8 de desembre de 2014

Aplanem el cub amb un tall mínim

Per trobar el desenvolupament pla d'un poliedre el que hem de fer és "tallar-lo" convenientment i aplanar-lo.
Desenvolupament del cub
Si coneixeu el hexàminos (formes creades per la unió de 6 quadrats compartint com a mínim un costat comú) és possible que sabeu que dels 35 diferents existents només 11 poden tancar-se formant un cub. Aquesta ja és una investigació interessant per sí mateixa.

Els 11 hexàminos que són el desenvolupament d'un cub
Què tenen en comú aquests 11 desenvolupaments? Que tenen un perímetre de 14 unitats. Si tallem un cub per obtenir el desenvolupament pla la longitud del tall serà de 7 unitats. Una altra investigació interessant és mirar per on hem de tallar el cub per aconseguir cadascun dels desenvolupaments.

Línia de tall per un dels hexàminos
En tot cas podem obtenir altres desenvolupaments si no ens limitem a tallar per les arestes. Si ens donem la llicència de tallar pel mig de les cares podem obtenir nous desenvolupaments del cub. Per exemple aquest:

En tot cas podem observar que el perímetre d'aquest desenvolupament del cub té un perímetre superior a les 14 unitats anteriors. El "tall" seria de 7,828... en comptes de les 7 anteriors. El perímetre supera les 15 unitats.


Si deixem de banda la longitud del tall i ens concentrem en el perímetre del desenvolupament (al cap i a la fi el tall és sempre la meitat)...

... podem obtenir un desenvolupament del cub òptim? Amb un perímetre mínim?
Podem anar fent alguns temptejos. Per exemple, si tallem per les dues diagonals una de les cares aconseguim reduir les nostres 14 unitats lleugerament.


Encara que pugui semblar sorprenent encara podem escurçar el perímetre del desenvolupament si tallem per les diagonals dues cares oposades.


I si pensem en un altre problema?

Un conegut problema de recreació matemàtica demana dibuixar la carretera més curta que uneixi els quatre vèrtexs d'un quadrat. La sorprenent solució és una xarxa, coneguda com a xarxa d'Steiner, amb angles de 120º als nodes.
Hi ha un bonic experiment amb sabó on es veu com s'obté aquesta xarxa mínima. Podeu veure el problema i l'experiment en aquest vídeo.


Apliquem-ho al cub

Si apliquem aquest tall a dues de les cares del cub obtenim un perímetre que baixa en més d'una unitat dels 14 inicials.



Podem obtenir una solució encara millor?

I a l'aula?
  • Plantejar el problema tal qual i/o algunes de les investigacions comentades (la dels hexàminos i la dels talls que produeixen els 11 desenvolupaments en quadrats).
  • Plantejar el problema de les carreteres unint els vètexs del quadrat.
  • Abans de 3r d'ESO les mesures s'hauran de prendre directament però a partir de 3r d'ESO el cas amb el tall amb l'arbre d'Steiner es pot calcular utilitzant trigonometria.
  • Provar amb altres poliedres.

Cap comentari:

Publica un comentari