18 de juny del 2015

Una estratègia per treure's el barret

Swiffy Output Aquest problema l'he conegut a través d'un vídeo de Clara Grima (el podeu veure al final de l'article). Ella mateixa atribueix el descobriment a un blog d'Edward Felten director adjunt de tecnologia de la Casa Blanca (la de Washington). El problema és realment curiós, no només pel fet de tenir solució, sinó per l'eina matemàtica que s'utilitza per resoldre'l. Mirem com s'enuncia.

Imaginem que tenim quatre persones per fer el joc i barrets de quatre colors diferents: vermell, blau, groc i verd. En disposem de quatre de cada color. Posem a l'atzar un barret a cadascun dels jugadors. Es poden repetir colors. Podrien ser els quatre verds, dos vermells i dos grocs, tots diferents... Cadascun dels participants en el joc veu els altres tres barrets però no el seu. A continuació escriuen en un paper el color del que pensen que és el seu barret. Si un sol dels jugadors l'endevina tots guanyen. Si fallen tots, perden tots.
Ja tenim la situació. Ara bé el problema. Imaginem primer que tots juguen de forma absolutament legal, sense fer-se indicacions ni comunicar-se de cap manera. Però això no implica que abans no els haguem deixat una estona per pensar una estratègia a seguir. Existeix tal estratègia? Una manera d'actuar que asseguri que, com a mínim, a cada jugada un encerti el seu color?

Podem començar el problema analitzant què passaria si cadascun dels jugadors contesta a l'atzar. De fet ja és un bon problema. La intuïció ens diu que actuant així no garantim que sempre s'encerti però podem posar a discussió un argument fal·laç: si cada jugador té 1/4 de probabilitat d'encertar entre tots quatre "asseguren el tret":


Bé... ja sabem que és fals. Podríem buscar tots els casos possibles i entre ells els favorables (situacions en la que un jugador o més encerten), però serà feixuc. Millor agafem una drecera: calculem quina és la probabilitat de que tots fallin. Si la d'equivocar-se un és 3/4 la de que ho facin tots serà:


En la resta de casos algú encertarà. Només cal restar de la unitat.


Déu n'hi do! No és una probabilitat baixa. De fet encara és més alta si tenim en compte que cada jugador veu tres barrets. Els quatre jugadors es poden posar d'acord en actuar de manera similar segons els colors que vegin. Una estratègia possible consisteix en dir un color que no veuen. Si són dos els colors que no veuen diran un d'ells a l'atzar. Actuant així la probabilitat general pujarà al 77,03%, i en el cas concret de que realment els quatre portessin colors diferents tots quatre encertarien.

Però el cert és que volem assegurar que una persona encerta sempre, sense importar-nos quina o si és la mateixa a cada joc. I el que també és cert que observar els barrets dels altres no sembla donar-nos cap informació fiable per encertar el color propi.

Encara que sembli impossible en realitat aquesta estratègia existeix. I fa servir l'aritmètica "del rellotge"! Sorpresos?

Voleu conèixer l'estratègia?

3 de juny del 2015

Multiplicar amb dobles o amb dobles i meitats. Les multiplicacions egípcia i russa

Aquests dos algoritmes són prou coneguts.En aquest article, a més d'explicar-los, intentarem buscar-hi relacions.

Tots dos mètodes de multiplicar són molts idonis per treballar-los a l'aula perquè no requereixen el coneixement de les taules. Per utilitzar l'egipci només cal saber sumar i duplicar. Per aplicar el rus ens caldrà, a més, saber fer meitats. Tots dos es poden treballar a les aules de primària senzillament replicant-los. Serà una forma de practicar dobles i meitats amb sentit. Per altra banda, i especialment l'egipci, és un algoritme clar, transparent, amb control del que s'està fent i per què. És dels pocs algoritmes clarament comprensibles d'entrada. A secundària, o al final de la primària, podem atacar l'explicació del la multiplicació russa, que ja és una mica més exigent.

Mirem primer els algoritmes.
  • Multiplicació egípcia
En aquesta presentació podem veure el mètode de multiplicar egipci. Observarem que es van fent dobles d'un dels factors (preferentment el més gran) i, paral·lelament, els dobles d'1, 2, 4, etc. fins a no excedir l'altre factor. A continuació és busquen en aquesta columna els nombres que sumen aquest factor i, tot seguit, sumem els seus paral·lels. Aquesta suma és el resultat de la multiplicació.

  • Multiplicació russa
Aquest algoritme va ser utilitzat fins a l'edat mitjana i encara va "resistir" en algunes zones de Rússia, Etiòpia o pròxim Orient. S'observa que d'un dels factors es van fent dobles i de l'altre meitats (preferentment del petit). Quan ens trobem un nombre senar restem un, fem la meitat del número obtingut i marquem el nombre. La suma dels paral·lels marcats ens donarà el producte dels dos nombres.


Estudiem i comparem els dos algoritmes?