3 de desembre de 2019

Paguem... però amb poques monedes

Aquest problema apareix al llibre Mathématiques pour le plaisir de Jean-Paul Delahaye. Concretament al capítol titulat Quelles pièces pour faire l'appoint? Es tracta d'un problema sobre el nostre sistema monetari del que farem una reducció de monedes en el seu plantejament inicial. Així serà més apte per a les aules. També ens farem algunes preguntes que no apareixen a l'article (així com deixarem de banda moltes altres que sí que hi són).


El primer que volem mirar és com, amb el conjunt de monedes (1, 2, 5, 10), podem fer pagaments d'1 a 19 cèntims amb el mínim de monedes per a cada cas. Per exemple, pel de 7 cèntims només contemplem el cas 2-5 (dues monedes) i deixem de banda qualsevol altra possibilitat (1-2-2-2, 1-1-5, 1-1-1-2-2, etc,). Hem triat com a límit 19 cèntims per posar el topall en algun lloc. El criteri aplicat per triar-lo és: "un abans que la següent moneda que trobaríem", en aquest cas 20 cèntims.

Obtenim una taula com la següent.


Aquesta pot ser una bona pràctica productiva de sumes. Però només que ens fem una pregunta nova, encendrem el ble de tota una sèrie de qüestions noves. La pregunta és: quina és la mitjana de monedes per fer els pagaments? No és difícil de calcular. Només cal sumar les monedes emprades i dividir pels 19 casos:

Podem fer un gràfic on veiem com varia la quantitat de monedes per a cada pagament i com va evolucionant la mitjana.



Es pot millorar aquesta mitjana? Com? Què passa amb monedes més grans?

T'animes a seguir?

17 de novembre de 2019

Frisos amb Pattern Blocks

Els Pattern Blocks és d'aquells materials que no haurien de faltar a l'aula de matemàtiques ja que permeten interessants treballs numèrics i geomètrics. Bàsicament consta d'un joc de peces entre les que trobem sis models. Totes tenen una mateixa unitat de costat (menys el trapezi que té un dels costats de tres unitats).


Una de les activitats clàssiques amb Pattern Blocks és la de construir mosaics. La que proposarem aquí tracta de construir frisos. Una de les definicions de fris ens diu és una "decoració tallada, pintada o gravada en bandes horitzontals". Entre els frisos podem destacar els periòdics (que tenen un mòdul que es va repetint per translació) i els no periòdics. Per treballar amb els Pattern Blocks ens centrarem en els primers, que són els que tenen més interès matemàtic:

Fris no periòdic
Fris periòdic
A més de construir frisos els podem estudiar i classificar. Bàsicament ens hem de fixar en quatre moviments bàsics i observar si el fris queda invariant o no després d'aplicar-lo.
  • Gir de 180º
  • Simetria d'eix horitzontal
  • Simetria d'eix vertical
  • Simetria lliscant


Continuem?

13 d’octubre de 2019

Un problema operatiu sorprenent: "Treure monedes del banc"

El divulgador matemàtic Alex Bellos manté, entre altres publicacions i col·laboracions, la columna Monday Puzzle a la publicació digital The Guardian. Un autor a seguir. El dilluns 7 d'octubre va proposar un problema titulat Treure monedes del banc (Getting coins out of the bank) que mereix atenció per diferents raons i que té una possible explotació didàctica. D'aquí que passem a plantejar-lo i comentar-lo. L'autor del problema és el matemàtic argentí Carlos Sarraute, que també ha proporcionat problemes a altres divulgadors com Adrián Paenza. És un problema de plantejament fàcil i de resolució sorprenent que ens pot permetre a l'aula parlar de demostracions, de condicions necessàries, condicions suficients... i que ens pot obrir tot un ventall de preguntes noves. Passem a plantejar i comentar el problema.

Tenim un tauler quadriculat limitat per dalt i per l'esquerra però infinit cap la dreta i cap avall. En aquest tauler marquem un quadrat de 2x2 a la cantonada superior esquerra i que anomenarem com a "banca".
Posem tres monedes a la banca tal com es mostra a l'esquema.
L'objectiu és treure les tres monedes de la banca amb aquestes dues regles:
  1. Si traiem una moneda apareixen dues noves a la casella immediatament dreta i immediatament inferior.
  2. No podem eliminar una moneda si la casella dreta o inferior estan ocupades per una altra moneda.
La demanda del problema és explicar com treure les tres monedes de la banca... o demostrar que és impossible.

El mateix Bellos ens enllaça un applet fet amb Scratch, dissenyat per Mtega, per practicar el problema. Cosa que us animem a fer abans de continuar llegint.


Heu practicat ja?

Per poc que us hàgiu dedicat començareu a sospitar que si el problema costa de resoldre i a l'enunciat es demana la demostració d'impossibilitat, és que les coses van per aquí: que encara que a priori sembla que es puguin treure les monedes en realitat és impossible.

De fet la demostració d'impossibilitat és sorprenent per indirecta, bella, entenedora... però poc intuïtiva en el que respecta al plantejament i el camí de resolució. És molt difícil que algun alumne arribi a aconseguir-la, però sí que l'entenguin i vegin la bellesa i potència de les matemàtiques. Presentar alguna demostració d'impossibilitat és interessant per a l'alumnat perquè entenguin com són les matemàtiques i com, amb una mica d'esforç, ens podem estalviar treballs inútils que no ens portaran enlloc.

T'animes a continuar i veure possibilitats didàctiques?

12 de juliol de 2019

Problemes connectats?

En aquest article plantejarem i estudiarem alguns problemes, de formats diferents, en els que buscarem patrons de creixement. Posteriorment mirarem si entre aquests patrons trobem alguna connexió i, si existeix, de quin tipus és.

Ens hi posem amb els problemes?
  • Problema 1. Tenim una "escaleta" quadriculada de 3x3. De quantes maneres diferents hi podem posar exactament tres rectangles a dins? I si l'escaleta és de 4x4, de quantes maneres podrem posar-hi quatre rectangles? (Entenem que els quadrats també són rectangles).
  • Problema 2. Tenim sis jugadors de bàsquet. Els hi volem fer una fotografia posant-los en dues files de tres, una davant de l'altra, de manera que el jugador de darrere sempre sigui més alt que el de davant i que, en la mateixa fila, el de la dreta també sigui més alt que el de l'esquerra. Quantes fotografies diferents podrem fer? I si tenim  vuit jugadors?
  • Problema 3. Quants camins (sense retrocés) hi ha per anar per la quadrícula des d'A fins a B sense creuar la diagonal a la quadrícula de 3x3? I si la quadrícula és de 4x4?
  • Problema 4. Disposem de sis palets. Quantes "muntanyes" o "serres muntanyoses" diferents podem fer de forma que hi hagi tres palets de pujada i tres de baixada? I si disposem de vuit palets? (Quatre de pujada i quatre de baixada).

Estudiem cada problema?