24 de setembre del 2014

Jo sé que tu saps que jo sé... el "problema impossible" i el "problema viral de Singapur"

Corren uns temps polítics ens el que el "jo sé que tu sap que jo sé que saps que sabem que saps que sé que sabem que..." estan a l'ordre del dia. Prescindint de raons (entenent-les com motius i no arguments) la situació fa recordar la genial "batalla d'enginy" entre Vizzini i el Pirata Roberts a la pel·lícula La princesa promesa, tot i que ara no sabem qui acabarà prenent el verí i si es farà per voluntat o a per la força.


En tot cas hi ha alguns problemes matemàtics que no es poden resoldre sense saber què saben i deixen de saber alguns dels seus protagonistes. Potser el més popular és els de les edats de les tres germanes (A i li diu a B que té tres filles, que els producte de les edats és 36, que la suma és el número de casa del carrer on viu B i quan B diu que no ho pot resoldre A li reconeix que té raó i afegeix la informació de que la més gran toca el piano). En aquest tipus de problemes la gràcia rau en que tenim una aparent manca de dades per contestar els que se'ns demana però justament les dades amagades són el que els protagonistes reconeixen a cada moment què saben o què desconeixen.

Probablement el rei d'aquests problemes és el que en Martin Gardner va batejar com "el problema impossible". Plantegem-lo en una de les seves versions clàssiques.

L'Albert, el Blai, el Pere i el Sergi vitajen en la seva superbicicleta. Mentre en Blai pedala sent la següent conversa entre els altres tres.
     - Albert: He triat dos números, no necessàriament diferents, entre 2 i 20. A tu Pere et dono un paper on he anotat el seu producte. A tu Sergi te'n dono un altre on he anotat la seva suma.

- Pere: Amb el producte no en tinc prou per saber els nombres.
- Sergi: Això ja ho sabia jo.
- Pere: Doncs ara ja sé els nombres.
- Sergi: I ara jo també.
Mentre li donava als pedals en Blai anava fent números amb el cap i al cap d'una estona va dir: "Jo també sé ara quins són els dos nombres".
De quina parella de nombres es tracta?

Abans de mirar la solució, que només demana algunes nocions de divisibilitat bàsiques, no us en priveu d'intentar la seva resolució.

Després de la solució d'aquest "problema impossible" us en parlarem d'un més accessible: "el problema viral de Singapur" que va córrer viralment pels mitjans de comunicació i les xarxes socials a l'abril del 2015.

Continuem?

22 de setembre del 2014

Despenjant quadres algebraicament (o gairebé)

En jocs, com ara els escacs o el futbol, acceptem participar en una mena de realitat irreal i amb unes regles pactades per la pura satisfacció que obtenim mentre juguem. No qüestionem la lògica de les regles ni la dels objectius. Les virtuts o defectes d'aquestes normes i finalitats són, precisament, les que diferencien els bons i els mals jocs. Per altra banda, si mirem l'objectiu final d'un joc observarem que té sempre forma de repte (alinear tres fitxes, encistellar més pilotes que el contrari). Si analitzem les normes veure que les condicions delimiten la forma d'assolir aquest objectiu (hem de colpejar la pilota amb una raqueta i no amb qualsevol part del cos, la torre mou en vertical o horitzontal). Si ho mirem així veurem que les matemàtiques tenen molt de joc. Per exemple, a l'antiga Grècia només s'acceptava dibuixar un triangle (objectiu) amb un regle sense graduar i un compàs col·lapsable (regles). A partir del repte decidim si volem jugar. Com que és un joc no li demanem sentit pràctic. El repte que us presentem avui té aquestes característiques. Un repte sense cap utilitat pràctica directa però que ens pot enganxar per poc que aprofundim una mica intentant generalitzar-lo.

Imaginem que tenim un quadre penjant d'un clau, mitjançant una corda, com el de la imatge.No cal dir que si traiem el clau el quadre caurà.


Ara imaginem que pengem el quadre de dos claus A i B.

Si traiem el clau A el quadre no caurà perquè encara penjarà del B. Si traiem el clau B el quadre quedarà penjant de l'A.

El problema és justament aquest:

Com podem posar la corda perquè el quadri s'aguanti amb els dos claus però si en traiem un de qualsevol, A o B, el quadre caigui?

En aquest petit vídeo podem veure que és possible.


Us proposem que proveu de buscar una solució abans de continuar llegint. Si us animeu després podeu provar de trobar alguna solució per a tres claus.

A continuació explicarem les solucions i, el que és més important, veurem com un tipus d'anotació determinada ens pot ajudar a trobar fàcilment solucions diferents per a tres claus, quatre, cinc, sis...

Segueix llegint i... no et quedis penjat