24 d’octubre del 2016

L'atzar té patrons?

El proper 30 de novembre estem convidats per l'ICFO (Institu de Ciències Fotòniques) a participar en un experiment quàntic: el Big Bell Test. Per col·laborar només ens demanen que enviem una seqüència aleatòria de 100 bits d'uns i zeros i, a partir de les 30 000 seqüències que necessiten,es faran els experiments. Aquestes seqüències les podem escriure directament o introduir-les mitjançant un joc interactiu que ens va orientant sobre si hem estat "prou aleatoris" o no. Podeu obtenir més informació sobre l'experiment en aquest tres enllaços: The Big Bell Test (còmic explicatiu, joc, etc...), La cuántica te necesita (l'experiment explicat al web Cuentos cuánticos) o mirant aquests vídeos. També teniu aquest altre enllaç amb activitats per a centres de secundària.

En tot cas, anem a la part matemàtica: què significa "prou aleatori"? Imaginem per un moment que hem encarregat una feina a l'aula: tirar una moneda 20 vegades seguides i que ens anotin els resultats. Continuem imaginant i suposem que, entre d'altres, hem rebut aquestes quatre respostes:

Sèrie A
CCCCCCCCCCXXXXXXXXXX

Sèrie B
XCXCXCXCXCXCXCXCXCXC

Sèrie C
CCXCXCXCCXCXXCXCXCCXX

Sèrie D
CXCCCXCXXCCCCXCXCCXC

Hi ha dues sèries clarament sospitoses d'haver estat inventades: l'A i la B. Per què? Perquè tenen un patró que sembla poc atzarós. Totes dues tenen un 50% de cares i un 50% de creus, però que surtin primer totes les cares i després totes les creus o que facin una seqüència tan purament alternada sembla poc natural.


Les sèries C i D fan millor pinta. Tot i així, ja ho diem, la sèrie C és inventada. No només perquè quadri perfectament amb 10 cares i 10 creus. Una altra cosa que la fa sospitosa és que les ratxes siguin sempre tan curtes, que no hi hagi mai tres cares seguides o tres creus. Hi ha, aproximadament un 50% de probabilitats de que fent 20 tirades seguides obtinguem, com a mínim una vegada, tres cares o tres creus seguides. I una mica menys del 20% d'obtenir una ratxa de quatre tirades iguals.

Hi ha una paradoxa aparent. Cadascuna de les sèries concretes que hem dit té la mateixa probabilitat de sortir:


Però podem veure clarament que, entre aquest milió i escaig de combinacions, només tenim dues sèries de 10 signes seguits (una de 10 cares i 10 creus i una altra de 10 creus i 10 cares) i dues més de dos signes alternats (cara-creu-cara-creu... o bé creu-cara-creu-cara...). En canvi no és difícil pensar que, entre aquest milió, moltíssimes tindran alguna vegada tres cares o tres creus seguides.

És possible ponderar l'atzar? Podem distingir sèries "falses" de "certes"?