13 de desembre del 2016

Si et despistes ets perd un gol (un model estocàstic)

Una de les lectures matemàtiques sorprenents d'aquest 2016 ha estat el llibre de David Sumpter Fútbol y matemáticas (Ed. Ariel). L'autor és un matemàtic anglès que treballa a la Universitat d'Upsala i que dirigeix un grup d'investigació sobre comportament col·lectiu. El que fa interessant el llibre és que s'allunya dels tòpics matemàtico-futbolístics habituals (que també toca, però per sobre) i ens proposa diferents models matemàtics per analitzar altres aspectes com la distribució dels jugadors en el camp, l'estudi dels seus moviments individuals i col·lectius, etc. I, en molts casos, comparant-los amb altres models similars aplicats a la biologia. És difícil adaptar les idees que sorgeixen a l'aula perquè, en molts casos, requereixen l'ús i tractament d'una quantitat ingent de dades. Tot i així algunes sí que poden tenir adaptació com l'anàlisi dels moviments en un petit rondo o el procés d'inici i final d'uns aplaudiments. L'activitat que proposarem a continuació apareix en el primer capítol del llibre "Nunca he predicho nada y nunca lo haré", un divertit i paradoxal títol que té l'origen en una declaració del jugador Paul Gascoigne al 1996.


En aquest capítol Sumpter ens diu. "El que fa que el futbol i altres esports d'equip siguin apassionants és la seva impredictibilitat. Si estàs mirant un partit i apartes la vista durant uns pocs segons, et pots perdre una jugada important i un gol inesperat". Com especialista en models matemàtics ens en proposa un que relaciona clarament estadística i probabilitat.

El vols conèixer?

20 de novembre del 2016

Algoritmes històrics (i no tan històrics) de la resta.

Poc més es pot afegir al tema de l'algoritme de la resta del que han escrit en quatre magnífics articles el David Barba i la Cecilia Calvo al blog del PuntMat. Entre altres coses perquè al blog s'atén més, com hauria de ser,  el problema global de la resta que no el de l'ús d'un algoritme concret. Però un tuit que ha corregut aquests darrers dies i algun algoritme històric guardat al calaix des de fa temps m'ha esperonat a escriure també sobre el tema.

Voldria començar, però, explicant una petita història personal relacionada amb els mètodes per restar. El meu avi era venedor ambulant de ganiveteria. En els períodes de vacances em tocava acompanya-lo pels diferents mercats de Barcelona i la meva feina era tornar els canvis de les vendes. Devia tenir cinc o sis anys i era desesperant haver de fer les restes de cap. Estem parlant de la dècada dels 60 on encara els preus anaven, generalment, a les desenes de cèntim (també hi havia monedes de 5 cèntims).


El meu avi, al veure la meva lentitud operativa, em va salvar la vida explicant-me que el que havia de fer era completar els diners que em donaven  a partir del cost de la venda. Per exemple si la venda era de 17,20 ptes. i em pagaven amb "cinc duros" (25 ptes.), primer anava comptant fins a completar 18 ptes (80 cèntims), després seguia fins a 20 (2 ptes.) i, finalment fins a 25 (un duro, 5 ptes.). Cal dir que no em preocupava del total del canvi. Anava completant i prou. Si hagués volgut saber el resultat de la resta només hauria calgut sumar els "lliuraments" parcials: 0,80+2+5 = 7,80 ptes. És el mètode que vaig continuar utilitzant en les restes "no escolars": anar completant. A l'escola, evidentment, s'havia de fer d'una altra manera. En el fons el mètode de l'avi és un algoritme molt més natural perquè treballa amb quantitats i no amb xifres. Una de les grans limitacions dels algoritmes estàndard per ajudar a desenvolupar el sentit numèric dels alumnes és que, fent treballar xifra a xifra, ens fan perdre de vista els nombres, las quantitats amb les que operem. Més tard he sabut que l'algoritme escrit històric conegut com "austríac", que apareix explicat com a algoritme escrit a la Logistica quae et arithmetica de Jean Buteo, un llibre del 1559, era més proper al mètode de l'avi que a l'escolar.

Tornem al tuit esmentat abans, autoria de @MarcChubb3, autor del blog Thinking mathematically. En ell es veia una sorprenent resta.

Immediatament apareixen algunes peguntes:
  • Com s'ha fet la resta?
  • Funciona sempre?
  • Com es pot justificar el mètode?
  • Com es pot generalitzar a restes de més de dues xifres?
A continuació expliquem aquesta resta i mostrarem també alguns algoritmes històrics. Entre ells un que elimina "del tot" el problema de la "resta portant"

24 d’octubre del 2016

L'atzar té patrons?

El proper 30 de novembre estem convidats per l'ICFO (Institu de Ciències Fotòniques) a participar en un experiment quàntic: el Big Bell Test. Per col·laborar només ens demanen que enviem una seqüència aleatòria de 100 bits d'uns i zeros i, a partir de les 30 000 seqüències que necessiten,es faran els experiments. Aquestes seqüències les podem escriure directament o introduir-les mitjançant un joc interactiu que ens va orientant sobre si hem estat "prou aleatoris" o no. Podeu obtenir més informació sobre l'experiment en aquest tres enllaços: The Big Bell Test (còmic explicatiu, joc, etc...), La cuántica te necesita (l'experiment explicat al web Cuentos cuánticos) o mirant aquests vídeos. També teniu aquest altre enllaç amb activitats per a centres de secundària.

En tot cas, anem a la part matemàtica: què significa "prou aleatori"? Imaginem per un moment que hem encarregat una feina a l'aula: tirar una moneda 20 vegades seguides i que ens anotin els resultats. Continuem imaginant i suposem que, entre d'altres, hem rebut aquestes quatre respostes:

Sèrie A
CCCCCCCCCCXXXXXXXXXX

Sèrie B
XCXCXCXCXCXCXCXCXCXC

Sèrie C
CCXCXCXCCXCXXCXCXCCXX

Sèrie D
CXCCCXCXXCCCCXCXCCXC

Hi ha dues sèries clarament sospitoses d'haver estat inventades: l'A i la B. Per què? Perquè tenen un patró que sembla poc atzarós. Totes dues tenen un 50% de cares i un 50% de creus, però que surtin primer totes les cares i després totes les creus o que facin una seqüència tan purament alternada sembla poc natural.


Les sèries C i D fan millor pinta. Tot i així, ja ho diem, la sèrie C és inventada. No només perquè quadri perfectament amb 10 cares i 10 creus. Una altra cosa que la fa sospitosa és que les ratxes siguin sempre tan curtes, que no hi hagi mai tres cares seguides o tres creus. Hi ha, aproximadament un 50% de probabilitats de que fent 20 tirades seguides obtinguem, com a mínim una vegada, tres cares o tres creus seguides. I una mica menys del 20% d'obtenir una ratxa de quatre tirades iguals.

Hi ha una paradoxa aparent. Cadascuna de les sèries concretes que hem dit té la mateixa probabilitat de sortir:


Però podem veure clarament que, entre aquest milió i escaig de combinacions, només tenim dues sèries de 10 signes seguits (una de 10 cares i 10 creus i una altra de 10 creus i 10 cares) i dues més de dos signes alternats (cara-creu-cara-creu... o bé creu-cara-creu-cara...). En canvi no és difícil pensar que, entre aquest milió, moltíssimes tindran alguna vegada tres cares o tres creus seguides.

És possible ponderar l'atzar? Podem distingir sèries "falses" de "certes"?

18 de setembre del 2016

Delimitant el terreny per fer les cases a Moçambic

Al n. 6 de la revista UNO (1995) Alan J. Bishop escrivia :
"Sovint, una dada antropològica concreta pot ser usada per crear activitats matemàtiques molt interessants en les lliçons de l'escola i ser demostrades i discutides en els cursos de formació de professors. Per exemple, Gerdes informa (1988) que a Moçambic certs constructors rurals utilitzen quatre trossos de corda units per formar un rectangle configurant d'aquesta manera la figura de la casa. Les quatre peces tenen la mateixa longitud i es lliguen com a la figura."


Per poc que es miri es pot observar que, efectivament, aquesta situació ens proporciona un context que obre tot un ventall de possibilitats, moltes apuntades pel mateix Bishop al seu article. Recuperem-ne algunes i afegim-ne d'altres. Moltes d'elles es poden realitzar tant a Primària com a Secundària.