2 de desembre de 2013

Un problema de pals que no és un pal de problema

Hi ha problemes que, a primer cop d'ull, no tenen cap gràcia especial, però quan t'hi poses comences a descobrir sorpreses: perquè el repte és més interessant del que inicialment semblava, perquè la solució té aspectes que van contra la teva intuïció o perquè aquesta té algun tret de bellesa, perquè et planteja relacions amb altres problemes coneguts o et deriva a problemes nous, perquè et convida a establir relacions entre diferents àmbits matemàtics com l'àlgebra i la geometria... El problema que presentem ara té totes aquestes virtuts. Apareix al llibre hindú del segle IX Ganita Sara Sangraha del matemàtic jainista Mahavira. Jo l'he trobat al llibre Gimnasia mental 2 de Jordi Deulofeu (amic, mestre de mestres i un dels nostres Gardners particulars).


Llegim l'enunciat:


Tenim dos pals rectes de 6 i 4 metres d'alçada, respectivament, i que estan clavats perpendicularment al terra. Col·loquem dos cables perfectament tensats que van des de la base de cadascun dels pals fins a la part superior de l'altre. A quina alçada es creuen els dos cables?



En primera instància sembla que desconèixer la distància entre els pals ens impossibilita el problema però la realitat és que amb les dades que se'ns donen tenim suficient.

Us animem a resoldre el problema i després continuar llegint, perquè darrera de la solució hi ha tot un camí a seguir.
La solució del problema

Podem anomenar d a la distància entre els dos pals i x a la distància del pal de l'esquerra a la vertical del punt de creuament. Al dibuix podem observar alguns grups de triangles semblants. Per exemple aquesta primera parella que ens permet plantejar una primera igualtat proporcional.



Mirem ara una segona parella de triangles i la proporció que ens dóna.



Amb aquestes dues proporcions podem muntar un sistema d'equacions. Encara que tenim tres incògnites podem intentar descobrir relacions. Per exemple, podem començar aïllant la x de la primera equació:


I ara substituïm la x de la segona per l'expressió obtinguda:


Podem observar que les d de la part dreta de la igualtat s'eliminen i en queda una equació més senzilla que ens donarà el valor d'h.
I d'aquí a la solució:


Una pregunta i una generalització

La pregunta és la següent. Hem pogut resoldre el problema sense saber distància que separa els pals. Però això passa en aquest cas o és en general? Perquè si és en general ens podem portar una sorpresa: l'altura de creuament no depèn de la distància i si no en depèn és que sempre és la mateixa, independentment de com estiguin de separats.

Per esbrinar-ho repetirem les equacions anteriors però direm a i b a les altures dels pals.



Fent el treball algebraic pertinent arribarem a una expressió ben maca (si se'ns permet la idem):


Com es pot veure, l'altura a la que els cables es creuen depèn només de la mesura dels pals, i amb una relació bonica: el producte de longituds dividit entre la suma.

Potser ens cal fer com Sant Tomàs i si no ho toquem no ho creiem. Per tant podem comprovar-ho, per exemple, amb GeoGebra.
Aquest és un applet de Java creat amb el GeoGebra des de www.geogebra.org, sembla que no teniu instal·lat el Java, si us plau, visiteu www.java.com

Un problema semblant?

Al mateix llibre citat Jordi Deulofeu ens presenta un altre problema històric interessant que, a primer cop d'ull, sembla no tenir gaire relació amb el que hem plantejat. Pertany al llibre xinès Haidao Suanjing de Liu Hui (263 n.e) . És el següent:


Una escala molt llarga es recolza a una paret que és perpendicular al terra a un punt que està a 3 metres d'altura. La base de l'escala es troba recolzada al terra en un punt que està a 2 metres de la paret. Hi ha un punt de l'escala que està a la mateixa distància del terra que de la paret. A quina distància està del terra?


Com abans podem pensar que les dues mesures són anecdòtiques i treballar amb variables: a i b. i fem un esquema ens adonarem que tornem a tenir un problema que es resol amb proporcionalitat geomètrica.

Podem fer la proporció entre els dos triangle blaus.


Uns quants càlculs per aïllar la x i... oh sorpresa!, trobem un expressió coneguda:


Dos problemes aparentment diferents, tenen la mateixa solució!

Això no ho haguéssim observat fent la solució dibuixada amb regla i compàs que, per altra banda, era més fàcil, on només calia dibuixar la bisectriu de l'angle recte i buscar el punt de tall amb la hipotenusa, ja que aquest punt equidista dels dos catets.


Realment és diferent el problema?

Arribar a un resultat idèntic potser indica que no són problemes tan diferents. De fet, l'animació que ve a continuació ens mostra que el problema xinès és un cas particular del problema indi: quan un dels cables forma un angle de 45º i, en conseqüència, la separació entre els pals és igual a la llargada d'un d'ells.


I ara un problema "a la grega" de regle i compàs

A l'antiga Grècia la regla d'or per resoldre un problema geomètric consistia en fer-ho mitjançant una construcció feta amb regle i compàs. Ara en proposem un i et convidem a que, si més no, li dediquis uns minuts abans de passar a mirar la solució.

L'enunciat és el següent:


Construeix, amb regle i compàs un rectangle d'àrea equivalent a un donat però que un dels costats sigui igual al semiperímetre del primer.


Aquí tens un applet amb GeoGebra per intentar-lo. I si no... passa a la solució

Aquest és un applet de Java creat amb el GeoGebra des de www.geogebra.org, sembla que no teniu instal·lat el Java, si us plau, visiteu www.java.com

La solució pot passar per observar la solució dels nostres primers problemes:


Cal mirar la fórmula amb ulls geomètrics tot establint relacions amb el rectangle donat de la construcció que volem resoldre
  • a i b poden ser els costats del rectangle donat
  • a·b és la seva àrea
  • a+b és el semiperímetre
  • h, que és el quocient de la divisió entre l'àrea i el semiperímetre, és el costat que busquem
Ja tenim una part feta. Ara només cal fer memòria de la resolució geomètrica del problema xinès que hem resolt abans sobre el triangle rectangle: dibuixarem la diagonal del rectangle i la bisectriu d'un dels angles rectes convenients. El punt de tall ens donarà l'altura del triangle.


Acabem de resoldre un altre problema que no semblava tenir gaire relació tot fent un viatge per la Índia, la Xina i Grècia.

I... dues variants finals

La primera variant presenta el problema tal com es va plantejar al n.12 de la revista Cacumen allà al desembre del 1983 a la secció Lectores al poder. Posem la imatge escanejada de la revista:

Podem plantejar equacions basades en la proporcionalitat de triangles anomenat x al tros que va del peu del pal de 10 a la vertical del punt de creuament.


Quan la resolem arribem a una igualtat com aquesta


que cal interpretar com a una equació indeterminada, que S pot prendre qualsevol valor i que la distància no importa. És un plantejament que potser a algú li agradarà més. Jo, particularment em quedo amb l'indi, perquè planteja un repte que sembla que no podem assolir. En canvi, en aquesta altra versió, el problema es planteja amb una mena de pregunta-trampa que no m'acaba de convèncer. A més, si es proposa a l'aula sabem que costa interpretar la "manca de solució" com a que en realitat té "infinites solucions". És una cosa a treballar, però la faria amb altres tipus de problemes.

I si volem pregunta-trampa millor aquesta variant apareguda un mes abans a la mateixa secció del número 11 de Cacumen. Aquesta la podem proposar des de primària i és més simpàtica. No us donem la solució.



Cap comentari:

Publica un comentari a l'entrada