13 d’octubre del 2019

Un problema operatiu sorprenent: "Treure monedes del banc"

El divulgador matemàtic Alex Bellos manté, entre altres publicacions i col·laboracions, la columna Monday Puzzle a la publicació digital The Guardian. Un autor a seguir. El dilluns 7 d'octubre va proposar un problema titulat Treure monedes del banc (Getting coins out of the bank) que mereix atenció per diferents raons i que té una possible explotació didàctica. D'aquí que passem a plantejar-lo i comentar-lo. L'autor del problema és el matemàtic argentí Carlos Sarraute, que també ha proporcionat problemes a altres divulgadors com Adrián Paenza. És un problema de plantejament fàcil i de resolució sorprenent que ens pot permetre a l'aula parlar de demostracions, de condicions necessàries, condicions suficients... i que ens pot obrir tot un ventall de preguntes noves. Passem a plantejar i comentar el problema.

Tenim un tauler quadriculat limitat per dalt i per l'esquerra però infinit cap la dreta i cap avall. En aquest tauler marquem un quadrat de 2x2 a la cantonada superior esquerra i que anomenarem com a "banca".
Posem tres monedes a la banca tal com es mostra a l'esquema.
L'objectiu és treure les tres monedes de la banca amb aquestes dues regles:
  1. Si traiem una moneda apareixen dues noves a la casella immediatament dreta i immediatament inferior.
  2. No podem eliminar una moneda si la casella dreta o inferior estan ocupades per una altra moneda.
La demanda del problema és explicar com treure les tres monedes de la banca... o demostrar que és impossible.

El mateix Bellos ens enllaça un applet fet amb Scratch, dissenyat per Mtega, per practicar el problema. Cosa que us animem a fer abans de continuar llegint.


Heu practicat ja?

Per poc que us hàgiu dedicat començareu a sospitar que si el problema costa de resoldre i a l'enunciat es demana la demostració d'impossibilitat, és que les coses van per aquí: que encara que a priori sembla que es puguin treure les monedes en realitat és impossible.

De fet la demostració d'impossibilitat és sorprenent per indirecta, bella, entenedora... però poc intuïtiva en el que respecta al plantejament i el camí de resolució. És molt difícil que algun alumne arribi a aconseguir-la, però sí que l'entenguin i vegin la bellesa i potència de les matemàtiques. Presentar alguna demostració d'impossibilitat és interessant per a l'alumnat perquè entenguin com són les matemàtiques i com, amb una mica d'esforç, ens podem estalviar treballs inútils que no ens portaran enlloc.

T'animes a continuar i veure possibilitats didàctiques?