15 de gener del 2018

El joc de l'Oca i les probabilitats

Hi ha moltes teories sobre l'origen del joc de l'Oca. Fins i tot algunes de molt esotèriques que el relacionen amb el Camí de Sant Jaume. No entrarem, per descomptat, en aquest tema. Sí sabem que Francesco de Medicis li en va regalar un a Felip II i que, d'aquesta manera, va entrar a la cort espanyola i, de mica en mica, a la resta de corts europees. També sabem que hi ha moltes versions que il·lustren fets històrics o narracions diverses. I a les escoles hem fet un munt de versions relacionades amb la didàctica. Aquí parlarem del joc de l'Oca més tradicional, que ha arribat a nosaltres i que consta de 63 caselles amb les seves oques, ponts, daus, laberint... Gran part del seu èxit segurament és degut a que és un joc que depèn absolutament de l'atzar. No s'ha de prendre cap decisió. El parxís, per exemple, és més complex perquè no ens limitem a tirar els daus i comptar, ja que hem de triar amb quina fitxa ho fem. Aquí no. Anem on ens porta la sort. No hem de pensar.


Amb els alumnes més petits podem utilitzar el joc a l'aula per exercitar la suma, per exemple fent anticipar a quina casella es caurà, un cop tirat el dau, abans de fer el moviment. També jugant amb dos daus. Quan són una mica més grans ens podem fer altres tipus de preguntes. Per exemple:
  • Podem estimar quina longitud tindria el tauler si "estirem" el recorregut posant-lo recte? El doble de l'amplada? El triple?...
  • Pot existir una partida infinita en la que no s'arribi mai al final?
  • Es pot arribar amb una sola jugada fins al final? (considerarem part d'una mateixa jugada quan tenim opció a tornar a tirar el dau, com quan es cau a una oca)
  • Si és així quin és el mínim de vegades que haurem de tirar el dau?
  • Quin patró segueix la distribució de les oques?
Però a secundària ens poden sorgir preguntes noves:
  • Quina és la duració mitjana d'una partida?
  • Fins a quines caselles i amb quina probabilitat puc arribar en una sola jugada? I en dues? I en tres?...
  • Totes les caselles es "visiten" igual, o hi ha unes caselles per les que passem més que altres?
En aquest article ens centrarem en aquestes darreres preguntes, que no són tan fàcils de contestar com sembla. Us convidem a que, abans de continuar llegint, estimeu unes primeres respostes provisionals.

Per entrar en el tema, però, començarem per una versió de l'oca ben reduïda: un tauler de 10 caselles. Es comença el joc a la casella zero. La 3 i la 6 serien oques. Si es cau a la 6 s'arriba directament al final. La 8 porta al principi de nou.
Continuem?