25 d’octubre de 2015

En quin lloc sortirà?

Swiffy Output Imaginem un joc com el següent. Tenim una urna opaca amb deu boles: vuit blanques i dues negres. El joc consisteix en treure boles de la urna fins que apareix una negra.
A partir d'aquí ja podem fer preguntes a l'aula. Per exemple:
  • Pot aparèixer la primera bola negra en el desè lloc?
  • Quin és el lloc més llunyà en el que pot aparèixer?
  • I el més proper?
  • Tenen tots els llocs (1r, 2n, 3r... ) la mateixa probabilitat?
No es tracta, de moment, de calcular probabilitats. Sinó de treballar la intuïció probabilística.

Compliquem ara el joc. Hem d'apostar, posem-ne un pèsol (com fan sovint a les retransmissions de la TdP), per endevinar en quin lloc pensem que apareixerà la primera bola negra. En quin número d'ordre (la primera, la segona, la tercera...) pensem que és més probable que surti? Quin lloc triaríeu?

Contesta't mentalment i continua llegint

La majoria de gent pensa que els llocs més probables són els valors més o menys centrals, entre el tercer i el cinquè lloc. Però no és la millor opció.

Aquí haig de confessar que el que més he aprés sobre probabilitat en tots aquesta anys és a desconfiar de la intuïció. Encara que la meva intuïció també tiri pels valors centrals, per dins penso que "s'haurà de mirar". Però encara haig de seguir amb les confessions. Després de fer els càlculs encara continuo desconfiant i haig d'experimentar per confirmar els càlculs. Una bona companya de l'institut, cada vegada que s'enfrontava a un problema de probabilitat, deia en veu fluixeta: "Entramos en terrenos pantanosos". Quina gran veritat!

Comencem per experimentar amb aquest applet. Us recomanem començar "cas a cas" per anar entrant en matèria i, a continuació deixar anar l'applet tot "seguit" a veure per on tira l'experiència.



Vaja! El més probable és que surti en primer lloc. És la millor aposta! I la probabilitat va baixant d'un lloc al següent d'una forma completament esglaonada.

Ara sí que ens hi posarem a fer els càlculs.

La probabilitat del primer lloc no és difícil de calcular: 2/10 = 1/5 = 20 %. Déu n'hi do!

La probabilitat pel segon lloc és una mica més complexa. A l'aula va molt bé "dibuixar" els casos. Aquí ho farem per càlcul. Quina és la probabilitat de que la primera sigui blanca? 8/10. I quina la de que la segona sigui negra, tenint en compte que ja hem tret una bola i "era" blanca? 2/9. I la probabilitat combinada dels dos casos? 8/10 · 2/9 = 16/90 = 16,66 %

Ja anem agafant el truc. La probabilitat de que la primera sigui blanca, la segona també i la tercera negra s'obtindrà del càlcul 8/10 · 7/9 · 2/8 = 14/90 = 14,44 %

Podem veure els càlculs de cada posició a continuació i, després comparar-los amb els resultats de l'applet després de deixar-lo funcionar molta estona.



Addenda

Al setembre de 2019 aquest problema ha generat una interessant discussió provocada a Twitter pel professor David Virgili (@david_meldor). Entre les respostes han aparegut interessants respostes sobre comprensió de l'enunciat, esperança matemàtica... Però hi hagut una d'Isabel (@asitnofen la que proposa una solució basada en l'estudi de casos. És molt bonica perquè ens mostra visualment, i de manera ràpida, com les probabilitats de que una bola negra aparegui en primer lloc és la més gran i com va disminuint pel 2n lloc, pel 3r, etc.


A continuació poso la imatge completa que adjuntava.


És un enfocament molt interessant. El seu comentari "com en cap moment es fa referència a quin alumnat va dirigit" també m'ha portat a comentar una possible simplificació del problema. De fet es tracta només d'eludir una petita trampa del problema: varia molt que siguin deu boles (dues negres i vuit blanques) a que siguin cinc boles (una negra i quatre blanques)?



2 comentaris:

  1. La sorpresa es un buen factor para las actividades de aula. No es el único ni indispensable, pero hay actividades que se sustentan en lo inesperado del resultado porque nos lleva a pensar un poco más. En el caso de los problemas de probabilidad incluir algunas actividades "con sorpresa" son indispensables porque hace que cuestionemos nuestras primeras intuiciones y nos vuelve más críticos. Pero no es suficiente demostrar la probabilidad teórica. En el aula se ha de experimentar. Si lo hacemos antes de la teoría para conducirnos a ella. Si lo hacemos después, para corroborarla.

    ResponSuprimeix