Altres daus no transitius

Titular un article Altres daus no transitius dona per suposat que ja es coneixen "uns" daus intransitius. Fa uns anys en vam parlar a l'antic web del Calaix en una activitat que es deia Tirem els daus. Si no hi voleu tornar, tot i que allà trobareu applets per interactuar, en farem cinc cèntims abans.

El joc de Pedra-Paper-Tisores no és transitiu. Forma un cicle on sempre, enfrontades una a una, un de les opcions guanya a una altra: pedra a tisores, tisores a paper i paper a pedra. Comparem ara, però aquest tres daus de l'esquema:

És evident que el dau A guanyarà sempre al B. Direm que és més "fort". El B també és més fort que el C. I si comparem el C i l'A veurem que A també és més fort. Ho podríem resumir dient que A és el dau més fort del grup. S'acompleix la propietat transitiva: A>B, B>C i, per tant, A>C. Aquesta propietat la tenim molt integrada en els nostres cervells encara que no sapiguem el nom. Es produeix en moltes situacions ordenades. Però hi ha altres conjunts de daus que no tenen el mateix comportament. Mirem, per exemple, aquest grup de daus:

Ara un dau el considerarem "més fort" si guanya més vegades a l'altre. Un quadre d'enfrontaments ens donarà alguna sorpresa.

Ens trobem que A guanya a B en els 2/3 dels casos, B guanya a C en la mateixa proporció, C guanya a D els 2/3 de les vegades i... D guanya a A també en 2 de cada tres casos! No hi ha transitivitat.

Aquest conjunt de daus els va popularitzar, com no, Martin Gardner al 1970. Els podem trobar al llibre Ruedas, vida y otra diversiones matemáticas. L'inventor dels daus va ser l'estadístic estatunidenc Bradley Efron.

Però es poden reduir la quantitat de daus? Podem fer que no hagi repeticions de nombres? Què succeirà si els tirem a la vegada? I si comparem enfrontaments dau a dau amb enfrontaments comptant la suma de dos daus?

A continuació li donarem algunes voltes a aquestes idees per anar més enllà dels daus d'Efron. Ens basarem en el capítol Les dés affreux d'Efron del llibre de Jean-Paul Delahaye titulat Les mathématiciens se plient au jeu.

T'animes a continuar?

Abans d'entrar a modificar daus valorem una qüestió: per què els daus no són transitius? La resposta és que no tenen per què ser-ho. Sovint quan apliquem la transitivitat ho fem tenint en compte un sol paràmetre: alçada, velocitat... Podríem mirar en aquest cas també un sol paràmetre com, per exemple, la força mitjana del dau (la suma dels valors de les cares dividida per la quantitat de cares):

El dau més fort és C, el més feble A, mentre que B i D empaten. El problema rau en que aquest paràmetre de força mitajna no ens proporciona la informació que necessitem. La força del dau no es pot mesurar així, perquè s'ha de mirar, cas a cas, observant què passa en l'enfrontament amb un altre dau.

• Els daus de Gábor Székeli: de dos en dos i els tres a la vegada

L'estadístic americà d'origen hongarès Gábor Székeli va publicar al 1986 un conjunt de tres daus no transitius que acomplien unes condicions ben especials:

• Apareixen distribuïts entre els tres daus tots els nombres de l'1 al 18 sense cap repetició.
• La suma dels nombres de cada dau és la mateixa: 57 punts (Fortalesa mitjana 9,5).
• Cada dau és més fort que un altre en la mateixa proporció: 7/12. És a dir, guanya un 58,33 % de les vegades.

Fent una taula de comparació dau a dau podem observar aquest grau de fortalesa no transitiva.

Fins aquí només són una versió diferent dels daus anteriors, però en aquests podem observar una nova paradoxa: si juguem el tres daus a la vegada hi ha un més fort que els altres. Per comprovar-ho podem comprovar les 216 ternes de possibilitats.

Es pot observar que en 90 casos (un 41,67%) guanya el dau B. Els altres dos daus guanyen 63 vegades cadascun (un 29,17%). Una nova sorpresa!

Hi ha vuit triplets més de daus no transitius amb els nombres de l'1 al 18, però cap millora els 7/12 relació de força entre els daus ni cap és equiprobable tirant-los a la vegada. Com a curiositat afegida cal dir que en un triplet de daus la relació de força màxima teòrica que es pot aconseguir (amb altres nombres) és d'1/Φ (0,618...). Els 7/12 no estan molt lluny (0,583,,,). Una sorprenent aparició del nombre d'or! Per quatre daus la raó de força màxima és de 2/3, com la dels daus mostrats a l'inici. A mesura que anem augmentant la quantitat de daus aquesta raó va augmentant però sense arribar mai a 3/4.

• Els daus de Tim Rowett: invertir els guanyadors

Tim Rowett és conegut pel seu canal a Youtube Grands Illusions. Ens proposa un parell de daus també força sorprenent. A la taula es pot veure que el dau B és més fort que l'A amb un grau de força de 5/6.

Però ara podem canviar el joc. Un jugador ho farà amb dos daus A i l'altre amb dos daus B. El que comptarà ara per guanyar és la suma dels daus obtinguda per cada jugador. Estudiar aquest cas és ara una mica més complicat ja que hi ha 1296 casos. Podem començar per anotant les sumes de cada parella de daus.

I a continuació compararem les 36 parelles obtingudes dels daus A amb les 36 parelles dels daus B.

Ara la parella de daus A guanya en 774 casos dels 1296 (59,72%) sobre 522 victòries dels daus B (40,28%). S'ha invertit la força dels daus:

B > A     A+A > B+B

• I a l'aula?

Una de les "feines" que tenim a l'aula és alertar sobre les falses intuïcions que apareixen en temes de probabilitat. A més de saber estudiar situacions senzilles on intervé l'atzar hem d'aprendre a despertar l'alerta sobre les sorpreses que ens poden sorgir. O dit d'una altra manera: a desconfiar de les nostres primeres conjectures probabilístiques. En aquest blog ja hem fet altres articles en aquesta línia. Per exemple Experimentem els sorteigs de lletra, L'atzar té patrons?, En quin lloc sortirà? o Casualitats, creences, impressions...

Per treballar els daus no transitius una bona manera és fer comparar experimentalment tres parells de daus en petits grups (A amb B, B amb C i C amb D) i després fer la comparació global perquè quedi clara la relació de forces. Després podem preguntar què passarà si fem jugar A contra D. La discussió estarà servida.

També podem fer una gestió semblant amb els daus de Rowett: fer comparar els dos daus, conjecturar què passarà amb la suma, experimentar-ho i fer l'estudi teòric.

Com a complement els podem deixar inventar daus, amb nombres repetits o no, o investigar sobre aquest tipus de daus. Hi ha força pàgines que en parlen. A més de la del Calaix +ie comentada inicialment tenim altres com la James Grime en la que trobarem aquest vídeo en el que va col·laborar amb la gent de Numberphile.

Tampoc oblidarem que el MMACA té un mòdul amb tres daus no transitius tetraèdrics.