Prostafairesis, taules de quarts de quadrats... Multipliquem d'una altra manera!

Buscar formes de simplificar les activitats complexes ha estat un dels motors del desenvolupament tecnològic (i cultural) de la humanitat. El càlcul és una d'aquestes activitats i, actualment, en gran part el deleguem en les màquines, sobretot si són llargs, molt repetitius o amb nombres complicats. Però el camí per arribar fins aquí ha estat llarg. Tristament, encara hi ha docents que discuteixen l'ús de les calculadores a l'aula. Una cosa és discutir "sobre l'ús" (quan, quant, com, per a què), però una altra "discutir-ne l'ús". La calculadora ha d'estar a l'aula. Però els que tenim una edat podem recordar els temps en què aquest debat no tenia sentit, perquè les calculadores de butxaca eren uns ens estranys al teu entorn, unes autèntiques rareses. Els que vam estudiar el batxillerat pre-EGB encara vam haver de comprar llibres amb taules de logaritmes i estudiar com les multiplicacions es podien convertir en sumes, les divisions en restes, les potències en productes i les arrels en divisions. L'aplicació dels logaritmes a la simplificació dels càlculs complexos va ser fonamental des del segle XVII fins ben entrat el XX. Als anys 70 encara era habitual veure "calculistes" fent anar el regle de càlcul, de base logarítmica.

Però abans del segle XII ja existien altres mètodes per alleugerir les grans multiplicacions reduint-les a sumes i restes de nombres extrets de taules numèriques. Alguns, basats en taules de quadrats, sembla que venen de l'antiga Mesopotàmia i van durar fins als inicis del segle XX. D'altres, basats en taules trigonomètriques, van ser usats des del segle XVI fins al triomf generalitzat dels logaritmes, amb els que van conviure molts anys. Aquest segon mètode rebia el nom de prostafairesis.

Abans d'estudiar-los amb més calma veiem un exemple d'aplicació de cadascun (tot recordant que es basen en l'ús de taules numèriques "prefabricades").

• Amb taula de quadrats.

Imaginem que volem multiplicar 785·296 = 232 360

1. Sumem els dos nombres
        785+296 = 1 081
2. Restem els dos nombres
        785-296 = 489
3. Busquem a una taula de quadrats els de la suma i de la diferència anteriors
        1081² = 1 168 561
        489² =239 121.
4. Restem aquests dos resultats
        1 168 561 - 239 121 = 929 440
5. Fem la quarta part de la resta anterior i obtenim el resultat del producte buscat
        929 440/4 = 232 360

• Amb trigonometria

Fem la mateixa multiplicació 785·296 = 232 360

1. "Arreglem" els nombres perquè estiguin entre 0 i 1. En aquest cas dividint cadascun per 1000 (0,785 i 0,296). A aquesta operació li direm "escalar els nombres".
2. Busquem a angle quins correspondrien els nombres anteriors si aquests fossin els seus cosinus. Ho podem fer amb una taula trigonomètrica i mirant l'arccosinus, que sovint a la calculadora ens apareix com cos^-1.
        Arccos (0,785) = 38,27932174°
        Arccos (0,296) = 72,78248857°
3. Sumem i restem els dos angles anteriors
        38,27932174°+72,78248857°=111,06181031º
        38,27932174°-72,78248857° = -34,503166
4. Mirem a la taula trigonomètrica els cosinus dels dos angles anteriors
        cos (111,06181031°) = -0,35937488
        cos (-34,50316683°) = 0,82409488
5. Sumem els cosinus anteriors
        -0,35937488 + 0,82409488 = 0,46472
6. Fem la meitat del resultat anterior.
        0,46472/2 = 0,23236
7. Només queda "reescalar" el resultat. Donat que havíem dividit inicialment cada nombre entre 10³, ara haurem de multiplicar per 10⁶.
        0,23236 · 1000000= 232 360

Potser semblaran algoritmes molt alambinats, però amb càlculs de navegació, astronòmics o d'enginyeria escurçaven molt el temps emprat en la seva realització. Només calia disposar d'unes bones taules de quadrats o trigonomètriques.

Els mirem amb més calma? Com es justifiquen?

Una estratègia per treure's el barret

Aquest problema l'he conegut a través d'un vídeo de Clara Grima (el podeu veure al final de l'article). Ella mateixa atribueix el descobriment a un blog d'Edward Felten director adjunt de tecnologia de la Casa Blanca (la de Washington). El problema és realment curiós, no només pel fet de tenir solució, sinó per l'eina matemàtica que s'utilitza per resoldre'l. Mirem com s'enuncia.

Imaginem que tenim quatre persones per fer el joc i barrets de quatre colors diferents: vermell, blau, groc i verd. En disposem de quatre de cada color. Posem a l'atzar un barret a cadascun dels jugadors. Es poden repetir colors. Podrien ser els quatre verds, dos vermells i dos grocs, tots diferents... Cadascun dels participants en el joc veu els altres tres barrets, però no el seu. A continuació escriuen en un paper el color del qual pensen que és el seu barret. Si un sol dels jugadors l'endevina tots guanyen. Si fallen tots, perden tots.

Ja tenim la situació. Ara bé, el problema. Imaginem primer que tots juguen de forma absolutament legal, sense fer-se indicacions ni comunicar-se de cap manera. Però això no implica que abans no els hàgim deixat una estona per pensar una estratègia a seguir. Existeix tal estratègia? Una manera d'actuar que asseguri que, com a mínim, a cada jugada un encerti el seu color?

Podem començar el problema analitzant què passaria si cadascun dels jugadors contesta a l'atzar. De fet, ja és un bon problema. La intuïció ens diu que actuant així no garantim que sempre s'encerti, però podem posar a discussió un argument fal·laç: si cada jugador té 1/4 de probabilitat d'encertar entre tots quatre "asseguren el tret":

Bé... ja sabem que és fals. Podríem buscar tots els casos possibles i entre ells els favorables (situacions en la que un jugador o més encerten), però serà feixuc. Millor agafem una drecera: calculem quina és la probabilitat que tots fallin. Si la d'equivocar-se un és 3/4 la que ho facin tots serà:

En la resta de casos algú encertarà. Només cal restar de la unitat.

Déu n'hi do! No és una probabilitat baixa. De fet, encara és més alta si tenim en compte que cada jugador veu tres barrets. Els quatre jugadors es poden posar d'acord a actuar de manera similar segons els colors que vegin. Una estratègia possible consisteix a dir un color que no veuen. Si són dos els colors que no veuen diran un d'ells a l'atzar. Actuant així la probabilitat general pujarà al 77,03%, i en el cas concret que realment tots quatre portessin colors diferents tots quatre encertarien.

Però el cert és que volem assegurar que una persona encerta sempre, sense importar-nos quina o si és la mateixa a cada joc. I el que també és cert que observar els barrets dels altres no sembla donar-nos cap informació fiable per encertar el color propi.

Encara que sembli impossible en realitat aquesta estratègia existeix. I fa servir l'aritmètica "del rellotge"! Sorpresos?

Voleu conèixer l'estratègia?

Divisió 7: la divisió per diferència

Parlem avui d'un nou (vell) algoritme de la divisió. L'hem recuperat del web Animando la web 2.0 d'Ana de la Fuente (@Anuska72) i cal reconèixer ja d'entrada que, tot afegint alguna petita cosa, transcriurem directament el text del seu article. Sobre tot perquè la justificació que en fa de l'algoritme és clara i magnífica.

En aquest gràfic es veu com es realitza la divisió de 4019 entre 87 (Quocient 46; residu 17)

En el gràfic es reconeix l'àbac de Gerbert d'Orlhac (938-1003). Gerbert, que va ser Papa amb el nom de Silvestre II, va romandre tres anys al monestir de Ripoll. Es pensa que va viatjar per Andalusia i que allà va conèixer els nombres indoaràbics. Va inventar un àbac amb fitxes que utilitzaven aquestes xifres (menys la del zero). No va ser un àbac molt utilitzat, però no deixa de tenir el seu interès. Podeu saber-ne més sobre Gerbert i el seu àbac llegint l'article de Montserrat Bover va publicar al n. 22 de la revista Biaix.

Aquest algoritme, que es coneix amb el nom de divisió per diferència, és molt pràctic amb nombres no massa llunyans de les potències de 10 (propers a 10, a 100, a 1000...). Destaquem alguns dels seus avantatges:

• no cal buscar "per quin número hi cap". Treballem directament a partir de les primeres xifres del dividend i dels resultats parcials.
• en conseqüència, no cal fer proves (hi cap?, no hi cap?)
• no restem; només es fa multiplicacions i sumes
• les multiplicacions es fan amb nombres "més fàcils". A l'exemple de l'esquema es veu que en comptes de treballar amb el 87 del divisor els càlculs els fem amb el 13, clarament més petit.

A continuació us posem un vídeo elaborat per Ana de la Fuente, on veiem dos exemples de divisió. El primer correspon amb la divisió de la imatge inicial.

Vols saber per què funciona aquest algoritme?

Divisió 6: la divisió a Mesopotàmia

La divisió que es practicava a l'antiga Mesopotàmia és ben diferent a la dels algorismes que s'han utilitzat després i que hem anat presentant en aquest bloc. Dues característiques la separen dels altres mètodes. Una d'elles, de caràcter menor, està lligada a l'ús de la base 60 que utilitzaven en aquells temps i aquelles terres. L'altra és que el mètode consistia a multiplicar un nombre pel seu invers. Per poder fer les divisions els "calculistes" disposaven de taules d'inversos. Però unes taules particulars, amb gairebé tots els nombres inversos del 2 al 20, de 30, 40 i 50. Quins nombres faltaven del 2 al 20? Els nombres que qualificaven d'irregulars: 7, 11, 13, 14, 17 i 19. Per què no hi eren aquests nombres? Com feien les divisions?

Càlculi mesopotàmics per representar nombres

Si vols saber-ho... continua llegint!

Divisió 5: control del resultat

En entrades anteriors hem vist diferents algorismes històrics de la divisió. En èpoques sense calculadores electròniques trobarem que la majoria de textos aritmètics antics ens proporcionen tècniques de control del resultat per garantir la seva validesa. En la majoria de casos intenten ser mètodes més breus que repetir la pròpia operació. Vegem un exemple en aquesta imatge de la Summa de l'art d'aritmètica de Francesc Santcliment (el primer tractat aritmètic que es va imprimir a la península ibèrica i segon del món, a l'any 1482). Si observem les parts encerclades observarem una creu on s'aplica un d'aquests mètodes: la prova del 9.

També al Tratatto di numeri et mesuri de Tartaglia, llibre de l'any 1556, observem la mateixa prova.

Vols conèixer quines propostes ens fan els llibres antics de càlcul?

Divisió 4: la divisió "per galera"

El matemàtic italià Nicolo Fontana, conegut com a Tartaglia, va publicar a mitjans del segle XVI el llibre Tratatto di numeri et misure en el que explicava, entre altres coses, mètodes de càlcul. A l'apartat dedicat a la divisió escrivia:

"El segon mètode de dividir s'anomena a Venècia per "vaixell" o per "galera" per certa similitud de les figures que de tal operació resulten, perquè de la divisió d'algunes classes de nombres neix figura similar a un vaixell (../..) amb la proa, la popa, el pal, la vela, els rems..."

Una divisió per "galera" té un aspecte com el de la imatge.

Divisió que apareix a la pàgina 84 del llibre (912345:1987) 

En alguns llibres antics s'evidenciava aquesta semblança afegint alguns "guarniments" a la figura.

El mateix Tartaglia no va poder evitar fer una demostració de la potència de l'algoritme fent una macrodivisió que, a més, encara mostrava de forma més clara el "vaixell".

Divisió que apareix a la pàgina 85 del llibre

(8888880000000888800000000888888 : 9999900000000999000000000999) 

Nota: al resultat li falta un altre 8

Aquesta divisió és "mare" evident de la que realitzem nosaltres ara.

Vols veure com es divideix "per galera"?

Divisió 3: la divisió àrab

Així com podem entendre la multiplicació com una suma repetida, es pot considerar la divisió com una resta repetida. Al Traité d'Arithmetique de J.A. Serret (1887) podem llegir:

"La divisió es pot fer amb l'ajut de la sostracció. Es vol, per exemple, dividir 14 per 4, es restarà 4 de 14, el que donarà residu 10; s'ha de restar de la mateixa manera 4 de 10, el que donarà el residu 6; es restarà encara 4 de 6, el que donarà el residu 2, inferior a 4. Es veu que del dividend 14, es pot restar successivament tres vegades el divisor 4, i que s'obté llavors un darrer residu 2, inferior a 4, per tant, 3 és el quocient de la divisió de 14 per 4.

Aquest procediment, que condueix fàcilment al resultat en l'exemple que hem triat, seria sovint impracticable si es volgués aplicar directament d'aquesta forma. Caldrà, doncs, modificar-lo"

El que fa "impracticable" el mètode és la seva lentitud amb nombres més grans, per exemple dividir 8765 entre 6 restant els sisos d'un en un. La "modificació" consistirà, doncs, a accelerar el procés combinant multiplicacions i restes. És el que fa el nostre algorisme actual, hereu del que presentem en aquesta entrada al bloc: l'algorisme àrab.

T'animes a conèixer aquest algorisme?

Divisió 2: la divisió per "replecs"

Aquest algorisme no acostuma a aparèixer als llibres d'aritmètica antics. El trobem, però, al Tratatto di numeri et mesuri de Nicolo Fontana, més conegut com a Tartaglia, llibre que es va publicar l'any 1556. Tartaglia el descriu com un mètode "gentile e bello".

És un sistema que té avantatges clars però també limitacions evidents. La idea és la següent:

• les divisions per una xifra són més fàcils que les de dues, tres... fins i tot es poden fer "de cap"
• moltes divisions de més d'una xifra es poden descompondre en dues o més divisions d'una.

A l'aula podem fer l'experiència de preguntar: que t'estimes més? Una divisió per dues xifres o dues divisions per una xifra?

Mirem un exemple.

A cadascuna de les divisions li diem replec. El cas anterior és fàcil perquè la divisió és exacta. Però mirem un segon cas.

El quocient és 281. Però quin és el residu? Dos? Tres? O cap dels dos?

Vols mirar com esbrinar el residu dividint per replecs?

Divisió 1: la divisió egípcia

Iniciarem un petita sèrie d'entrades dedicada a conèixer diferents algorismes històrics de la divisió. I el millor és començar per un dels  més antics i clars que existeixen: l'egipci.

La numeració egípcia és purament additiva. Té un símbol per les unitats, un altre per les desenes, un altre per  les centenes... i així per a cada potència de 10. I s'escriuen tants símbols com calen per representar el grau d'unitat corresponent. El 348 tindrà tres símbols de centena, quatre de desena i vuit d'unitat. Podeu practicar aquesta numeració en aquest enllaç (i si voleu saber més sobre numeracions antigues navegueu pel web Càlculus).

Operar amb aquests nombres no es fa especialment difícil. En concret la multiplicació egípcia es basava en un interessant sistema de duplicacions successives i, aquest mateix sistema s'emprava per realitzar les divisions. No cal memoritzar les taules de multiplicar, potser l'única la del 2. El que hem de saber és duplicar i sumar.

Voleu conèixer la divisió egípcia?