15 d’abril de 2012

Les arrels de les arrels quadrades

Igual que la multiplicació o la resta de les operacions, l’algoritme per a calcular una arrel quadrada ha anat variant amb el temps. El més antic que es coneix té més de 5000 anys i s'utilitzava a l’antiga Mesopotàmia: feien servir unes taules en què trobaven els resultats d’una manera més o menys directa.


El resultat es podia ajustar més utilitzant taules amb quadrats de fraccions (1, 1 i ¼, 1 i 1/3,etc.). Actualment trobem molts decimals només polsant la tecla de la calculadora. Un dels mètodes més interessants per a calcular una arrel quadrada s’usava en l’antiga Grècia, farà uns 2000 anys.

El mètode d'Heró

Heró va ser un matemàtic i enginyer grec que va viure a Alexandria en el segle I. A ell se li atribueix aquest mètode que explicarem per a calcular arrels quadrades. La idea fonamental en què es basa és que calcular una arrel quadrada és el mateix que buscar el costat d’un quadrat a partir d’una àrea donada.


Trobar el costat del quadrat no és fàcil, però el d’un rectangle sí, perquè si decidim el valor d’un costat només cal fer una divisió per a trobar el valor de l’altre. En aquest applet podem anar provant costats fins a trobar dos que siguin prou iguals (un o dos decimals) i ja tindrem l’arrel quadrada del número.


La gran idea d'Heró va ser escurçar aquest tempteig aprofitant els resultats intermedis. Anar fent proves i més proves podia arribar a ser molt pesat (recordem que no tenien ni calculadores ni el nostre sistema de numeració que permet fer les divisions ràpidament). Llavors se li va ocórrer que si feia una primera aproximació i el resultat no li satisfeia perquè els dos costats no eren prou iguals, podia provar amb un nou número que estigués entre els dos anteriors, per exemple amb la seva mitja aritmètica. Repetint el procés prou vegades el rectangle del principi serà cada vegada més “quadrat”. Observem aquest exemple en què es calcula l’arrel quadrada de 371 amb una aproximació de 2 decimals. L’únic valor que es decideix és el primer: 17, a partir d’aquí s’aprofiten els resultats anteriors fent mitjanes.


I si ara ho provem ara nosaltres? Podem provar el mètode d’Heró amb les arrels quadrades que et proposem fins a aconseguir una aproximació de 2 decimals. Com millor sigui la primera aproximació menys passos seran necessaris.


Una de les coses que fa interessant l’algoritme d’Heró és que és un dels processos iteratius més antics que es coneixen. En un mètode iteratiu el resultat obtingut es torna a aplicar i el nou resultat s’utilitza una altra vegada... repetidament. En informàtica és freqüent programar bucles que es repeteixen fins a aconseguir un objectiu desitjat. Per a representar els programes s’utilitzen diagrames de flux, que representen el que hem de fer si es compleixen unes condicions o altres. Aquest és el diagrama de flux del mètode d’Heró.

Quadrem el rectangle

Hi ha altres mètodes per calcular arrels (a més d'agafar la calculadora). Aquest applet fet amb geogebra et pot ajudar. Només cal que amb el punt lliscant triïs de quin nombre vols fer l'arrel. El rectangle que s'obté té l'àrea de la que vols fer el càlcul i no varia encara que moguis el vèrtex A, només varia la longitud dels costats. Si mous el punt A tindràs l'arrel quadrada quan aconsegueixis fer un quadrat.


Altres idees

Però si encara no tens prou i vols recordar o conèixer l'algoritme clàssic de paper i llapis pots mirar el vídeo de sota o visitar aquesta pàgina.


Pots trobar una altra explicació d'aquest algoritme en forma de conte al Bloc de la Mati.

I per acabar... aquestes són les arrel quadrades que apareixen a la pel·lícula Donald al país de les matemàtiques.


Cap comentari:

Publica un comentari a l'entrada