Un problema de pals que no és un pal de problema

Hi ha problemes que, a primer cop d'ull, no tenen cap gràcia especial, però quan t'hi poses comences a descobrir sorpreses: perquè el repte és més interessant del que inicialment semblava, perquè la solució té aspectes que van contra la teva intuïció o perquè aquesta té algun tret de bellesa, perquè et planteja relacions amb altres problemes coneguts o et deriva a problemes nous, perquè et convida a establir relacions entre diferents àmbits matemàtics com l'àlgebra i la geometria... El problema que presentem ara té totes aquestes virtuts. Apareix al llibre hindú del segle IX Ganita Sara Sangraha del matemàtic jainista Mahavira. Jo l'he trobat al llibre Gimnasia mental 2 de Jordi Deulofeu (amic, mestre de mestres i un dels nostres Gardners particulars).

Llegim l'enunciat:

---

Tenim dos pals rectes de 6 i 4 metres d'alçada, respectivament, i que estan clavats perpendicularment al terra. Col·loquem dos cables perfectament tensats que van des de la base de cadascun dels pals fins a la part superior de l'altre. A quina alçada es creuen els dos cables?

---

En primera instància sembla que desconèixer la distància entre els pals ens impossibilita el problema, però la realitat és que amb les dades que se'ns donen en tenim prou.

Us animem a resoldre el problema i després continuar llegint, perquè darrere de la solució hi ha tot un camí a seguir.

LOA (Lines of Action): un sorprenent joc de tauler

El LOA és un joc d'estratègia que, pel seu objectiu, podríem classificar en la categoria de jocs de connexió o d'alineació. Però la seva originalitat rau en les regles de moviment, rotundament inusuals i sorprenents. També el fet de l'existència de captures que poden proporcionar, a la vegada, avantatges i inconvenients. El joc va ser inventat a l'any 1960 pel canadenc Claude Souci i publicat pel seu amic, el també inventor de jocs Sid Sackson, a l'any 1969.

El material bàsic és fàcil d'aconseguir: un tauler de dames (8x8) i 12 fitxes de cada color que es disposen inicialment tal com es veu a la imatge:

Vols conèixer les regles i jugar?

Baralla't amb la baralla

Al número 6 de la revista Cacumen (juliol 1983) apareixia un article amb el títol La baraja matemàtica signat per Medea Juraido (molt probablement un pseudònim) on, a més d'una petita història dels naips (el seu origen xinès, l’existència de cartes rodones i altres curiositats...) ens proposa utilitzar les cartes com un petit laboratori matemàtic. Per practicar en aquest laboratori ens convida a experimentar amb tres problemes que plantejarem a continuació. Però, atenció, cal anar a buscar les cartes per practicar!

Un dels avantatges que ens proporcionen les cartes és la possibilitat d'experimentació ràpida. Imaginem, per exemple, que hem de resoldre un quadrat màgic. Què és més fàcil? Escriure i esborrar nombres sobre un paper? O bé, anar intercanviant cartes si la disposició que hem preparat no és la que es correspon amb el problema que investiguem?

Vols conèixer els tres problemes?

Obrint i tancant portes

Aquest problema va aparèixer al n. 5 de la revista Cacumen (juny de 1983) en un recull sobre Martin Gardner. També Adrián Paenza l'explica al seu llibre Matemática, ¿estás ahí? Episodio 100.

El problema es pot plantejar perfectament al cicle superior de primària arribant a deduir el patró que el soluciona. A secundària podem plantejar-nos, a més, esbrinar el perquè d'aquest patró.

Imaginem un hotel amb un grum juganer. Una nit organitza el següent joc. Demana pels altaveus a totes les habitacions que  obrin les portes (Posem que hi ha 100 habitacions, encara que a l'applet que acompanya el problema només n'hem posat 25). Després ordena: "Que les portes parells es tanquin!". Així les portes 2, 4, 6... queden tancades i les 1, 3, 5... queden obertes. Després torna a donar una altra ordre. "Que les habitacions múltiples de 3, canviïn la seva situació!". Canviar la situació significa que si la porta està oberta s'ha de tancar, i si està tancada, s'ha d'obrir. Així la porta 3, que estava oberta, s'haurà de tancar, però la 6, que estava tancada, s'haurà d'obrir. Després el grum va seguint: "Els múltiples de 4 que canviïn la seva situació!". "I ara els múltiples de 5!". I continua.

Al final del joc... quines portes quedaran obertes?

Podeu practicar amb aquest applet on obrireu i tancareu les portes clicant a sobre.

Enllaç al projecte en Scratch

Comentem com portar el joc a l'aula?

Quants estan dormint a l'hostal?

Si us va agradar el problema dels pingüins al voltant del forat i el dels passatgers que perdien el tren aquí en teniu un altre de l'estil. En aquest joc també es tracta de buscar la regla amagada, la llei. Per jugar calen cinc daus. Vegem una jugada.

• El "director" del joc tira els cinc daus i, per exemple, treu aquest resultat.

• Un dels membres del grup demana: "Quants estan ara dormint?"

• Llavors el "director" mira el resultat dels daus i, aplicant la regla secreta, contesta: "Ara dormen 10"

Vols intentar endevinar la regla?

Quants passatgers han perdut el tren?

Si us va agradar el problema dels pingüins al voltant del forat aquí en teniu un altre de l'estil. En aquest joc també es tracta de buscar la regla amagada, la llei. Per jugar calen sis daus. Vegem una jugada.

• La persona "directora" del joc tira els sis daus i, per exemple, treu aquest resultat.

• Un dels membres del grup demana: "Quants passatgers han perdut el tren?·

• Llavors la "direcció" mira el resultat dels daus i, aplicant la regla secreta, contesta: "Hi ha 4 passatgers que han perdut el tren"

Vols intentar endevinar la regla?

Loyd i les monges dels Pirineus

El gran creador de problemes Sam Loyd va publicar entre finals del segle XIX i començaments del XX més de 10 000 puzzles. Uns 5000 els podem trobar a la Cyclopedia publicada l'any 1914 pel seu fill. Si voleu mirar només una selecció Martin Gardner en va fer un parell de molt ben pensades: Los acertijos de Sam Loyd i Nuevos acertijos de Sam Loyd. Són molts els problemes de Loyd que van quedar recollits a la web del Calaix +ie. Té molt d'encant veure els problemes amb els dibuixos originals de quan es van publicar. En podeu trobar molts a la pàgina oficial de Sam Loyd.

Un problema dels "facilets" i que podem proposar a les nostres aules és El problema del convent i que el mateix Sam Loyd situava en un inexisten convent de monges al Pirineu, concretament al peu de la Maladeta.

Quants pingüins hi ha al voltant del forat a la neu?

En aquest joc es tracta de buscar la regla amagada, la llei. L'únic material que cal són cinc daus. Vegem una jugada.

• El "director" del joc tira els cinc daus i, per exemple, treu aquest resultat.

• Un dels membres del grup demana: "Quants pingüins hi ha al voltant del forat a la neu?·

• Llavors el "director" mira el resultat dels daus i, aplicant la regla secreta, contesta: "Hi ha 4 pingüins al voltant del forat"

Vols intentar endevinar la regla?