19 de gener de 2013

Divisió 6: la divisió a Mesopotàmia

La divisió que es practicava a l'antiga Mesopotàmia és ben diferent a la dels algorismes que s'han utilitzat després i que hem anat presentant en aquest bloc. Dues característiques la separen dels altres mètodes. Una d'elles, de caràcter menor, està lligada a l'ús de la base 60 que utilitzaven en aquells temps i aquelles terres. L'altra és que el mètode consistia en multiplicar un nombre pel seu invers. Per poder fer les divisions els "calculistes" disposaven de taules d'inversos. Però unes taules particulars, amb gairebé tots els nombres inversos del 2 al 20, de 30, 40 i 50. Quins nombres faltaven del 2 al 20? Els nombres que qualificaven d'irregulars: 7, 11, 13, 14, 17 i 19. Per què no hi eren aquests nombres? Com feien les divisions?
Càlculi mesopotàmics per representar nombres

Si vols saber-ho... continua llegint!
La numeració a Mesopotàmia

Els nombres escrits van néixer a les fèrtils terres encabides entre l'Èufrates i el Tigris. De les diverses cultures que es van succeir, numèricament ens interessen la sumèria i l'assíria, perquè van desenvolupar dos sistemes de numeració diferents. La primera, feta amb peces de fang i que, posteriorment, es van transformar en símbols escrits. La segona va ser el primer sistema posicional amb l'existència, fins i tot, d'un símbol pel zero. Totes dues tenien en comú utilitzar la base 60, com a base principal, i la 10, com a base auxiliar. La base 60 encara perdura en les mesures de temps (hores, minuts i segons) i en les angulars (graus, minuts i segons de grau).

Numeració sumèria


Numeració assíria

Per representar  els nombres en base 60 farem servir notació establerta per Otto Neugebauer, historiador de les matemàtiques. Utilitzarem les nostres xifres en grups de dos separats per comes i, per indicar la part decimal, separarem amb un punt i coma.

Així el nombre 7517,125, escrit en la nostra numeració, serà el 02,05,17;07,30. Per fer-nos una idea 7517 segons serien 2 hores, 5 minuts i 17 segons.



La divisió sumèria

Tenint en compte que les "xifres" sumèries són peces d'argila no és massa complicat fer una divisió amb elles. Es tracta només de "fer grups" amb les peces canviant unitats grans per petites quan ens convingui.


Tot i així, quan aquests nombres es donaven escrits podíem trobar una mateixa divisió amb dos resultats lleugerament diferents. Així a les tauletes de Xuruppak 50 i 671, amb problemes de repartiment de gra, trobem que el càlcul 1152000:7 dóna en un cas 164571 (i residu 3) i a l'altre 164160 (sense indicar residu). Sembla que en el segon cas, que no és del tot correcte, l'error es produeix per no tenir en compte un residu en una divisió parcial abans de fer un canvi d'unitats. Podeu trobar més informació al llibre Histoire d'algorithmes de Jean-Luc Chabert.


Dividir a Mesopotàmia

No disposem de cap tauleta que ens expliqui com es feien els càlculs de forma directa. Però sí que ens han arribat moltes amb informacions que ens permeten fer-nos una idea. Per exemple, tenim moltes tauletes amb taules numèriques. Les de multiplicar contenien tots els nombres de l'1 al 20, el 30, el 40 i el 50, el que permetia compondre multiplicacions d'1 a 59. Imaginem, doncs, que la multiplicació es podia fer d'una manera semblant a la nostra. Nosaltres multipliquem "xifra a xifra" i ells ho farien per grups d'unitats (unitats, seixantenes...). A continuació tenim un exemple, en base 60, de com es multiplicaria 62463x5 = 312315


Les divisions les resolien en dues etapes:
  • primer buscaven l'invers del divisor
  • després multiplicaven el dividend per aquest invers
És a dir, les divisions les convertien en multiplicacions. Per poder-ho fer tenien taules d'inversos. Així en el següent exemple (62463:5), en comptes de dividir per 5, multiplicaven per 1/5. L'invers de 5 a les taules sumèries, i en sistema sexagesimal, apareixia com 0;12 (12/60).



En el nostre sistema de numeració decimal equivaldria a multiplicar 62463 · 0,2.

Les taules d'inversos

En el nostre sistema decimal les dècimes, les centèsimes, les mil·lèsimes... s'obtenen de fraccions amb denominadors que són potències de 10. Sabem, per altra banda, que d'una divisió obtenim decimals finits o periòdics, depenent del divisor, del denominador de la fracció. Perquè siguin finits els denominadors han de ser potències de 2 i/o de 5 (el denominador ha de ser de la forma 2x·5y). El 2 i el 5 són els factors de la base del nostre sistema de numeració: deu. Si treballem en base 60 els factors que al denominador ens formaran decimals no periòdics seran els que tinguin potències de 2, i/o de 3, i/o de 5 (denominador de la forma: 2x·3y·5z). Això es deu a que 60=22·3·5.

A aquest nombres, a l'antiga Mesopotàmia, els hi deien regulars. El 4, el 6, el 8, el 10, el 12, el 15, el 24... són nombres regulars. Tots els altres, que tenen un factor diferent de 2, 3 i 5, són irregulars. Per exemple, els nombres primers diferents de 2, 3 i 5, com 7, 11, 13... o els que els contenen: 14, 21, 22... Les taules d'inversos mesopotàmiques eren, majoritàriament, de nombres regulars ja que es fabricaven amb sumes finites de fraccions :



Les fraccions amb denominadors irregulars, ja que es formaven amb sumes infinites, es treballaven de forma aproximada i, en general, no apareixien a les taules d'inversos.


Estendre les taules d'inversos

Treballar amb taules té l'avantatge de que trobem els resultats de forma directa. Però té l'inconvenient de que les taules han de ser, per força, limitades. Però els calculistes disposaven de trucs per ampliar-les.

Veurem com ho feien però, perquè el mètode sigui més clar, treballarem els exemples en base decimal. No cal "complicar-nos" de més treballant amb la base 60.

També acordarem una anotació. Representarem l'invers d'un nombre amb una línia a sobre del nombre:

  • Doblar i fer meitats
És el mètode més fàcil. Imaginem que disposem de l'invers d'un nombre. Per exemple. L'invers de 4 és 0,25.  Podem trobar l'invers de 8 (el doble del nombre) fent la meitat de 0,25.


D'una forma equivalent coneixent l'invers d'un nombre podem trobar el de la seva meitat:


En general, si considerem que dos nombres, a i b, són inversos podem dir que:


Aquest sistema ens permet generar tota una cadena d'inversos:
  • L'algoritme de la tauleta VAT 6505 del Museu de Berlín
Aquesta tauleta, datada entre el 2000 i el 1650 a.n.e. ens presenta sis problemes de trobar l'invers d'un nombre. En els sis procedeix de la mateixa forma. La qual cosa ens convida a pensar que se'ns està explicant un procediment general, un algoritme.

L'objectiu de l'algoritme és trobar l'invers desconegut d'un nombre a partir d'inversos coneguts més petits.

Respectarem l'estil de redacció de la tauleta però canviarem la numeració sexagesimal per la decimal. El cas proposat és 8;20, que en en el nostre sistema decimal és 8,33... Recordem que 0,33... és 1/3 i que 3, en sistema sexagesimal  és un nombre regular. El redactat de la tauleta seria el següent:

El nombre és 8,33.... Quin és el seu invers?

Procediu com segueix

Forma l'invers de 0,33.... Trobaràs 3
Multiplica 3 per 8. Trobaràs 24.
Afegeix 1, trobaràs 25
Forma l'invers de 25. Trobaràs 0,04
Multiplica 0,04 per 3 Trobaràs 0,12

L'invers és 0,12. Tal és la manera de procedir

No és difícil comprovar la certesa del resultat:


Traduïm l'enunciat de l'algoritme?

1 Descomponem el nombre x en dos trossos y+z. No cal que aquests coincideixin amb la part entera i la fraccionària com es veia a l'exemple. El que si cal és que un dels trossos tingui un invers conegut a una taula. Imaginarem que coneixem l'invers del segon tros, z.
x = y+z
2 Trobem l'invers del segon tros.
3 Multipliquem el primer tros per l'invers del segon
4 Afegim 1 al resultat
5 Trobem l'invers d'aquest resultat (que en principi, hauria de ser també conegut)
6 Multipliquem aquest invers per l'invers del segon tros trobat al segon pas
7 Tenim la solució

Provem.ho amb un exemple. Trobar l'invers de 50 sabent que l'invers de 20 és 0,05.
  1. 50 = 30+20
  2. L'invers de 20 és 0,05
  3. 30·0,05 = 1,5
  4. 1,5+1 = 2,5
  5. L'invers de 2,5 és 0,4
  6. 0,4·0,05 = 0,02
  7. L'invers de 50 és 0,02
Es pot veure que tenim un petit problema en el pas 5. Al pas 1, quan fem la descomposició en una suma, triem un dels nombres de forma que coneguem el seu invers. Però al pas 5 ens podem trobar amb un resultat parcial del qual no coneguem el seu invers. Un forma de trobar-lo pot ser per duplicació o fent meitats. L'altra, com es dedueix per una altra tauleta babilònica, l'A06456, és utilitzar el mètode de forma recursiva, és a dir, aplicar l'algoritme també a trobar l'invers d'aquest resultat parcial.

En aquesta taula feta amb GeoGebra pots veure exemples aleatoris. Només has de posar el cursor dins de l'applet i prémer la tecla F9 per poder canviar de nombre.



Resumint...

A l'antiga Mesopotàmia la divisió és feia multiplicant el dividend per l'invers del divisor. Per poder-ho fer disposaven de taules numèriques de multiplicar i de taules d'inversos. Si no disposaven de l'invers tenien tècniques per trobar-los.

És a dir, dividir a partir dels inversos demanava grans inversions de temps i grans inversions de càlcul. I, a més, en base 60!

I a l'aula?

Aquest és un tipus de divisió prou complexa com per treballar-la a l'aula. Però algunes idees sí que podem proposar.

  • Proposta 1
Molt indicada per a primària: practicar la divisió amb materials a l'estil de l'exemple mostrat al vídeo. No cal fer servir la base 60. Ho podem fer amb base 10: mongetes representat les unitats, taps per representar desenes, gots petits de plàstic per les centenes... La divisió sempre s'hauria d'introduir amb l'ús de materials manipulables.
  • Proposta 2
Té a veure amb la idea de nombres regulars i irregulars. Treballar amb fraccions o amb decimals és indiferent si els decimals són finits, no periòdics. És el mateix calcular amb 1/4 que amb 0,25. Però no és el mateix fer-ho amb 1/3 i 0,33... perquè el grau d'exactitud dependrà de la quantitat de decimals que agafem. La nostra base 10, amb només el 2 i el 5 (a banda de l'1 i el 10) com a divisors, construeix molts decimals periòdics. La base 12 (amb divisors 1, 2, 3, 4, 6 i 12) ens proporciona més denominadors regulars, que no construeixen decimals periòdics. Fer alguna reflexió o treball sobre aquest tema és interessant a primària i a secundària. Per exemple: fabricar una llista de nombres regulars en base 10 (1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40...) i una d'irregulars (3, 6, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18...). Fins i tot podem anar una mica més enllà i separar, de la llista d'irregulars aquells que produeixen decimals periòdics purs dels que en produeixen periòdics mixts... i investigar on rau la diferència
  • Proposta 3
Podem comentar aquest tipus de divisió i practicar-la amb la calculadora científica aprofitant per introduir l'ús de la tecla d'invers que acostuma a estar representada com a 1/x o x-1.
  • Proposta 4
Podem practicar l'ampliació d'una llista donada de nombres inversos amb combinacions de mètodes: duplicar, triplicar, quadruplicar, quintuplicar... fer meitats, terceres parts, quartes, cinquenes... Podríem començar donant una llista d'inversos de nombres regulars, per respectar l'estil babilònic:

Nombre Invers
2 0,5
4
5 0,2
8
10
16
20
25
32
40
50
  • Proposta 5
Practicar l'ampliació de la taula anterior amb l'aplicació de l'algoritme de la tauleta VAT 6505. Podem "fer trampa" buscant alguns inversos amb la calculadora. O buscant alguns dels inversos intermedis que demani l'algorisme amb els "trucs" que coneixem
  • Proposta 6
Justificar algebraicament l'algorisme VAT 6505. O fabricar un full de càlcul que l'il·lustri.

Altres entrades al bloc sobre la divisió



Cap comentari:

Publica un comentari a l'entrada