28 d’octubre del 2014

Fraccions mirall

Podem jugar amb simetria i fraccions? Ningú ens ho prohibeix. Els nombres permeten una immensa quantitat de jocs i reptes. Provem a investigar les fraccions mirall.


Agafem un fracció amb la següent condició: el numerador i el denominador han de tenir dues xifres.

Si l'emmirallen obtenim una nova fracció

És força evident que les dues fraccions no són equivalents. En un cas tenim el numerador més gran que el denominador i en l'altre el numerador és el més gran.


En canvi, si agafem juguem amb el 13 i el 39 sí que podem obtenir dues fraccions equivalents quan invertim les xifres respectives del numerador i el denominador.

Tenim una fracció mirall.

A partir d'aquí ja podem començar a fer-nos preguntes:
  • Hi ha més fraccions mirall de dues xifres? Si és així, quantes?
  • Acompleixen alguna propietat?
  • I si provem amb tres xifres?
  • I amb quatre?
Estudiem el cas de dues xifres

A l'aula podem proposar una cerca "a pèl". En primer lloc convé posar algunes regles.
  • Potser que no tinguem en compte les fraccions fetes amb nombres capicues. Són massa evidents.
  • També podem limitar el joc amb els zeros

  • Un altre cas a eliminar són les fraccions amb el numerador i el denominador iguals
  • Podem eliminar les fraccions que s'obtenen d'intercanviar els membres de la igualtat i els d'invertir numeradors i denominadors. Podem observar que cada fracció que trobem genera quatre casos similars. Amb un en tenim prou.


Si eliminem els casos esmentats trobarem 14 fraccions mirall diferents de dues xifres:

Podem classificar-les per equivalències


I ara que les tenim totes... podem trobar què tenen en comú?


Quina propietat tenen les fraccions mirall de dues xifres?

Podem anar experimentant i és molt probable que descobrim la propietat numèrica que han d'acomplir les xifres del numerador i del denominador. També la podem trobar algebraicament.


La propietat que descobrim és que el "producte en creu" de les xifres ha de ser igual
Ho podem comprovar amb qualsevol dels casos que hem trobat anteriorment:



I amb tres xifres?

Trobar fraccions mirall amb tres xifres no és tan fàcil com amb dues. Una recerca amb ajuda de l'ordinador ens ajuda a descobrir que hi ha 60 de diferents. Aquí en teniu algunes:


A primer cop d'ull sembla que el producte en creu de les xifres dels extrems encara funciona. Però no n'hi ha prou. La xifra central no té una regla clara: de vegades és la mateixa, de vegades el doble... però també tenim a la darrera fracció un 4 i un 6 al mig.

En aquest cas l'àlgebra ens ajuda a descobrir que el que s'ha d'acomplir és una relació més complexa i que no ens ajuda gaire a trobar fraccions mirall de tres xifres de forma directa. De fet s'han d'acomplir simultàniament dues condicions:


a·f = c·d
a·e + b·f = b·d + c·e

Com abans, ho podem comprovar amb un dels exemples que tenim.


Aquestes dues condicions les podem visualitzar millor sobre la mateixa fracció:


I amb quatre xifres?

Amb quatre xifres tenim 614 solucions diferents. Les tres condicions que han d'acomplir les xifres ja deixen albirar la generalització del que hem vist fins ara.

Mirem-ho amb un exemple de fracció mirall triat entre els 614 de quatre xifres:
Us animem a buscar altres fraccions mirall de quatre xifres... i a investigar sobre les de cinc, sis, etc,

Una observació final

Les condicions que han d'acomplir les xifres de la fracció recorden molt un algoritme antic de multiplicació del que un dia en parlarem. Obrim només una porta a un article futur.

Un apèndix musical

Un joc simètric (en aquest cas una simetria central) el va fer musicalment Mozart en la seva obra Spiegel Duet (Duet mirall) en el que dos músics interpreten simultàniament una mateixa partitura, però un mirant-la del dret i l'altre del revès. No té res a veure amb les fraccions però sí té alguna cosa "trencadora". Més que res... per què no donar-nos un respir matemàtico-musical?



I un apèndix més: totes les fraccions mirall de tres i quatre xifres

Fraccions mirall de tres xifres
1)102/204 = 201/402
2)102/306 = 201/603
3)102/408 = 201/804
4)103/206 = 301/602
5)103/309 = 301/903
6)104/208 = 401/802
7)112/224 = 211/422
8)112/336 = 211/633
9)112/448 = 211/844
10)113/226 = 311/622
11)113/339 = 311/933
12)114/228 = 411/822
13)122/244 = 221/442
14)122/366 = 221/663
15)122/488 = 221/884
16)123/246 = 321/642
17)123/369 = 321/963
18)124/248 = 421/842
19)132/264 = 231/462
20)132/396 = 231/693
21)133/266 = 331/662
22)133/399 = 331/993
23)134/268 = 431/862
24)142/284 = 241/482
25)143/286 = 341/682
26)144/288 = 441/882
27)203/406 = 302/604
28)203/609 = 302/906
29)204/306 = 402/603
30)204/408 = 402/804
31)206/309 = 602/903
32)213/426 = 312/624
33)213/639 = 312/936
34)214/428 = 412/824
35)223/446 = 322/644
36)223/669 = 322/966
37)224/336 = 422/633
38)224/448 = 422/844
39)226/339 = 622/933
40)233/466 = 332/664
41)233/699 = 332/996
42)234/468 = 432/864
43)243/486 = 342/684
44)244/366 = 442/663
45)244/488 = 442/884
46)246/369 = 642/963
47)264/396 = 462/693
48)266/399 = 662/993
49)304/608 = 403/806
50)306/408 = 603/804
51)314/628 = 413/826
52)324/648 = 423/846
53)334/668 = 433/866
54)336/448 = 633/844
55)344/688 = 443/886
56)366/488 = 663/884
57)406/609 = 604/906
58)426/639 = 624/936
59)446/669 = 644/966
60)466/699 = 664/996

Fraccions mirall de quatre xifres
1)1002/2004 = 2001/4002
2)1002/3006 = 2001/6003
3)1002/4008 = 2001/8004
4)1003/2006 = 3001/6002
5)1003/3009 = 3001/9003
6)1004/2008 = 4001/8002
7)1011/2022 = 1101/2202
8)1011/3033 = 1101/3303
9)1011/4044 = 1101/4404
10)1011/5055 = 1101/5505
11)1011/6066 = 1101/6606
12)1011/7077 = 1101/7707
13)1011/8088 = 1101/8808
14)1011/9099 = 1101/9909
15)1012/2024 = 2101/4202
16)1012/3036 = 2101/6303
17)1012/4048 = 2101/8404
18)1013/2026 = 3101/6202
19)1013/3039 = 3101/9303
20)1014/2028 = 4101/8202
21)1021/2042 = 1201/2402
22)1021/3063 = 1201/3603
23)1021/4084 = 1201/4804
24)1022/2044 = 2201/4402
25)1022/3066 = 2201/6603
26)1022/4088 = 2201/8804
27)1023/2046 = 3201/6402
28)1023/3069 = 3201/9603
29)1024/2048 = 4201/8402
30)1031/2062 = 1301/2602
31)1031/3093 = 1301/3903
32)1032/2064 = 2301/4602
33)1032/3096 = 2301/6903
34)1033/2066 = 3301/6602
35)1033/3099 = 3301/9903
36)1034/2068 = 4301/8602
37)1041/2082 = 1401/2802
38)1042/2084 = 2401/4802
39)1043/2086 = 3401/6802
40)1044/2088 = 4401/8802
41)1102/2204 = 2011/4022
42)1102/3306 = 2011/6033
43)1102/4408 = 2011/8044
44)1103/2206 = 3011/6022
45)1103/3309 = 3011/9033
46)1104/2208 = 4011/8022
47)1112/2224 = 2111/4222
48)1112/3336 = 2111/6333
49)1112/4448 = 2111/8444
50)1113/2226 = 3111/6222
51)1113/3339 = 3111/9333
52)1114/2228 = 4111/8222
53)1121/2242 = 1211/2422
54)1121/3363 = 1211/3633
55)1121/4484 = 1211/4844
56)1122/2244 = 2211/4422
57)1122/3366 = 2211/6633
58)1122/4488 = 2211/8844
59)1123/2246 = 3211/6422
60)1123/3369 = 3211/9633
61)1124/2248 = 4211/8422
62)1131/2262 = 1311/2622
63)1131/3393 = 1311/3933
64)1132/2264 = 2311/4622
65)1132/3396 = 2311/6933
66)1133/2266 = 3311/6622
67)1133/3399 = 3311/9933
68)1134/2268 = 4311/8622
69)1141/2282 = 1411/2822
70)1142/2284 = 2411/4822
71)1143/2286 = 3411/6822
72)1144/2288 = 4411/8822
73)1202/2404 = 2021/4042
74)1202/3606 = 2021/6063
75)1202/4808 = 2021/8084
76)1203/2406 = 3021/6042
77)1203/3609 = 3021/9063
78)1204/2408 = 4021/8042
79)1212/1332 = 2121/2331
80)1212/1452 = 2121/2541
81)1212/1572 = 2121/2751
82)1212/1692 = 2121/2961
83)1212/2304 = 2121/4032
84)1212/2424 = 2121/4242
85)1212/2544 = 2121/4452
86)1212/2664 = 2121/4662
87)1212/2784 = 2121/4872
88)1212/3516 = 2121/6153
89)1212/3636 = 2121/6363
90)1212/3756 = 2121/6573
91)1212/3876 = 2121/6783
92)1212/3996 = 2121/6993
93)1212/4608 = 2121/8064
94)1212/4728 = 2121/8274
95)1212/4848 = 2121/8484
96)1212/4968 = 2121/8694
97)1213/2426 = 3121/6242
98)1213/3639 = 3121/9363
99)1214/2428 = 4121/8242
100)1222/2444 = 2221/4442
101)1222/3666 = 2221/6663
102)1222/4888 = 2221/8884
103)1223/2446 = 3221/6442
104)1223/3669 = 3221/9663
105)1224/2448 = 4221/8442
106)1231/2462 = 1321/2642
107)1231/3693 = 1321/3963
108)1232/2464 = 2321/4642
109)1232/3696 = 2321/6963
110)1233/2466 = 3321/6642
111)1233/3699 = 3321/9963
112)1234/2468 = 4321/8642
113)1241/2482 = 1421/2842
114)1242/2484 = 2421/4842
115)1243/2486 = 3421/6842
116)1244/2488 = 4421/8842
117)1302/2604 = 2031/4062
118)1302/3906 = 2031/6093
119)1303/2606 = 3031/6062
120)1303/3909 = 3031/9093
121)1304/2608 = 4031/8062
122)1312/2624 = 2131/4262
123)1312/3936 = 2131/6393
124)1313/1443 = 3131/3441
125)1313/1573 = 3131/3751
126)1313/2626 = 3131/6262
127)1313/2756 = 3131/6572
128)1313/2886 = 3131/6882
129)1313/3809 = 3131/9083
130)1313/3939 = 3131/9393
131)1314/2628 = 4131/8262
132)1322/2644 = 2231/4462
133)1322/3966 = 2231/6693
134)1323/2646 = 3231/6462
135)1323/3969 = 3231/9693
136)1324/2648 = 4231/8462
137)1332/1452 = 2331/2541
138)1332/1572 = 2331/2751
139)1332/1692 = 2331/2961
140)1332/2304 = 2331/4032
141)1332/2424 = 2331/4242
142)1332/2544 = 2331/4452
143)1332/2664 = 2331/4662
144)1332/2784 = 2331/4872
145)1332/3516 = 2331/6153
146)1332/3636 = 2331/6363
147)1332/3756 = 2331/6573
148)1332/3876 = 2331/6783
149)1332/3996 = 2331/6993
150)1332/4608 = 2331/8064
151)1332/4728 = 2331/8274
152)1332/4848 = 2331/8484
153)1332/4968 = 2331/8694
154)1333/2666 = 3331/6662
155)1333/3999 = 3331/9993
156)1334/2668 = 4331/8662
157)1341/2682 = 1431/2862
158)1342/2684 = 2431/4862
159)1343/2686 = 3431/6862
160)1344/2688 = 4431/8862
161)1402/2804 = 2041/4082
162)1403/2806 = 3041/6082
163)1404/2808 = 4041/8082
164)1412/2824 = 2141/4282
165)1413/2826 = 3141/6282
166)1414/1554 = 4141/4551
167)1414/1694 = 4141/4961
168)1414/2828 = 4141/8282
169)1414/2968 = 4141/8692
170)1422/2844 = 2241/4482
171)1423/2846 = 3241/6482
172)1424/2848 = 4241/8482
173)1432/2864 = 2341/4682
174)1433/2866 = 3341/6682
175)1434/2868 = 4341/8682
176)1442/2884 = 2441/4882
177)1443/1573 = 3441/3751
178)1443/2626 = 3441/6262
179)1443/2756 = 3441/6572
180)1443/2886 = 3441/6882
181)1443/3809 = 3441/9083
182)1443/3939 = 3441/9393
183)1444/2888 = 4441/8882
184)1452/1572 = 2541/2751
185)1452/1692 = 2541/2961
186)1452/2304 = 2541/4032
187)1452/2424 = 2541/4242
188)1452/2544 = 2541/4452
189)1452/2664 = 2541/4662
190)1452/2784 = 2541/4872
191)1452/3516 = 2541/6153
192)1452/3636 = 2541/6363
193)1452/3756 = 2541/6573
194)1452/3876 = 2541/6783
195)1452/3996 = 2541/6993
196)1452/4608 = 2541/8064
197)1452/4728 = 2541/8274
198)1452/4848 = 2541/8484
199)1452/4968 = 2541/8694
200)1515/1665 = 5151/5661
201)1554/1694 = 4551/4961
202)1554/2828 = 4551/8282
203)1554/2968 = 4551/8692
204)1572/1692 = 2751/2961
205)1572/2304 = 2751/4032
206)1572/2424 = 2751/4242
207)1572/2544 = 2751/4452
208)1572/2664 = 2751/4662
209)1572/2784 = 2751/4872
210)1572/3516 = 2751/6153
211)1572/3636 = 2751/6363
212)1572/3756 = 2751/6573
213)1572/3876 = 2751/6783
214)1572/3996 = 2751/6993
215)1572/4608 = 2751/8064
216)1572/4728 = 2751/8274
217)1572/4848 = 2751/8484
218)1572/4968 = 2751/8694
219)1573/2626 = 3751/6262
220)1573/2756 = 3751/6572
221)1573/2886 = 3751/6882
222)1573/3809 = 3751/9083
223)1573/3939 = 3751/9393
224)1616/1776 = 6161/6771
225)1692/2304 = 2961/4032
226)1692/2424 = 2961/4242
227)1692/2544 = 2961/4452
228)1692/2664 = 2961/4662
229)1692/2784 = 2961/4872
230)1692/3516 = 2961/6153
231)1692/3636 = 2961/6363
232)1692/3756 = 2961/6573
233)1692/3876 = 2961/6783
234)1692/3996 = 2961/6993
235)1692/4608 = 2961/8064
236)1692/4728 = 2961/8274
237)1692/4848 = 2961/8484
238)1692/4968 = 2961/8694
239)1694/2828 = 4961/8282
240)1694/2968 = 4961/8692
241)1717/1887 = 7171/7881
242)1818/1998 = 8181/8991
243)2003/4006 = 3002/6004
244)2003/6009 = 3002/9006
245)2004/3006 = 4002/6003
246)2004/4008 = 4002/8004
247)2006/3009 = 6002/9003
248)2012/4024 = 2102/4204
249)2012/6036 = 2102/6306
250)2012/8048 = 2102/8408
251)2013/4026 = 3102/6204
252)2013/6039 = 3102/9306
253)2014/4028 = 4102/8204
254)2022/3033 = 2202/3303
255)2022/4044 = 2202/4404
256)2022/5055 = 2202/5505
257)2022/6066 = 2202/6606
258)2022/7077 = 2202/7707
259)2022/8088 = 2202/8808
260)2022/9099 = 2202/9909
261)2023/4046 = 3202/6404
262)2023/6069 = 3202/9606
263)2024/3036 = 4202/6303
264)2024/4048 = 4202/8404
265)2026/3039 = 6202/9303
266)2032/4064 = 2302/4604
267)2032/6096 = 2302/6906
268)2033/4066 = 3302/6604
269)2033/6099 = 3302/9906
270)2034/4068 = 4302/8604
271)2042/3063 = 2402/3603
272)2042/4084 = 2402/4804
273)2043/4086 = 3402/6804
274)2044/3066 = 4402/6603
275)2044/4088 = 4402/8804
276)2046/3069 = 6402/9603
277)2062/3093 = 2602/3903
278)2064/3096 = 4602/6903
279)2066/3099 = 6602/9903
280)2103/4206 = 3012/6024
281)2103/6309 = 3012/9036
282)2104/4208 = 4012/8024
283)2113/4226 = 3112/6224
284)2113/6339 = 3112/9336
285)2114/4228 = 4112/8224
286)2122/4244 = 2212/4424
287)2122/6366 = 2212/6636
288)2122/8488 = 2212/8848
289)2123/4246 = 3212/6424
290)2123/6369 = 3212/9636
291)2124/4248 = 4212/8424
292)2132/4264 = 2312/4624
293)2132/6396 = 2312/6936
294)2133/4266 = 3312/6624
295)2133/6399 = 3312/9936
296)2134/4268 = 4312/8624
297)2142/4284 = 2412/4824
298)2143/4286 = 3412/6824
299)2144/4288 = 4412/8824
300)2203/4406 = 3022/6044
301)2203/6609 = 3022/9066
302)2204/3306 = 4022/6033
303)2204/4408 = 4022/8044
304)2206/3309 = 6022/9033
305)2213/4426 = 3122/6244
306)2213/6639 = 3122/9366
307)2214/4428 = 4122/8244
308)2223/4446 = 3222/6444
309)2223/6669 = 3222/9666
310)2224/3336 = 4222/6333
311)2224/4448 = 4222/8444
312)2226/3339 = 6222/9333
313)2232/4464 = 2322/4644
314)2232/6696 = 2322/6966
315)2233/4466 = 3322/6644
316)2233/6699 = 3322/9966
317)2234/4468 = 4322/8644
318)2242/3363 = 2422/3633
319)2242/4484 = 2422/4844
320)2243/4486 = 3422/6844
321)2244/3366 = 4422/6633
322)2244/4488 = 4422/8844
323)2246/3369 = 6422/9633
324)2262/3393 = 2622/3933
325)2264/3396 = 4622/6933
326)2266/3399 = 6622/9933
327)2303/4606 = 3032/6064
328)2303/6909 = 3032/9096
329)2304/2424 = 4032/4242
330)2304/2544 = 4032/4452
331)2304/2664 = 4032/4662
332)2304/2784 = 4032/4872
333)2304/3516 = 4032/6153
334)2304/3636 = 4032/6363
335)2304/3756 = 4032/6573
336)2304/3876 = 4032/6783
337)2304/3996 = 4032/6993
338)2304/4608 = 4032/8064
339)2304/4728 = 4032/8274
340)2304/4848 = 4032/8484
341)2304/4968 = 4032/8694
342)2313/4626 = 3132/6264
343)2313/6939 = 3132/9396
344)2314/4628 = 4132/8264
345)2323/2553 = 3232/3552
346)2323/2783 = 3232/3872
347)2323/4416 = 3232/6144
348)2323/4646 = 3232/6464
349)2323/4876 = 3232/6784
350)2323/6509 = 3232/9056
351)2323/6739 = 3232/9376
352)2323/6969 = 3232/9696
353)2324/4648 = 4232/8464
354)2333/4666 = 3332/6664
355)2333/6999 = 3332/9996
356)2334/4668 = 4332/8664
357)2342/4684 = 2432/4864
358)2343/4686 = 3432/6864
359)2344/4688 = 4432/8864
360)2403/4806 = 3042/6084
361)2404/3606 = 4042/6063
362)2404/4808 = 4042/8084
363)2406/3609 = 6042/9063
364)2413/4826 = 3142/6284
365)2414/4828 = 4142/8284
366)2423/4846 = 3242/6484
367)2424/2544 = 4242/4452
368)2424/2664 = 4242/4662
369)2424/2784 = 4242/4872
370)2424/3516 = 4242/6153
371)2424/3636 = 4242/6363
372)2424/3756 = 4242/6573
373)2424/3876 = 4242/6783
374)2424/3996 = 4242/6993
375)2424/4608 = 4242/8064
376)2424/4728 = 4242/8274
377)2424/4848 = 4242/8484
378)2424/4968 = 4242/8694
379)2426/3639 = 6242/9363
380)2433/4866 = 3342/6684
381)2434/4868 = 4342/8684
382)2443/4886 = 3442/6884
383)2444/3666 = 4442/6663
384)2444/4888 = 4442/8884
385)2446/3669 = 6442/9663
386)2462/3693 = 2642/3963
387)2464/3696 = 4642/6963
388)2466/3699 = 6642/9963
389)2525/2775 = 5252/5772
390)2544/2664 = 4452/4662
391)2544/2784 = 4452/4872
392)2544/3516 = 4452/6153
393)2544/3636 = 4452/6363
394)2544/3756 = 4452/6573
395)2544/3876 = 4452/6783
396)2544/3996 = 4452/6993
397)2544/4608 = 4452/8064
398)2544/4728 = 4452/8274
399)2544/4848 = 4452/8484
400)2544/4968 = 4452/8694
401)2553/2783 = 3552/3872
402)2553/4416 = 3552/6144
403)2553/4646 = 3552/6464
404)2553/4876 = 3552/6784
405)2553/6509 = 3552/9056
406)2553/6739 = 3552/9376
407)2553/6969 = 3552/9696
408)2604/3906 = 4062/6093
409)2606/3909 = 6062/9093
410)2624/3936 = 4262/6393
411)2626/2756 = 6262/6572
412)2626/2886 = 6262/6882
413)2626/3809 = 6262/9083
414)2626/3939 = 6262/9393
415)2644/3966 = 4462/6693
416)2646/3969 = 6462/9693
417)2664/2784 = 4662/4872
418)2664/3516 = 4662/6153
419)2664/3636 = 4662/6363
420)2664/3756 = 4662/6573
421)2664/3876 = 4662/6783
422)2664/3996 = 4662/6993
423)2664/4608 = 4662/8064
424)2664/4728 = 4662/8274
425)2664/4848 = 4662/8484
426)2664/4968 = 4662/8694
427)2666/3999 = 6662/9993
428)2727/2997 = 7272/7992
429)2756/2886 = 6572/6882
430)2756/3809 = 6572/9083
431)2756/3939 = 6572/9393
432)2783/4416 = 3872/6144
433)2783/4646 = 3872/6464
434)2783/4876 = 3872/6784
435)2783/6509 = 3872/9056
436)2783/6739 = 3872/9376
437)2783/6969 = 3872/9696
438)2784/3516 = 4872/6153
439)2784/3636 = 4872/6363
440)2784/3756 = 4872/6573
441)2784/3876 = 4872/6783
442)2784/3996 = 4872/6993
443)2784/4608 = 4872/8064
444)2784/4728 = 4872/8274
445)2784/4848 = 4872/8484
446)2784/4968 = 4872/8694
447)2828/2968 = 8282/8692
448)2886/3809 = 6882/9083
449)2886/3939 = 6882/9393
450)3004/6008 = 4003/8006
451)3006/4008 = 6003/8004
452)3013/6026 = 3103/6206
453)3013/9039 = 3103/9309
454)3014/6028 = 4103/8206
455)3023/6046 = 3203/6406
456)3023/9069 = 3203/9609
457)3024/6048 = 4203/8406
458)3033/4044 = 3303/4404
459)3033/5055 = 3303/5505
460)3033/6066 = 3303/6606
461)3033/7077 = 3303/7707
462)3033/8088 = 3303/8808
463)3033/9099 = 3303/9909
464)3034/6068 = 4303/8606
465)3036/4048 = 6303/8404
466)3043/6086 = 3403/6806
467)3044/6088 = 4403/8806
468)3063/4084 = 3603/4804
469)3066/4088 = 6603/8804
470)3104/6208 = 4013/8026
471)3114/6228 = 4113/8226
472)3123/6246 = 3213/6426
473)3123/9369 = 3213/9639
474)3124/6248 = 4213/8426
475)3133/6266 = 3313/6626
476)3133/9399 = 3313/9939
477)3134/6268 = 4313/8626
478)3143/6286 = 3413/6826
479)3144/6288 = 4413/8826
480)3204/6408 = 4023/8046
481)3214/6428 = 4123/8246
482)3224/6448 = 4223/8446
483)3233/6466 = 3323/6646
484)3233/9699 = 3323/9969
485)3234/6468 = 4323/8646
486)3243/6486 = 3423/6846
487)3244/6488 = 4423/8846
488)3304/6608 = 4033/8066
489)3306/4408 = 6033/8044
490)3314/6628 = 4133/8266
491)3324/6648 = 4233/8466
492)3334/6668 = 4333/8666
493)3336/4448 = 6333/8444
494)3343/6686 = 3433/6866
495)3344/6688 = 4433/8866
496)3363/4484 = 3633/4844
497)3366/4488 = 6633/8844
498)3404/6808 = 4043/8086
499)3414/6828 = 4143/8286
500)3424/6848 = 4243/8486
501)3434/3774 = 4343/4773
502)3434/6528 = 4343/8256
503)3434/6868 = 4343/8686
504)3444/6888 = 4443/8886
505)3516/3636 = 6153/6363
506)3516/3756 = 6153/6573
507)3516/3876 = 6153/6783
508)3516/3996 = 6153/6993
509)3516/4608 = 6153/8064
510)3516/4728 = 6153/8274
511)3516/4848 = 6153/8484
512)3516/4968 = 6153/8694
513)3535/3885 = 5353/5883
514)3606/4808 = 6063/8084
515)3636/3756 = 6363/6573
516)3636/3876 = 6363/6783
517)3636/3996 = 6363/6993
518)3636/4608 = 6363/8064
519)3636/4728 = 6363/8274
520)3636/4848 = 6363/8484
521)3636/4968 = 6363/8694
522)3666/4888 = 6663/8884
523)3756/3876 = 6573/6783
524)3756/3996 = 6573/6993
525)3756/4608 = 6573/8064
526)3756/4728 = 6573/8274
527)3756/4848 = 6573/8484
528)3756/4968 = 6573/8694
529)3774/6528 = 4773/8256
530)3774/6868 = 4773/8686
531)3809/3939 = 9083/9393
532)3876/3996 = 6783/6993
533)3876/4608 = 6783/8064
534)3876/4728 = 6783/8274
535)3876/4848 = 6783/8484
536)3876/4968 = 6783/8694
537)3996/4608 = 6993/8064
538)3996/4728 = 6993/8274
539)3996/4848 = 6993/8484
540)3996/4968 = 6993/8694
541)4006/6009 = 6004/9006
542)4014/8028 = 4104/8208
543)4024/6036 = 4204/6306
544)4024/8048 = 4204/8408
545)4026/6039 = 6204/9306
546)4034/8068 = 4304/8608
547)4044/5055 = 4404/5505
548)4044/6066 = 4404/6606
549)4044/7077 = 4404/7707
550)4044/8088 = 4404/8808
551)4044/9099 = 4404/9909
552)4046/6069 = 6404/9606
553)4064/6096 = 4604/6906
554)4066/6099 = 6604/9906
555)4124/8248 = 4214/8428
556)4134/8268 = 4314/8628
557)4144/8288 = 4414/8828
558)4206/6309 = 6024/9036
559)4226/6339 = 6224/9336
560)4234/8468 = 4324/8648
561)4244/6366 = 4424/6636
562)4244/8488 = 4424/8848
563)4246/6369 = 6424/9636
564)4264/6396 = 4624/6936
565)4266/6399 = 6624/9936
566)4344/8688 = 4434/8868
567)4406/6609 = 6044/9066
568)4416/4646 = 6144/6464
569)4416/4876 = 6144/6784
570)4416/6509 = 6144/9056
571)4416/6739 = 6144/9376
572)4416/6969 = 6144/9696
573)4426/6639 = 6244/9366
574)4446/6669 = 6444/9666
575)4464/6696 = 4644/6966
576)4466/6699 = 6644/9966
577)4545/4995 = 5454/5994
578)4606/6909 = 6064/9096
579)4608/4728 = 8064/8274
580)4608/4848 = 8064/8484
581)4608/4968 = 8064/8694
582)4626/6939 = 6264/9396
583)4646/4876 = 6464/6784
584)4646/6509 = 6464/9056
585)4646/6739 = 6464/9376
586)4646/6969 = 6464/9696
587)4666/6999 = 6664/9996
588)4728/4848 = 8274/8484
589)4728/4968 = 8274/8694
590)4848/4968 = 8484/8694
591)4876/6509 = 6784/9056
592)4876/6739 = 6784/9376
593)4876/6969 = 6784/9696
594)5055/6066 = 5505/6606
595)5055/7077 = 5505/7707
596)5055/8088 = 5505/8808
597)5055/9099 = 5505/9909
598)6026/9039 = 6206/9309
599)6036/8048 = 6306/8408
600)6046/9069 = 6406/9609
601)6066/7077 = 6606/7707
602)6066/8088 = 6606/8808
603)6066/9099 = 6606/9909
604)6246/9369 = 6426/9639
605)6266/9399 = 6626/9939
606)6366/8488 = 6636/8848
607)6466/9699 = 6646/9969
608)6509/6739 = 9056/9376
609)6509/6969 = 9056/9696
610)6528/6868 = 8256/8686
611)6739/6969 = 9376/9696
612)7077/8088 = 7707/8808
613)7077/9099 = 7707/9909
614)8088/9099 = 8808/9909

1 comentari:

  1. Una reformulació d'aquest problema és la proposada sota el nom “Producte d’imatges” al Fem matemàtiques 2014 per a 2n d’ESO http://fm.feemcat.org/wp-content/uploads/2013/11/FM14_fase1_ESO2.pdf

    ResponElimina