Golígons: nombres enters i geometria

Imaginem que estem a un punt de l'Eixample barceloní i iniciem un itinerari de la següent manera:  avancem una illa, girem 90º en qualsevol direcció, avancem dues illes, girem a l'atzar 90º, avancem tres illes i girem 90º sense pensar cap a on, avancem quatre illes, girem 90º... i anem fent així, avançant cada vegada una illa més que abans i girant 90º. Si després d'un dels girs ens trobem de nou al punt de sortida haurem fet un recorregut especial que rep el nom de golígon. A la imatge tenim un exemple en el que hem començat al punt assenyalat de color verd.

Amb una explicació semblant començava l'article d'A. K Dewney de l'any 1990 titulat An odd journey along even roads leads to home in Golygon City. En aquest escrit ens presentava els golígons inventats per Lee Sallows dos anys abans, creador també dels quadrats geomàgics que vam tractar en una altra entrada anterior.

La definició de golígon que apareix en aquest article és la següent:

"Un golígon es compon de segments rectilinis que tenen longituds (mesurades en quilòmetres, metres o la unitat que preferiu) d'un, dos, tres, etc. fins a un nombre finit. Cada segment es connecta formant un angle recte amb el segment que és una unitat més gran, excepte el segment més llarg, que es troba amb el segment més curt també en un angle recte."

L'exemple que hem mostrat sobre el plànol de l'Eixample és el golígon més petit existent. Està format per 8 segments i formen un polígon còncau que, a més, tessel·la el pla.

Si provem de trobar golígons de 9, 10, 11... segments no ens en sortirem. De fet, una de les primeres coses que podem observar és que ens calen tants segments horitzontals com verticals, el que fa que el total de segments necessaris sigui parell. Però amb 12 o 14 segments tampoc en trobarem. Sí que ho aconseguirem amb 16. Hi ha 28 golígons amb aquesta quantitat de segments. No tornarem a aconseguir-ne nous fins a 24 segments amb 2108 casos. Bé... comença a ser interessant jugar-hi. Es pot demostrar (i ho farem al document que s'annexa a l'article) que la quantitat de segments totals ha de ser un múltiple de 8. I, com no?, la quantitat de solucions per a 8, 16, 24, 32... segments la trobem a l'OEIS amb el codi A007219.

Explorar els golígons es pot relacionar amb el càlcul d'enters. Anem-hi pas a pas. Podem fer algunes observacions en un golígon de 16 segments i que serveixen per a tots els golígons en general.

• Els costats amb longitud senar són tots verticals
• Els costats amb longitud parell són tots horitzontals,

Si caminéssim per la línia poligonal començant des de l'1 pujaríem, amb el 2 aniríem cap a la dreta, amb el 3 tornaríem a pujar... amb el 5 baixaríem... amb el 10 cap a l'esquerra... Fixar-nos en la orientació dels segments ens permet fer noves observacions:

• La suma de les longituds dels segments que pugen és igual a la suma de les longituds dels que baixen.
• La suma de les longituds dels segments que van cap a la dreta és igual a la suma de les longituds dels que van cap a l'esquerra.

No és difícil argumentar la raó: perquè si no l'itinerari no es tancaria. Però això ho podem formular d'una altra manera, amb nombres enters, considerant les pujades i l'anar cap a la dreta com a "positiu" i el baixar i anar cap a l'esquerra com a "negatiu". El nostre golígon anterior els podríem descriure de la següent manera, tot recordant que els senars són segments verticals i els parells horitzontals, :

+1 +2 +3 +4 -5 +6 -7 +8 -9 -10 -11 -12 +13 -14 +15 +16

Lògicament la suma de tots els valors és zero. Però, adaptant als enters el segon parell d'observacions fetes abans, també podrem dir que la suma de les longituds dels segments verticals (els senars) és zero i que la suma de la dels horitzontals (els parells) també és  zero. Si ens agrada més expressar-ho amb fórmules podem escriure que per a un golígon de n segments s'acompleix que:

Ja ha aparegut un lligam amb el càlcul d'enters que ens comença a obrir camins per investigar a l'aula. Però els golígons donen per més: tots formen polígons? Si no és així, es pot saber d'antuvi? Quants n'hi ha per a una quantitat determinada de segments? Es poden dibuixar tots d'un sol traç sense sobreescriure línies?

T'animes a continuar?

Ja hem comentat que el golígon de 8 segments té una solució única i que el de 16 en té 28. Es corresponen amb el conjunt de solucions del parell de fórmules vistes abans. La sèrie numèrica de generació del golígon, però, no ens dona cap idea sobre quina forma tindrà o si serà poligonal o no. Cal posar-se a dibuixar. Al document d'annex de l'article les trobareu dibuixades en format gran. Però aquesta imatge ens ajudarà a tenir una visió general de tots ells.

Estudiem-los una mica.

• Hi ha golígons que són polígons? Quants? Quins?

Aquesta pot ser la típica pregunta trampa: depén de la definició de polígon que fem. És curiós que amb la pròpia definició de golígon ja trobem problemes perquè a moltes pàgines web, com per exemple la viquipèdia, comencen dient que són "polígons", mentre que a la definició original parla d'itineraris fets de segments rectilinis, ni tan sols de línies poligonals. En aquestes mateixes pàgines esmentades sovint continuen dient que de 16 segments hi ha 28 golígons, però, segons la seva pròpia definició, s'haurien de descartar tots els que no ho són.

Mirem aquest dos golígons. El de l'esquerra no ofereix problemes ja que és clarament reconeixible com un polígon còncau. Però sobre el de la dreta ja es pot discutir.

La decisió dependrà de la precisió de la definició triada. Una com la de l'Enciclopèdia Catalana no deixa dubte al respecte:

Segons aquesta definició no sembla importar que les línies els segments es creuin. Buscant classificacions generals de polígons trobarem quesi la línia poligonal tanca una sola regió parlarem de polígons simples i si en tanquen més d'una, perquè els segments s'intersequen, tindrem polígons complexos o, segons els anglesos, autointersecants. Segons aquestes criteris hi ha 3 golígons de 16 segments que són polígons simples còncaus i 4 golígons que són polígons complexos.

Però tenim altres casos a valorar. Per exemple aquells en els que tenim una línia "sobreratllada" perquè hi passem dues vegades, com la de l'exemple següent.

Pel segment vermell es passa traçant el de 8 i el de 16

Si anem comparant definicions obtingudes de diferents fonts el que s'accepta, com a molt, és que dos costats es tallin o s'intersequin, segons el vocabulari que apliquin. Quan dos segments es tallen ho fan en un sol punt. I en el golígon anterior els segments no es tallen: es superposen. Per tant, no el podrem considerar polígon.

Mirem ara un altre cas també delicat. Per exemple aquest en el que hem marcat un punt vermell "conflictiu".

Al punt assenyalat arriba el segment 4 i marxa el 5, però després hi arriba el 12 i marxa el 13. Una altra vegada haurem de recórrer a les definicions. Normalment aquestes en parlen de "punts units de forma seqüencial". La definició de l'Enciclopèdia Catalana era clara al respecte subindexant els punts ordenadament. El nostre punt vermell tindria doble nomenclatura, P₅ i P₁₃, i això no sembla contemplat a la definició. Dit d'una altra manera, en un vèrtex no poden confluir quatre segments, com a molt dos.

Ens podem recolzar, també, en la definició de Coxester i Greitzer, recollida al web WolframMathWorld. Hi veurem que destaca que la quantitat de vèrtexs i costats ha de ser la mateixa. El nostre golígon de l'exemple té 16 costats i 15 vèrtexs, el que el descarta com a polígon.

De vegades aquets dos aspectes, superposició de segments i compartició de vèrtexs, apareixen junts.

Per tant la resposta a la pregunta inicial és que sí que hi ha golígons poligonals. En el cas de 16 segments, entre els 28 casos, n'hi ha els tres simples còncaus i cinc complexos que hem mostrat abans.

• Golígons divisibles

A la definició general que hem fet de golígon hem determinat que el primer segment ha de mesurar 1. Però podem fer una generalització i començar per qualsevol número. Fins i tot, com veurem més tard, podem modificar també les condicions de la sèrie de segments.

El que proposem aquí és una mica diferent. Es tracta de buscar, entre la sèrie de 16 segments, quins golígons estan fets de dos subgolígons: un de 1 a 8 i un altre de 9 a 16. Aquests dos subgolígons acostumen a estar superposats. Aquí us en posem un d'exemple però hi a tres més entre el conjunt de 28.

No és difícil descobrir quines condicions afegides ha de tenir la sèrie numèrica perquè es doni aquesta possibilitat de subdivisió.

Una vegada més ens podem trobar amb el problema de les definicions. En alguns dels golígons trobem un petit grup de segments inicials que formen aquest dibuix i que també podríem haver trobat experimentant amb 7 segments.

És un golígon? La resposta és que no. La figura acompleix dues de les tres condicions necessàries: la llargada dels segments creix progressivament d'un en un i formen angles rectes. El que no s'acompleix és que el primer i l'últim també s'uneixin fent un angle recte.

• D'un sol traç

Qualsevol polígon, segons la definició general que hem proposat, es pot dibuixar d'un sol traç, sense aixecar el llapis del paper i resseguir dos cops una mateixa línia. En conseqüència els 8 golígons poligonals permeten ser dibuixats així. Però... i els altres? La resposta és que uns sí i altres no. No estem parlant de seguir l'itinerari "goligonal" sinó de reconstruir tota la figura formada d'un sol traç. Recordem que perquè una figura es pugui dibuixar d'un sol traç a cada punt on s'hi troben línies ha d'haver una quantitat parell d'aquestes. Com a excepció podem tenir dos i només dos punts amb una quantitat senar (començarem el dibuix per un i acabarem per l'altre). A continuació us posem dos golígons. Un es pot fer d'un sol traç i l'altre no. Quin sí i quin no?

Només hi ha quatre golígons que no es poden dibuixar de forma contínua. Te'n falten tres a buscar a la sèrie completa de 16-golígons.

I a l'aula?

L'estudi dels golígons ens proporciona un marc que connecta diferents aspectes prou interessants:

• Permet treballar el càlcul amb enters amb un objectiu afegit i no purament mecanicista que, per altra banda, també s'aconsegueix exercitar. La cerca exhaustiva entre tot el grup de sèries numèriques que formen les 28 solucions per a 16 costats és tot un repte. I que podem ampliar a trobar-ne algunes per a 24 o 32 segments. No és mala idea ajudar-se amb un full de càlcul per fer les cerques exhaustives.
• Decidir si són polígons o no a partir de les definicions ens porta a fixar-nos en les característiques particulars de construcció de les diferents figures. Analitzar aquestes característiques i discutir sobre significats és sovint interessant i enriquidor. També reforçarem i precisarem el concepte general de polígon.
• L'anàlisi sobre si són dibuixables d'un sol traç atén aspectes topològics de les figures construïdes.

A banda podem tractar altres temes apareguts durant les explicacions anteriors, com si són subdivisibles o no, les observacions sobre que la quantitat de costats de segments de cada costat ha de ser la mateixa i la seva argumentació. D'una forma semblant podem abordar el tema de la paritat de la quantitat de segments. També hi ha la possibilitat d'obrir la recerca a altres aspectes nous. Tants com preguntes ens fem: buscar entre els poligonals els d'àrea màxima o mínima, perímetres màxims o mínims. O investigar en el conjunt de rectangles que emmarquen els diferents golígons: el més ample, el més alt, el menys ample, el menys alt, àrees, perímetres... I, perquè no un exercici ben interessant? Com endevinar les dimensions dels rectangles marc a partir de la sèrie numèrica que genera el golígon.

I encara podem continuar investigant a internet extensions sobre generalitzacions dels golígons. Ja hem insinuat una abans: no començar per 1. Però hi ha altres sobre les que no costa gaire trobar informació. Us animen a fer-ho. 

• Hi ha investigacions sobre golígons amb sèries de primers consecutius. Alguna es pren alguna llicència i comença per l'1 i es salta el 2 donat que el fet de que només hi hagi un primer parell impossibilita comptar amb ell per construir un golígon (penseu-hi!). Dos exemples: un que comença per 1 i que teniu dibuixat a sota [+1 +3 +5 -7 +11 -13 +17 +19 +23 -29 +31 +37 -41 +43 -47 -53] i un altre fet amb quatre parelles de primers bessons [+663569 +663571 -663581 -663583 -663587 -663589 +663599 +663601]

• Existeixen els alpha-golígons en els que l'angle de gir no té perquè ser de 90º. A la imatge següent podem veure uns fets amb angles de 60º.

• També hi ha una variant en 3D sobre la que trobar informació i amb la feina afegida de comprendre les seves regles especials: els goliedres.

Document per descarregar

El document conté:

• la demostració de que la quantitat de segments d'un golígon ha de ser múltiple de 8.
• una taula amb les 28 solucions numèriques dels golígons de 16 segments.
• el dibuix analitzat dels 28 golígons.

Enllaç al document