Altres daus no transitius

Titular un article Altres daus no transitius dona per suposat que ja es coneixen "uns" daus intransitius. Fa uns anys en vam parlar a l'antic web del Calaix en una activitat que es deia Tirem els daus. Si no hi voleu tornar, tot i que allà trobareu applets per interactuar, en farem cinc cèntims abans.

El joc de Pedra-Paper-Tisores no és transitiu. Forma un cicle on sempre, enfrontades una a una, un de les opcions guanya a una altra: pedra a tisores, tisores a paper i paper a pedra. Comparem ara, però aquest tres daus de l'esquema:

És evident que el dau A guanyarà sempre al B. Direm que és més "fort". El B també és més fort que el C. I si comparem el C i l'A veurem que A també és més fort. Ho podríem resumir dient que A és el dau més fort del grup. S'acompleix la propietat transitiva: A>B, B>C i, per tant, A>C. Aquesta propietat la tenim molt integrada en els nostres cervells encara que no sapiguem el nom. Es produeix en moltes situacions ordenades. Però hi ha altres conjunts de daus que no tenen el mateix comportament. Mirem, per exemple, aquest grup de daus:

Ara un dau el considerarem "més fort" si guanya més vegades a l'altre. Un quadre d'enfrontaments ens donarà alguna sorpresa.

Ens trobem que A guanya a B en els 2/3 dels casos, B guanya a C en la mateixa proporció, C guanya a D els 2/3 de les vegades i... D guanya a A també en 2 de cada tres casos! No hi ha transitivitat.

Aquest conjunt de daus els va popularitzar, com no, Martin Gardner al 1970. Els podem trobar al llibre Ruedas, vida y otra diversiones matemáticas. L'inventor dels daus va ser l'estadístic estatunidenc Bradley Efron.

Però es poden reduir la quantitat de daus? Podem fer que no hagi repeticions de nombres? Què succeirà si els tirem a la vegada? I si comparem enfrontaments dau a dau amb enfrontaments comptant la suma de dos daus?

A continuació li donarem algunes voltes a aquestes idees per anar més enllà dels daus d'Efron. Ens basarem en el capítol Les dés affreux d'Efron del llibre de Jean-Paul Delahaye titulat Les mathématiciens se plient au jeu.

T'animes a continuar?

Els "sona": contes, geometria i nombres (1)

Al llibre Una historia de la proporción de Manuel García Piqueras (Nivola, 2013) fa un apunt sobre uns dibuixos que alguns "contacontes" africans fan al terra tot acompanyant la seva narració. El mateix autor els ha utilitzat en una altra obra més recent de caire narratiu: La supersobrina y el enigma del gran astrolabio (Nivola, 2016). Però en cap d'aquestes obres entra en profunditat en el seu anàlisi matemàtic. El podem, però, trobar en un article seu en el n. 78 de la revista Suma: Un atardecer en África y América o en les actes de les 15 JAEM de Cartagena on va fer un taller conjuntament amb A. Bueno i J.L. Muñoz: Sona: una herramienta didáctica para primaria y secundaria. Per tant, ja podeu endevinar que només faré que reexplicar els seus materials. El cas és que darrera dels sona hi ha una interessant problema matemàtic.

Però millor que comencem sentint conte i veient un d'aquests dibuixos, realitzats pel propi Manuel G. Piqueras.

El perro y el cazador

Si observem el dibuix final del conte i fem alguna petita deformació geomètrica trobarem que és una figura que es pot fer d'un sol traç envoltant els punts d'un rectangle de 4x3. Aquest tipus de dibuixos es diuen sona, en plural, i lusona en singular.

Lusona del conte

Dibuixat amb segments rectilinis

Eliminant "deconnexions"

Si ens hem fixat en el vídeo la línia continua del lusona comença en un punt extern al rectangle de punts, avança amb un angle de 45º fins a un altre punt extern on "rebota" i continua avançant amb un angle de 45º però en una altra direcció. Potser per explicar i estudiar el dibuix del lusona convé fer una mica "de neteja" en la quadrícula i afegir alguns punts exteriors que ens ajudin a fer el dibuix.

Afegim els punts on la línia "rebota"

Eliminem els punts interiors

Podem veure ara una animació on es visualitza com sortint d'un punt i rebotant a les parets del rectangle que emmarca es pot dibuixar el lusona.

Investiguem sones sobre diferents rectangles?