/-CPUJbuX8DpA/YVSQZR0KVpI/AAAAAAAAG1c/PZ3ZVjn_PEswI5kNxmJKH5vvXVSRcgLcwCLcBGAsYHQ/w200-h199/angle%2Besferic.png" width="200" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Podeu manipular l'<a href="https://www.geogebra.org/m/KNV6xRDj#material/yBzef36j" target="_blank">applet fet amb GeoGebra</a> per Steve Phelps</td></tr></tbody></table><br /><div style="text-align: center;"><br /></div><div style="text-align: left;">Hi ha una diferència amb la geometria euclidiana. Quan creuem dues rectes es formen quatre regions angulars (iguals dos a dos) però que no són "tancades", no formen cap polígon. Quan es creuen dues circumferències màximes es fan quatre regions també, iguals angularment dos a dos també, però que són tancades. Per tant, tenim uns polígons esfèrics especials que podem anomenar "biangles" o "lúnules esfèriques" (semblants als grills d'una taronja). Aquests <i>biangles</i> poden ser perfectament de 90º i iguals entre sí. Per tant el postulat continuarà sent vàlid.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-qolUqt8JIbA/YVSSFlaHMLI/AAAAAAAAG1k/tRFDZMxZBcYasSQSm1XATlcATPD1J3MHACLcBGAsYHQ/s480/480px-Regular_digon_in_spherical_geometry-2.svg.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="480" data-original-width="480" height="200" src="https://1.bp.blogspot.com/-qolUqt8JIbA/YVSSFlaHMLI/AAAAAAAAG1k/tRFDZMxZBcYasSQSm1XATlcATPD1J3MHACLcBGAsYHQ/w200-h200/480px-Regular_digon_in_spherical_geometry-2.svg.png" width="200" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Biangle o lúnula esfèrica</td></tr></tbody></table><br /></div><div>També podem fer una altra petita comparació entre la geometria plana i l'esfèrica relacionada amb aquest postulat:</div><div><ul style="text-align: left;"><ul><li>Al pla dues perpendiculars generem quatre angles rectes.</li><li>A l'esfera dues circumferències màximes perpendiculars generen vuit angles rectes.</li></ul></ul><div style="text-align: center;"><br /></div><div style="text-align: left;"><div><ul><li><b><span style="color: #990000;">Cinquè postulat</span></b></li></ul></div><div>Hem arribat al postulat clau. En la versió original dels<i> Elements</i> s'enuncia així:</div><div><br /></div></div></div></div><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><div><div><div style="text-align: left;"><div style="text-align: left;">Si una recta secant talla a dues rectes formant a un costat angles interiors, la suma dels quals sigui menor que dos angles rectes; les dues rectes, suficientment allargades es tallaran en el mateix costat.</div></div></div></div></blockquote><p>Podem veure que no és gaire entenedor. Al segle XVIII el matemàtic <a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/John_Playfair" target="_blank">John Playfair</a> el va reformular en la forma que el presentem habitualment ara.</p><p style="text-align: center;"><b>Per un punt exterior a una recta només hi passa una paral·lela.</b></p><div><div style="text-align: left;">És el moment de demanar a l'aula la següent qüestió:</div><div><br /></div></div><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><div><div style="text-align: left;">Si tenim un punt exterior a una circumferència màxima (<i>c</i>), podem dibuixar una circumferència màxima que passi per P i no talli <i>c</i>?</div></div></blockquote><div><div><br /><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-qJJr67ljyA4/YVL4rTaUp5I/AAAAAAAAG08/DOK0rblmVrkc9aYwz6gML6Tr10hGMP2BgCLcBGAsYHQ/s407/pregunta%2Besferica%2Bparallela.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="407" data-original-width="406" height="200" src="https://1.bp.blogspot.com/-qJJr67ljyA4/YVL4rTaUp5I/AAAAAAAAG08/DOK0rblmVrkc9aYwz6gML6Tr10hGMP2BgCLcBGAsYHQ/w200-h200/pregunta%2Besferica%2Bparallela.png" width="200" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Podeu experimentar amb l'<a href="https://www.geogebra.org/m/j4yqa9jd" target="_blank">applet de GeoGebra</a> d'Heather Pierce</td></tr></tbody></table><br /><p style="text-align: left;">Aquí serà un moment clau per veure si l'alumnat ha entès la diferència entre les circumferències màximes (equivalents a les rectes al pla) i les circumferències menors. Ens podem trobar que dibuixin circumferències paral·leles com els paral·lels de la Terra o amb una inclinació que no arribi a tallar a <i>c</i>.</p><p style="text-align: left;">El que veurem, i cal fer-ho observar, és que "dues circumferències màximes sempre es creuen en dos punts". D'això podem inferir que "totes les circumferències màximes son secants". I, dit d'una altra manera:</p><p style="text-align: center;"><b>Per un punt exterior a una recta no hi passa cap paral·lela</b></p><p style="text-align: left;">És un postulat de la geometria plana que no s'acompleix i sense cap mena de matisació. L'hem d'enunciar obligatòriament, d'una altra manera.</p><div><b style="color: #990000; font-size: large;"><br /></b></div><div><b style="color: #990000; font-size: large;">2a tasca: El problema de la distància i la navegació a la Terra.</b></div><div><br /></div><div>Ja hem dit abans que tornaríem al tema de la distància. Pensem en una activitat a l'aula com aquesta. Donem a un grup d'alumnes un cordill i un globus terraqüi, el més gran que tinguem. Millor si té detalls amb noms de països, ciutats o llocs com deserts, muntanyes, rius... A un altre grup li donem també un cordill i un mapa del món, millor si és una <a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Projecci%C3%B3_de_Mercator" target="_blank">projecció de Mercator</a>, El cordill ens servirà per a trobar les distàncies més curtes tensant-lo entre dos punts, ja sigui al globus o al mapa. A continuació els hi demanem que, sense que es vegin entre ells, trobin la ruta més curta entre dos punts de la Terra i ens escriguin alguns dels noms, trobats al globus o al mapa, pels que passa la seva ruta. Per exemple entre Barcelona i Vladivostok. Quan comparin la llista de noms trobarem, amb sorpresa, que els llocs escrits no seran coincidents. Les línies obtingudes seran com aquestes.</div></div></div><div><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-CLSPG91rjCs/YVrNTjROfAI/AAAAAAAAG10/7zZnFcXPaqIEDBFjo0Jm60IB6utZTV-8ACLcBGAsYHQ/s720/bcn_vladi.jpg" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="308" data-original-width="720" height="274" src="https://1.bp.blogspot.com/-CLSPG91rjCs/YVrNTjROfAI/AAAAAAAAG10/7zZnFcXPaqIEDBFjo0Jm60IB6utZTV-8ACLcBGAsYHQ/w640-h274/bcn_vladi.jpg" width="640" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Sobre el globus no es passa per la Mediterrània ni pel Caspi</td></tr></tbody></table><br /><div style="text-align: left;">Aquí tocarà discutir: si les rutes són diferents, quina és la més curta?. Només caldrà comparar les longituds de les distàncies a les corbes. A la realitat la distància aproximada sobre el mapa és d'uns 10800 km, mentre que la del globus és d'un 9400 km. Podeu "jugar" amb altres punts del globus en aquest <a href="https://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/RefTerre/Orthodromie1.php" target="_blank">web</a>.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;">Un pas molt curiós és pintar sobre el globus i sobre el mapa les dues rutes. Aquestes imatges les hem obtingudes amb l'applet del web <i><a href="https://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/RefTerre/Orthodromie1.php" target="_blank">Figures animées pour la physique</a>.</i></div><div style="text-align: left;"><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-D5iP60jyTnE/YVrSbqt43xI/AAAAAAAAG2A/HBubtL8TF68ZfY2aSBxHnXbbr5jGbaUqwCLcBGAsYHQ/s836/bcn_vd1.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="373" data-original-width="836" height="286" src="https://1.bp.blogspot.com/-D5iP60jyTnE/YVrSbqt43xI/AAAAAAAAG2A/HBubtL8TF68ZfY2aSBxHnXbbr5jGbaUqwCLcBGAsYHQ/w640-h286/bcn_vd1.png" width="640" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">La ruta construïda al globus en els dos suports,</td></tr></tbody></table><br /><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-sKu_rNo0zoU/YVrSbYuk7LI/AAAAAAAAG18/3MjErz6O-kAZ9f8z8cDzS4s1-oxYCzGaQCLcBGAsYHQ/s827/bcn_vd2.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="355" data-original-width="827" height="274" src="https://1.bp.blogspot.com/-sKu_rNo0zoU/YVrSbYuk7LI/AAAAAAAAG18/3MjErz6O-kAZ9f8z8cDzS4s1-oxYCzGaQCLcBGAsYHQ/w640-h274/bcn_vd2.png" width="640" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">La ruta construïda al pla en els dos suports.</td></tr></tbody></table><br /><div style="text-align: left;">La ruta feta sobre el globus és la que hem anomenat <i>ortodròmica</i> i segueix el cercle màxim entre els dos punts. La que que hem fet sobre el mapa, si és de Mercator, és la <i>loxodròmica</i> que va sobre un cercle menor. El problema de les ortodròmiques és que no són navegables perquè obliguen a canviar el rumb constantment. En canvi les loxodròmiques ho són perquè es pot mantenir un rumb constant (són rectes a un mapa amb projecció de Mercator). En vols o navegacions oceàniques molt llargues el que es fa, normalment, és combinar-les: es marquen diferents punts sobre l'ortodròmica dividint-la en segments i es naveguen les loxodròmiques d'aquests segments.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;"><div><b style="color: #990000; font-size: large;">3a tasca: Estudiem el triangle esfèric.</b></div><div><br /></div><div>En primer llos cal precisar què considerem un triangle esfèric i què no. Els triangles esfèrics estan determinats per tres circumferències màximes. Això implica que els seus costats son tres arcs d'aquestes circumferències, tres geodèsiques. Per exemple, un triangle format per dos arcs de meridià i un arc de paral·lel, que no sigui l'Equador, no serà un pròpiament un triangle esfèric. Això revela que a l'inici hem fet una mica de trampa: el triangle que recorria el nostre os no era, en propietat un triangle esfèric. Imagino que ens acceptareu la llicència perquè ens ha servit com a provocació.</div><div><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-r86Cf7Nt8-k/YV2Xab2dMBI/AAAAAAAAG20/HW3KxDl_f_QnxLHEd_XYYW2VftttH9Z9QCLcBGAsYHQ/s709/triangle_si_no.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="218" data-original-width="709" height="197" src="https://1.bp.blogspot.com/-r86Cf7Nt8-k/YV2Xab2dMBI/AAAAAAAAG20/HW3KxDl_f_QnxLHEd_XYYW2VftttH9Z9QCLcBGAsYHQ/w640-h197/triangle_si_no.png" width="640" /></a></div><br /><div style="text-align: center;"><br /></div><div>Ja que hem iniciat l'activitat descobrint un triangle amb una suma d'angles interiors superior a 180º, potser és un bon moment per a recordar (o veure per primera vegada) que la demostració de que, en el pla, la suma dels angles d'un triangle és de 180º depèn, justament, del postulat de les paral·leles.</div><div><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-JpdY5XHXxeY/YVrY9_M39bI/AAAAAAAAG2M/IiVE_9ewN0Ysjd1EnXoKi6QS1En6RUCRwCLcBGAsYHQ/s426/suma_angles_triangle.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="291" data-original-width="426" height="219" src="https://1.bp.blogspot.com/-JpdY5XHXxeY/YVrY9_M39bI/AAAAAAAAG2M/IiVE_9ewN0Ysjd1EnXoKi6QS1En6RUCRwCLcBGAsYHQ/s320/suma_angles_triangle.png" width="320" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><a href="https://www.geogebra.org/m/VgZAXCXZ" target="_blank">Applet en GeoGebra</a> de Francisco Gómez</td></tr></tbody></table><br /><div style="text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li><b>Suma dels angles interiors</b></li></ul></div><div style="text-align: left;">Tenim alguns applets fets amb GeoGebra que ens permeten experimentar amb els triangles esfèrics. Abans ja hem destacat el de <a href="https://www.geogebra.org/m/j4yqa9jd" target="_blank">Heather Pierce</a>. Ara, per a estudiar la suma dels angles, podem provar també amb el d'<a href="https://www.geogebra.org/m/KNV6xRDj#material/mrQE5pYd" target="_blank">Steve Phelps</a>. Per exemple ens podem demanar:</div><div style="text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><ul><li>Hi ha triangles esfèrics amb una suma d'angles interiors menors o iguals a 180º?</li><li>Ja hem vist, en el problema de l'os, un triangle birectangle. Pot haver un trirectangle?</li><li>Si la suma dels angles interiors pot ser superior (o ha de ser-ho segons la resposta a la primera pregunta), quin és el màxim valor que pot tenir?</li></ul></ul><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-4D-uBamTCbc/YVrl_PpzS7I/AAAAAAAAG2U/tNsmSrOyxSAI5dWxvLAGDKRypuUr8Wc_wCLcBGAsYHQ/s350/traingle%2Bequilater%2Besferic.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="342" data-original-width="350" height="313" src="https://1.bp.blogspot.com/-4D-uBamTCbc/YVrl_PpzS7I/AAAAAAAAG2U/tNsmSrOyxSAI5dWxvLAGDKRypuUr8Wc_wCLcBGAsYHQ/s320/traingle%2Bequilater%2Besferic.png" width="320" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Un triangle esfèric equilàter</td></tr></tbody></table><br /><div style="text-align: left;">Descobrirem que la suma dels tres angles sempre és superior a 180º (π radians) i inferior a 540º (3π radians)</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li><b>Perímetre i àrea</b></li></ul></div><div style="text-align: left;">Ara podem fer una pregunta sobre el perímetre (o sobre l'àrea). La superfície del pla euclidià és infinita i els triangles poden assolir mesures "pràcticament" il·limitades. La superfície d'una esfera és finita. </div><div style="text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li>Poden ser il·limitadament grans els triangles esfèrics?</li><li>Si és que no, quin serà el perímetre màxim i l'àrea màxima que poden tenir?</li></ul>Aquesta qüestió està directament relacionada amb un problema que apareix al capítol "Preguntes ridícules" del llibre <i>Festival mágico-matemático</i> de Martin Gardner:</div><div style="text-align: left;"><br /></div></div></div><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><div style="text-align: left;"><div style="text-align: left;"><div style="text-align: left;">"S'agafen a l'atzar tres punts sobre la superfície d'una esfera. Quina és la probabilitat de que tots tres punts es trobin sobre un mateix hemisferi? Es suposa que el cercle màxim que voreja l'hemisferi pertany a ell."</div></div></div></blockquote><p>La resposta del mateix Gardner és la següent:</p><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><p style="text-align: left;">"La probabilitat és 1, perquè el succés és segur. Qualssevol tres punts situats sobre una esfera jeuen a un mateix hemisferi".</p></blockquote><p>Vist així veurem que l'àrea màxima d'un triangle serà la d'una semiesfera i el perímetre més gran serà el d'una circumferència màxima: 2π<i>r</i>. I en tots dos casos sense arribar-hi mai. Una idea força intuïtiva de <i>límit</i>.</p><p></p><ul style="text-align: left;"><li><b>Càlcul de l'àrea</b></li></ul>És difícil descobrir directament la fórmula de l'àrea del triangle esfèric. El que és molt sorprenent és que es pot calcular a partir de la suma dels angles interiors i de l'excés sobre el triangle euclidià. I ho podem descobrir experimentant una mica sobre un applet fet amb GeoGebra. Però per descobrir-ho és millor treballar amb radians en comptes de fer-ho en graus. Caldrà preparar-ho a l'aula si no s'han vist mai els radian. Recordem que 180º és igual a π radians.<p></p><p>Us convidem a practicar una mica amb aquest applet on teniu la suma dels angles interiors, l'excés angular i l'àrea en unitats quadrades. Podeu canviar el radi. Un consell és començar treballant amb radi 1. Un altre consell és recordar que GeoGebra fa alguns arrodoniments.</p><p style="text-align: center;"><iframe height="750px" scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/ygsbqcgq/width/626/height/750/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" style="border: 0px;" title="Àrea del triangle esfèric" width="626px"> </iframe><br />Adaptació d'una <a href="https://www.geogebra.org/m/MB5pThaQ#material/AURxPnkS" target="_blank">construcció original</a> de José Manuel Arranz. <a href="https://www.geogebra.org/m/nek3azuk" target="_blank">Enllaç</a> a aquesta variació.</p><p style="text-align: left;">Potser haureu descobert que l'àrea depèn del radi de l'esfera, força previsible, i, de forma molt més sorprenent, de l'excés angular. Es pot calcular amb la següent fórmula:</p><p style="text-align: center;"><span style="font-size: large;">Àrea = (α+β+γ-π)·r<sup>2</sup></span></p><p style="text-align: left;">De forma resumida: l'àrea es calcula multiplicant l'excés angular pel quadrat del radi.</p><p style="text-align: left;">Hem proposat l'exploració en radians perquè és molt més fàcil descobrir la relació Treballant amb graus queda una mica més amagada perquè hem d'incorporar <span style="text-align: center;">π</span> i, el que juga, és la proporció entre l'excés angular i el 180º Pot ser interessant donar a conèixer la fórmula adaptada a la mesura angular en graus.</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-FG08BWq7VHc/YV3NXs17uDI/AAAAAAAAG28/meP7KqXdqx8zmXvq5Qge7QoD6znvF9NqQCLcBGAsYHQ/s328/formula%2Barea%2Btriangle.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="67" data-original-width="328" height="65" src="https://1.bp.blogspot.com/-FG08BWq7VHc/YV3NXs17uDI/AAAAAAAAG28/meP7KqXdqx8zmXvq5Qge7QoD6znvF9NqQCLcBGAsYHQ/s320/formula%2Barea%2Btriangle.png" width="320" /></a></div><p style="text-align: left;"></p><ul style="text-align: left;"><li><b>Semblança de triangles</b></li></ul>Si ens hem fixat que l'àrea d'un triangle esfèric depèn del seus angles, podem inferir una altra propietat sorprenent respecte a la geometria plana: no hi ha triangles semblants. Sobre una mateixa esfera, tots els triangles que tinguin les mateixes mesures angulars, tindran la mateixa forma (com a la geometria plana), però també la mateixa mida!<p></p><div><ul style="text-align: left;"><li><b>Teorema de Pitàgores</b></li></ul>S'acomplirà la mateixa relació que al pla o no? Si no s'acompleix serà la suma dels quadrats dels catets superior o inferior al quadrat de la hipotenusa? Una manera possible de mirar-ho és utilitzant algun applet de GeoGebra. Descobrirem que la suma dels quadrats dels catets és superior al quadrat de la hipotenusa.</div><div><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-5B678Vj7ebc/YW6VPexOsmI/AAAAAAAAG50/vJ8OOIslefs5nG-srzD1TTT5WhrkCev3wCLcBGAsYHQ/s454/pitagores%2Besferic.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="454" data-original-width="372" src="https://1.bp.blogspot.com/-5B678Vj7ebc/YW6VPexOsmI/AAAAAAAAG50/vJ8OOIslefs5nG-srzD1TTT5WhrkCev3wCLcBGAsYHQ/s16000/pitagores%2Besferic.gif" /></a></div><br /><div style="text-align: center;"><br /></div><div><div><span style="color: #990000; font-size: medium;"><b>Fem un quadrat</b></span></div></div><div><span style="color: #990000; font-size: medium;"><b><br /></b></span></div><div>Com serà un quadrat en un superfície esfèrica? El més lògic és que prenem la idea de que el quadrat és el quadrilàter regular i que, com a característiques, tindrà els quatre costats iguals i els quatre angles també. Aquests angles seran sempre superiors a 90º i inferiors a 180º.</div><div><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-MZkWybRwDE0/YVtwrn7gJuI/AAAAAAAAG2c/Hvr-GdjWqus3GOm_yZ4ENcRt0eRlLX5gACLcBGAsYHQ/s413/quadrat_esferic.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="413" data-original-width="409" height="320" src="https://1.bp.blogspot.com/-MZkWybRwDE0/YVtwrn7gJuI/AAAAAAAAG2c/Hvr-GdjWqus3GOm_yZ4ENcRt0eRlLX5gACLcBGAsYHQ/s320/quadrat_esferic.png" width="317" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Amb aquest <a href="https://www.geogebra.org/m/j4yqa9jd" target="_blank">applet de GeoGebra</a> podeu construir quadrats directament,<br /> però us convidem a dibuixar-ne un vosaltres mateixos/es pas a pas.</td></tr></tbody></table><div style="text-align: center;"><br /></div><div><br /></div><div><div><b style="color: #990000; font-size: large;">I a l'aula?</b></div><div><br /></div><div>Si heu arribat fins aquí, segur que us heu anat imaginant les possibilitats i, no ens amaguem, les dificultats, de portar aquestes tasques a l'aula. Sempre partim de la idea de la redefinició i la descoberta per part de l'alumnat, però està clar que ens caldrà anar intervenint, tant per a guiar, com per a formalitzar en determinats moments. L'alumnat més interessat podrà anar ampliant alguns dels aspectes tractats i anar molt més enllà. Fem, però, algunes observacions més a tot el que s'ha dit fins ara.</div></div><div><ul style="text-align: left;"><li>La geometria esfèrica és un cas particular d'una geometria més general: l'el·líptica. Aquesta geometria s'aplica a un el·lipsoide i l'esfera és un dels tres tipus bàsics d'el·lipsoides existents. Perquè és millor treballar l'esfera? Perquè podem utilitzar materials: pilotes o boles de porexpan, cordes per fer segments, podem dibuixar sobre les esferes, etc. Convé, també, treballar de forma combinada amb alguns dels <i>applets </i>com els que he recomanat perquè ens permeten fer mesures que, d'altre manera serien complicades, per exemple les angulars. Recomanem especialment el de la <a href="https://www.geogebra.org/u/professor.h.pierce" target="_blank">Heather Pierce</a> perquè és una mena de "GeoGebra esfèric.</li><li>La qüestió de les ortodròmiques i loxodròmiques obre tot un camp d'ampliació: el de la impossibilitat de fer mapes plans perfectes per a representar la Terra. No podem conservar mides i formes a la vegada. HI ha materials específics per a treballar aquestes qüestions. Per exemple el dossier <i><a href="https://fespm.es/index.php/2019/01/28/mapas-mapas-mapas/" target="_blank">Mapas, mapas, mapas</a> </i>que va preparar Raúl Ibáñez per al Dia de les Matemàtiques de l'any 2019. En Raúl Ibáñez és autor també del llibre divulgatiu <i>El sueño del mapa perfecto</i>. Però, si hem de destacar un recurs en especial, és el mòdul del <a href="https://mmaca.cat/" target="_blank">MMACA</a> creat per Daniel Ramos "L'esfera de la Terra". Al web del museu podeu trobar materials per a l'aula i una aplicació web (<a href="https://mappaemundi.campus.ciencias.ulisboa.pt/desktop/index.html#" target="_blank">Mappae Mundi</a>) que ens permet veure les distorsions que produeix cada tipus de projecció (si manté les distàncies, si manté la forma) i dibuixar i mesurar ortodròmiques, aquí anomenades geodèsiques, i loxodròmiques.</li></ul><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-YGrPYjbv3Xk/YVv0fG4mYFI/AAAAAAAAG2k/tMOjhZG6LLk9jLKeYYeHYeBUH0AigxS1gCLcBGAsYHQ/s557/mapes_mmaca.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="485" data-original-width="557" src="https://1.bp.blogspot.com/-YGrPYjbv3Xk/YVv0fG4mYFI/AAAAAAAAG2k/tMOjhZG6LLk9jLKeYYeHYeBUH0AigxS1gCLcBGAsYHQ/s16000/mapes_mmaca.jpg" /></a></div><br /></div><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><div><div style="text-align: left;">En aquest <a href="https://www.geogebra.org/m/Gh58sVPx" target="_blank">enllaç</a> hi ha una construcció dinàmica amb GeoGebra de Tim Brzezinski molt il·lustrativa sobre la diferència de longitud entre l'ortodròmica i la loxodròmica.</div></div></blockquote><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><p style="text-align: left;">Tenim per visitar també el web <a href="https://www.greatcirclemapper.net/en/great-circle-mapper.html?route=LEBL-UHWW&aircraft=617&speed=">Great Circle Mapper</a> que ens calcula i dibuixa rutes aèries entre diferents aeroports del món.</p></blockquote><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><p style="text-align: left;">I, per acabar aquest apartat terraqüi tenim el conjunt d'activitats creades per Rafael Losada pel Projecte Gauss: "<a href="http://agrega.educacion.es/repositorio/10062011/41/es_2011061013_9111326/La_Tierra_en_7_dias_(Geo-Geogebra)/index.html" target="_blank">La Tierra en siete días. Geo-GeoGebra</a>".</p></blockquote><p style="text-align: center;"></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-0hlOTCpjA-M/YVv6tYjZirI/AAAAAAAAG2s/ccunuqquEEs-1CMpVrFnWpJJLMgmVC3zgCLcBGAsYHQ/s771/terra_7_dies.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="416" data-original-width="771" height="216" src="https://1.bp.blogspot.com/-0hlOTCpjA-M/YVv6tYjZirI/AAAAAAAAG2s/ccunuqquEEs-1CMpVrFnWpJJLMgmVC3zgCLcBGAsYHQ/w400-h216/terra_7_dies.png" width="400" /></a></div><p style="text-align: left;"></p><ul style="text-align: left;"><li>Sobre el càlcul de distàncies a la Terra coneixent les coordenades geogràfiques dels dos punts extrems hi ha un article d'aquest blog que ho va treballar: "<a href="http://calaix2.blogspot.com/2015/02/el-rius-el-nombre-i-distancies-al.html" target="_blank">El rius, el nombre π i distàncies al planeta</a>". Però també podeu mirar aquest vídeoMAT premiat al 2018 fet per alumnes de l'IES Mare Nostrum d'Alacant: <i>Podem calcular distàncies aproximant tant com Google Maps?</i></li></ul><i><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><iframe allowfullscreen="" class="BLOG_video_class" height="266" src="https://www.youtube.com/embed/6i2QADEGBek" width="320" youtube-src-id="6i2QADEGBek"></iframe></div></i><ul style="text-align: left;"><li>Les qüestions plantejades sobre els triangles es poden destriar. No cal fer-les totes. Convindria treballar en un ambient exploratiu i fer tot un joc de conjecturar, comprovar i argumentar. També podem combinar això amb cerques de documentació a internet. Aquestes cerques obriran, de ben segur, camps nous: altres polígons esfèrics, tessel·lacions... Tot un món per a investigar!</li><li>No hem comentat res sobre edats. Si està implicat, l'alumnat pot fer molt més del que li pertocaria per edat. De vegades no s'assolirà un coneixement profund però sí un de genèric que també pot ser d'interès. L'activitat de les distàncies a la Terra, amb el mapa i el globus terraqüi, s'ha fet al Cicle Superior de primària. El problema inicial també es pot plantejar des d'aquestes edats. També dependrà de si donem suport físic, amb materials, a les exploracions. Però per tractar qüestions com les dels postulats millor esperar a l'ESO. Potser a partir de 3r. Tot i així hi ha qüestions que es poden anar plantejant de mica en mica, curs a curs, i així podem començar abans. Si a 1r d'ESO fem la demostració de la suma dels angles del triangle (que és una de les demostracions que el nostre alumnat ha de conèixer, perquè no plantejar el problema de l'os i començar a parlar-ne?</li><li>No cal dir que una de les ampliacions bàsiques és la història de les geometries esfèrica i el·líptica. L'aparició de les geometries no euclidianes és una de les fites més importants de la història de les matemàtiques. A Grècia ja es va estudiar la geometria esfèrica, sense tractar-la com una geometria no euclidiana. Viure en el nostre planeta, molt probablement ho va fer necessari. Però quin paper van jugar molt més tard Euler o Riemann?</li></ul><p></p><div style="text-align: left;"><b style="color: #990000; font-size: large;"><br /></b></div><div style="text-align: left;"><b style="color: #990000; font-size: large;">Un avís</b></div><p></p><div>Està previst fer alguns articles més sobre geometries no euclidianes.</div>Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7448640108700542412.post-58251768730555116372021-09-23T14:23:00.007+02:002021-09-23T18:10:49.616+02:00Hidrocarburs i matemàtiques<p> Al llibre de Brian Bolt <i>Más actividades matemáticas</i> (Labor, 1988) apareix aquesta interessant activitat que relaciona la química orgànica amb l'àlgebra, la combinatòria i, especialment, amb la topologia. El guió de l'activitat presentat per Bolt és magnífic i, donat que el llibre és introbable (si més no en castellà), em permetré no modificar-lo gaire.</p><p>Per no estendre'ns en les explicacions químiques, ens limitarem a posar-nos en context dient que els hidrocarburs són compostos amb molècules formades, exclusivament, per àtoms de carboni (C) i hidrogen (H). Hi ha gasosos (com el metà, l'età, el propà o el butà), líquids (com l'octà, un dels principals components de la benzina) i sòlids, com és el cas de moltes ceres, per exemple la parafina. Per la natura atòmica del carboni podem considerar, amb expressió del propi Bolt, que aquest té quatre braços per unir-se, donant-se la mà, amb altres àtoms (de C o d'H). L'hidrogen només en té un.</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/--qb5mPdtJbg/YUmhCGNJjKI/AAAAAAAAGxs/TGSBDfVkn7ApEU29DSlH3eIpAQeIaj9igCLcBGAsYHQ/s193/atoms.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="121" data-original-width="193" height="121" src="https://1.bp.blogspot.com/--qb5mPdtJbg/YUmhCGNJjKI/AAAAAAAAGxs/TGSBDfVkn7ApEU29DSlH3eIpAQeIaj9igCLcBGAsYHQ/s0/atoms.png" width="193" /></a></div>Les molècules dels hidrocarburs es formen unint aquest àtoms pels seus braços, tal com dèiem abans, com si es donessin la mà, i de forma que no quedin braços lliures. Si als àtoms de carboni li en queden es "donaran la mà" amb àtoms d'hidrogen. Els àtoms de carboni es poden unir entre ells compartint diferents quantitats de braços: un, dos, tres o tots quatre. A continuació teniu un exemple en la seva representació clàssica i, el mateix compost, amb un dels tipus d'esquemes que utilitzarem al llarg de l'activitat.<div><br /><div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-oVucJojy_EY/YUmkGqDjw2I/AAAAAAAAGx0/4cNaOn7BuT4Rk_NS8lPVSdMNqlbv_feAgCLcBGAsYHQ/s531/benze.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="309" data-original-width="531" height="186" src="https://1.bp.blogspot.com/-oVucJojy_EY/YUmkGqDjw2I/AAAAAAAAGx0/4cNaOn7BuT4Rk_NS8lPVSdMNqlbv_feAgCLcBGAsYHQ/s320/benze.png" width="320" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Benzè (C<sub style="background-color: white; color: #202122; font-family: sans-serif; line-height: 1em; text-align: start;">6</sub><span face="sans-serif" style="background-color: white; color: #202122; font-size: 14px; text-align: start;">H</span><sub style="background-color: white; color: #202122; font-family: sans-serif; line-height: 1em; text-align: start;">6</sub>)</td></tr></tbody></table><br /></div><div>Entre els hidrocarburs tenim els que formen cadenes: els <i>alcans</i>, amb tots els enllaços senzills, els <i>alquens</i>, amb algun o alguns enllaços dobles, i els <i>alquins</i>, que tenen, com a mínim, un enllaç triple. També poden tenir formes cícliques, com és el cas del benzè de la imatge anterior. A continuació teniu en exemple de cadenes amb només enllaços simples, dobles i triples.<br /><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-eIn9u3b8DMc/YUmpq-7rrBI/AAAAAAAAGx8/uxQ96_cFxOwwCubAJstMt3_ZFPbqfIN3QCLcBGAsYHQ/s645/exemples_alcans_alquens_alquins.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="186" data-original-width="645" src="https://1.bp.blogspot.com/-eIn9u3b8DMc/YUmpq-7rrBI/AAAAAAAAGx8/uxQ96_cFxOwwCubAJstMt3_ZFPbqfIN3QCLcBGAsYHQ/s16000/exemples_alcans_alquens_alquins.png" /></a></div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;">En general, en química orgànica, no tenim prou amb la fórmula que ens indica la quantitat d'àtoms, de cada element, que formen la molècula. L'estructura té importància i, per a una mateixa fórmula, podem tenir diferents estructures, amb compostos que tindran propietats diferents. Per exemple, d'una de les fórmules anteriors, <span style="color: black;"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Carboni" style="background: none rgb(255, 255, 255); font-family: sans-serif; font-size: 14px; text-decoration-line: none;" title="Carboni">C</a><sub style="background-color: white; font-family: sans-serif; line-height: 1em;">4</sub><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Hidrogen" style="background: none rgb(255, 255, 255); font-family: sans-serif; font-size: 14px; text-decoration-line: none;" title="Hidrogen">H</a><sub style="background-color: white; font-family: sans-serif; line-height: 1em;">6</sub></span>, podem trobar una estructura alternativa amb un enllaç triple.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-BZrUTs14hSs/YUmuJ0Q5HQI/AAAAAAAAGyE/MazoCa-SKHkintJfRlm-ugZTdOa31jKPQCLcBGAsYHQ/s486/c4h6.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="167" data-original-width="486" src="https://1.bp.blogspot.com/-BZrUTs14hSs/YUmuJ0Q5HQI/AAAAAAAAGyE/MazoCa-SKHkintJfRlm-ugZTdOa31jKPQCLcBGAsYHQ/s16000/c4h6.png" /></a></div><br /><div style="text-align: left;">Per acabar aquesta introducció, només ens cal avisar de que hem d'estar atents a la topologia de l'estructura, perquè, de vegades, estructures que ens poden semblar diferents són equivalents només que apliquem petites transformacions.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-5OJs3sxrn0I/YUtNMxOPHcI/AAAAAAAAGz8/7-kWcQgKWlIZIjca74mE9aX_5u6R6nL6ACLcBGAsYHQ/s519/transformacio.gif" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="298" data-original-width="519" src="https://1.bp.blogspot.com/-5OJs3sxrn0I/YUtNMxOPHcI/AAAAAAAAGz8/7-kWcQgKWlIZIjca74mE9aX_5u6R6nL6ACLcBGAsYHQ/s16000/transformacio.gif" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Dues molècules equivalents topològicament</td></tr></tbody></table><br /><div style="text-align: center;"><br /></div>Ara ja tenim les regles establertes. Comencem, doncs, el joc matemàtic.</div></div><div><br /></div><div><span style="color: #660000; font-size: medium;"><b><br /></b></span></div><div><span style="color: #660000; font-size: medium;"><b>T'animes a continuar llegint sobre l'activitat?</b></span></div><span><a name='more'></a></span><div> Trobareu les solucions de totes les qüestions plantejades a la part final de l'article.</div><div><ul style="text-align: left;"><li><b><span style="color: #660000;">Una mica d'àlgebra</span></b></li></ul></div><div><br /></div><div>Els <i>alcans</i> (cadenes amb enllaços simples) es formen amb un patró molt clar. </div><div><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-mfOovXaj0q8/YUn9oVfHctI/AAAAAAAAGyY/iw0axExB8oUc33U2A8j1-P9RxWF0kR7BwCLcBGAsYHQ/s469/alcans.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="161" data-original-width="469" src="https://1.bp.blogspot.com/-mfOovXaj0q8/YUn9oVfHctI/AAAAAAAAGyY/iw0axExB8oUc33U2A8j1-P9RxWF0kR7BwCLcBGAsYHQ/s16000/alcans.png" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><ol style="text-align: left;"><li>Es pot dir quina serà la fórmula d'un <i>alcà</i> no cíclic a partir de la quantitat d'àtoms de carboni que el formen? Com ho podem justificar?</li><li>Quina serà la fórmula general pels <i>alquens </i>no cíclics que tinguin un únic doble enllaç per a <i>n</i> àtoms de carboni? Per què és així la fórmula?</li><li>I pels <i>alquins</i> no cíclics amb un sol enllaç triple? Per què?</li><li>Si voleu podeu estudiar com afecta a les fórmules, restant àtoms d'hidrogen, la presència de cada nou doble enllaç o de cada triple que afegim.</li><li>Investiguem les fórmules dels hidrocarburs cíclics?</li></ol><b><span style="color: #660000;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><span style="color: #660000;"><br /></span></b></div><ul style="text-align: left;"><li><b><span style="color: #660000;">Una mateixa fórmula. Diferents estructures.</span></b></li></ul></span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Els primers exemples que hem posat són cadenes, amb enllaços simples, sense ramificacions. Però, què passa si incorporem aquestes ramificacions? La quantitat mínim d'àtoms de carboni és de quatre. Amb dos o tres només podem formar cadenes. Per exemple. per a la fórmula <span face="sans-serif" style="background-color: white; color: #202122; font-size: 14px;">C</span><sub style="background-color: white; color: #202122; font-family: sans-serif; line-height: 1em;">4</sub><span face="sans-serif" style="background-color: white; color: #202122; font-size: 14px;">H</span><sub style="background-color: white; color: #202122; font-family: sans-serif; line-height: 1em;">10</sub> tenim dues estructures diferents: una lineal i una altra amb una branca.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-rKhJOjp8qQc/YUoGfp0f6bI/AAAAAAAAGyg/2nYgsN4y1hALb983vU00CzjjH3XuUftgACLcBGAsYHQ/s507/butans.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="194" data-original-width="507" src="https://1.bp.blogspot.com/-rKhJOjp8qQc/YUoGfp0f6bI/AAAAAAAAGyg/2nYgsN4y1hALb983vU00CzjjH3XuUftgACLcBGAsYHQ/s16000/butans.png" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><ol style="text-align: left;"><li>Quantes estructures en dadena, només amb enllaços simples i sense fer cicles, pots trobar per a cinc àtoms de carboni (C<sub>5</sub>H<sub>12</sub>)?</li><li>I per a sis (C<sub>6</sub>H<sub>14</sub>)? (Atenció. A partir d'aquí cal vigilar les estructures que semblen diferents i son topològicament equivalents per la forma en què estan connectats els àtoms de carboni)</li><li>I per a set (C<sub>7</sub>H<sub>16</sub>)?</li></ol>Per a aquesta activitat pot ser interessant simplificar una mica els esquemes de les estructures moleculars. Una possibilitat per a estalviar-nos el dibuix dels àtoms d'hidrogen és indicar-los numèricament.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-Jx9sNr06wTo/YUr6KxUrOnI/AAAAAAAAGzo/8XQwZsVrRRIJLVTwBG_ru2tfrB0EqgpQwCLcBGAsYHQ/s304/butans2.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="148" data-original-width="304" height="148" src="https://1.bp.blogspot.com/-Jx9sNr06wTo/YUr6KxUrOnI/AAAAAAAAGzo/8XQwZsVrRRIJLVTwBG_ru2tfrB0EqgpQwCLcBGAsYHQ/s0/butans2.png" width="304" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Les dues molècules anteriors simplificades</td></tr></tbody></table><div style="text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both;"><ul style="text-align: left;"><li><b><span style="color: #660000;">Busquem totes les molècules.</span></b></li></ul></div><div class="separator" style="clear: both;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both;">Si tenim en compte totes les possibilitats de formar molècules, amb dobles i triples enllaços i formes cícliques, podem intentar fer cerques exhaustives. Per exemple, amb dos àtoms de carboni tenim tres molècules possibles. En aquest cas, evidentment, no poden haver-hi cícliques.</div><div class="separator" style="clear: both;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-ZI8sGhLjeRc/YUxtJM5ICTI/AAAAAAAAG0U/7ut3EdHGUqw7l6MxzTfyFqTGIG3kNhP3ACLcBGAsYHQ/s273/2molecules.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="91" data-original-width="273" height="91" src="https://1.bp.blogspot.com/-ZI8sGhLjeRc/YUxtJM5ICTI/AAAAAAAAG0U/7ut3EdHGUqw7l6MxzTfyFqTGIG3kNhP3ACLcBGAsYHQ/s0/2molecules.png" width="273" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div>Quan busquem molècules diferents, hem d'estar atents que sempre quedi la possibilitat de que hi hagi àtoms d'hidrogen. Sinó no tindríem hidrocarburs. Aquí tenim un exemple cíclic amb dobles enllaços, per altra banda inexistent a la realitat, que no deixa espai per hidrògens.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/--8rw4p5eO44/YUr4jQG8xEI/AAAAAAAAGzg/xdJ7OGbUtPwy-E9SnqnY2sephKtF7CjpACLcBGAsYHQ/s106/c3.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="106" data-original-width="104" height="106" src="https://1.bp.blogspot.com/--8rw4p5eO44/YUr4jQG8xEI/AAAAAAAAGzg/xdJ7OGbUtPwy-E9SnqnY2sephKtF7CjpACLcBGAsYHQ/s0/c3.png" width="104" /></a></div><br /><div style="text-align: left;"><ol style="text-align: left;"><li>Busquem totes les molècules possibles amb tres àtoms de carboni? Tenen la mateixa fórmula?</li><li>Fem el mateix amb quatre àtoms?</li></ol></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both;"><div class="separator" style="clear: both;"><ul><li><span style="color: #660000;"><b>I a l'aula?</b></span></li></ul></div><div class="separator" style="clear: both;">El propi text que hem presentat ja té una forma de guió transferible a l'aula. No cal fer, evidentment, totes les activitats. Afegirem només algunes idees complementàries.</div><div class="separator" style="clear: both;"><ul style="text-align: left;"><li>És una activitat amb clares connexions amb la química. Però no estan, ni de bon tros, explotades al màxim. Deixem aquí de desenvolupar gran part de la química: existeixen totes les estructures que he creat? Tenen una metodologia per anomenar-les (una nomenclatura)? Quines utilitats tenen aquests compostos?...</li><li>Quan es fa una cerca exhaustiva a l'aula, en aquest cas de les diferents estructures moleculars, no és absolutament necessari que tots els grups de treball trobin tots els casos. Quant més, millor, però no necessàriament tots. Es pot completar tota la col·lecció entre tota la classe. Serà molt ric discutir les solucions que son equivalents topològicament.</li><li>Es pot utilitzar un material com els <i>cubets encaixables</i> per a fer la investigació. Tenen el problema de que no es poden fer els casos triangulars i que no es fàcil fer transformacions. Sinó ens podem adaptar un amb boles de porexpan i escuradents.</li><li>Pot ser interessant no dir formes de representació prefixades, excepte les de presentació de l'activitat. Es pot suggerir com reduir (o eliminar) la representació dels àtoms d'hidrogen o suggerir si hi ha altres formes de representar els enllaços dobles o triples. per exemple amb colors.</li></ul></div></div></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><span style="color: #660000;">Solucions</span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li><b>Una mica d'àlgebra</b></li><ol><li>L'estructura de la fórmula és C<i><sub>n</sub></i>H<sub>2<i>n</i>+2</sub>. Els àtoms d'hidrogen sempre van a omplir els braços lliures. Quan dos àtoms de carboni "es donen la mà" es perden dos braços lliures per al global d'hidrogen, un per àtom de carboni. En la forma més simple, sense ramificacions, un àtom de carboni connectat amb altres dos, un a cada costat, tindrà "dos braços lliures" per a l'hidrogen (el doble del carboni). Però els als dos àtoms dels extrems els hi queda un braç lliure per a un parell més d'àtoms d'hidrogen, que són els 2 que sumem. Un C que estigui unit amb un parell d'àtoms de C, creant una branca, només acceptarà un d'H, però crearà un extrem nou de 3 àtoms i, globalment, quedarà com el cas anterior. Podem fer un raonament semblant per a un àtom de C que es connecta amb altres tres: no acceptarà cap àtom d'H, però aquests dos que perdem d'una cadena simple, van a parar als extrems de les dues noves branques creades.</li><li>La fórmula és C<i><sub>n</sub></i>H<sub>2<i>n</i></sub>. Un doble enllaç entre els àtoms de carboni resta dos àtoms d'hidrogen de la fórmula amb tots els enllaços simples.</li><li>La fórmula és C<i><sub>n</sub></i>H<sub>2<i>n</i>-2</sub>. Un triple enllaç entre els àtoms de carboni resta quatre àtoms d'hidrogen de la fórmula amb tots els enllaços simples.</li><li>Cada enllaç doble elimina dos àtoms d'hidrogen, Cada triple n'elimina quatre.</li><li>En els hidrocarburs cíclics amb enllaços simples, la fórmula general és C<i><sub>n</sub></i>H<sub>2<i>n</i></sub>. Els enllaços dobles o triples descompten com hem explicat abans.</li></ol></ul><ul style="text-align: left;"><li><b>Una mateixa fórmula. Diferents estructures.</b></li><ol><li>Per a cinc àtoms de carboni i dotze d'hidrogen hi ha tres estructures amb connexions diferents. Parlem sempre de cadenes simples, sense enllaços dobles, triples o cicles. Les dibuixem, com totes les solucions a partir d'ara, simplificades, sense dibuixar els àtoms d'hidrogen i indicant-los amb un nombre.<br /><br /><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-btOBcF6ETSM/YUoOTai2ipI/AAAAAAAAGyo/vdiqAlp3ywg_kkof9Oxt3kzOhTYAGWlvQCLcBGAsYHQ/s339/estructures5.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="144" data-original-width="339" src="https://1.bp.blogspot.com/-btOBcF6ETSM/YUoOTai2ipI/AAAAAAAAGyo/vdiqAlp3ywg_kkof9Oxt3kzOhTYAGWlvQCLcBGAsYHQ/s16000/estructures5.png" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Les tres solucions</td></tr></tbody></table><br /><div style="text-align: left;">Cal recordar que hem de descartar les estructures que tenen les connexions distribuïdes de forma similar, les que són topològicament equivalents.<br /><div style="text-align: center;"><br /><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-BY1b4D2eZgw/YUoPJLzwYFI/AAAAAAAAGyw/RiJQPp10-ZkqFywoJT2WuxoV0PtYKWFAwCLcBGAsYHQ/s367/estructures5equivalents.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="81" data-original-width="367" src="https://1.bp.blogspot.com/-BY1b4D2eZgw/YUoPJLzwYFI/AAAAAAAAGyw/RiJQPp10-ZkqFywoJT2WuxoV0PtYKWFAwCLcBGAsYHQ/s16000/estructures5equivalents.png" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Estructures equivalents</td></tr></tbody></table><br /></div></li><li>Per a sis àtoms de carboni (C<sub>6</sub>H<sub>14</sub>) les cinc estructures bàsiques són les de la següent imatge. Si en teniu de diferents compareu la seva "topologia". I, amb calma. No sempre és fàcil.<br /><div style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-U-ScRkqVhGY/YUoRBMgM2DI/AAAAAAAAGy4/Uq46_qY43tkLDtXFmlEk3xXk1oFx4mZHQCLcBGAsYHQ/s411/estructures6.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="226" data-original-width="411" src="https://1.bp.blogspot.com/-U-ScRkqVhGY/YUoRBMgM2DI/AAAAAAAAGy4/Uq46_qY43tkLDtXFmlEk3xXk1oFx4mZHQCLcBGAsYHQ/s16000/estructures6.png" /></a></div></li><li>Per a set àtoms (C<sub>7</sub>H<sub>16</sub>) hi ha nou solucions.</li></ol></ul><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-HVH4n1iqW8I/YUoZF508wUI/AAAAAAAAGzA/o4TuKeBcUjAKF2aLumYVL6sX5SJxeJmIACLcBGAsYHQ/s685/estructures7.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="332" data-original-width="685" height="310" src="https://1.bp.blogspot.com/-HVH4n1iqW8I/YUoZF508wUI/AAAAAAAAGzA/o4TuKeBcUjAKF2aLumYVL6sX5SJxeJmIACLcBGAsYHQ/w640-h310/estructures7.png" width="640" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div></div><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Costa una mica comparar estructures per a eliminar repeticions. El millor és mirar de fer les deformacions adequades per anar convertint una estructura en una altra. Però Bolt mateix, al seu llibre, proposa un altre mètode complementari: anomenar ordenadament els àtoms de carboni i comparar les connexions que tenen. A la idea Bolt li afegeixo construir una taula on es marquin els àtoms connectats i comparar si les taules obtingudes són iguals. La part complicada és anomenar els àtoms que es corresponguin dels dos models. Convé mirar la quantitat de connexions que tenen.</div></div></blockquote><div style="text-align: center;"> <table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-xHo33TOUC54/YUrv4ZYADlI/AAAAAAAAGzQ/mou2YpFQbIUdEpKU5H-eh0s1WrxiW4L_gCLcBGAsYHQ/s598/comparar_equivalents_b.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="294" data-original-width="598" src="https://1.bp.blogspot.com/-xHo33TOUC54/YUrv4ZYADlI/AAAAAAAAGzQ/mou2YpFQbIUdEpKU5H-eh0s1WrxiW4L_gCLcBGAsYHQ/s16000/comparar_equivalents_b.png" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Aquestes tres estructures són toplògicament equivalents i tenen una mateixa taula de connexions</td></tr></tbody></table></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><div style="text-align: center;"><br /></div><div style="text-align: left;"><ul><li><b>Busquem totes les molècules</b></li></ul><ul style="text-align: left;"><ol><li>Per a tres àtoms de carboni hi ha 8 estructures de molècula diferents. Hi trobem també quatre fórmules diferents. (C<sub>3</sub>H<sub>2</sub>, dues vegades; C<sub>3</sub>H<sub>4</sub>, tres vegades; C<sub>3</sub>H<sub>6</sub>, dues vegades i C<sub>3</sub>H<sub>8</sub>, una vegada).<br /><div style="text-align: left;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-wFdosLNo8IY/YUtYR4fehqI/AAAAAAAAG0E/JiWb4um_Tl80UyHQkcnGo0jRDsdbE1L3wCLcBGAsYHQ/s436/molecules3.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" data-original-height="395" data-original-width="436" src="https://1.bp.blogspot.com/-wFdosLNo8IY/YUtYR4fehqI/AAAAAAAAG0E/JiWb4um_Tl80UyHQkcnGo0jRDsdbE1L3wCLcBGAsYHQ/s16000/molecules3.png" /></a></div></li><li>Per a quatre àtoms de C hi ha 35 solucions. Cal dir que Bolt només en posava 31. Les quatre que tenen la fórmula en vermell no hi son al seu llibre. (C<sub>4</sub>H<sub>2</sub>, vuit vegades; C<sub>4</sub>H<sub>4</sub>, onze vegades; C<sub>4</sub>H<sub>6</sub>, nou vegades, C<sub>4</sub>H<sub>8</sub>, cinc vegades i C<sub>4</sub>H<sub>10</sub>, un parell de vegades).</li></ol></ul><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-Nw9aFxg2CxY/YUxYn9PkAxI/AAAAAAAAG0M/bAtDc33Y78U0T3izH84f2hJUoEOCizBCQCLcBGAsYHQ/s947/molecules4.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="947" data-original-width="625" src="https://1.bp.blogspot.com/-Nw9aFxg2CxY/YUxYn9PkAxI/AAAAAAAAG0M/bAtDc33Y78U0T3izH84f2hJUoEOCizBCQCLcBGAsYHQ/s16000/molecules4.png" /></a></div><br /><div style="text-align: center;"><br /></div></div></div>Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7448640108700542412.post-63309388116375336832021-05-23T13:05:00.002+02:002021-05-23T13:14:54.556+02:00Juguem a "Parell guanya"<p style="text-align: right;">"Jugarem a guanyar i a perdre alhora<br />i farem festa"<br />Màrius Sampere </p><p>A l'any 80 el meu amic Carles Vallès (l'altra pota del Calaix abans de l'aparició d'internet) i jo érem alumnes de'n Jordi Deulofeu i ens va proposar fer un treball sobre jocs d'estratègia. Eren els primer anys que ell mateix els estudiava. Va ser el meu primer contacte amb un tema que, des de aleshores, no he deixat mai de banda. Ell ens va posar en contacte amb una altra "ànima inquieta", en Jordi Achón, amb el que vam poder fer pràctiques amb alumnat de la 2a etapa de l'antic EGB. Aquest ens va deixar un llibre: "<a href="http://cercabib.ub.edu/iii/encore/record/C__Rb1119298__Strakhtenbrot__Orightresult__U__X4?lang=cat&suite=def" target="_blank">Algoritmos y computadoras</a>" de B.A. Trakhtenbrot on hi apareixia el joc objecte d'aquest article. Crec que no l'he vist mai més citat en cap altre lloc.</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-1waYNLFw69w/YKOMxD5FFVI/AAAAAAAAGd4/Vvqj7SJNPww7tbU4hSr2XAMxyOt33OUIgCLcBGAsYHQ/s455/portada.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="455" data-original-width="283" height="320" src="https://1.bp.blogspot.com/-1waYNLFw69w/YKOMxD5FFVI/AAAAAAAAGd4/Vvqj7SJNPww7tbU4hSr2XAMxyOt33OUIgCLcBGAsYHQ/s320/portada.jpg" /></a></div><p>És un joc de regles molt senzilles i d'anàlisis ric, però no massa directe. De fet, en el seu moment, no el vam estudiar massa perquè el cas concret que comentava el llibre tenia una estratègia que no ens va semblar "descobrible" per l'alumnat (ni per nosaltres mateixos que, tot just, fèiem les primeres passes en l'estudi de jocs). Això sí, el vam utilitzar per mostrar com fer diagrames en arbre per a la cerca d'estratègies guanyadores. El joc que es proposava tenia el nom de "Parell guanya" i les regles eren les següents:</p><p></p><ul style="text-align: left;"><li>Hi ha 27 fitxes a la taula.</li><li>Cada jugador/a, en el seu torn, pot agafar una, dues, tres o quatre fitxes.</li><li>Guanya qui al final, quan no queden més fitxes a la taula, té una quantitat parell.</li></ul>Us proposem que proveu de fer algunes partides amb aquest <i>applet</i>.<p></p><div style="text-align: center;"><iframe allowfullscreen="" allowtransparency="true" frameborder="0" height="402" scrolling="no" src="https://scratch.mit.edu/projects/532121382/embed" width="485"></iframe></div><div style="text-align: center;"><a href="https://scratch.mit.edu/projects/532121382">https://scratch.mit.edu/projects/532121382</a></div><div style="text-align: center;"><br /></div><div style="text-align: left;">Com es veu és un joc en el què no poden haver taules i tots dos tenen, en tot moment, tota la informació de les fitxes que queden i de les que té cadascun. Per altra banda, el joc té una quantitat limitada de jugades (entre 7 i 27). Tampoc depèn de l'atzar ni de l'habilitat física. Tot això implica que hi ha d'haver una estratègia guanyadora per a un dels jugadors. I que si en una jugada un s'equivoca en l'aplicació de l'estratègia, aquesta passa a l'altre.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;">Per a investigar l'estratègia del joc farem diferents variants, podent agafar altres quantitats de fitxes, i utilitzarem diagrames en arbre, taules... I mirarem si podem trobar pautes generals d'estratègia o no.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #990000; font-size: medium;">Investiguem el joc?</span></b></div><span><a name='more'></a></span><div style="text-align: left;">En l'anàlisi de jocs és una bona tècnica reduir el joc modificant les regles convenientment. Per tant, podem començar estudiant que només es puguin agafar una o dues fitxes i per a diferents quantitats de fitxes inicials.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #990000; font-size: medium;">Agafem una o dues fitxes</span></b></div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;">Encara que sembli ridícul podem començar pensant què passarà si a la taula, inicialment, només hi ha una fitxa, si n'hi ha tres, si n'hi ha cinc... i anar recollint observacions.</div><div style="text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li><b>Una fitxa inicial</b></li></ul>Considerant el zero com a nombre parell, guanyarà el segon jugador (B), el que no comença</div><div style="text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li><b>Tres fitxes inicials</b></li></ul>En aquest cas guanyarà el primer jugador (A), agafant-ne dues. Obligatòriament B haurà d'agafar la que queda i quedar-se amb una quantitat senar.</div><div style="text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li><b>Cinc fitxes inicials</b></li></ul>En aquest cas potser ja ens convé fer un arbre del joc. Podem fer-lo complet, amb totes les partides possibles. Encara que, en general, no és el més aconsellable perquè es fan grans de seguida, ens pot ser útil per a familiaritzar-nos amb ells i amb el joc. Explicarem la llegenda: en verd les possibles jugades d'A, en blau les de B. Una anotació com 1 (3-2) significa que agafa una fitxa, queden 3 i ara en total en té 2 a la mà. Al final de cada camí està indicat qui ha guanyat (A o B).</div><div style="text-align: center;"><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-ckP3rRMif5c/YKOc0sn87VI/AAAAAAAAGeA/LgivfktPvN0n0V52HMae6T2ZVj34IQ4ZgCLcBGAsYHQ/s618/arbre5_complet.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="324" data-original-width="618" height="336" src="https://1.bp.blogspot.com/-ckP3rRMif5c/YKOc0sn87VI/AAAAAAAAGeA/LgivfktPvN0n0V52HMae6T2ZVj34IQ4ZgCLcBGAsYHQ/w640-h336/arbre5_complet.png" width="640" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Les línies vermelles mostren l'estratègia guanyadora per a B</td></tr></tbody></table><br /><div style="text-align: left;">Com es pot veure a la taula, per a cada possible jugada d'A hi ha una resposta concreta de B que li portarà a la victòria. A continuació mostrem un arbre reduït que recull només l'estratègia de B.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-NfqJWOd3Uhs/YKOdwOIdxMI/AAAAAAAAGeI/YozOrEkb9a4RP8Qvc3HrRa_r7cDvK5f9ACLcBGAsYHQ/s621/arbre_5_estrategia.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="143" data-original-width="621" height="148" src="https://1.bp.blogspot.com/-NfqJWOd3Uhs/YKOdwOIdxMI/AAAAAAAAGeI/YozOrEkb9a4RP8Qvc3HrRa_r7cDvK5f9ACLcBGAsYHQ/w640-h148/arbre_5_estrategia.png" width="640" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Com es veu és impossible que B, si no s'equivoca, perdi.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li><b>Set fitxes inicials</b></li></ul>En aquest cas guanyarà A de la següent manera: agafa dues fitxes inicials i deixa cinc a la taula. A partir d'aquí aplicarà l'arbre de l'estratègia de 5 fitxes.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li><b>Nou fitxes inicials</b></li></ul>Ara de nou ens toca fer un arbre. No cal que el fem complet ja que podem anar eliminant jugades clarament perdedores. Si fem un esborrany i el depurem veurem que l'estratègia guanyadora serà, de nou, per a B.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-ROHB1zqv6SI/YKOhO-z2FcI/AAAAAAAAGeQ/iPpJ0C-yymQ5eXhpzfBcrc6YuTjqlHPAgCLcBGAsYHQ/s814/arbre_9_1-2.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="291" data-original-width="814" height="228" src="https://1.bp.blogspot.com/-ROHB1zqv6SI/YKOhO-z2FcI/AAAAAAAAGeQ/iPpJ0C-yymQ5eXhpzfBcrc6YuTjqlHPAgCLcBGAsYHQ/w640-h228/arbre_9_1-2.png" width="640" /></a></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li><b>Onze fitxes inicials</b></li></ul>Guanya A agafant dues fitxes a la primera jugada i aplicant després l'arbre de nou.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li><b>Generalitzem?</b></li></ul>Sembla que podem començar a definir algunes idees generals:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><ul><li>Si la quantitat inicial de fitxes és de la forma 4<i>n</i>+1 hi ha estratègia guanyadora per a B</li><li>Si la quantitat inicial és de la forma 4<i>n</i>+3 guanyarà A si comença agafant dues fitxes.</li><li>Un cop s'està en situació guanyadora només cal jugar igual que el contrari: si agafa una, n'agafarem una; si n'agafa dues també agafarem dues. L'única excepció és quan s'està obligat si a la taula només queda una fitxa.</li><li>Una altra manera de veure-ho és deixar sempre una quantitat senar a la taula (excepte a l'última jugada si es pot deixar la taula neta).</li></ul></ul>Servirà aquesta manera de jugar si variem la quantitat de fitxes a agafar?</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><div><b><span style="color: #990000; font-size: medium;">Agafem una, dues o tres fitxes</span></b></div><div><b><span style="color: #990000; font-size: medium;"><br /></span></b></div><div>Si voleu, abans de començar l'estudi podeu practicar amb aquest <i>applet</i> que et deixa triar la quantitat de fitxes incials.</div><div><br /></div><div style="text-align: center;"><iframe allowfullscreen="" allowtransparency="true" frameborder="0" height="402" scrolling="no" src="https://scratch.mit.edu/projects/531184889/embed" width="485"></iframe><br /><a href="https://scratch.mit.edu/projects/531184889" target="_blank">https://scratch.mit.edu/projects/531184889</a></div><div><br /></div><div>Per a una i tres fitxes el joc el guanyen B i A, respectivament.</div><div><br /></div><div><ul style="text-align: left;"><li><b>Cinc fitxes inicials</b></li></ul>No és triga gaire a descobrir que l'estratègia és per a A si comença agafant una fitxa.</div><div><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-zoqVS5okn5Q/YKPcoTpurII/AAAAAAAAGeY/pykN4jgzN2AXf_7kbmO5aOMDKkaUuwmAACLcBGAsYHQ/s613/arbre_5-123.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="171" data-original-width="613" height="179" src="https://1.bp.blogspot.com/-zoqVS5okn5Q/YKPcoTpurII/AAAAAAAAGeY/pykN4jgzN2AXf_7kbmO5aOMDKkaUuwmAACLcBGAsYHQ/w640-h179/arbre_5-123.png" width="640" /></a></div><br /><div><br /></div></div><ul style="text-align: left;"><li><b>Set fitxes inicials</b></li></ul>En serveix el mateix arbre anterior per a A, però agafant tres fitxes a la primera jugada.<div><br /></div><div><ul style="text-align: left;"><li><b>Nou fitxes inicials</b></li></ul>En aquest cas l'estratègia és per a B.</div><div><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-4uEvYI666uI/YKPhT6T4xrI/AAAAAAAAGeg/cmlbvBRJIm4wQwdux7wm4MWbmqBIXckogCLcBGAsYHQ/s525/arbre%2B9-123.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="339" data-original-width="525" height="414" src="https://1.bp.blogspot.com/-4uEvYI666uI/YKPhT6T4xrI/AAAAAAAAGeg/cmlbvBRJIm4wQwdux7wm4MWbmqBIXckogCLcBGAsYHQ/w640-h414/arbre%2B9-123.png" width="640" /></a></div><br /><div><br /><div style="text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li><b>11 fitxes inicials</b></li></ul>Si A agafa 2 fitxes al principi pot jugar amb l'estratègia de l'arbre anterior</div></div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li><b>Abans de mirar 13 fitxes inicials... reflexionem</b></li></ul>Sembla que tenim alguns indicis. Alguns entren en contradicció amb el cas de treure 1-2 fitxes. Si sortim d'una posició guanyadora per a B, per exemple, ara no funciona deixar senar sempre al contrari. Tampoc fer la mateixa jugada que ell. Ara sembla que:</div><div style="text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><ul><li>si agafa una hem d'agafar tres.</li><li>si agafa tres hem d'agafar una.</li><li>si agafa dues hem de mirar si queda a la taula un quantitat parell o senar. Si és senar agafarem tres i si és parell agafarem una.</li></ul></ul>De 13 no podem passar a deixar nou fitxes en una jugada directa. Podem pensar que si estem a quatre de distància i som segons sempre podem arribar segur (si agafa 1 agafarem 3, si agafa 2 nosaltres també 2 i, si agafa 1, nosaltres 3). Però això ens deixa amb una quantitat de fitxes a la mà senar o parell, cosa que segur influeix en el resultat final. Ho podem veure amb un exemple en el què si A agafa 3 i B respon amb una fitxa, tot i deixant 9, perdrà indefectiblement.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-byLYkjohXo8/YKU_pXDv6AI/AAAAAAAAGew/DEKEL1gjprcFlvNdoOIUDIrkOcleSC1FACLcBGAsYHQ/s757/arbre%2B13%2B123%2Bmal%2Bjugat%2BB.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="326" data-original-width="757" height="276" src="https://1.bp.blogspot.com/-byLYkjohXo8/YKU_pXDv6AI/AAAAAAAAGew/DEKEL1gjprcFlvNdoOIUDIrkOcleSC1FACLcBGAsYHQ/w640-h276/arbre%2B13%2B123%2Bmal%2Bjugat%2BB.png" width="640" /></a></div><br /><div style="text-align: left;">Hi ha la possibilitat de que 13 sigui, ben estudiada, una posició guanyadora per a B. Seria coherent ja que 13 és de la forma 4<i>n</i>+1 i amb 1-2 ho eren, però tenim que 5 també ho és i és guanyadora per a A. I, ja avancem que sortint amb una fitxa hi ha una estratègia per a A.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;">Encara un reflexió més. Hem dit abans que si un jugador té una estratègia guanyadora i s'equivoca en la seva aplicació automàticament aquesta passa a A. Però aquesta no té perquè ser exactament igual a la de l'arbre que teníem. Per exemple, si amb 11 fitxes inicials, en la que la sortida guanyadora per a A era agafar-ne dues a la primera jugada, si s'equivoca i agafa una, la resposta de B no ha de ser agafar-ne una també (la que falta per completar les dues que hauria d'haver agafat A) sinó que ha de ser agafar-ne 2 i deixar 8 a la taula.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-iVyjB3kElac/YKVGabjkGiI/AAAAAAAAGe4/BuNEFCN80Hc3lLnHqw9PauXfPxLCtgAbgCLcBGAsYHQ/s819/11_123_errorB.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="354" data-original-width="819" height="276" src="https://1.bp.blogspot.com/-iVyjB3kElac/YKVGabjkGiI/AAAAAAAAGe4/BuNEFCN80Hc3lLnHqw9PauXfPxLCtgAbgCLcBGAsYHQ/w640-h276/11_123_errorB.png" width="640" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Si a l'error d'A agafant 1 en comptes de 2, B respon agafant-ne 1, deixant-ne 9, A pot recuperar l'estratègia guanyadora.</td></tr></tbody></table><br /><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-I1xB2rJhxjE/YKVz3cj3kKI/AAAAAAAAGfA/tw_yrFW9zrs8JWlwZul5oS0d02Oynb2xwCLcBGAsYHQ/s752/11%2B123%2Bcorrecta%2BB.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="367" data-original-width="752" height="312" src="https://1.bp.blogspot.com/-I1xB2rJhxjE/YKVz3cj3kKI/AAAAAAAAGfA/tw_yrFW9zrs8JWlwZul5oS0d02Oynb2xwCLcBGAsYHQ/w640-h312/11%2B123%2Bcorrecta%2BB.png" width="640" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">A l'error d'A agafant-ne 1, B ha de respondre agafant-ne 2. Així recupera l'estratègia guanyadora</td></tr></tbody></table><br /><div style="text-align: left;">Com es veu, un cop recuperada l'estratègia es continua amb les mateixes normes de resposta al contrari (si n'agafa 1, nosaltres 3; si n'agafa 3, nosaltres 1; si n'agafa 2 hem de mirar si el que queda és parell, i n'agafem una, o si és senar, i n'agafem 3). Però costa saber quina és la primera resposta correcta. Hem de canviar la mirada en la investigació.</div><div align="center"><p style="direction: ltr; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0in; margin-top: 0pt; punctuation-wrap: hanging; text-align: center; unicode-bidi: embed; word-break: normal;"><span style="font-size: medium;"><br /></span></p><p style="direction: ltr; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0in; margin-top: 0pt; punctuation-wrap: hanging; text-align: left; unicode-bidi: embed; word-break: normal;"><b><span style="color: #990000; font-size: medium;">Replantegem la forma d'estudiar el joc: fem taules</span></b></p><p style="direction: ltr; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0in; margin-top: 0pt; punctuation-wrap: hanging; text-align: left; unicode-bidi: embed; word-break: normal;"><br /></p><p style="direction: ltr; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0in; margin-top: 0pt; punctuation-wrap: hanging; text-align: left; unicode-bidi: embed; word-break: normal;">Fer diagrames d'arbre pot ser una mica pesat. A més, hem vist que tampoc, si no tenim un arbre complet del joc, és difícil apropiar-se d'estratègies quan el contrari s'equivoca. Gran part del problema rau en que, a l'hora de triar la jugada, no només hem de tenir en compte les fitxes que queden, sinó que també s'han de considerar si tenim a la mà una quantitat parell o senar. Es poden donar quatre situacions:</p><p style="direction: ltr; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0in; margin-top: 0pt; punctuation-wrap: hanging; text-align: left; unicode-bidi: embed; word-break: normal;"></p><ul style="text-align: left;"><ul><li>Que quedi a la taula una quantitat parell i tinguem a la mà una parell (P<i>p</i>)</li><li>Que quedi una quantitat parell i tinguem una senar (P<i>s</i>)</li><li>Que quedi una quantitat senar i tinguem una parell (S<i>p</i>)</li><li>Que quedi una quantitat senar i tinguem una senar (S<i>s</i>)</li></ul></ul><span style="text-align: left;"><div style="text-align: left;">Podem fer una taula que ens indiqui, per a cada situació, quina és la jugada guanyadora. I, si és una situació perdedora (guanyadora per a B) podem marcar la cel·la de color verd. De fet, una bona estratègia tractarà de portar al contrari a aquestes cel·les verdes perquè a partir d'aquí tindrem l'estratègia guanyadora. Construir la taula progressivament no és gaire difícil. Per exemple, si volem estudiar les respostes a la situació de 7 fitxes i tenim ja resoltes les jugades de 6, 5, 4 (que són les accessibles en una jugada) només es tracta de triar el moviment que porta a una casella verda.</div></span></div><div align="center"><div style="text-align: left;"><br /></div><p style="direction: ltr; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0in; margin-top: 0pt; punctuation-wrap: hanging; text-align: left; unicode-bidi: embed; word-break: normal;">Abans de fer la taula cal fer una observació: hi ha cel·les que no podem omplir. Si el nombre superior de la columna indica la quantitat de fitxes que queden a la taula, la P o la S de la fila que ens indiquen la seva paritat ha de ser congruents. A la columna del 5 no es donaran les situacions P<i>p</i> i P<i>s</i>. Pintarem aquestes caselles de gris.</p><div align="center">
<p style="direction: ltr; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0in; margin-top: 0pt; unicode-bidi: embed; word-break: normal;"> </p>
<table border="1" bordercolor="#000000" style="border-collapse: collapse; width: 50%px;">
<tbody><tr>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
1-2-3</td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
<span style="color: white;">1</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
<span style="color: white;">2</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
<span style="color: white;">3</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
<span style="color: white;">4</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">5</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">6</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">7</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">8</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">9</span></td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#93CDDD" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
P<i>p</i></td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="76"> </td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#93CDDD" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
P<i>s</i></td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77"> </td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#93CDDD" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
S<i>p</i></td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="76"> </td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77"> </td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#93CDDD" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
S<i>s</i></td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77"> </td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
</td>
</tr>
</tbody></table>
</div><p style="direction: ltr; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0in; margin-top: 0pt; unicode-bidi: embed; word-break: normal;"><span style="text-align: left;"> </span></p><p style="direction: ltr; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0in; margin-top: 0pt; text-align: justify; unicode-bidi: embed; word-break: normal;"><span style="text-align: left;">Comencem amb una, dues, tres i quatre fitxes per a començar a a omplir la taula:</span></p><p style="direction: ltr; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0in; margin-top: 0pt; text-align: justify; unicode-bidi: embed; word-break: normal;"></p><ul><li style="text-align: justify;"><span style="text-align: left;">Si hi ha una fitxa a la taula i jo tinc a la mà una quantitat parell (1-S<i>p</i>), perdré. Pintaré la casella de color verd</span></li><li style="text-align: justify;"><span style="text-align: left;">Si hi ha un fitxa a la taula i jo tinc una quantitat senar (1-S<i>s</i>) guanyaré si l'agafo perquè passaré a tenir un total parell.</span> </li></ul><p></p><div align="center">
<table border="1" bordercolor="#000000" style="border-collapse: collapse; width: 50%px;">
<tbody><tr>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">1-2-3</td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
<span style="color: white;">1</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
<span style="color: white;">2</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
<span style="color: white;">3</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
<span style="color: white;">4</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">5</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">6</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">7</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">8</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">9</span></td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#93CDDD" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
P<i>p</i></td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="76"> </td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#93CDDD" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
P<i>s</i></td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77"> </td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#93CDDD" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
S<i>p</i></td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="76"> </td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77"> </td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#93CDDD" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
S<i>s</i></td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
1</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77"> </td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
</td>
</tr>
</tbody></table>
</div><div>
<p style="text-align: left;"></p><ul style="text-align: left;"><li>Si hi ha 2 fitxes a la taula i jo tinc una quantitat parell guanyaré si les agafo</li><li>Si tinc una quantitat senar guanyaré si només agafo una (jo tindré parell i l'altre es veurà obligat a quedar-se-la). Anirà a la casella 1-S<i>p</i> i ja hem comentat abans que ens convé portar al contrari a les caselles verdes. </li></ul>
<table border="1" bordercolor="#000000" style="border-collapse: collapse; width: 50%px;">
<tbody><tr>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
123</td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
<span style="color: white;">1</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
<span style="color: white;">2</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
<span style="color: white;">3</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
<span style="color: white;">4</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">5</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">6</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">7</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">8</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">9</span></td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#93CDDD" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
P<i>p</i></td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
2</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="76"> </td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#93CDDD" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
P<i>s</i></td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
1</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77"> </td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#93CDDD" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
S<i>p</i></td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="76"> </td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">2</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77"> </td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#93CDDD" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
S<i>s</i></td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
1</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">3</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77"> </td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
</td>
</tr>
</tbody></table><ul style="text-align: left;"><li>Si hi ha 3 fitxes i tinc una quantitat parell, agafaré dues. Així l'altre agafarà l'última i quedarà amb un total senar. El porto a 1-S<i>p.</i></li><li>Si tinc una quantitat senar agafaré les 3. Deixaré la taula neta i em quedaré amb una quantitat parell.</li><li>Si hi ha 4 fitxes i tinc parell, estic perdut (4P<i>p</i>). Si agafo 1 m'agafarà 3. Si n'agafo 2 agafarà una i hauré de quedar-me la que queda. Si n'agafo 3 em quedaré amb senar i l'altre, agafant la que queda, deixatà la taula neta. Pintarem la cel·la de verd</li><li>Si tinc senar i agafo 3 li deixo a la cel·la verda 1-S<i>p</i></li></ul><div align="center">
<table border="1" bordercolor="#000000" style="border-collapse: collapse; width: 50%px;">
<tbody><tr>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">1-2-3</td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
<span style="color: white;">1</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
<span style="color: white;">2</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
<span style="color: white;">3</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
<span style="color: white;">4</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">5</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">6</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">7</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">8</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">9</span></td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#93CDDD" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
P<i>p</i></td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
2</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76"> </td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="76"> </td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#93CDDD" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
P<i>s</i></td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
1</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
3</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77"> </td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#93CDDD" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
S<i>p</i></td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="76"> </td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
2</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77"> </td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#93CDDD" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
S<i>s</i></td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
1</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
3</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77"> </td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
</td>
</tr>
</tbody></table>
</div>
<p style="text-align: left;"></p><ul style="text-align: left;"><li>Amb 5 fitxes, si tinc parell (5-S<i>p</i>) hem vist abans, per l'arbre, que guanyaré si agafo cinc. Cal pensar que a la situació d'inici del joc no tenim cap fitxa, el que considerem parell.</li><li>I si tinc senar estic perdut. Si agafo una quedarà la situació 4 P<i>p</i> que és perdedora. Si agafo 2 el contrari trobarà la situació 3-S<i>p</i> i em guanyarà agafant-ne 2. I si agafo 3 el contrari trobarà 2-P<i>p,</i> agafarà les dues que queden i guanyarà. </li></ul><div align="center">
<table border="1" bordercolor="#000000" style="border-collapse: collapse; width: 50%px;">
<tbody><tr>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">1-2-3</td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
<span style="color: white;">1</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
<span style="color: white;">2</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
<span style="color: white;">3</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
<span style="color: white;">4</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">5</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">6</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">7</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">8</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">9</span></td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#93CDDD" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
P<i>p</i></td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
2</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76"> </td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="76"> </td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#93CDDD" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
P<i>s</i></td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
1</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
3</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77"> </td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#93CDDD" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
S<i>p</i></td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="76"> </td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
2</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
1</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77"> </td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#93CDDD" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
S<i>s</i></td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
1</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
3</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76"> </td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77"> </td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
</td>
</tr>
</tbody></table>
</div><div>
<p style="text-align: left;">Si ens hi fixem ara podem continuar mirant a quina casella anem a parar. El nostre objectiu és anar a les verdes. I hem d'estar atents a identificar bé a quina casella anem a parar perquè hem de canviar el punt de vista per veure què farà el contrari: per exemple, si jo m'he quedat 3-S<i>p</i> per al contrari és 3-S<i>s</i>.<i> </i>Continuant així podem completar la taula, per exemple fins a 17 fitxes.</p><div align="center">
<table border="1" bordercolor="#000000" style="border-collapse: collapse; width: 80%px;">
<tbody><tr>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
123</td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
<span style="color: white;">1</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
<span style="color: white;">2</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
<span style="color: white;">3</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
<span style="color: white;">4</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">5</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">6</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">7</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">8</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">9</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">10</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">11</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">12</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">13</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">14</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">15</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">16</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">17</span></td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#93CDDD" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
P<i>p</i></td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
2</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76"> </td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76"> </td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
1</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
3</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
2</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77"> </td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
1</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
3</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#93CDDD" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
P<i>s</i></td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
1</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
3</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
2</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
1</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
3</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
2</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77"> </td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#93CDDD" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
S<i>p</i></td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76"> </td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
2</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
1</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
3</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
2</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
1</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
3</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77"> </td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#93CDDD" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
S<i>s</i></td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
1</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
3</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76"> </td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
2</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
1</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
3</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
</td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77">
</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
2</td>
<td align="center" bgcolor="#7F7F7F" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
1</td>
</tr>
</tbody></table>
</div><p>
</p><div align="center">
<p style="direction: ltr; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0in; margin-top: 0pt; text-align: left; unicode-bidi: embed; word-break: normal;">Si mirem amb atenció cadascuna de les files de la taula hi trobarem uns cicles de 8 caselles. Sense tenir en compte les quatre grises de cada cicle, seran</p><p style="direction: ltr; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0in; margin-top: 0pt; text-align: left; unicode-bidi: embed; word-break: normal;"></p><ul style="text-align: left;"><ul><li style="text-align: left;">P<i>p</i>: 2-V-1-3</li><li style="text-align: left;">P<i>s</i>: 1-3-2-V</li><li style="text-align: left;">S<i>p</i>: V-2-1-3</li><li style="text-align: left;">S<i>s</i>: 1-3-V-2</li></ul></ul><div style="text-align: justify;"><span style="text-align: left;">Això ens permet continuar ampliant la taula fins a la quantitat de fitxes que vulguem. També podem esbrinar el valor de cada fila jugant amb divisions i residus. Ho farem més tard. Ara el que proposarem serà una simplificació de la taula reduint-la a dues files. Podem veure que la situació P</span><i style="text-align: left;">p</i><span style="text-align: left;"> i S</span><i style="text-align: left;">s</i><span style="text-align: left;"> es corresponen a que el contrari tingui una quantitat de fitxes senar, ja que en tot dos casos la suma de les fitxes de la taula i les meves és parell. Complementàriament P</span><i style="text-align: left;">s</i><span style="text-align: left;"> i S</span><i style="text-align: left;">p</i><span style="text-align: left;"> impliquen que el contrari té una quantitat de fitxes parell. Per tant, podem reunir aquestes parelles de files i així, de pas, desapareixeran les cel·les grises. Ara cada fila indica si la quantitat de fitxes del contrari és senar o parell.</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="text-align: left;"><br /></span></div><div align="center">
<table border="1" bordercolor="#000000" style="border-collapse: collapse; width: 80%px;">
<tbody><tr>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">1-2-3</td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
<span style="color: white;">1</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
<span style="color: white;">2</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
<span style="color: white;">3</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
<span style="color: white;">4</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">5</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">6</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">7</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">8</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">9</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">10</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">11</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">12</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">13</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">14</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">15</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">16</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">17</span></td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#93CDDD" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
Senar</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
1</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
2</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
3</td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76"> </td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
1</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
2</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
3</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
1</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
2</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
3</td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77"> </td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
1</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
2</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
3</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
1</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#93CDDD" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
Parell</td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="76"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
1</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
2</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
3</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
1</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
2</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
3</td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
1</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
2</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
3</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
1</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
2</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
3</td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77"> </td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77"> </td>
</tr>
</tbody></table>
</div><p style="direction: ltr; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0in; margin-top: 0pt; text-align: left; unicode-bidi: embed; word-break: normal;">
</p><div align="center">
<p style="direction: ltr; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0in; margin-top: 0pt; unicode-bidi: embed; word-break: normal;"> </p>
</div><p style="direction: ltr; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0in; margin-top: 0pt; text-align: left; unicode-bidi: embed; word-break: normal;">Ara els cicles de vuit els podem definir més clarament:</p><p style="direction: ltr; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0in; margin-top: 0pt; text-align: left; unicode-bidi: embed; word-break: normal;"></p><ul style="text-align: left;"><ul><li>Senar: 1-2-3-V-V-1-2-3</li><li>Parell: V-1-2-3-1-2-3-V</li></ul></ul><div style="text-align: justify;"><span style="text-align: left;">Ara podem definir una estratègia general per al joc quan es poden agafar una, dues o tres fitxes. O bé mirar a la taula quina jugada haig de fer (i jugar a l'atzar quan estic a una cel·la verda) o fer aquests càlculs.</span></div><p></p><p style="direction: ltr; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0in; margin-top: 0pt; text-align: left; unicode-bidi: embed; word-break: normal;"></p><ul style="text-align: left;"><ul><li>Dividir la quantitat de fitxes entre vuit i mirar el residu.</li><li>Si el contrari té una quantitat senar de fitxes, agafaré una fitxa si el residu és 1 o 6, dues si és 2 o 7, i tres si és 3 o 0. Si és 4 o 5 jugaré a l'atzar i esperaré que l'altre s'equivoqui en algun moment.</li><li>Si el contrari te una quantitat parell de fitxes, agafaré una fitxa si el residu de dividir per 8 és 2 o 5, agafaré dues si és 3 o 6, i agafaré tres si és 4 o 7. Si és 1 o 0 jugaré a l'atzar.</li></ul></ul><p></p>
</div><div align="center">
<p style="direction: ltr; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0in; margin-top: 0pt; punctuation-wrap: hanging; text-align: left; unicode-bidi: embed; word-break: normal;"><b><span style="color: #990000; font-size: medium;"><br /></span></b></p><p style="direction: ltr; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0in; margin-top: 0pt; punctuation-wrap: hanging; text-align: left; unicode-bidi: embed; word-break: normal;"><b><span style="color: #990000; font-size: medium;">Mirem més taules</span></b></p><p style="direction: ltr; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0in; margin-top: 0pt; punctuation-wrap: hanging; text-align: left; unicode-bidi: embed; word-break: normal;"><b><span style="color: #990000; font-size: medium;"><br /></span></b></p><p style="direction: ltr; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0in; margin-top: 0pt; punctuation-wrap: hanging; text-align: left; unicode-bidi: embed; word-break: normal;"><span style="font-size: medium;">Ara us adjuntem les taules per a jocs amb 1-2 fitxes, d'una a quatre i d'una a cinc. També incloem la d'una a tres per poder trobar pautes posteriorment,</span></p><p style="direction: ltr; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0in; margin-top: 0pt; punctuation-wrap: hanging; text-align: left; unicode-bidi: embed; word-break: normal;"></p><ul style="text-align: left;"><li><span style="font-size: medium;">Taula per a 1-2</span> (els asteriscs indiquen quantitats inicials guanyadores per a B)</li></ul><p></p><div align="center">
<table border="1" bordercolor="#000000" style="border-collapse: collapse; width: 80%px;">
<tbody><tr>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
1-2</td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
<span style="color: white;">1</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
<span style="color: white;">2</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
<span style="color: white;">3</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
<span style="color: white;">4</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">5</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">6</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">7</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">8</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">9</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">10</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">11</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">12</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">13</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">14</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">15</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">16</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">17</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">18</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">19</span></td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#93CDDD" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
S</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
1</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
2</td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="76">
</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
1</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77">
1-2</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
2</td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77">
</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
1</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
1/2</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
2</td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77">
</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77">
1</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77">
1-2</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
2</td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77">
</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
1</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
1/2</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
2</td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77">
</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#93CDDD" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
P</td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="76"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
1</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
2</td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="76">
</td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77">
*</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
1</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
2</td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77">
*</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
1</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
2</td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77">
</td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77">
*</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
1</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
2</td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77"> </td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77">
*</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77">
1</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77">
2</td>
</tr>
</tbody></table>
</div><p style="direction: ltr; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0in; margin-top: 0pt; punctuation-wrap: hanging; text-align: left; unicode-bidi: embed; word-break: normal;"><span style="font-size: medium;"></span></p><div>
<div style="text-align: center;">
<p style="direction: ltr; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0in; margin-top: 0pt; unicode-bidi: embed; word-break: normal;"><br /></p><p style="direction: ltr; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0in; margin-top: 0pt; unicode-bidi: embed; word-break: normal;"></p><ul><li style="text-align: left;">Taula per a 1-2-3. </li></ul><div align="center">
<table border="1" bordercolor="#000000" style="border-collapse: collapse; width: 80%px;">
<tbody><tr>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
1-2-3</td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
<span style="color: white;">1</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
<span style="color: white;">2</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
<span style="color: white;">3</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
<span style="color: white;">4</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">5</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">6</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">7</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">8</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">9</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">10</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">11</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">12</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">13</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">14</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">15</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">16</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">17</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">18</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">19</span></td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#93CDDD" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
S</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
1</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
2</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
3</td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76"> </td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
1</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
2</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
3</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
1</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
2</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
3</td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77"> </td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
1</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
2</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
3</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
1</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
2</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
3</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#93CDDD" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
P</td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="76"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
1</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
2</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
3</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
1</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
2</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
3</td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77"> </td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
1</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
2</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
3</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
1</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
2</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
3</td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77"> </td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77">
1</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77">
2</td>
</tr>
</tbody></table></div><div align="center"></div><div align="center"></div><ul><li style="text-align: left;">Taula per a 1-2-3-4 (els nombres vermells indiquen jugades fora de patró)</li></ul><div align="center">
<table border="1" bordercolor="#000000" style="border-collapse: collapse; width: 80%px;">
<tbody><tr>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
1-2-3-4</td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
<span style="color: white;">1</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
<span style="color: white;">2</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
<span style="color: white;">3</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
<span style="color: white;">4</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">5</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">6</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">7</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">8</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">9</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">10</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">11</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">12</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">13</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">14</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">15</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">16</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">17</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">18</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">19</span></td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#93CDDD" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
S</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76"><span style="color: red;">
1</span></td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76"><span style="color: red;">
2</span></td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="76"><span style="color: red;">
3</span></td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
4</td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
1</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77">
2</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
3</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
4</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
4</td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77">
</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77">
1</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77">
2</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
3</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77">
4</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
4</td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77">
</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
1</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77">
2</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#93CDDD" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
P</td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="76"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
1</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
2</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="76">
3</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77">
4</td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77">
</td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77">
*</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
1</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77">
2</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
3</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
4</td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77">
</td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77">
*</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
1</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
2</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77">
3</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77">
4</td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77"> </td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77">
*</td>
</tr>
</tbody></table>
</div>
<div align="center">
<p style="direction: ltr; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0in; margin-top: 0pt; unicode-bidi: embed; word-break: normal;"> </p><p style="direction: ltr; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0in; margin-top: 0pt; unicode-bidi: embed; word-break: normal;"></p><ul><li style="text-align: left;">Taula per a 1-2-3-4-5 </li></ul><div align="center">
<table border="1" bordercolor="#000000" style="border-collapse: collapse; width: 80%px;">
<tbody><tr>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
1-2-3-4-5</td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
<span style="color: white;">1</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
<span style="color: white;">2</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
<span style="color: white;">3</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
<span style="color: white;">4</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">5</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">6</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">7</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">8</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">9</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">10</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">11</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">12</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">13</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">14</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">15</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">16</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">17</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">18</span></td>
<td align="center" bgcolor="#953735" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
<span style="color: white;">19</span></td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#93CDDD" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
S</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
1</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
2</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="76">
3</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
4</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77">
5</td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
</td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77">
</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
1</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
2</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
3</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77">
4</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77">
5</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77">
1</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
2</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77">
3</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
4</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77">
5</td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
</td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77">
</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" bgcolor="#93CDDD" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
P</td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="76"> </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
1</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="76">
2</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="76">
3</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77">
4</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77">
5</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77">
1</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
2</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77">
3</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
4</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
5</td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77">
</td>
<td align="center" bgcolor="#92D050" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77">* </td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
1</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" valign="middle" width="77">
2</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77">
3</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77">
4</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77">
5</td>
<td align="center" style="border-style: solid; border-width: 1px;" width="77">
1</td>
</tr>
</tbody></table>
</div>
<div align="center">
<p style="direction: ltr; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0in; margin-top: 0pt; unicode-bidi: embed; word-break: normal;"> </p>
</div>
<p style="direction: ltr; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0in; margin-top: 0pt; text-align: left; unicode-bidi: embed; word-break: normal;"><b><span style="color: #990000; font-size: medium;">Hi ha pautes generals?</span></b></p><p style="direction: ltr; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0in; margin-top: 0pt; text-align: left; unicode-bidi: embed; word-break: normal;"><br /></p><p style="direction: ltr; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0in; margin-top: 0pt; text-align: left; unicode-bidi: embed; word-break: normal;">És molt evident que a cada taula trobem cicles i regularitats en les jugades. Per descobrir-les és millor separar els jocs segons les opcions de tirada: si són d'ordre senar (d'1 a 3 o d'1 a 5) o d'ordre parell (1-2 o d'1 a 4). I, en tots dos casos analitzar primer la fila en la què el contrari té parell i, després, la que té senar. Per a cada cas mirarem com es generen els nombres de la fila, on van les caselles verdes i la llargada del cicle. Cal recordar que les caselles verdes són guanyadores per a qui deixa al contrari en elles i perdedores per a qui hi va a parar. És a dir, que el nostre objectiu serà sempre deixar a l'altre en una d'aquelles caselles.</p><p style="direction: ltr; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0in; margin-top: 0pt; text-align: left; unicode-bidi: embed; word-break: normal;"></p><ul style="text-align: left;"><li><b>Jugades possibles d'ordre senar</b> (amb nombres d'1 a <i>n </i>on <i>n</i> és senar)</li><ul><li><i>Fila parell</i>. Comença amb una casella verda, s'escriuen dues sèries ordenades de les jugades possibles i es tanca amb una altra casella verda: V, 1, 2,, 3... <i>n</i>-1, <i>n</i>, 1, 2,, 3... <i>n</i>-1, <i>n</i>, V. </li><li><i>Longitud del cicle</i>: 2<i>n</i>+2.</li><li><i>Fila senar</i>. Es fa un cicle ordenat de tirades, es posen dues caselles verdes, i es posa un altre cicle de tirades: 1, 2,, 3... <i>n</i>-1, <i>n</i>, V, V, 1, 2,, 3... <i>n</i>-1, <i>n.</i></li></ul></ul><ul style="text-align: left;"><li><b>Jugades possible d'ordre parell</b> (amb nombres d'1 a <i>n </i>on <i>n</i> és parell)</li><ul><li><i>Fila parell</i>. Comença amb una casella verda, s'escriu una sèrie ordenada de jugades possibles i es tanca amb una altra casella verda: V, 1, 2,, 3... <i>n</i>-1, <i>n</i>, V.</li><li><i><i>Longitud del cicle: </i>n</i>+2</li><li><i>Fila senar</i>. En aquest cas comencem el cicle més tard. Assenyalem en verd la casella anterior a tancar el cicle (si és de 6, la casella 5). Després escrivim el cicle de tirades possibles ordenadament i repetim la darrera jugada. És a dir, a partir de la columna <i>n</i>-1 fem: V, 1, 2,, 3... <i>n</i>-1, <i>n, n</i>. Les primeres caselles que ens havien quedat en blanc les omplim amb la sèrie de jugades possibles: 1, 2,, 3... <i>n</i>-1, <i>n.</i></li></ul></ul><span style="text-align: left;"><div style="text-align: left;">És evident que estem intentar generalitzar a partir de dos casos de cada tipus. Ara el que tocaria és construir un parell de taules més i comprovar-les. Us convidem a fer-ho.</div></span><div style="text-align: left;"><span><br /></span></div><div style="text-align: left;"><span style="color: #990000; font-size: medium; text-align: left;"><b>Una petita conclusió</b></span></div><div style="text-align: left;"><span style="text-align: left;"><br /></span></div><div style="text-align: left;"><span style="text-align: left;">No hem trobat una estratègia general senzilla de descriure per a qualsevol partida possible segons les opcions de retirada de fitxes. En cada cas l'estratègia serà lleugerament diferent. Però hem vist algunes coses:</span></div><ul><li style="text-align: left;">Hem de considerar si el joc és d'ordre senar o parell.</li><li style="text-align: left;">Per a decidir la jugada hem de mirar la quantitat de fitxes que queden per agafar i si el contrari té una quantitat parell o senar.</li><li style="text-align: left;">Podem fer taules de doble entrada amb la quantitat de fitxes que queden per agafar i indicant si el contrari té una quantitat parell o senar. A cada casella podem indicar la jugada a fer. També podem indicar que si estem allà "estem perduts".</li><li style="text-align: left;">Aquestes jugades fan cicles amb una llargada depenent de l'ordre parell o senar de les possibilitats de tria. Aquests cicles tenen pautes de formació i ens permeten deduir les tirades que corresponen a cada cas a partir dels residus de dividir la quantitat de fitxes que hi ha a la taula entre la llargada del cicle.</li></ul><div style="text-align: left;"><span style="text-align: left;"><b><span style="color: #990000; font-size: medium;">I a l'aula?</span></b></span></div><div style="text-align: left;"><ul><li><span style="text-align: left;">Jugar-hi. Al educació infantil o al cicle inicial de primària ens pot servir per a diferenciar parells de senars.</span></li><li><span style="text-align: left;">A CS de primària o al principi de l'ESO es pot estudiar alguna versió senzilla del joc, amb no masses fitxes (per exemple, 13) i amb poques opcions de tria (1-2 o 1-2-3). Per a poques fitxes es poden fer diagrames en arbre i marcar les estratègies. També podem proposar directament les taules per a omplir. En aquests cas haureu d'optar per si poseu les de quatre files o les reduïdes de dues. En tot cas, per a algunes situacions, sobre tot les que determinaran caselles verdes, convindrà fer arbres reduïts per veure si porten a caselles de la taula ja conegudes. </span></li><li><span style="text-align: left;">D'aquestes versions es poden fer programes amb <i>Scratch </i>o <i>Snap </i>ajustats: per a una quantitat fixa de fitxes i determinant sempre qui comença, si la màquina o l'humà.</span></li><li><span style="text-align: left;">Amb els més grans es pot treballar un model de joc, per exemple 1-2-3 i després, per grups, treballar altres possibilitats (1-2, 1 a 4, etc.). A continuació, col·lectivament es poden buscar les pautes de les diferents taules i, si es vol, fer programes més sofisticats a partir de l'estudi dels residus.</span></li><li><span style="text-align: left;">I, a qualsevol edat, es poden explorar variants del joc: qui té parell perd, es poden agafar de 2 a 4 fitxes, etc.</span></li></ul></div></div><p></p>
</div>
</div></div></div><div>
</div></div></div>
Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7448640108700542412.post-77953651838099177632021-04-25T12:25:00.005+02:002021-04-25T12:36:39.289+02:00Un problema porta a un altre... (Loop de loops)<p> Al concurs del <a href="https://fm.feemcat.org/?p=1376" target="_blank">Fem Matemàtiques del 2020</a> un dels problemes estrella va ser el del <i>Loop de loops</i> que va aparèixer, amb diferents variants, a les tres categories principals. És un problema prou ric i sobre el que es poden fer diferents enfocaments. Posteriorment, al <i>Banc de Recursos del Fem Matemàtiques</i> li han dedicat dos articles d'anàlisi (<a href="https://bancfm.blogspot.com/2020/05/loop-de-loops-i-6e-primaria-i-eso.html" target="_blank">1</a> i <a href="https://bancfm.blogspot.com/2020/07/loop-de-loops-iii-fm20-1r-eso.html" target="_blank">2</a>) amb exemples de solucions d'alumnat i propostes d'avaluació. Vegem un dels sues plantejaments i que es correspon amb el que es va proposar a 1r d'ESO:</p><p></p><ul style="text-align: left;"><li>Agafem un dau i el tirem cinc vegades. Anotem ordenadament es resultats. Per exemple 2,4, 3, 2 i 5.</li><li>Sobre una quadrícula fem un segment de tantes unitats com el primer resultat. Girem 90º a la dreta i fem un altre segment d'una longitud. Girem 90º a la dreta... i així fins a dibuixar els cinc segments.</li></ul><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-7D_NgN08Rq0/YHXLUcNS0aI/AAAAAAAAGPk/MffmDSDCeFUZLBo1eizwCJG98IrGL_weQCLcBGAsYHQ/s176/ex_loop1.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="171" data-original-width="176" src="https://1.bp.blogspot.com/-7D_NgN08Rq0/YHXLUcNS0aI/AAAAAAAAGPk/MffmDSDCeFUZLBo1eizwCJG98IrGL_weQCLcBGAsYHQ/s0/ex_loop1.png" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li>Des del punt on hem acabat girem 90º en el mateix sentit i repetim el procés.</li></ul><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-LSMj0r6QS80/YHXLrWZ3QwI/AAAAAAAAGPs/ZZWmav6AHk00Ny3qFjz2Zsrqn49CCt1HACLcBGAsYHQ/s245/ex_loop2.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="245" data-original-width="210" src="https://1.bp.blogspot.com/-LSMj0r6QS80/YHXLrWZ3QwI/AAAAAAAAGPs/ZZWmav6AHk00Ny3qFjz2Zsrqn49CCt1HACLcBGAsYHQ/s0/ex_loop2.png" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li>I continuem tantes vegades com siguin necessàries fins que tornem al punt d'inici i tanquem el <i>loop</i>. En el nostre exemple cal fer-ho dues vegades més.</li></ul><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-hYLynh_QA6Q/YHXMyT_XvVI/AAAAAAAAGP0/rMHM0bfE4bgmBR2meKp_PD9lCgnmcdcWACLcBGAsYHQ/s470/ex_loop3.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="270" data-original-width="470" src="https://1.bp.blogspot.com/-hYLynh_QA6Q/YHXMyT_XvVI/AAAAAAAAGP0/rMHM0bfE4bgmBR2meKp_PD9lCgnmcdcWACLcBGAsYHQ/s16000/ex_loop3.png" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">La sèrie 1-4-5-3-3 (90º) necessita 4 iteracions per a tancar el <i>loop</i></td></tr></tbody></table><br /><div style="text-align: center;"><br /></div></div>Ja podem imaginar que canviar les sèries, en nombres, en quantitat de nombres, en ordre dels nombres, en tipus... dona un joc increïble amb resultats molts sorprenents i estètics. I que també podem canviar els angles. Per exemple treballant en una trama isomètrica podrem fer girs de 60º o 120º. Fer un <i>applet</i> amb <i>GeoGebra</i>, amb <i>Scratch</i> o <i>Snap</i> ens pot permetre treballar amb qualsevol sèrie numèrica i qualsevol angle. En el fons, era un dels treballs típics que es feia antigament amb el <a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Llenguatge_de_programaci%C3%B3_Logo" target="_blank">Logo</a>.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-qCkJmpf7tuo/YHXRKFr5KYI/AAAAAAAAGP8/e2EEHzLl73Qp2C0eqLxkWV0Ft2-J2MiWgCLcBGAsYHQ/s492/4exemples.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="434" data-original-width="492" src="https://1.bp.blogspot.com/-qCkJmpf7tuo/YHXRKFr5KYI/AAAAAAAAGP8/e2EEHzLl73Qp2C0eqLxkWV0Ft2-J2MiWgCLcBGAsYHQ/s16000/4exemples.png" /></a></div>Descobrirem fàcilment que no totes les sèries de daus tanquen amb un angle determinat.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-4gK1HGPeCZA/YHcaPKZUAXI/AAAAAAAAGQE/kMBt8GUTqIsSyzxj_p-2IcKH4Yj-Fo2vACLcBGAsYHQ/s600/no_tanquen.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="178" data-original-width="600" src="https://1.bp.blogspot.com/-4gK1HGPeCZA/YHcaPKZUAXI/AAAAAAAAGQE/kMBt8GUTqIsSyzxj_p-2IcKH4Yj-Fo2vACLcBGAsYHQ/s16000/no_tanquen.png" /></a></div><br /><div style="text-align: left;">Abans d'entrar en la nostra proposta, pot ser interessant fer un incís i mirar-ne una altra, molt ajustada per a primària i principis de l'ESO, que vaig sentir a Marc Caelles (<a href="https://twitter.com/caellesmarc?lang=ca" target="_blank">@caellesmarc</a>) en una presentació d'<a href="https://innovamat.com/ca/" target="_blank">Innovamat</a>. Es tracta de reduir la sèrie de nombres a tres (no tenen perquè ser les tirades d'un dau) i amb un angle de 90º. L'activitat es basa en fer diferents <i>loops</i>, classificar-los segons la forma i buscar la pauta numèrica que fa que s'obtingui un tipus de <i>loop</i> o un altre. A continuació teniu un enllaç a un <i>applet</i> de GeoGebra que us permetrà experimentar. La resposta a la investigació la trobareu a la <a href="https://youtu.be/G6SwRO6LXiM?t=3150" target="_blank">xerrada d'en Marc (minut 52)</a>.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-Jc_Hc66-uVo/YHcpLq8-4lI/AAAAAAAAGQM/A-fOb6PT3TsP_rwOj1V4V_HIDcj1dqE6ACLcBGAsYHQ/s680/geogebra_loops.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="420" data-original-width="680" height="248" src="https://1.bp.blogspot.com/-Jc_Hc66-uVo/YHcpLq8-4lI/AAAAAAAAGQM/A-fOb6PT3TsP_rwOj1V4V_HIDcj1dqE6ACLcBGAsYHQ/w400-h248/geogebra_loops.png" width="400" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><a href="https://www.geogebra.org/m/xc3k3rgy" target="_blank">Enllaç a l'applet</a></td></tr></tbody></table><br /><div style="text-align: center;"><br /></div><div style="text-align: left;">Anem ara a centrar la nostra investigació en dues preguntes:</div><div style="text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li>Podem saber si un <i>loop</i> tancarà o no abans de dibuixar-lo?</li><li>Afecten les mides dels segments al tancament?</li></ul></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #990000; font-size: medium;">Ens hi posem?</span></b></div><span><a name='more'></a></span><div style="text-align: left;">Farem totes les activitats amb longitud de segments obtingudes amb daus. D'aquesta manera no augmentem la quantitat de longituds a estudiar i treballarem sempre amb nombres naturals.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #990000;">Tancarà o no tancarà?</span></b></div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;">Com sempre el millor és anar experimentant i prenent dades, més o menys ordenades, dels resultats que anem obtenint.. Una bona ajuda pot ser fabricar-se un programa. Scratch o Snap són ideals. Aquí en teniu un exemple millorable. Primer us demanarà la quantitat de daus (de segments) i després l'angle de gir en graus. Prement la tecla "espai" podreu anar fent <i>loops</i>. Un so i un missatge detectaran el tancament del <i>loop</i> (tot i que el programa no sempre detecta el tancament).</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: center;"><iframe allow="geolocation; microphone; camera" allowfullscreen="" frameborder="0" height="390" src="https://snap.berkeley.edu/embed?project=Loop%20de%20loops&user=joanjareno" width="480"></iframe></div><div style="text-align: center;"><a href="https://snap.berkeley.edu/project?user=joanjareno&project=Loop%20de%20loops" target="_blank">Enllaç al programa en Snap</a></div><div style="text-align: center;"><br /></div><div style="text-align: left;">Podem començar provant diferents quantitat de daus amb un angle determinat, per exemple 90º. Algunes observacions possibles poden ser aquestes.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-F5Ab3HnzFs0/YH1dC3fj3gI/AAAAAAAAGSw/s0ByEGzBzRoFikdhxx7aBEYF1KAY3uj1wCLcBGAsYHQ/s567/taula%2B90%2Bgraus.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="258" data-original-width="567" src="https://1.bp.blogspot.com/-F5Ab3HnzFs0/YH1dC3fj3gI/AAAAAAAAGSw/s0ByEGzBzRoFikdhxx7aBEYF1KAY3uj1wCLcBGAsYHQ/s16000/taula%2B90%2Bgraus.png" /></a></div><br /><div style="text-align: left;">Després podem seguir amb altres angles. Només afegirem un altre exemple: una taula més: 60º.</div><div style="text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-xkYotbV0efU/YH1e4jbxGPI/AAAAAAAAGS4/0hn4jmZhVRsLgVmCkDwqqdN2c6GFwSpygCLcBGAsYHQ/s582/taula%2B60%2Bgraus.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="275" data-original-width="582" src="https://1.bp.blogspot.com/-xkYotbV0efU/YH1e4jbxGPI/AAAAAAAAGS4/0hn4jmZhVRsLgVmCkDwqqdN2c6GFwSpygCLcBGAsYHQ/s16000/taula%2B60%2Bgraus.png" /></a></div><br /><div style="text-align: left;">Si continuem experimentant podrem començar a fer les nostres primeres conjectures. Per exemple:</div><div style="text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li>Excepte en alguns casos el resultats dels daus no influeix.</li><li>Sembla que influeix quan la quantitat de daus multiplicada per l'angle fa un múltiple de 360 (4·90, 8·90, 6·60)</li><li>La quantitat d'iteracions necessàries per tancar varia però s'intueixen algunes relacions de divisibilitat. Per exemple, amb 90º es poden endevinar per si la quantitat de daus és parell o senar. I amb 60º algunes quantitats de segments tenen les mateixes iteracions: 5-7, 2-4-8, 3-9.</li></ul></div><div style="text-align: left;">Un cop tenim unes primeres conjectures hem d'anar fent proves noves per confirmar-les, depurar-les o descartar-les. I així, de mica en mica, podem arribar a una fórmula com la següent, que ens dona les iteracions per a la majoria de casos (<i>n</i> és la quantitat de daus i α l'angle de gir).</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-syb_WUKpxSw/YH1ikj4jkzI/AAAAAAAAGTA/AeCfOkWXWII_1jp0Tn_UirPNZiIx4AV3ACLcBGAsYHQ/s314/formula%2Bloops.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="68" data-original-width="314" src="https://1.bp.blogspot.com/-syb_WUKpxSw/YH1ikj4jkzI/AAAAAAAAGTA/AeCfOkWXWII_1jp0Tn_UirPNZiIx4AV3ACLcBGAsYHQ/s0/formula%2Bloops.png" /></a></div>En tot cas, cal separar els casos en els que no sempre tanca i és quan <i>n</i>·α és un múltiple de 360. De fet pràcticament no tanquen mai. Però segons els valors dels daus sí que poden tancar formant un polígon d'<i>n</i> costats. Gairebé podem contestar la nostra primera pregunta. Podem saber quan un <i>loop</i> tancarà si <i>n·</i>α no és múltiple de 360 i, a més, endevinar la quantitat d'iteracions. Us deixem pensar la justificació de la fórmula. Ara passarem a la segona pregunta i que lliga perfectament amb la qüestió que ens ha quedat pendent: aquelles vegades que tancarà quan <i>n·</i>α és múltiple de 360.<br /><div style="text-align: center;"><b><br /></b></div><div style="text-align: left;"><span style="color: #990000;"><b>Com afecten les mides dels segments?</b></span></div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;">Hem vist que, en general, no afecten i podem saber si el <i>loop</i> tancarà o no. De fet, només tenim un cas de dubte: quan el producte de la quantitat de segments per l'angle de gir és 360º o un múltiple d'aquest. Com sempre, una bona tècnica és reduir el problema. Estudiar alguns casos i cenyir-nos majoritàriament a que el producte sigui exactament 360º pot ser un bon començament. Anunciem ja, però, que en aquest cas no trobarem una solució general.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li><b><span style="font-size: medium;">Girs de 90º</span></b></li></ul>Només tenim problemes per a tancar amb 90º si la quantitat de segments és 4, 8, 12... ja que 90 és un divisor de 360. </div><div style="text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-YIV0B2pkUBM/YH7t1o_ynqI/AAAAAAAAGTM/VNeW0hM1id4DW3NLE8CG0k3dMq9dTUewACLcBGAsYHQ/s754/90_4-8-12-16.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="462" data-original-width="754" height="392" src="https://1.bp.blogspot.com/-YIV0B2pkUBM/YH7t1o_ynqI/AAAAAAAAGTM/VNeW0hM1id4DW3NLE8CG0k3dMq9dTUewACLcBGAsYHQ/w640-h392/90_4-8-12-16.png" width="640" /></a></div><br /><div style="text-align: left;">Però, segons les mesures dels segments, hi ha casos ens els que sí es tanca. Amb quatre segments és molt fàcil pensar en el cas de l'obtenció d'un rectangle si les mides es repeteixen en la seqüència <i>a-b-a-b</i>.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-IVZGI3UobE0/YH7wYkhjxKI/AAAAAAAAGTU/74YX6ydxGTs-STsh8OR5bF9VKJFTGh8DQCLcBGAsYHQ/s234/rectangle.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="177" data-original-width="234" src="https://1.bp.blogspot.com/-IVZGI3UobE0/YH7wYkhjxKI/AAAAAAAAGTU/74YX6ydxGTs-STsh8OR5bF9VKJFTGh8DQCLcBGAsYHQ/s0/rectangle.png" /></a></div><br /><div style="text-align: left;">Estudiem, en aquest cas, quan tancarà amb 8 segments. Especialment perquè ens donarà idees per a altres angles. Mirem aquest exemple:</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-yb4a_1HPP9Q/YH78uTfUWZI/AAAAAAAAGTw/HDHHBj3sGa8wYuzHomn_Yvkrn6n6f9fagCLcBGAsYHQ/s336/8_tanca90.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="336" data-original-width="195" src="https://1.bp.blogspot.com/-yb4a_1HPP9Q/YH78uTfUWZI/AAAAAAAAGTw/HDHHBj3sGa8wYuzHomn_Yvkrn6n6f9fagCLcBGAsYHQ/s16000/8_tanca90.png" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Hem assenyalat amb colors diferents els segments que dibuixem caminant cap a l'est, cap al sud, a l'oest i al nord. Si hem d'acabar on hem començat tots els desplaçaments horitzontals s'han d'anular entre sí: els que van a l'est amb els que van a l'oest. I els verticals també: els que s'orienten al nord han de sumar tant com els que s'orienten al sud.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-UUFGOLdE4Kg/YH79MsVrZ9I/AAAAAAAAGT4/NHbtQeI33b0bpnP3e7xFYCBNeRCaPp3jgCLcBGAsYHQ/s442/8_tanca90_b.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="380" data-original-width="442" src="https://1.bp.blogspot.com/-UUFGOLdE4Kg/YH79MsVrZ9I/AAAAAAAAGT4/NHbtQeI33b0bpnP3e7xFYCBNeRCaPp3jgCLcBGAsYHQ/s16000/8_tanca90_b.png" /></a></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Així si tenim 8 segments <i>a-b-c-d-e-f-g-h</i>, el assignem un signe (positiu per a E i N i negatiu per a O i S) s'hauran d'acomplir les següents relacions:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-size: medium;"><i>a-c+e-g </i>= 0 → <i>a+e = c+g</i></span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-size: medium;"><i>-b+d-f+h </i>= 0 → <i>b+g = d+h</i></span></div><br /><div style="text-align: left;">Podem estendre aquesta idea a altres quantitats de segments múltiples de 4.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li><b><span style="font-size: medium;">Girs de 60º</span></b></li></ul>Amb sis segments i girs de 60º normalment no es tanca <i>loop</i>. Però per poc que experimentem utilitzant GeoGebra trobarem algunes solucions. En aquest <i>applet</i> podeu anar fent proves i trobareu que no és gaire difícil fer tancar el polígon.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: center;"><iframe height="384px" scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/r483ajwx/width/544/height/384/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" style="border: 0px;" title="Tancar polígon (6 segments - angle de gir 60º)" width="544px"> </iframe></div><div style="text-align: center;"><span color="rgba(0, 0, 0, 0.870588235294118)" face="-apple-system, BlinkMacSystemFont, Segoe UI, Roboto, Oxygen, Ubuntu, Cantarell, Fira Sans, Droid Sans, Helvetica Neue, sans-serif"><span style="font-size: 15px; white-space: pre;"><a href="https://www.geogebra.org/m/qxsytftm" target="_blank">https://www.geogebra.org/m/qxsytftm</a></span></span></div><div style="text-align: center;"><br /></div><div style="text-align: left;">Hi ha casos que són fàcils:</div><div style="text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li>quan els sis segments són iguals</li><li>el cas en què els tres primers segments són iguals als tres segons (en mida i ordre).</li></ul><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-04dDGhXZFk8/YH8FFch5uPI/AAAAAAAAGUA/3BwArxCbzSwv_1B_Oqqs4LLvKBqENo5PACLcBGAsYHQ/s474/6tanquen_facils.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="265" data-original-width="474" src="https://1.bp.blogspot.com/-04dDGhXZFk8/YH8FFch5uPI/AAAAAAAAGUA/3BwArxCbzSwv_1B_Oqqs4LLvKBqENo5PACLcBGAsYHQ/s16000/6tanquen_facils.png" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">El segment més gruixut és el primer i es comença en direcció est.</td></tr></tbody></table><br /><div style="text-align: left;">Però també trobarem casos més irregular. Per exemple aquest en el què tots els segments tenen mesures diferents.</div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-p8TZyOKtoEE/YH8Fzxy46PI/AAAAAAAAGUI/uDiRzdw03bAiCpOFiQgg_Avn_51mZZFRgCLcBGAsYHQ/s282/6tanca.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="282" data-original-width="249" src="https://1.bp.blogspot.com/-p8TZyOKtoEE/YH8Fzxy46PI/AAAAAAAAGUI/uDiRzdw03bAiCpOFiQgg_Avn_51mZZFRgCLcBGAsYHQ/s0/6tanca.png" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Posem amb el mateix color els costats paral·lels</td></tr></tbody></table><br /><div style="text-align: left;">El que és curiós és que es pot trobar una relació numèrica relativament senzilla entre les mesures. Posem quatre exemple per si ho voleu pensar. La manera d'agrupar-los i els nombre en negreta són una pista.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: center;"><span style="font-size: medium;">1-<b>5</b>-3 | 4-<b>2</b>-6</span></div><div style="text-align: center;"><span style="font-size: medium;">4-<b>6</b>-3 | 3-<b>7</b>-2</span></div><div style="text-align: center;"><span style="font-size: medium;">5-<b>7</b>-4 | 4-<b>8</b>-3</span></div><div style="text-align: center;"><span style="font-size: medium;">6-<b>4</b>-4 | 4-<b>6</b>-2</span></div></div><div style="text-align: left;"> </div></div>No cal dir que al ser polígons "cíclics" qualsevol permutació ordenada de la sèrie de sis segments acomplirà la mateixa propietat.<div><br /></div><div><div style="text-align: center;"><span style="font-size: medium;">1-<b>5</b>-3 | 4-<b>2</b>-6 <span> → 5-<b>3</b>-4 | 2-6-1 </span><span>→ 3-<b>4</b>-2 | 6-<b>1</b>-5 </span><span>→ etc.</span></span></div><div style="text-align: center;"><br /></div><div style="text-align: left;">Gràficament la idea és que busqueu una relació entre cada grup de segments. I que el valor del que és més gruixut "pesa més" que els dels altres dos del mateix color.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-WEhZgsWJs0E/YH8WLuXf16I/AAAAAAAAGUQ/WVMoePOZgF0JjUwgifSVTI_6DBEmPfCcwCLcBGAsYHQ/s333/relacions_hexagon1.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="282" data-original-width="333" src="https://1.bp.blogspot.com/-WEhZgsWJs0E/YH8WLuXf16I/AAAAAAAAGUQ/WVMoePOZgF0JjUwgifSVTI_6DBEmPfCcwCLcBGAsYHQ/s16000/relacions_hexagon1.png" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Curiosament la condició insinuada és "necessària, però no suficient". Si heu descobert la relació veure que aquesta sèrie de segments acompleix la relació però el polígon no es tanca.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-jweuEUGGQ1I/YH8ZiwjDoTI/AAAAAAAAGUY/05wvANDzJrsTvMeDDUiMJaKU7PDf2kU_wCLcBGAsYHQ/s242/6notanca.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="208" data-original-width="242" src="https://1.bp.blogspot.com/-jweuEUGGQ1I/YH8ZiwjDoTI/AAAAAAAAGUY/05wvANDzJrsTvMeDDUiMJaKU7PDf2kU_wCLcBGAsYHQ/s16000/6notanca.png" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">6-<b>3</b>-2 | 1-<b>6</b>-1</td></tr></tbody></table><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Cal que s'acompleixi una altra relació entre els dos parells de costats de l'hexàgon marcats amb colors.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-hHJWy7PM1Cw/YH8bYOVRACI/AAAAAAAAGUg/cKR2ALr815IKHFmE1RcxN9iap2pGNubpwCLcBGAsYHQ/s546/2condicions.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="208" data-original-width="546" src="https://1.bp.blogspot.com/-hHJWy7PM1Cw/YH8bYOVRACI/AAAAAAAAGUg/cKR2ALr815IKHFmE1RcxN9iap2pGNubpwCLcBGAsYHQ/s16000/2condicions.png" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Les dues condicions "il·lustrades"</td></tr></tbody></table><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Al final de l'article trobareu les solucions i un enllaç a una demostració del per què d'aquestes relacions.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li><b>Girs de 45º</b></li></ul>Un cop més si la quantitat de costats no és 8 (360/45) o un múltiple de 8, els <i>loops</i> es tanquen. I si és 8, 16, 24... normalment no tanquen però hi ha ocasions que sí, depenent de la longitud dels segments. Podem provar amb aquest <i>applet</i> amb GeoGebra (8 segments) i observarem que només tanca si els costats paral·lels són iguals entre sí.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-GZIG5giAmyk/YH_MsKR7jvI/AAAAAAAAGUo/rGeZiMQFAXIkp78024Nr8zMU5pRK6Fm7ACLcBGAsYHQ/s281/8tancat.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="275" data-original-width="281" src="https://1.bp.blogspot.com/-GZIG5giAmyk/YH_MsKR7jvI/AAAAAAAAGUo/rGeZiMQFAXIkp78024Nr8zMU5pRK6Fm7ACLcBGAsYHQ/s0/8tancat.png" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><i>a-b-c-d-a-b-c-d</i><br /><a href="https://www.geogebra.org/m/bpnepwjb" target="_blank">https://www.geogebra.org/m/bpnepwjb</a></td></tr></tbody></table><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li><b>Girs de 72º</b></li></ul>Amb aquest angle de gir sempre tancarà si la quantitat de segments no és un múltiple de 5 (360/72). I per a 5 segments només tancarà sí tots els segments són iguals i formen un pentàgon regular. Ho podem experimentar amb aquest <i>applet</i> fet amb GeoGebra.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-iueVsPUBK5w/YIU2CSV2zGI/AAAAAAAAGVU/iJM9HJB3fvMQcwRXXsKe12KAR_VPGay3QCLcBGAsYHQ/s529/pentagon_no_tanca.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="312" data-original-width="529" src="https://1.bp.blogspot.com/-iueVsPUBK5w/YIU2CSV2zGI/AAAAAAAAGVU/iJM9HJB3fvMQcwRXXsKe12KAR_VPGay3QCLcBGAsYHQ/s16000/pentagon_no_tanca.png" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><a href="https://www.geogebra.org/m/tud3dznv" target="_blank">https://www.geogebra.org/m/tud3dznv</a></td></tr></tbody></table><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li><b>Gir de 30º</b></li></ul>Un cop més només tenim dubtes de si tancarà o no quan la quantitat de segments és 12 (o un múltiple). Si experimentem amb aquest <i>applet</i> veurem que és complicat, però no impossible, trobar polígons més enllà dels casos trivials del regular i dels que tenen la primera meitat de costats igual a la segona.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-451yUQR6fAY/YH_TINC4s2I/AAAAAAAAGUw/69uFVandeEYjoWg_78aDP2CcIDRAwiO7QCLcBGAsYHQ/s410/12tancat.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="410" data-original-width="357" height="320" src="https://1.bp.blogspot.com/-451yUQR6fAY/YH_TINC4s2I/AAAAAAAAGUw/69uFVandeEYjoWg_78aDP2CcIDRAwiO7QCLcBGAsYHQ/s320/12tancat.png" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><a href="https://www.geogebra.org/m/bb6gbtwa" target="_blank">https://www.geogebra.org/m/bb6gbtwa</a></td></tr></tbody></table><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Una investigació a fons ens permetrà descobrir que s'han d'acomplir quatre condicions simultànies i que tenen una bonica simetria. També guarden una certa relació d'aparença amb el cas de 60º.</div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-KDRF1vb2Too/YH_WtSpTFKI/AAAAAAAAGU4/0bFD2JM5fno4xPqw2BXJWyb_bID51TPNgCLcBGAsYHQ/s552/12condicions.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="552" data-original-width="472" src="https://1.bp.blogspot.com/-KDRF1vb2Too/YH_WtSpTFKI/AAAAAAAAGU4/0bFD2JM5fno4xPqw2BXJWyb_bID51TPNgCLcBGAsYHQ/s16000/12condicions.png" /></a></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Aquests relacions costen molt de trobar per tempteig. Aquí les hem esbrnat utilitzant trigonometria. Al final de l'article trobareu un enllaç que les justifica. Sense descomptar els casos invertits, cíclics o que hem qualificat de trivials, i amb nombres de l'1 al 6, hi ha 443 556 solucions.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li><b>Fem resum de la segona pregunta</b></li></ul>La mida dels segments no compta en la majoria de casos perquè el <i>loop</i> tanqui. Només quan aquesta quantitat multiplicada per l'angle dona un múltiple de 360. En aquest cas la majoria de vegades el <i>loop</i> no tanca. Però hi ha excepcions que s'han de mirar cas per cas, angle a angle. Sense poder fer unes regles generals, podem fer algunes conjectures:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li>Quan la quantitat de segments és senar sempre es pot fer el polígon regular. Probablement és l'única solució.</li><li>Quan la quantitat de segments és parell sempre podem fer el polígon regular o aquells en que la primera meitat de segments coincideix, un a un, amb la segona meitat. Per exemple, per a 6 segments: <i>a-b-c-a-b-c.</i></li><li>Per a determinats angles podem trobar solucions més irregulars quan els costats acompleixen un conjunt de relacions. Podem sospitar que només passa amb angles de 30º i 60º. Les raons no les hem insinuat fins ara, però tenen a veure amb la racionalitat del seu sinus i cosinus respectivament.</li></ul></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><span style="color: #990000; font-size: medium;"><br /></span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><span style="color: #990000; font-size: medium;">I a l'aula?</span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li>Les propostes del <i>Fem Matemàtique</i>s són perfetament aplicables en els seus cursos assignats des del concurs i les tenim ben explicades en els enllaços que hem posat del <i>Banc de Recursos</i>.</li><li>La de tres segments amb angles de 90º d'Innovamat (també enllaçada abans) és magnífica per a primària. </li><li>Des del <a href="https://blog.mrmeyer.com/2015/announcing-the-winner-of-our-fall-contest/" target="_blank">blog de Dan Meyer</a> can organitzar un concurs artístic amb <i>loops</i> de 90º que pot donar bones idees per afegir un plus a l'activitat.</li></ul><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-z8xTJs54FgU/YIVGK46vJwI/AAAAAAAAGVc/EcdijWH4jOo0tTeoWtTsv9VfSPdFUXTnQCLcBGAsYHQ/s429/151012_1.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="403" data-original-width="429" src="https://1.bp.blogspot.com/-z8xTJs54FgU/YIVGK46vJwI/AAAAAAAAGVc/EcdijWH4jOo0tTeoWtTsv9VfSPdFUXTnQCLcBGAsYHQ/s320/151012_1.png" width="320" /></a></div><ul style="text-align: left;"><li>El cas general de veure quan tanquen o no tanquen depenent de la quantitat de segments i de l'angle és perfectament aplicable a secundària. Pot ser molt interessant fabricar algun programa per a fer els dibuixos automàticament.</li><li>Hi ha programes fets. Aquest, de <a href="http://thewessens.net/ClassroomApps/Main/spirolaterals.html?topic=geometry&id=10" target="_blank">The Mathenæum</a>, construeix amb segments de longituds 1, 2, 3... <i>n</i>.</li><li>El cas específic quan la quantitat de segments <i>n</i> coincideix amb la divisió de 360/α és abordable en general. Especialment els casos de 90º o, per altres angles i amb quantitats parells de segments amb mitges seqüències repetides. El cas de 60º es pot experimentar i amb una bona construcció de taules, recollint dades ordenadament, les dues relacions necessàries són "descobribles". Potser s'han de donar pistes. No cal justificar les relacions.</li><li>També podem investigar quan tancarà o no si, a més de canviar la longitud dels segments, podem canviar cada vegada l'amplitud de l'angle. Només haurem de canviar <i>n·</i>α per la suma dels angles de gir.</li><li>Si volem justificar els casos específics del punt anterior, en quant a les condicions per tancar o no tancar <i>loop</i> a la primera, cal l'ús de la trigonometria. Ho explicarem a continuació. Potser un treball interessant per als més grans.</li></ul><div><br /></div><div><b><span style="color: #990000; font-size: medium;">Respostes i demostracions</span></b></div><div><br /></div><div><ul style="text-align: left;"><li><b>Relacions entre costats per 6 segments i gir de 60º.</b></li></ul></div></div></div><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><div style="text-align: left;">Només es tancarà un polígon directament si les relacions entre els costats són les següents:</div></div></blockquote><p style="text-align: center;"></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-pRAaRllHjyM/YIA6MfzKZFI/AAAAAAAAGVA/zDtDQR3_8GYWeEYjKNvXix_qLK_bdTbvwCLcBGAsYHQ/s546/2condicions_b.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="208" data-original-width="546" src="https://1.bp.blogspot.com/-pRAaRllHjyM/YIA6MfzKZFI/AAAAAAAAGVA/zDtDQR3_8GYWeEYjKNvXix_qLK_bdTbvwCLcBGAsYHQ/s16000/2condicions_b.png" /></a></div><p></p><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><p style="text-align: center;"></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Per a demostrar-ho hem de considerar que, si agafem com a punt se sortida el segment <i>a</i> en sentit Est i agafant la seva direcció com a horitzontal, el total de les distàncies horitzontals recorregudes en direcció E i O han de ser iguals i anul·lar-se entre sí. I que ha de passar el mateix amb els desplaçaments verticals: que el que es camini cap al S es compensi amb el que es camini cap al N. D'aquesta manera acabarem on hem començat i el polígon es tancarà. Per a calcular aquests desplaçaments necessitarem de triangles rectangles auxiliars, per a fer les projeccions dels desplaçaments, i fer els càlculs trigonomètrics associats.</div><p></p></blockquote><p style="text-align: center;"></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-l8outCWQcgs/YIA7o9vFPaI/AAAAAAAAGVI/neXFmzewkswoS5bNoTXhpMF-DbzDbOzzwCLcBGAsYHQ/s716/estudi60_2.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="716" data-original-width="562" src="https://1.bp.blogspot.com/-l8outCWQcgs/YIA7o9vFPaI/AAAAAAAAGVI/neXFmzewkswoS5bNoTXhpMF-DbzDbOzzwCLcBGAsYHQ/s16000/estudi60_2.jpg" /></a></div><br /><p></p><p style="text-align: center;"></p><div style="text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li><b>Demostracions</b></li></ul><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><div style="text-align: left;">Per no carregar l'article us proposem mirar els documents respectius en format pdf:</div></blockquote></div><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px; text-align: left;"><div style="text-align: left;"><p style="text-align: left;"></p><ul style="text-align: left;"><li><a href="https://drive.google.com/file/d/1Z1Q948EqNqzwqSlQ_ngcHlUNgjyUE0To/view?usp=sharing" target="_blank">Girs de 60º i 6 segments</a></li><li><a href="https://drive.google.com/file/d/1aFGDSsA7aNkVf1K2vXv02YYFbaczwqkv/view?usp=sharing" target="_blank">Girs de 30º i 12 segments</a></li><li><a href="https://drive.google.com/file/d/19YpDx1xJpV6VJBtL9IOeiGqXEM6WA_FV/view?usp=sharing" target="_blank">Girs de 45º i 8 segments</a></li><li><a href="https://drive.google.com/file/d/1pEDz-TFM3qSbn1Lq-j8zmLrY3YjIw5rR/view?usp=sharing" target="_blank">Girs de 72º i 5 segments </a></li></ul></div></blockquote><div><p></p></div>Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7448640108700542412.post-51153675741018138142021-03-21T19:32:00.006+01:002021-03-23T11:50:29.384+01:00Estirem el "problema dels pastors i els pans"<p> Si se'm demanés fer una antologia dels deu millors problemes de recreació matemàtica el problema "dels pastors i els pans" ocuparia un lloc d'honor. Crec que el vaig conèixer al llibre de l'<i><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/El_hombre_que_calculaba">Home que calculava</a></i> de <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Malba_Tahan" target="_blank">Malba Tahan</a> (pseudònim del professor brasiler Julio César de Mello i Souza) amb el calculista Beremiz com a protagonista. És el nus del quart capítol on ens parla de "les tres divisions de Beremiz: la divisió senzilla, la divisió correcta i la divisió perfecta". Però apareix a moltíssims altres llibres, normalment en la seva versió amb dos pastors i un caçador com a protagonistes. No he pogut trobar la història d'aquest problema. Però en alguna <a href="https://web.nmsu.edu/~pbaggett/Lessons/loavesOfBread/loavesOfBread.html" target="_blank">pàgina web</a> es diu que aquest ja se li va plantejar al califa <a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Al%C3%AD_ibn_Abi-T%C3%A0lib">Ali-Ibn-Abi Talib</a> (segle VII). També trobem una variant al <i>Liber abaci</i> de Fibonacci (i de la que parlarem més tard).</p><p>L'enunciat és el següent:</p><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Un pastor té 5 pans i un altre en té 3. Al migdia es troben amb un caçador que no porta menjar i, entre els tres, es reparteixen els pans a parts iguals. Al moment d'acomiadar-se el caçador els hi dóna 8 monedes. Com se les han de repartir?</span></p></blockquote><p style="text-align: center;"></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-TFcPuDVfr2Y/YFXEnz74-iI/AAAAAAAAGFE/kivNA0leJSINzSC4KBjQ6-4MUr7XG2RjwCLcBGAsYHQ/s500/8pans.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="282" data-original-width="500" src="https://1.bp.blogspot.com/-TFcPuDVfr2Y/YFXEnz74-iI/AAAAAAAAGFE/kivNA0leJSINzSC4KBjQ6-4MUr7XG2RjwCLcBGAsYHQ/s16000/8pans.jpg" /></a></div><br /><div style="text-align: left;">A l'aula recomanaria, abans de posar-se a resoldre el problema, iniciar una discussió. Fins i tot fer alguna votació sobre els possibles repartiments. Hi haurà alumnat que defensarà que se les reparteixin a parts iguals (que seria la "divisió perfecta" de Beremiz), altres diran que 5 i 3 amb correspondència als pans que es tenien (la "divisió senzilla" de Beremiz). Però solen sortir altres alternatives. Al cap i a la fi si tots dos pastors es posen d'acord qualsevol repartiment pot considerar-se correcte. És un bon moment per discutir sobre si el que és correcte és sempre del tot just. I sobre què vol dir "just". Podem conduir el debat a investigar, si més no, que vol dir "matemàticament just" o "proporcionalment just". I a parlar de "repartiment proporcional" que, com veurem i d'aquí la gràcia del problema, no és cap dels proposats fins ara. Ens falta la "divisió correcta" de Beremiz.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;">Una segona recomanació és fer investigar el problema amb material. Unes tires de paper de dos color diferents (per separar visualment els pans de cada pastor), que es puguin tallar com els pans, i unes fitxes per a representar les monedes poden ser suficients.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-FeQrpMB47bs/YFXOFeZt43I/AAAAAAAAGFk/PK2iKyx-IigCH75OCEZirs342lNKF1-lACLcBGAsYHQ/s650/pastors1.jpg" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="491" data-original-width="650" height="303" src="https://1.bp.blogspot.com/-FeQrpMB47bs/YFXOFeZt43I/AAAAAAAAGFk/PK2iKyx-IigCH75OCEZirs342lNKF1-lACLcBGAsYHQ/w400-h303/pastors1.jpg" width="400" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">El problema representat amb polígons encaixables</td></tr></tbody></table><div style="text-align: center;"><br /></div><div style="text-align: left;">En aquest article abordarem en primer lloc la resolució del problema. Però després intentarem analitzar-lo amb diferents distribucions inicials de pans entre els pastors (1 i 7, 2 i 6...), diferents quantitats totals de pans o de monedes. I intentarem veure quines característiques comuns tenen les solucions trobades. També farem alguna petita incursió històrica en aquesta mena de problemes.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #990000; font-size: medium;">Continuem?</span></b></div><span><a name='more'></a></span><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;">Començarem mirant com fer un repartiment proporcional real de les monedes. La majoria de gent pensa inicialment que el repartiment de 5 i 3 monedes ja ho és perquè es correspon amb la quantitat de pans que tenia cada pastor. Però el repartiment no s'ha de fer en funció del pa que tenien sinó en relació al pa que cadascun ha donat al pastor. Mirem-ho.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;">Inicialment a cadascun dels protagonistes protagonistes li toquen dos pans. Però en sobre altres dos que haurem de dividir en trossos.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-e-eUHuM9I5g/YFXOULiCIjI/AAAAAAAAGFo/prhzjBBBUCszmV_lX0wSEQ2gvUZs3RlOACLcBGAsYHQ/s612/pastors2.jpg" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="519" data-original-width="612" height="339" src="https://1.bp.blogspot.com/-e-eUHuM9I5g/YFXOULiCIjI/AAAAAAAAGFo/prhzjBBBUCszmV_lX0wSEQ2gvUZs3RlOACLcBGAsYHQ/w400-h339/pastors2.jpg" width="400" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">A les imatges tenim els pators (en Pedro i La Heidi) als laterals, i el caçador al mig</td></tr></tbody></table><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Si dividim cada pa en tres trossos veurem que cadascun té 2+2/3 o 8/3 o "dos pans i dos trossos", o "vuit trossos"... La terminologia s'ha d'adaptar a nivell en el què estem treballant el problema.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-Vc51mfzgmIM/YFXNeDCRGpI/AAAAAAAAGFc/689iaj2zCCwthagLeGFONoGW9Bmg0WH9ACLcBGAsYHQ/s733/pastors3.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="497" data-original-width="733" height="271" src="https://1.bp.blogspot.com/-Vc51mfzgmIM/YFXNeDCRGpI/AAAAAAAAGFc/689iaj2zCCwthagLeGFONoGW9Bmg0WH9ACLcBGAsYHQ/w400-h271/pastors3.jpg" width="400" /></a></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Si ara col·loquem les vuit monedes sobre els vuit trossos de pa del caçador veurem, amb l'ajuda dels colors, que al pastor que tenia 5 pans li corresponen 7 monedes i al que en tenia 3 només li en correspon només una.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-XT4jFn-xZB8/YFXUOb47tCI/AAAAAAAAGHc/Fxq_MUrVQgAMbKzi6PufFe1Xsr3HiIxFQCLcBGAsYHQ/s767/pastors4.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="521" data-original-width="767" height="271" src="https://1.bp.blogspot.com/-XT4jFn-xZB8/YFXUOb47tCI/AAAAAAAAGHc/Fxq_MUrVQgAMbKzi6PufFe1Xsr3HiIxFQCLcBGAsYHQ/w400-h271/pastors4.jpg" width="400" /></a></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Si el problema "dels pastors i els pans" ocupa un lloc especial a la meva llista de preferits de recreació matemàtica, no és pel seu plantejament, molt semblant a altres problemes de repartiments proporcionals, sinó per la sorpresa que produeix el seu resultat: el contrast entre el repartiment intuïtiu (5 i 3) amb el "correcte" (7 i 1).</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Evidentment, a aquest mateix resultat es pot arribar per moltes vies. Sovint he utilitzat a l'aula una taula com la següent.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-k_UBDhPOmH0/YFXWIsvztJI/AAAAAAAAGHk/8m-xS-x8e-Q6Kx6ckoAtamAoeSEi2qZywCLcBGAsYHQ/s559/taula.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="176" data-original-width="559" src="https://1.bp.blogspot.com/-k_UBDhPOmH0/YFXWIsvztJI/AAAAAAAAGHk/8m-xS-x8e-Q6Kx6ckoAtamAoeSEi2qZywCLcBGAsYHQ/s16000/taula.png" /></a></div><div><br /></div>La clau en qualsevol que sigui el mètode de resolució, està en tenir en compte que els pastors també mengen pa i que el repartiment de monedes depèn del pa que li en dona cadascú al caçador.<div><br /></div><div>Es pot crear un debat interessant a l'aula si intentem representar la taula anterior amb fraccions. Té sentit perquè fem trossos dels pans i perquè hem de representar també proporcions amb els diners. Si preguntem quina és la part de pa, en fraccions, que ha menjat cadascun del protagonistes hi haurà alumnes que diran que 8/24, posant al denominador la quantitat total de trossos, en comptes de 8/3, posant al denominador la mida del tros. No és un tema menor.</div><div><br /></div><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-hpJPk-tk1Pk/YFYiTcnUujI/AAAAAAAAGHs/jO7_ToMKaN8IxWIT8b1zuQEhcWPs7VeuACLcBGAsYHQ/s410/taula2.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="231" data-original-width="410" src="https://1.bp.blogspot.com/-hpJPk-tk1Pk/YFYiTcnUujI/AAAAAAAAGHs/jO7_ToMKaN8IxWIT8b1zuQEhcWPs7VeuACLcBGAsYHQ/s16000/taula2.png" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><span style="color: #990000;">La versió de Fibonacci</span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><span style="color: #990000;"><br /></span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Al <i><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Liber_Abaci" target="_blank">Liber abaci</a></i> (1202) de <a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Leonardo_de_Pisa" target="_blank">Leonardo da Pisa</a> (conegut com a Fibonacci) trobem una altra versió del problema: "De duobus hominibus habentibus panes"</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div></div><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><div class="separator" style="clear: both;"><div class="separator" style="clear: both;">"Un dia dos homes tenien un tres pans i l'altre dos. Van anar a passejar prop d'una font. Quan van arribar a aquest lloc, es van asseure a menjar. Va passar un soldat. El van convidar. Es va asseure i va menjar amb ells, tenint cada convidat part igual. Quan es van menjar tots els pans, el soldat se'n va anar, deixant-los cinc monedes pel preu del menjar. D'aquests diners, el primer va agafar 3 monedes, com ell va portar tres pans; l'altre, per la seva banda, va agafar les 2 monedes que quedaven pel preu dels seus dos pans. Demanem si s'ha compartit bé. Alguns ignorants han afirmat que aquesta divisió era correcta, ja que cadascun dels dos homes havia rebut una moneda per un pa. Però això és fals. De fet, van menjar tots tres pans. D'allà se'n desprèn que cadascun ha tingut un pa i dos terços; el soldat va menjar un pa i un terç, és a dir quatre terços, dels pans del que tenia tres pans. Pans de l'altre, no va menjar més d'un terç de pa. Per això haurien de ser quatre peces al primer dels dos homes i només una al segon."</div></div></div></blockquote><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><span style="color: #990000; font-size: medium;">Primera "estirada" al problema: mirem altres distribucions de pans</span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Tornem al nostre enunciat original. Hi ha un aspecte inicial a considerar en aquest problema. El preu del pa el marca el caçador. El fet de que reparteixi vuit monedes, i que aquesta quantitat coincideixi amb la de pans, és el que porta a l'equívoc habitual de fer coincidir el repartiment amb la distribució de pans inicials. Si el caçador hagués donat cinc monedes segurament ens hauríem posat a calcular de seguida i no hauríem fet la "divisió senzilla", tal com l'anomenava Beremiz. Sobre aquest tema tornarem més tard.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Ara imaginarem que la quantitat de pans totals continua sent vuit i que les monedes que dona el caçador són també vuit. Però que la distribució inicial de pans és diferent. Per exemple, que un pastor té 7 pans i l'altra un. Com s'haurien de repartir els diners? Mirem-ho amb un taula similar a la primera que hem fet. Però ara apareixeran uns nombres negatius que hem d'interpretar.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-ELw-3OW_KqY/YFYpYPb3Y9I/AAAAAAAAGH0/GWG7sZBw0Do9QJv_8yMaXLgQm9SFuCnZQCLcBGAsYHQ/s416/taula3.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="176" data-original-width="416" src="https://1.bp.blogspot.com/-ELw-3OW_KqY/YFYpYPb3Y9I/AAAAAAAAGH0/GWG7sZBw0Do9QJv_8yMaXLgQm9SFuCnZQCLcBGAsYHQ/s16000/taula3.png" /></a></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Què significa que el 2n pastor dona -5 trossos? El que vol dir és que n'ha rebut cinc del primer. I el -5 de la fila de les monedes? Que hauria de pagar cinc monedes al primer pastor. Però, perquè el 1r pastor ara ha de rebre 13 monedes en comptes de 8? Perquè el caçador ha fixat un preu sobre el que ha rebut: cada terç de pa val una moneda. El segon pastor li hauria de donar 5 monedes també pel pa que s'ha menjat de l'altre. Segurament el 1r pastor es quedarà les vuit monedes i perdonarà al 2n pastor. Però això ja és terreny de la ficció sobre la ficció.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Podem fer una taula que reculli totes les distribucions possibles. Potser que ens ajudem d'un full de càlcul. Els pans que posen ens indiquen les monedes que han de rebre (o a pagar si el resultat és negatiu).</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-l1jGLFFq5ic/YFYtPU2KjGI/AAAAAAAAGH8/spvchqCf4OgL8aSkA2AltjiKu7eXe0HVACLcBGAsYHQ/s500/taula4.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="218" data-original-width="500" src="https://1.bp.blogspot.com/-l1jGLFFq5ic/YFYtPU2KjGI/AAAAAAAAGH8/spvchqCf4OgL8aSkA2AltjiKu7eXe0HVACLcBGAsYHQ/s16000/taula4.png" /></a></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Com veiem, si no tenim en compte simetries, hi ha dues distribucions amb tots dos resultats positius : 3-5 pans (1-7 monedes) i 4-4 pans (4-4) monedes.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><span style="color: #990000; font-size: medium;">Segona "estirada" al problema: canviem la quantitat de pans</span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;">Una altra pregunta que ens podem fer és què passa si canviem la quantitat de pans i estudiem diferents distribucions, però mantenint que la quantitat de monedes que el caçador paga coincideix amb el total de pans inicials. Amb l'ús d'un full de càlcul tampoc és massa complicat omplir una taula. També podem distribuir entre petits grups d'alumnes l'estudi de diferents quantitats de pans per a començar. A la imatge teniu la taula per a 17 pans inicials i 17 monedes. Com abans, els pans posats ens indiquen les monedes a rebre.</div><div style="text-align: left;"> </div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-5pFwPUcqzfg/YFYwQue0e1I/AAAAAAAAGIE/JeK3lqVVnpgB0PdJ1eGWUwtjDqIKK8gywCLcBGAsYHQ/s481/taula5.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="381" data-original-width="481" src="https://1.bp.blogspot.com/-5pFwPUcqzfg/YFYwQue0e1I/AAAAAAAAGIE/JeK3lqVVnpgB0PdJ1eGWUwtjDqIKK8gywCLcBGAsYHQ/s16000/taula5.png" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Les solucions que ens interessen més, per a fer diferents versions del problema, són aquelles en les què no hi ha pagament extres entre pastors. És a dir, aquells casos en que els dos resultats de la repartició de monedes són més grans o iguals que zero. Per a la taula anterior, descartant els casos simètrics, són:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">6-11 (1-16 monedes). 7-10 (4-13 monedes) i 8-9 (7-10 monedes)</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">El cas més interessant, per al format del problema, és el més exagerat en la diferència del que cobren. Aquí és el primer: que un tingui 6 pans i l'altre 11. El primer cobraria una moneda contra les 16 de l'altre.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Fem una llista de casos extrems? A l'aula la podem obtenir de les investigacions parcials que hem pogut encarregar. A continuació tenim una taula amb els càlculs des de 3 a 25 pans i anotant els casos en els que la diferència de pagament és més exagerada.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-d5g4HFPme8k/YFchN2ulfeI/AAAAAAAAGIM/FrKP7buTLuwfauBB21LtXZInBR442KhWQCLcBGAsYHQ/s481/taula6.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="481" data-original-width="426" src="https://1.bp.blogspot.com/-d5g4HFPme8k/YFchN2ulfeI/AAAAAAAAGIM/FrKP7buTLuwfauBB21LtXZInBR442KhWQCLcBGAsYHQ/s16000/taula6.png" /></a></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">És interessant buscar la pauta d'aquests resultats. Els casos en què un dels pastors no cobra, amb un zero a la quantitat de monedes, ens donen una pista molt clara:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li>la quantitat inferior de pans és igual o més que 1/3 del total de pans.</li><li>la quantitat superior de pans no passa mai dels 2/3 del total de pans.</li></ul><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Un repte interessant, amb alumnat és gran, és intentar demostrar algebraicament que els pagaments positius (o iguals a zero) es mouen entre aquests límits.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div>El que hem observat ens permet calcular ràpidament quina és la millor versió de l'enunciat per a una quantitat <i>n</i> de pans.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Trobar la pauta dels pagaments corresponents també és fàcil, perquè observem un cicle 0-2-1. Si dividim la quantitat de pans per 3 el residu ens dirà les monedes del que cobra menys.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-HDUJJN0I6bc/YFcjDDkBtNI/AAAAAAAAGIU/7Z96S0cfeQ0colhyRp2TTvUcLULIo-H2wCLcBGAsYHQ/s161/taula7.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="81" data-original-width="161" src="https://1.bp.blogspot.com/-HDUJJN0I6bc/YFcjDDkBtNI/AAAAAAAAGIU/7Z96S0cfeQ0colhyRp2TTvUcLULIo-H2wCLcBGAsYHQ/s0/taula7.png" /></a></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><div class="separator" style="clear: both;"><b><span style="color: #990000; font-size: medium;"><br /></span></b></div><div class="separator" style="clear: both;"><b><span style="color: #990000; font-size: medium;">Tercera "estirada" al problema: canviem el pagament</span></b></div><div class="separator" style="clear: both;"><br /></div><div>Ja hem dit al començament que el problema no tindria cap gràcia si la quantitat de monedes fos diferent a la de pans. No hi hauria sorpresa per la contradicció entre la primera solució que ve al cap i la real. Si les quantitats de monedes i de pans són diferents tindríem un "gairebé" típic problema dels que ja van aparèixer a les primeres aritmètiques impreses. Per exemple. a la <a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Suma_de_la_Art_d%27Arism%C3%A8tica" style="font-style: italic;" target="_blank">Summa de l'art de l'Aritmètica</a> (1482) de Francesc Santcliment, la primera aritmètica impresa en català i una de les primeres d'Europa, té el nové capítol dedicat a la "Regla de companyies", que parla d'aquests tipus de repartiments de guanys en funció de la inversió. Curiosament el separa del capítol dedicat a la regla de tres perquè</div><div><br /></div></div></div><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><div style="text-align: left;">"la diferència que és entre les companyies i la regla de tres no és sinó per quant en les companyies se troben moltes vegades moltes parts, per ésser molts en companyia, i en la regla de tres no hi ve sinó comunament tres parts. I aquesta és la diferència entre les dites regles."</div></div></div></blockquote><p>El primer problema d'exemple, al que li falta un petit tros de l'enunciat i que he completat de forma inventada, és el següent.</p><p style="text-align: left;"></p><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><p style="text-align: left;">[Tres mercaders] "han comprat lo càrrec d'una nau, i lo primer paga del dit càrrec l'1/2. I lo segon, l'1/3. I lo terç paga l'1/4. I venen lo dit càrrec i troben-se en guany 357 lliures. Vejam que té d'haver cadascú segons la part que cadascú ha pagat."</p></blockquote><p></p><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Es pot observar que les parts no sumen la unitat i és interessant veure com es resol el tema al llibre. Però ara no hi entrarem més enllà del que veieu a la imatge.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-3uCJU13HaBg/YFcxbAYUV4I/AAAAAAAAGIc/BvUm8oiYAzYlBUplSBY1qvTCktbVYUK_ACLcBGAsYHQ/s597/summa.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="597" data-original-width="373" height="400" src="https://1.bp.blogspot.com/-3uCJU13HaBg/YFcxbAYUV4I/AAAAAAAAGIc/BvUm8oiYAzYlBUplSBY1qvTCktbVYUK_ACLcBGAsYHQ/w250-h400/summa.png" width="250" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Pàgina de la <i><a href="https://books.google.cat/books?id=Z5Ke0DsT_s4C&hl=ca&pg=PP175#v=onepage&q&f=false" target="_blank">Summa</a></i> amb la resolució del problema</td></tr></tbody></table><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">A un llibre més antic, el <i>Compendi de l'art del càlcul</i> (segle II), atribuït a <a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Ibn_as-Samh" target="_blank">Ibn as-Samh</a>, al capítol setè, també trobem un problema de repartiments i que es resol, en part, pel <a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/M%C3%A8tode_de_la_falsa_posici%C3%B3" target="_blank">mètode de la falsa posició</a>.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div></div><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">"Com es reparteixen 100 dírhams entre quatre homes, amb la condició de que la porció del primer sigui un mig de la proció del segon, la porció del segon un mig de la porció del tercer i la porció del tercer un mig de la porció del quart? Sabem que si el capital fora de quinze dírhams, la porció del primer seria un dírham, llavors agafa un terç d'un cinquè de cent i aquesta és la porció del primer"</div></div></blockquote><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">En tot cas si plantegem el nostre problema inicial de la manera següent veiem que no té cap atractiu especial:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div></div><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Un pastor té 5 pans i un altre en té 3. Al migdia es troben amb un caçador que no porta menjar i, entre els tres, es reparteixen els pans a parts iguals. Al moment d'acomiadar-se el caçador els hi dóna 5 monedes. Com se les han de repartir?</span></div></div></blockquote><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div>Però si hem treballat a l'aula algun dels "estiraments" anteriors potser sí que estem en una situació de repte que el faci interessant per a l'alumnat. Hem fet tot un camí i les noves preguntes han d'anar sorgint. L'ideal és que l'estirada cap a canviar la quantitat de monedes sorgeixi de la pròpia aula. Però si no surt de manera natural podem fer la pregunta directament.<p></p></div><div>He dit abans que el problema era "gairebé" semblant a un problema com el de la "Regla de companyies". Aquest té la petita dificultat afegida, com hem destacat diverses vegades, que el que aporta cadascú és el que dona de menjar al caçador, que no està escrit a l'enunciat, i que el preu del pa el marca la quantitat de monedes que aquest deixa. Per tant, abans de fer el repartiment, hem de calcular dues coses:</div><div><ul style="text-align: left;"><li>la part de pa que dona cadascú</li><li>el preu del pa en funció del pa repartit i de les monedes deixades.</li></ul>Podem convidar a trobar fórmules generals per a cadascuna de les dades que necessitem:</div><div><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-10QJGNo_Yiw/YFc3IJ1_K3I/AAAAAAAAGIk/xAfWuEzPhZgGg-NToCWGb88xoHctZl2tQCLcBGAsYHQ/s255/formula1.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="59" data-original-width="255" src="https://1.bp.blogspot.com/-10QJGNo_Yiw/YFc3IJ1_K3I/AAAAAAAAGIk/xAfWuEzPhZgGg-NToCWGb88xoHctZl2tQCLcBGAsYHQ/s0/formula1.png" /></a></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-ouvZFLhmlU4/YFc3IP71crI/AAAAAAAAGIo/aeoPz9eRSm4ESiHQpTmKoqnR_wTnVSzFwCLcBGAsYHQ/s271/formula2.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="58" data-original-width="271" src="https://1.bp.blogspot.com/-ouvZFLhmlU4/YFc3IP71crI/AAAAAAAAGIo/aeoPz9eRSm4ESiHQpTmKoqnR_wTnVSzFwCLcBGAsYHQ/s0/formula2.png" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Ara ja podem fer els càlcul per a 8 pans (5 i 3) i 5 monedes.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-p5zRrsgQe9E/YFc33kdPqGI/AAAAAAAAGI0/_VkkhWbfXFc6_WSu-w96ihgIAk-vIkDwQCLcBGAsYHQ/s650/taula8.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="156" data-original-width="650" src="https://1.bp.blogspot.com/-p5zRrsgQe9E/YFc33kdPqGI/AAAAAAAAGI0/_VkkhWbfXFc6_WSu-w96ihgIAk-vIkDwQCLcBGAsYHQ/s16000/taula8.png" /></a></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Amb aquestes fórmules i mètodes no és difícil preparar un full de càlcul o un petit programa amb <i>scratch </i>o <i>snap </i>que ens digui com s'han de repartir els diners en funció dels pans de cada pastor i de les monedes pagades.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-t-1Zuvpa-ME/YFdB9iMnaJI/AAAAAAAAGI8/GMO_qEXEa9obpwJ46Vm1pVoFlfaYzzCAQCLcBGAsYHQ/s377/programa.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="363" data-original-width="377" src="https://1.bp.blogspot.com/-t-1Zuvpa-ME/YFdB9iMnaJI/AAAAAAAAGI8/GMO_qEXEa9obpwJ46Vm1pVoFlfaYzzCAQCLcBGAsYHQ/s16000/programa.png" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><a href="https://snap.berkeley.edu/project?user=joanjareno&project=Pastors%2C%20ca%C3%A7ador%20i%20pans" target="_blank">Enllaç al programa</a></td></tr></tbody></table><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><span style="color: #990000; font-size: medium;">I a l'aula?</span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Crec que les possibles seqüències a l'aula s'han anat explicant al llarg de l'activitat. En tot cas destacaria algunes de les idees que han aparegut.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li>El problema no convida al repte per l'enunciat. Però podem augmentar la curiositat inicial amb la discussió sobre la "justícia" dels possibles repartiments ens pot ajudar a presentar la idea de repartiment proporcional. El repartiment de 5 i 3 monedes és més "proporcionat" que el de 4 i 4. Potser algun alumne/a apunta al de 6 i 2. La sorpresa (i l'efectivitat) del problema rau en que el repartiment justament proporcional sigui de 7 i 1.</li><li>Podem aprofitar aquest problema per anar-lo estirant en una seqüència més o menys semblant a la proposada: variar la distribució de pans, variar la quantitat de pans, variar la quantitat de monedes. Arribem així a un "problema tipus" que presentat en primera instància no hauria tingut gaires possibilitats de despertar l'interès de l'alumnat.</li><li>Convé utilitzar materials manipulables per a la resolució de la primera versió del problema. Ajuda molt poder simular que repartim el pa.</li><li>En les ampliacions del problema ens podem ajudar de fulls de càlcul. Aprendre a incloure fórmules als fulls de càlcul és un aprenentatge general cada vegada més necessari. En alguns moments també es poden incloure la confecció de petits programes per realitzar els càlculs. L'algoritmització és una part important del pensament computacional.</li><li>No hem de descuidar la part històrica. Aquí, per exemple, hem parlat del <i>Liber abaci</i> de la <i>Summa de l'art d'Aritmètica</i> i del <i>Compendi de l'art del càlcul</i>. És interessant fer veure que aquests problemes de repartiments proporcionals venen de molt antic i que llavors era "un art" saber-ho fer i s'explicava a llibres per especialistes.</li></ul></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-VK_fRCd2kdc/YFeI_sZuxmI/AAAAAAAAGJE/BVdmnVSfAroBuzaN8n8bE-S00vLPY_C-ACLcBGAsYHQ/s1925/problema_pequeno_pais.jpg" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="1925" data-original-width="1432" height="640" src="https://1.bp.blogspot.com/-VK_fRCd2kdc/YFeI_sZuxmI/AAAAAAAAGJE/BVdmnVSfAroBuzaN8n8bE-S00vLPY_C-ACLcBGAsYHQ/w476-h640/problema_pequeno_pais.jpg" width="476" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Còmic aparegut amb el problema al <i>Pequeño País</i> als anys 80</td></tr></tbody></table><br /><div style="text-align: center;"><br /></div><div style="text-align: center;"><br /></div>Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7448640108700542412.post-41849483211383756922021-03-16T18:24:00.005+01:002021-03-19T09:16:51.381+01:00Comptem sobre un filera de daus<p> Us convidem a fer el següent experiment:</p><p></p><ul style="text-align: left;"><li>Agafeu molts daus. Per exemple, vint. El tireu tots a la taula i feu una filera, també de forma aleatòria, amb tots ells.</li></ul><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-EfuIuZM82eM/YE8bAE7_uKI/AAAAAAAAGA4/Mpl_UlCuStsGhPnOlLv1evxUiUElJz-PwCLcBGAsYHQ/s598/cadena1.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="42" data-original-width="598" src="https://1.bp.blogspot.com/-EfuIuZM82eM/YE8bAE7_uKI/AAAAAAAAGA4/Mpl_UlCuStsGhPnOlLv1evxUiUElJz-PwCLcBGAsYHQ/s16000/cadena1.png" /></a></div><ul style="text-align: left;"><li>Mireu els punts del primer dau i compteu fins tants daus com indica el nombre.</li></ul><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-Vo5lIYnzY1U/YE8bbBNnBYI/AAAAAAAAGBA/x5uBaNarIVsgd5l6Z4nOlOT8qE6cYs0fgCLcBGAsYHQ/s596/cadena2.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="78" data-original-width="596" src="https://1.bp.blogspot.com/-Vo5lIYnzY1U/YE8bbBNnBYI/AAAAAAAAGBA/x5uBaNarIVsgd5l6Z4nOlOT8qE6cYs0fgCLcBGAsYHQ/s16000/cadena2.png" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li>Des d'aquest nou dau repetiu la forma de comptar... i aneu fent fins que arribeu a una quantitat des de la que ja no podeu seguir perquè no teniu tants daus com indica la darrera quantitat. Elimineu de la filera aquests daus sobrers. Si heu arribat justos no cal eliminar res.</li></ul><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-i9mNuYRY_OQ/YE8cIYiqalI/AAAAAAAAGBI/2PotQgbPw0Qnq8oLCfPxmaGmpJMfzZQeQCLcBGAsYHQ/s598/cadena3.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="112" data-original-width="598" src="https://1.bp.blogspot.com/-i9mNuYRY_OQ/YE8cIYiqalI/AAAAAAAAGBI/2PotQgbPw0Qnq8oLCfPxmaGmpJMfzZQeQCLcBGAsYHQ/s16000/cadena3.png" /></a></div><div style="text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li>Ara elimineu el primer dau de tots, el que heu fet servir per iniciar el comptatge.</li></ul><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-_2TpnTq7DdM/YE8cqCQGREI/AAAAAAAAGBQ/VwBSnn1Q78syRk8twCnGwp8wgDLFJqpowCLcBGAsYHQ/s546/cadena4.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="47" data-original-width="546" src="https://1.bp.blogspot.com/-_2TpnTq7DdM/YE8cqCQGREI/AAAAAAAAGBQ/VwBSnn1Q78syRk8twCnGwp8wgDLFJqpowCLcBGAsYHQ/s16000/cadena4.png" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><ul><li style="text-align: left;">Repetim la manera de comptar des del segon dau. Quina és la sorpresa? Que segurament acabareu al mateix dau que abans!</li></ul></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-jk1VjCYIf80/YE8dGjWJbHI/AAAAAAAAGBY/d1sH1ggTeCwN4v1J6z5ONoX5QSgHRL3mQCLcBGAsYHQ/s516/cadena5.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="88" data-original-width="516" src="https://1.bp.blogspot.com/-jk1VjCYIf80/YE8dGjWJbHI/AAAAAAAAGBY/d1sH1ggTeCwN4v1J6z5ONoX5QSgHRL3mQCLcBGAsYHQ/s16000/cadena5.png" /></a></div>Però encara podem tenir més sorpreses. Sense anar més lluny, amb la seqüència que hem utilitzat com a exemple, podem repetir el procés de treure un dau i fer el comptatge 12 vegades més sense que canviï el dau final en el què acabem. És a dir, en total haurem pogut treure 13 daus.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-3pFEPVXR_6w/YE8ePqcpfhI/AAAAAAAAGBg/ITVXZnmfXcMQuulQxzcbnVtVZZypIPFfACLcBGAsYHQ/s496/cadena6.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="496" data-original-width="483" src="https://1.bp.blogspot.com/-3pFEPVXR_6w/YE8ePqcpfhI/AAAAAAAAGBg/ITVXZnmfXcMQuulQxzcbnVtVZZypIPFfACLcBGAsYHQ/s16000/cadena6.png" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Si no teniu daus a mà podeu experimentar amb aquest applet.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><iframe allow="geolocation; microphone; camera" allowfullscreen="" frameborder="0" height="390" src="https://snap.berkeley.edu/embed?project=Experimentar%20Krsukal%20(20%20daus)&user=joanjareno" width="480"></iframe></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">No sempre tindrem tanta sort. Aquí teniu una sèrie de 15 daus que al primer dau que traiem ja ens trobem amb un final diferent.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-1aedKlq4IUk/YE8w9dQiDVI/AAAAAAAAGBo/1LvoaQsh0gMhrXtx-UpIhrLyZqoSW3q4gCLcBGAsYHQ/s468/cadena7.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="123" data-original-width="468" src="https://1.bp.blogspot.com/-1aedKlq4IUk/YE8w9dQiDVI/AAAAAAAAGBo/1LvoaQsh0gMhrXtx-UpIhrLyZqoSW3q4gCLcBGAsYHQ/s16000/cadena7.png" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">I a continuació dos exemples amb 10 daus. En un no es pot treure cap dau i a l'altre es poden treure tots.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-pGmLzFEQnaM/YE8xcvpUwKI/AAAAAAAAGBw/Rg_VkQ2zdR0CagNZ3kNfgNMoNXNEgPPUgCLcBGAsYHQ/s312/cadena8.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="82" data-original-width="312" src="https://1.bp.blogspot.com/-pGmLzFEQnaM/YE8xcvpUwKI/AAAAAAAAGBw/Rg_VkQ2zdR0CagNZ3kNfgNMoNXNEgPPUgCLcBGAsYHQ/s0/cadena8.png" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">No es pot treure cap dau</td></tr></tbody></table><br /><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-vQ6t3rGU2b0/YE8xck6WpNI/AAAAAAAAGB0/j6lRXIOU7bcMmCfbuSNqxiLBDJonywkvACLcBGAsYHQ/s327/cadena9.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="327" data-original-width="310" src="https://1.bp.blogspot.com/-vQ6t3rGU2b0/YE8xck6WpNI/AAAAAAAAGB0/j6lRXIOU7bcMmCfbuSNqxiLBDJonywkvACLcBGAsYHQ/s16000/cadena9.png" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Es poden treure tots els daus</td></tr></tbody></table><br />Ja tenim servida la situació. Ara toca fer-se preguntes:</div><div style="text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li>Per què moltes vegades es coincideix en un mateix final?</li><li>Hi ha condicions que faciliten la coincidència?</li><li>De que depèn la quantitat de daus que podré treure?</li></ul><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><b><span style="color: #990000; font-size: medium;">Investiguem?</span></b></div><span><a name='more'></a></span><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;">Hem vist un exemple, amb 10 daus inicials, en el què podem treure entre 0 i 9 daus. En general amb <i>n</i> daus sempre podrem treure entre 0 i <i>n</i>-1 daus.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #990000; font-size: medium;"><br /></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #990000; font-size: medium;">Per què hi tantes coincidències en els finals?</span></b></div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;">Ataquem ara la primera pregunta que ens havíem fet. La resposta la podem veure si marquem visualment alguns exemples. Per exemple, a la imatge veiem els comptatges amb una filera de 20 daus. A la primera jugada s'eliminen dos del final i dels 18 que queden podem eliminar fins a 13 primers daus mantenint la coincidència final.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-UFBriKdSDGw/YE-E0UR8tRI/AAAAAAAAGCA/LSSPl58pY8EesQnaIoNMsZ5t3xixI2J5QCLcBGAsYHQ/s423/taula1.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="423" data-original-width="416" src="https://1.bp.blogspot.com/-UFBriKdSDGw/YE-E0UR8tRI/AAAAAAAAGCA/LSSPl58pY8EesQnaIoNMsZ5t3xixI2J5QCLcBGAsYHQ/s16000/taula1.png" /></a></div><br /><div style="text-align: left;">Són fàcilment observables certes línies horitzontals de coincidència. Per exemple a les files 11 i 16. Si un comptatge passa pel dau número 11 de la fila original, i que té una puntuació de 5 [anotarem 11(5)], seguirà el mateix camí final 16(2)-18(3). I a la fila 11(5) s'hi arriba per dues vies: des de 5(6) i des de 10(1). Però a 10(1) arribem des de... En el moment que hi ha una coincidència de "dau de pas" entre dos camins la via continuarà el mateix recorregut i, en conseqüència, tindrà el mateix final.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;">Podem mirar aquest "mapa" d'una jugada amb 50 daus dels que s'eliminen 2 a la primera jugada i dels 48 que en queden podem arribar a eliminar fins a 42. Les línies horitzontals de coincidència són molt clares.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-ZzQlqea4090/YE-HcJPYBwI/AAAAAAAAGCI/B7Kha5HYoKA8ypys00kbklaHvne-Y62GwCLcBGAsYHQ/s628/taula2.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="512" data-original-width="628" src="https://1.bp.blogspot.com/-ZzQlqea4090/YE-HcJPYBwI/AAAAAAAAGCI/B7Kha5HYoKA8ypys00kbklaHvne-Y62GwCLcBGAsYHQ/s16000/taula2.png" /></a></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b style="color: #990000;"> </b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b style="color: #990000;"><span style="font-size: medium;">De què depèn la quantitat de coincidències?</span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b style="color: #990000;"><br /></b></div><div style="text-align: left;">Un cop vist per què es produeixen aquestes coincidències finals ens poder demanar quines circumstàncies afavoreixen que hi apareguin més. Dit d'una altra manera: en quines circumstàncies podrem eliminar una quantitat major de daus.</div></div></div><div><br /></div>A continuació teniu un applet per a experimentar. En primer lloc us demanarà la quantitat de daus que voleu que tingui la vostra filera. Veureu una "llista" amb les tirades obtingudes i la llista de llocs finals, d'on s'acaba, fins que s'arriba a un final diferent. "Daus trets" us dirà quants daus s'han pogut eliminar.<div><br /></div><div><div style="text-align: center;"><iframe allow="geolocation; microphone; camera" allowfullscreen="" frameborder="0" height="390" src="https://snap.berkeley.edu/embed?project=daus%20markov%202b&user=joanjareno&editButton=true" width="480"></iframe></div><div style="text-align: center;"><br /></div><div style="text-align: left;">Per poc que experimenteu podreu fer algunes observacions:</div><div style="text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li>la quantitat de coincidències finals augmenta a mesura que ho fa la del total de daus de la fila. Això dit així sona a perogrullada. Però ho podem matisar dient que la proporció de coincidències finals respecte a la quantitat de daus inicials de la fila va augmentant progressivament. Hi haurà un percentatge de coincidències superior amb 50 daus que amb 10.</li><li>si els resultats de les tirades són baixos hi haurà més coincidències. Dit d'una altra manera, les tirades curtes (com 1, 2 o 3) afavoreixen l'aparició de coincidències.</li></ul>Si ho mirem totes dues observacions tenen molt de sentit: quant més daus tinguem i resultats més petits més fàcil serà que hi hagi camins coincidents en algun punt.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #990000; font-size: medium;">Quants daus podrem treure per a una quantitat de daus donada?</span></b></div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;">No és molt directe calcular aquesta probabilitat, però sí que podem experimentar. I millorar la nostra capacitat d'augmentar la quantitat d'experiments fent servir algun simulador informàtic. Així podem trobar una mitjana de daus eliminables per a una quantitat <i>n </i>que formen la filera. Aquí hem utilitzat un <a href="https://snap.berkeley.edu/project?user=joanjareno&project=Daus%20Kruskal" target="_blank">applet</a> fet amb <i>Snap</i>, que ens permet determinar la quantitat d'experiments i la quantitat de daus de la fila. (Podeu revisar el codi per si hi trobeu alguna errada i així esmenar-la). Fent 10 000 experiments per a cada quantitat de daus, des de 5 a 100 i de cinc en cinc, els resultats obtinguts han estat aquests:</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: center;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-EDhyBTuoePc/YE-UXPgcrDI/AAAAAAAAGCQ/YWKK1GXd3BQJyCVYIwwco9t8aIBjRY4JgCLcBGAsYHQ/s434/taula3.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="434" data-original-width="300" src="https://1.bp.blogspot.com/-EDhyBTuoePc/YE-UXPgcrDI/AAAAAAAAGCQ/YWKK1GXd3BQJyCVYIwwco9t8aIBjRY4JgCLcBGAsYHQ/s16000/taula3.png" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Podem veure com el resultat es va tornant més lineal a mesura que augmentem la quantitat de daus.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-nRK9s6TiEHY/YE-VaLLM7-I/AAAAAAAAGCY/wmIsEKc7-2YF-LQN0lAR1KcGpirN80R-gCLcBGAsYHQ/s575/grafic_daus_1.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="365" data-original-width="575" src="https://1.bp.blogspot.com/-nRK9s6TiEHY/YE-VaLLM7-I/AAAAAAAAGCY/wmIsEKc7-2YF-LQN0lAR1KcGpirN80R-gCLcBGAsYHQ/s16000/grafic_daus_1.png" /></a></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Si observem el creixement de la proporció entre la quantitat de daus eliminables i la inicial observarem un creixement més logarítmic.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-sOGxcaYfJws/YE-WZ0yj0QI/AAAAAAAAGCg/8Oowe21CaL4hYhnOYxoa_VZ8ooEufC0uQCLcBGAsYHQ/s578/grafic_daus_2.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="368" data-original-width="578" src="https://1.bp.blogspot.com/-sOGxcaYfJws/YE-WZ0yj0QI/AAAAAAAAGCg/8Oowe21CaL4hYhnOYxoa_VZ8ooEufC0uQCLcBGAsYHQ/s16000/grafic_daus_2.png" /></a></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><span style="color: #990000;">El comptatge de Kruskal</span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Aquesta experiència amb daus és un exemple més del que es coneix com a comptatge de Kruskal i que s'utilitza sovint en efectes de màgia matemàtica. En aquest blog ja en vam parlar un parell de vegades amb uns exemples sobre texts. En un cas jugàvem amb un poema de Joan Brossa en el qual, triant una paraula qualsevol de la primera estrofa i passant d'una paraula a una altra segons comptant segons la quantitat de lletres, sempre s'arribava a una mateixa paraula clau. El poema era l'<i>Sextina de la pau</i> i la paraula final era "pactes"</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-RR9JjkjNU3A/XuEITYuZkgI/AAAAAAAAEuc/xyxdZYDtJwkST6-j1mDKWusVjlPpySFTACPcBGAYYCw/s417/poema.gif" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="163" data-original-width="417" src="https://1.bp.blogspot.com/-RR9JjkjNU3A/XuEITYuZkgI/AAAAAAAAEuc/xyxdZYDtJwkST6-j1mDKWusVjlPpySFTACPcBGAYYCw/s16000/poema.gif" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><a href="http://calaix2.blogspot.com/2012/04/casualitats-creences-impressions.html" target="_blank">Veure l'article</a></td></tr></tbody></table><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Pel 9-N vam repetir el joc amb un text de la Viquipèdia sobre Sissí (recordem que una de les opcions de vot era Sí-Sí) que acabava en la paraula "independència". (<a href="http://calaix2.blogspot.com/2014/11/la-magia-del-9n-i-la-prediccio-de-sissi.html" target="_blank">veure l'article</a>)</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Podeu ampliar informació sobre trucs de cartes amb aquest tipus de comptatge en aquestes enllaços:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li>"<a href="http://magiaymatematicas.blogspot.com/2013/07/la-cuenta-kruskal.html" target="_blank">La cuenta de Kruskal</a>" al blog <i>Magia y matemáticas</i> de Sergio Belmonte (<a href="https://twitter.com/magiaymates?lang=ca" target="_blank">@magiaymates</a>).</li><li>Una <a href="http://faculty.uml.edu/rmontenegro/research/kruskal_count/kruskal.html" target="_blank">versió en línia</a> del truc explicat per Sergio Belmonte.</li><li>Un altre <a href="https://www.ilusionesmatematicas.com/principio-de-kruskal/" target="_blank">article</a> del truc a <i>Ilusiones matemáticas</i>.</li><li>La mateixa activitat al web de l'NRICH: "<a href="https://nrich.maths.org/7219" target="_blank">Sociable cards</a>"</li></ul></div><br /><div style="text-align: left;"> <span style="text-align: left;"><b><span style="color: #990000; font-size: medium;">Una petita variant en la presentació de l'experiència</span></b></span></div><div style="text-align: left;"><span style="text-align: left;"><br /></span></div><div style="text-align: left;"><span style="text-align: left;">Una altra manera de presentar i estudiar l'experiment és fer, com abans, la fila de daus i el primer comptatge. Després, en comptes d'eliminar el primer dau, el tornem a tirar i comptem amb el nou resultat, per observar que acabem al mateix lloc, si més no, amb molta probabilitat. I ho repetim unes quantes vegades. A la imatge teniu un exemple amb 20 daus en el que, independentment del resultat del primer dau sempre arribem al mateix lloc.</span></div><div style="text-align: left;"><span style="text-align: left;"><br /></span></div><div style="text-align: center;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-CFAJJKB0Cpo/YFCmyduai9I/AAAAAAAAGCo/7R126uA9hNozz0Qupg5EJe9MP5Ks1vmTACLcBGAsYHQ/s615/cadena10.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="313" data-original-width="615" src="https://1.bp.blogspot.com/-CFAJJKB0Cpo/YFCmyduai9I/AAAAAAAAGCo/7R126uA9hNozz0Qupg5EJe9MP5Ks1vmTACLcBGAsYHQ/s16000/cadena10.png" /></a></div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;">Aquesta situació convida a fer-se algunes preguntes diferents. Per exemple, depenent de la quantitat de daus, quantes vegades la coincidència serà completa amb els sis primers resultats possibles, Una vegada més un programa amb S<i>nap</i> permet recollir resultats. A partir de 40 daus ens passarà més del 90% de les vegades.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-Spl4kT5TUkw/YFCoIBJMlSI/AAAAAAAAGCw/wU2Ft7F2a78MiFV1Qx3A2o18BkUKe8XUwCLcBGAsYHQ/s612/taula4.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="419" data-original-width="612" src="https://1.bp.blogspot.com/-Spl4kT5TUkw/YFCoIBJMlSI/AAAAAAAAGCw/wU2Ft7F2a78MiFV1Qx3A2o18BkUKe8XUwCLcBGAsYHQ/s16000/taula4.png" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Resultats per files de daus entre 10 i 100 amb 10 000 experiments per a cada cas</td></tr></tbody></table><br /><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #cc0000; font-size: medium;">I a l'aula?</span></b></div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;">Com ja s'ha escrit en aquest blog en moltes ocasions, un dels objectius del treball en probabilitat és confrontar les nostres intuïcions inicials (sovint equivocades) amb l'experiència i el raonament sobre aquesta. Per tant, en un problema com aquest, no ens interessa tant el càlcul exacte de probabilitats, força complex en aquest cas, sinó veure que la sorpresa inicial té una explicació raonable i fàcilment comprensible. També és interessant la generació de noves preguntes.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;">A l'aula no podem fer la quantitat d'experiències necessàries per acostar prou la probabilitat experimental amb la teòrica. Però, si repartim la feina, en podem fer unes quantes. Si una parella d'alumnes fa cinc casos amb 20 daus, per exemple, i ho fem amb tot un nivell ens podem començar a fer una idea de per on van els trets. No és difícil generar llistes aleatòries amb un full de càlcul i després treballar-les com algunes de les taules mostrades abans. El "copiar-enganxar" estalvia molta feina. I una altra idea és guardar els resultats d'un any i anar acumulant les dades d'un curs amb les dels anteriors.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-sfdkNhcQJnI/YFDiC6_Ss5I/AAAAAAAAGC4/PlxK3L4ft3MQmI_9QDFgl4DgosDQZ-QCwCLcBGAsYHQ/s429/formula_excel.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="126" data-original-width="429" src="https://1.bp.blogspot.com/-sfdkNhcQJnI/YFDiC6_Ss5I/AAAAAAAAGC4/PlxK3L4ft3MQmI_9QDFgl4DgosDQZ-QCwCLcBGAsYHQ/s16000/formula_excel.png" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Fórmula per simular un dau</td></tr></tbody></table><div style="text-align: center;"><br /></div><div style="text-align: left;">Pot ser molt divertit investigar alguns textos a l'estil de la proposta sobre el poema d'en Brossa. La gràcia estar en que la paraula final tingui una mica de gràcia.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;">Un treball d'ampliació pot ser generar algun programa amb <i>Scratch</i> o <i>Snap</i> per fer les simulacions. Una millora curiosa podria plantejar-se com un truc de màgia equivalent al que hem enllaçat amb cartes: es genera una fila aleatòria de 40 o 50 daus i es demana a les instruccions que "a casa" es tiri un dau per començar a comptar. Després es pot marcar quin serà el dau d'arribada. A continuació teniu en exemple amb 40 daus.</div><div style="text-align: center;"><iframe allow="geolocation; microphone; camera" allowfullscreen="" frameborder="0" height="390" src="https://snap.berkeley.edu/embed?project=M%C3%A0gia%20daus%20Krsukal%20(40%20daus)&user=joanjareno&editButton=true" width="480"></iframe></div></div></div><p></p></div>Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7448640108700542412.post-91987067857474984322021-02-12T18:46:00.001+01:002021-09-23T12:44:49.986+02:00Dissenyem rosasses<p>El passat 6 de febrer de 2020, a la <a href="https://acgeogebra.cat/" target="_blank">XIII Jornada de l'Associació Catalana de GeoGebra</a>, al taller <a href="https://youtu.be/B8Y0otyzFbM?t=2830" target="_blank">Matemàtiques amb GeoGebra. Nivell 0</a> portat per Guillem Bonet (<a href="https://twitter.com/willhek1" target="_blank">@willhek1</a>), es va proposar un problema de tangències que em va recordar l'activitat que vam treballar alguns anys a l'INS Alella durant un crèdit de síntesi relacionat amb l'Edat Mitjana. L'activitat es relaciona amb el disseny de rosasses i, específicament, amb el de sèries de cercles tangents entre sí i que ho són també a la circumferència exterior de la rosassa.</p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-WLjvkmNty1Q/YCK-xMwSKLI/AAAAAAAAFa0/je1n2UWTXycjAkwloqZ-KqADQwtohJGAACLcBGAsYHQ/s584/burgos2.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="497" data-original-width="584" height="340" src="https://1.bp.blogspot.com/-WLjvkmNty1Q/YCK-xMwSKLI/AAAAAAAAFa0/je1n2UWTXycjAkwloqZ-KqADQwtohJGAACLcBGAsYHQ/w400-h340/burgos2.png" width="400" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Rosassa de la façana principal de la Catedral de Burgos (fotografia original de <a href="https://www.biodiversidadvirtual.org/etno/Catedral-de-Burgos-(roseton-fachada-principal)-img69844.html" target="_blank">Javier Soto</a>)</td></tr></tbody></table><br /><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-zFXe4hiMVeE/YCK_a6j3a_I/AAAAAAAAFa8/5Jdnz12FP2QgdD82Vd0EmtECGelZk-EowCLcBGAsYHQ/s552/mudejar.jpg" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="473" data-original-width="552" height="343" src="https://1.bp.blogspot.com/-zFXe4hiMVeE/YCK_a6j3a_I/AAAAAAAAFa8/5Jdnz12FP2QgdD82Vd0EmtECGelZk-EowCLcBGAsYHQ/w400-h343/mudejar.jpg" width="400" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Real Monasterio de Santa María de Guadalupe Cáceres (fotografia original del <a href="http://baulitoadelrte.blogspot.com/2016/10/rosetones-y-oculos.html" target="_blank">Baúl del Arte</a>)</td></tr></tbody></table><br />Visualment ja es veu clarament el problema. Com dibuixar un cercle d'<i>n </i>circumferències tangents a l'exterior i entre les directament veïnes? A cadascuna d'aquestes cirecumferències els hi direm <i>pètals</i> a partir d'ara. Ja s'intueix que <i>n </i>ve determinat per un polígon regular inscrit a la circumferència exterior la mateixa quantitat de costats que la de pètals dessitjats. No tots els polígons regulars són construïbles amb regle i compàs de manera "pura". Gauss ja va descriure quines eren les <a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Construcci%C3%B3_amb_regle_i_comp%C3%A0s#Construcci%C3%B3_de_pol%C3%ADgons_regulars" target="_blank">condicions</a> perquè un polígon fos dibuixable amb aquestes dues eines. Obviarem aquesta part de la construcció ja que podem dibuixar un polígon inscrit a partir del càlcul del seu angle central i plantejarem el problema concret de la construcció, ara sí, amb regle i compàs del "rosari de pètals".<div><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-Ck8xrWQrndE/YCLD7eIAyRI/AAAAAAAAFbI/AoIZmEZSsDISX157pVc3xGuNsoxVpaUiQCLcBGAsYHQ/s713/poligon7-tile.jpg" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="359" data-original-width="713" height="322" src="https://1.bp.blogspot.com/-Ck8xrWQrndE/YCLD7eIAyRI/AAAAAAAAFbI/AoIZmEZSsDISX157pVc3xGuNsoxVpaUiQCLcBGAsYHQ/w640-h322/poligon7-tile.jpg" width="640" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">El polígon de 7 costats no és construïble amb regle i compàs, però el podem dibuixar a partir d'un angle de 51,43º. El de 10 costats sí que és construïble, però també el podem dibuixar a partir d'un angle de 36º</td></tr></tbody></table><br /><div><br />L'objectiu de l'activitat serà construir rosasses com aquestes que podem veure fetes amb GeoGebra. Poden ser casos particulars de 3, 4, 5, 6... o més pètals. La primera part de l'activitat consistirà en buscar un mètode per a fer la construcció. La segona conèixer un mètode aparentment estrany d'aconseguir-ho. I la tercera demostrar que tots dos mètodes són equivalents. Per a fer aquesta demostració jugarem amb una mica de trigonometria, Pitàgores...</div><div><br /></div><div style="text-align: center;"><iframe height="436px" scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/vvxu5g8n/width/469/height/436/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" style="border: 0px;" title="Rosassa d'n pètals" width="469px"> </iframe></div><div style="text-align: center;"><br /></div><div style="text-align: left;">Abans de continuar llegit, però, us convidem a resoldre el problema per a un cas particular: 5 o 6 pètals. I a que ho feu amb <a href="https://www.geogebra.org/" target="_blank">GeoGebra</a>.</div><div style="text-align: center;"><br /></div><div style="text-align: left;"><span style="color: #990000; font-size: large;"><b>Continuem?</b></span></div><span><a name='more'></a></span><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #990000;">Solucionem el problema</span></b></div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;">Treballarem en un cas particular tot dibuixant una rosassa de 5 pètals. El primer pas, com ja hem comentat és dibuixar un pentàgon inscrit en la circumferència. Saltem aquest pas (amb GeoGebra és ben fàcil) i el considerem dibuixat.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-eJvTnJk6RSQ/YCLJYudatwI/AAAAAAAAFbU/t6BP1buy9jQ-d2MHXow36L-glK6mxoKpQCLcBGAsYHQ/s367/penta1.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="357" data-original-width="367" src="https://1.bp.blogspot.com/-eJvTnJk6RSQ/YCLJYudatwI/AAAAAAAAFbU/t6BP1buy9jQ-d2MHXow36L-glK6mxoKpQCLcBGAsYHQ/s320/penta1.png" width="320" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Quines propietats ha de tenir el primer pètal que busquem? Que ha de ser tangent a les dues semirectes dibuixades i a la circumferència exterior. És a dir, hem de trobar un punt que equidisti dels dos costats de l'angle dibuixat i el de la circumferència de la rosasssa. <a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/George_P%C3%B3lya" target="_blank">Pólya</a> en el seu mètode de resolució de problemes ens proposava la següent pregunta en la fase de planificació: "Coneixes algun teorema (o propietat) que et pugui ser útil?".</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Si repassem en el nostre bagul de coneixements potser recordarem que la bisectriu conté tots els punts que equidisten de dues rectes. Per tant, el centre del pètal que busquem haurà d'estar en aquesta recta.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><iframe height="475px" scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/hvckdsjj/width/536/height/475/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" style="border: 0px;" title="Bisectriu i tangència" width="536px"> </iframe></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Ja tenim una part resolta. Ara només ens queda cercar en quin lloc exacte de la bisectriu s'hi troba el centre del pètal. Haurem de recordar altres teoremes o propietats.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Una que pinta tenir molta utilitat és l'<i>incentre</i> d'un triangle (punt de coincidència de les bisectrius dels tres angles) ja que ens dona una triple tangència: la de la circumferència inscrita que toca els tres costats. Potser el punt de tangència que ens falta (el de la circumferència principal de la rosassa) el trobarem si afegim un tercer costat als dos que ja tenim formant l'angle interior. Podem pensar que una recta tangent a aquesta circumferència ens ajudarà a construir aquest triangle. La tangent ideal és la que toca la circumferència en el punt d'intersecció amb la bisectriu. Donat que la tangent és perpendicular al radi no és difícil construir-la.</div></div><div><br /></div><br /><div style="text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-OCevYW5ia5M/YCLaRK1sXKI/AAAAAAAAFbg/vyQJ_gqOO94MF2UAQvN5RllVReX8zks6ACLcBGAsYHQ/s419/penta2.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="386" data-original-width="419" src="https://1.bp.blogspot.com/-OCevYW5ia5M/YCLaRK1sXKI/AAAAAAAAFbg/vyQJ_gqOO94MF2UAQvN5RllVReX8zks6ACLcBGAsYHQ/s320/penta2.png" width="320" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Ara ja tenim el triangle al qual li hem de trobar l'incentre. Només cal afegir a la construcció una nova bisectriu: la d'una dels angles iguals del triangle obtingut.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-YP1N2IRAdIc/YCLbdiZ-ZII/AAAAAAAAFbo/j7YAhKPE54k5BK8b0ctlsz_Rz24CuOVVACLcBGAsYHQ/s411/penta3.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="384" data-original-width="411" src="https://1.bp.blogspot.com/-YP1N2IRAdIc/YCLbdiZ-ZII/AAAAAAAAFbo/j7YAhKPE54k5BK8b0ctlsz_Rz24CuOVVACLcBGAsYHQ/s320/penta3.png" width="320" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Ara ja podem dibuixar el nostre primer pètal.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-lFphd-2h4fk/YCLcWIsyR0I/AAAAAAAAFbw/vdSh8IxFhR8bPu-CiWO5DiqFOPbP0P2XQCLcBGAsYHQ/s367/penta4.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="355" data-original-width="367" src="https://1.bp.blogspot.com/-lFphd-2h4fk/YCLcWIsyR0I/AAAAAAAAFbw/vdSh8IxFhR8bPu-CiWO5DiqFOPbP0P2XQCLcBGAsYHQ/s320/penta4.png" width="320" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Dibuixar la resta de pètals es pot simplificar. Donat que els centres de tots els pètals estaran a la mateixa distància del centre de la rosassa podem construir un "cercle de centres de pètals" i anar situant cadascun fent simetries respecte als costats dels angles interiors del polígon base.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-XWHu3ndFIrs/YCLeJLrzNZI/AAAAAAAAFb8/yZVcIuwj5QcnRQrKjlDZe6uMBC-w-DrEQCLcBGAsYHQ/s372/penta5.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="364" data-original-width="372" src="https://1.bp.blogspot.com/-XWHu3ndFIrs/YCLeJLrzNZI/AAAAAAAAFb8/yZVcIuwj5QcnRQrKjlDZe6uMBC-w-DrEQCLcBGAsYHQ/s320/penta5.png" width="320" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Independentment de que el polígon base de sortida tingui una quantitat diferent a cinc costats, ja tenim un mètode general de construcció. No hem donat tots els detalls precisos per a la construcció amb GeoGebra, però sí els més importants.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Hi ha un mètode basat en els mateixos principis que facilita una mica més la construcció del cercle de pètals. L'única diferència és que comencem fent les mediatrius d'un parell de costats consecutius del polígon base. La bisectriu de l'angle format vindrà donada per la línia que uneix el centre amb el vèrtex compartit. El triangle es construeix amb la tangent en aquest punt. Un cop trobat l'incentre podem dibuixar la circumferència dels centres dels pètals. L'avantatge és que un cops trobats els centres és més fàcil dibuixar els pètals ja que els altres punts que ens determinen els radis són els propis vèrtexs del polígon i podem reduir una mica les passes de construcció. En aquest <i>applet</i>, movent el punt lliscant, podeu veure les passes de la construcció.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><iframe height="524px" scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/scpff7dh/width/536/height/524/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" style="border: 0px;" title="Construcció rosassa 5 pètals (2)" width="536px"> </iframe></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><span style="color: #990000;">Un altre mètode un pèl més ràpid</span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div>A l'article <i><a href="http://www.fisem.org/www/union/revistas/2005/2/Union_002_005.pdf">La motivación de la belleza</a></i> (Elena, Inés i Tomàs Ortega i Cecilia Crespo - Unión, juny 2005) al mètode anterior se l'anomena "mètode de les tangències". Però s'explica un altre anomenat "mètode mètric de la proporció". El presentem pas a pas, tot construint una rosassa de sis pètals, en el següent <i>applet</i>. Es podrà veure que, un cop tenim els vèrtexs del polígon desitjat, el mètode és força ràpid d'aplicar.<div><br /></div><div><div style="text-align: center;"><iframe height="432px" scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/htw44n45/width/690/height/432/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" style="border: 0px;" title="Construcció rosassa de sis pètals (Mètode mètric de la proporció)" width="690px"> </iframe></div><div style="text-align: center;"><br /></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #990000;">Són equivalents els dos mètodes?</span></b></div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;">Si els dos mètodes donen el mateix resultat és que són equivalents. Però les construccions són molt diferents. Podem veure si obtenim el mateix resultat?</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;">Per fer-ho ens podem centrar en una mesura clau: la del radi del cercle de pètals. Si ens hi fixem és la clau perquè ens dona el lloc i la mesura dels pètals. I aquesta mesura, com podem veure en aquest <i>applet. </i>depèn exclusivament del radi de la rosassa i de la quantitat de pètals, és a dir, de l'angle central del polígon regular associat.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: center;"><iframe height="694px" scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/sfayeres/width/607/height/694/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" style="border: 0px;" title="Rosassa de 3 a 20 pètals (mesures)" width="607px"> </iframe></div><div style="text-align: center;"><br /></div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;">Mostrem a continuació dues imatges amb els dos mètodes de construcció que poden servir de base per a la deducció del valor del radi del cercle de pètals (r).</div><div style="text-align: left;"><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-J1crdMUOaXs/YCa0yQVSznI/AAAAAAAAFcQ/qgRapHd_lzEutQx_6BBNoN78WVKspVEbwCLcBGAsYHQ/s476/const1.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="322" data-original-width="476" height="430" src="https://1.bp.blogspot.com/-J1crdMUOaXs/YCa0yQVSznI/AAAAAAAAFcQ/qgRapHd_lzEutQx_6BBNoN78WVKspVEbwCLcBGAsYHQ/w640-h430/const1.png" width="640" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Mètode de tangències</td></tr></tbody></table><br /><div style="text-align: left;"><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-9HDdRKNawj8/YCa1ZVx-inI/AAAAAAAAFcY/owrXjAa-upIhAIoclK0-jwkUhmM9Mz18QCLcBGAsYHQ/s541/const2.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="314" data-original-width="541" height="370" src="https://1.bp.blogspot.com/-9HDdRKNawj8/YCa1ZVx-inI/AAAAAAAAFcY/owrXjAa-upIhAIoclK0-jwkUhmM9Mz18QCLcBGAsYHQ/w640-h370/const2.png" width="640" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Mètode mètric de la proporció</td></tr></tbody></table><br /><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;">Si ens hi fixem en aquests dos gràfics veurem que l'angle que hem triat és la meitat de l'angle interior del polígon base. Anomenant α a aquest angle i <i>R</i> al radi de la rosassa podem arribar a les següents expressions:</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-yoavPqGSync/YCa26AoBEhI/AAAAAAAAFck/aoFF34Id-nggfaReZFpJ8e2gFbwGggbywCLcBGAsYHQ/s339/formula.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="77" data-original-width="339" src="https://1.bp.blogspot.com/-yoavPqGSync/YCa26AoBEhI/AAAAAAAAFck/aoFF34Id-nggfaReZFpJ8e2gFbwGggbywCLcBGAsYHQ/s16000/formula.png" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Si us interessa veure la demostració de l'equivalència dels dos mètodes, arribant a aquesta mateixa mesura a partir de cada construcció, ho podeu fer en aquest <a href="https://drive.google.com/file/d/1gVD0k-fYzbxI40DbXp0lpI4snK06pGzt/view?usp=sharing" target="_blank">document</a>.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><span style="color: #990000;">I a l'aula?</span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">D'alguna manera ja ho hem dit al principi. El primer problema a plantejar és que trobin un mètode de construcció per a algun cas particular: quatre, cinc o sis pètals. Ho poden intentar amb GeoGebra directament i, si volem, els hi podem donar un cercle de partida amb els vèrtexs marcats. Si no coneixen les propietats que hem fet servir (les de la recta bisectriu, la de l'incentre o la de la perpendicularitat de les tangents) les podem anar donant com a pistes. Si volem augmentar la dificultat podem donar algunes propietats que no siguin estrictament necessàries (com les de les mediatrius, l'ortocentre...). Però no ho aconsellaria en principi. </div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">El <i>mètode mètric de la proporció</i> es pot explicar i fer que l'apliquin en una construcció completa per veure si saben "seguir l'algoritme". Després podem obrir una discussió sobre els dos mètodes: quin els hi sembla més pràctic, per què, quin és més entenedor, per què...</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Amb els més grans es pot intentar descobrir el valor del radi del cercle de pètals. I si ens animem que demostrin que els dos mètodes són equivalents.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><span style="color: #990000;">Nota</span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Vull agrair a l'Anton Aubanell la petita empenta que em va donar en un moment d'encallament amb una de les resolucions del càlcul d'<i>r. </i>No és inusual durant la resolució d'un problema que tenim alguna cosa al davant que "és del tot evident" però que no la veiem. I ens il·luminem o algú altre ens ajuda veure-ho. Ser conscient de que ens passa també, ens pot ajudar a ser més humils amb les dificultats de l'alumnat quan tampoc "veuen les nostres evidències".</div></div>Unknownnoreply@blogger.com0