Descarregar el Blog en set quaderns

En 14 anys que fa que es publica aquest blog ja hi ha molt material acumulat. S'han recollit la gran majoria d'articles en set quaderns en format PDF. També teniu una taula on estan llistats els 161 articles escollits indicant si incorporen aspectes dels diferents sentits del currículum matemàtic actual: numèric, espai, mesura, algebraic i estocàstic. Quedaran fixats en una nova pàgina creada al blog i que trobareu a la pestanya de Descàrregues. Esperem que us sigui útil!

Llistat d'articles

• Enllaç al full de càlcul

Quaderns d'articles (PDF)

Sis granotes instruïdes

És molt conegut el problema de Les granotes i els gripaus inventat l'any 1982 per Richard Guy. És una activitat que combina joc i investigació i que es pot portar a l'aula des de finals de primària fins a qualsevol curs de l'ESO. Ja fa molts anys que la vam incorporar al web del Calaix +ie. El joc inicial es juga sobre un tauler de set caselles amb tres fitxes d'un color (les granotes) i altres tres d'un altre color (els gripaus). L'objectiu és intercanviar les fitxes de posició tenint en compte que només poden avançar, cada color en un sentit, desplaçant-se a una casella immediata buida o saltant per sobre d'una fitxa d'un altre color si la casella següent està lliure, com al joc de dames. La investigació posterior es fa per a estudiar els moviments mínims necessaris per a intercanviar m granotes i n gripaus.

Ara proposem una investigació que la recorda, però que té algunes diferències importants. El problema el va presentar Henry Dudeney al seu llibre Amusements in Mathematics el 1917. El text original deia:

"Les sis granotes instruïdes de la il·lustració estan entrenades per invertir el seu ordre, de manera que els seus números es llegeixin 6, 5, 4, 3, 2, 1, amb el quadrat en blanc en la seva posició actual. Poden saltar a la següent casella (si està buida) o saltar per sobre d'una granota fins a la següent casella més enllà (si està buida), de la mateixa manera que ens movem en el joc de dames, i poden anar cap enrere o endavant a gust. Pots mostrar com fan la seva gesta en el menor nombre de moviments possibles? És bastant fàcil, així que quan ho hàgiu fet, afegiu una setena granota a la dreta i torneu-ho a provar. A continuació, afegiu més granotes fins que pugueu donar la solució més curta per a qualsevol nombre. Perquè sempre es pot fer, amb aquella única plaça buida, per moltes granotes que hi hagi."

Per tant, comencem amb les granotes estan en ordre creixent d'esquerra a dreta i amb la casella de l'esquerra buida i hem d'invertir l'ordre inicial deixant de nou la casella esquerra buida. I poden anar cap endavant i cap endarrere.

Aquest joc el podem representar molt bé amb targetes numèriques, nombres retallats o cartes de la baralla.

Podeu intentar resoldre'l també amb aquest aplicatiu. Però atenció, Dudeney diu que és fàcil trobar el mínim de moviments. No és del tot cert. Resoldre el problema no és difícil, però trobar la quantitat mínima de moviments costa una mica més. Especialment si no sabem quina és aquesta quantitat.

Enllaç al programa

A continuació analitzarem el problema i veurem que té aspectes interessants per trobar la forma de calcular la quantitat mínima de moviments i per descriure la resolució també mínima.

Continuem?

Busquem premis a les caixes

Tenia una companya de matemàtiques a l'institut on treballava que, cada vegada que atacàvem problemes de probabilitats deia: "Entrem en terrenys pantanosos". Quanta raó tenia. El problema que comentarem avui me l'ha fet conèixer la Laura Morera i, durant uns dies, l'hem discutit amb la Cecilia Calvo i el Jordi Deulofeu. Ella el va conèixer pel divulgador Alex Bellos, que el va titular "El problema de les caixes que va desconcertar als científics". La versió original del problema és amb 15 caixes, però nosaltres començarem només amb sis i no amb les mateixes regles inicials. Progressivament anirem entrant "en matèria"

Imaginem que tenim sis caixes disposades formant un rectangle de 2x3. A una de les caixes amaguem una fitxa.

Després fem entrar a dos nens: l'Arnau i la Berta que faran un joc per trobar la fitxa. Tots dos aniran obrint les caixes de forma simultània i ordenadament, però l'ordre serà diferent per a cadascun. L'Arnau comptarà horitzontalment, d'esquerra a dreta i la Berta ho farà verticalment, de dalt a baix.

El joc funcionarà així:

• Abans de començar cada partida amagarem una fitxa a l'atzar en alguna de les caixes.
• Nosaltres comptarem en veu alta 1, 2, 3... fins que aparegui la fitxa amagada.
• Quan es digui un nombre tots dos obriran a la vegada la caixa que per a ells està numerada amb l'ordre que segueix cadascú. Es pot donar el cas (al principi i al final) que tots dos coincideixin a la mateixa caixa: aquella caixa serà "dels dos".
• Quan es troba la fitxa el joc s'acaba. Guanya el que l'ha trobat i es guardarà la fitxa.
• Si la troben a la vegada (a la mateixa caixa) no se la queda cap dels dos. La fitxa es retira i és un empat.
• Guanya qui, després de diverses partides, hagi recollit més fitxes, és a dir, hagi guanyat més partides.

Podeu veure un exemple del joc amb aquest aplicatiu.

Enllaç al programa

Si fem jugar un programa automàticament veurem que el joc és equilibrat. Del total de partides, aproximadament un terç seran empats, un altre terç seran victòries de l'Arnau i el terç final de victòries de la Berta.

Enllaç al programa

Aquesta experimentació es correspon amb el càlcul teòric. Només cal mirar qui guanya segons on hagi anat a parar la fitxa amagada: en dues caselles la trobaran a la vegada i hi haurà un empat, en dues la trobarà abans l'Arnau i en dues ho farà la Berta.

Fins ara tot força raonable i previsible. Fem ara, però, un petit canvi aparentment innocent en el joc: en comptes de guardar una sola fitxa, en posarem, també a l'atzar, dues fitxes. Com abans el joc s'aturarà quan es trobi la primera fitxa. Això ho hem de remarcar. No esperem a trobar-ne les dues. Qui troba la primera guanya. Els empats es produeixen quan les troben a la vegada, ja sigui perquè el dos obren la mateixa caixa o perquè n'obren diferents, però totes dues tenen fitxa. Experimentem ara i observem els resultats, comparant-los a una hipotètica equiprobabilitat com la del cas anterior.

Enllaç al programa

Podreu observar que els empats són més probables que les victòries de qualsevol dels jugadors. i que l'Arnau té un lleuger avantatge sobre la Berta. Ja hi som amb les sorpreses de la probabilitat. Intuïtivament, el joc hauria de continuar sent equiprobable, però no ho és. A continuació teniu una imatge amb els resultats després d'un milió de partides.

Estudiem aquest nou joc amb més detall?

Disseccions al quadrat (Quadriquadriculem)

L'any 2025 és un quadrat perfecte: (20+25)². Què millor, doncs, que el primer article de l'any estigui dedicat als quadrats. En concret, presentarem dos problemes que tenen un fort element en comú, però diferències en els objectius d'investigació. Tots dos tracten sobre la dissecció d'un quadrat en quadrats més petits. El primer és més accessible a l'aula en la seva investigació completa. El segon es pot explorar en els primers casos i augmentar la informació documentant-se sobre la seva història i l'estat actual de la seva resolució.

• 1a investigació: graus de "quadriquadriculació".

Anomenarem grau de quadriquadriculació a la quantitat de quadrats, iguals o diferents, en què podem descompondre un quadrat donat qualsevol. A la imatge teniu dos exemples de graus 9 i 11.

No tots els graus es poden obtenir, però, a partir d'un grau determinat es poden assolir tots. Podeu investigar quins graus no es poden aconseguir? Quin és el "grau límit" a partir dels quals es poden obtenir tots? I algun procediment per trobar tots a partir del "grau límit"?

• 2a investigació: "quadriquadriculacions" mínimes.

Ara es tracta de disseccionar un quadrat d'un costat enter donat en el mínim de quadrats més petits, iguals o diferents, de costats també enters. No s'admeten forats ni superposicions. Exemplificarem el repte amb el plantejament d'un cas particular fet per Sam Loyd al problema "El cobrellit de retalls". La història amb la qual Loyd embolcalla el problema és el d'un grup de dones que aporten diferents peces de tela quadrades i aconsegueixen cosir-les totes, sense retallar-ne cap, formant un quadrat més gran de 13x13.

Ens demana esbrinar la quantitat de dones sabent que és la quantitat mínima de peces quadrades en què es pot descompondre el quadrat gran. Dit d'una altra manera, el problema consistiria a demanar una dissecció mínima d'un quadrat de 13x13 en quadrats més petits de costats enters.

Nosaltres us proposem que procediu ordenadament: quina és la solució mínima per a un quadrat de 2x2? I per a un de 3x3? I per a un de 4x4? I de 5x5?...

Dissecció mínima de 2x2

Mirem amb més atenció els dos problemes?

Josephus, tenim un problema

En articles anteriors hem fet un petit recorregut històric per problemes clàssics de recreació matemàtica. El que comentem ara es proposava, probablement, més com un conte, com una petita narració curiosa que com un problema pròpiament. Per què ho diem així? Perquè només agafant fitxes o cartes i aplicant les regles de l'enunciat arribem a la resposta; no hi ha realment problema a resoldre. Preveure la solució, abans d'executar les normes, és la majoria de vegades un problema d'alta complexitat. De fet, els autors que comentarem no es van preocupar mai de les solucions generals. Només donaven la resposta i, de vegades, regles mnemotècniques per a recordar-les. I ja avisem que els contextos de les històries explicades en els problemes eren molt més que "políticament incorrectes". Actualment són autèntiques aberracions.

Presentem el problema amb la versió de Luca Pacioli al Codice Vaticano Latino 2139 de l'any 1478:

"Hi ha un vaixell en el qual viatjaven alguns mercaders: d'aquests 30 eren jueus i 2 eren cristians. Mentre navegaven, va sorgir una tempesta, així que per assegurar-se que no morís tothom, va ser necessari alleugerir el vaixell d'alguns passatgers. Encara que hi havia jueus, ells també temien Déu i no volien ser violents amb ningú llançant-los a la força al mar; els pobres comerciants cristians, per la seva banda, veient-se en minoria, temien ser desbordats, però, com s'ha dit, això no va passar. En canvi, un dels jueus va parlar i va dir a la companyia que seria millor que només morissin alguns en comptes de tots, i que haurien de sortejar per decidir qui llançar primer al mar. Així, mentre pensaven com sortejar, un dels comerciants cristians, bon raonador, s'apropà i digué, com apuntant al bé comú: «Posem-nos en cercle i, partint d'un de nosaltres, comptem repetidament fins a 9. Els que obtinguin el 9 seran llençats a l'aigua". Tothom va estar d'acord. De seguida els dos cristians, essent de la mateixa fe, es van posar junts: el que havia parlat va començar a comptar, i va comptar de tal manera que el número 9 queia sempre als jueus i mai a ells dos; així que els 30 jueus van se  tirats tots a l'aigua i només els dos cristians van quedar a la nau. On van començar a comptar i com van procedir perquè el 9 no fos mai el seu torn?"

Si ho proveu veureu que els cristians s'han de col·locar en el 6è i 7è lloc. Ho podem veure en aquesta animació feta amb GeoGebra.

GeoGebra de Carlos Fleitas: https://www.geogebra.org/m/A5MvDFuC

 Mirem les característiques generals del problema en els seus diferents plantejaments:

• Hi ha un grup de n elements (persones, animals, objectes...) dividits en dos subgrups dels quals s'ha d'eliminar un d'aquests subgrups. El subgrup supervivent acostuma a ser d'un element, dos o de la meitat del total.
• Es fa una rotllana i es van eliminant els elements comptant de k en k sempre en un mateix sentit.
• Es demana on s'han de col·locar prèviament els elements que vulguem que sobrevisquin al recompte.

A l'aplicació en GeoGebra que us hem enllaçat. Podeu experimentar amb diferents valors d'n i k.

Com ja hem comentat, en general saber amb antelació on s'han de posar els supervivents és molt i molt complicat. Cap al final de l'article us enllaçarem un estudi general del problema. Però el cas en què n és igual a dos, sí que és  investigable a l'ESO.

A l'article analitzarem aquest cas, comentarem breument el cas general, farem una passejada històrica, tot descobrint l'origen del problema i del seu nom, i us proposarem una mica de màgia basada en el problema.

Continuem?

Passejant amb la barca... i en el temps

Hi ha problemes de recreació matemàtica que són molt més antics del que ens pensem. Un és el clàssic problema del pastor, la col, la cabra i el llop. Aquest problema apareix escrit, per primera vegada, al llibre del segle IX d'Alcuí de York Propositiones ad acuendos iuvenes (Problemes per afinar l’enginy dels joves). És el 18è problema del text i el seu enunciat original era aquest:

“Un home havia de portar a l'altra banda del riu un llop, una cabra i una col, però no va trobar cap altre vaixell que un que només podia portar-ne dos d'ells. I va ser dit, que totes aquestes coses arribaren a l'altra banda il·leses. Digui, qui pugui, com els van poder traslladar il·lesos a l'altre costat”

Es coneixen versions d'aquest problema a Europa, Àsia i Àfrica. Molt probablement, Alcuí el va recollir de la tradició oral. Si no l'heu resolt mai ho podeu fer interactivament en aquest enllaç.

Avui parlarem del problema anterior, el 17, i que té també un desenvolupament històric interessant. Diu així:

“Hi havia tres homes, cadascun amb una germana soltera, que havien de creuar un riu. Cada home desitjava la germana del seu amic. Arribant al riu, només van trobar una petita barca en què podien creuar dues persones cada vegada. Digui, qui pugui: Com van creuar el riu, de manera que cap de les germanes fos maculada pels homes?”

Dit més planer: les germanes podien estar soles amb les altres germanes, però si hi havia homes presents, un d'ells havia de ser el seu germà. En general, pel context narratiu de versions posteriors, se'l coneix com el problema dels "marits gelosos". El problema apareix a llibres ben clàssics: als Annales Stadenses d'Alberto di Stade (sobre el 1250), al De viribus quantitatis (Del poder dels nombres) de Luca Pacioli i al Libro dicto giuochi matematici de Pietro di Nicolao da Filicaia (tots dos manuscrits fets sobre el 1500),  i que ja comencen a parlar de la generalització del problema. També el trobem al General tratatto (1556) de Niccoló Tartaglia, que dona una solució errònia pel cas de quatre parelles, o als Problèmes plaisants et délectables qui se font par des nombres (1612) de Claude-Gaspar Bachet, que també aborda el cas general. La solució general completa la trobem al primer volum de les Récréations mathématiques (1891) d'Édouard Lucas.

En primer lloc, us animem a agafar unes cartes de la baralla i solucionar el problema.

Voleu saber més sobre la història, la generalització i altres variants d'aquest problema?

Ampolles, soldats, monges... Un mateix problema. Diferents versions

Al llibre "Problemas y Experimentos Recreativos" Iàkov Perelman (1882-1942) plantejava un problema sota el títol Els ardits de la guàrdia. A la presentació ja anunciava: "Aquest problema té moltes variants. En donem una". I, a continuació, explicava la següent història:

"La tenda de campanya del cap la custodiava una guàrdia allotjada a vuit tendes. Al principi a cadascuna d'aquestes tendes hi havia tres soldats. Després es va permetre que els soldats d'unes tendes poguessin anar a visitar als altres. I el cap de la guàrdia no imposava sancions quan en entrar a les tendes trobava en unes, més de tres soldats i en altres, menys. Es limitava a comprovar el nombre de soldats que hi havia a cada fila de tendes: si a les tres tendes de cada fila hi havia en total nou soldats, el cap de la guàrdia considerava que tots els soldats eren presents.

Els soldats se'n van adonar i van trobar la manera de burlar-se del cap. Una nit van marxar quatre soldats de la guàrdia i la seva absència no va ser notada. La nit següent se'n van anar sis, que tampoc van patir càstig. Més tard els soldats de la guàrdia fins i tot van començar a convidar els altres a visitar-los: en una ocasió en van convidar quatre, en una altra, vuit, i una tercera vegada, tota una dotzena. I totes aquestes astúcies van passar desapercebudes, ja que a les tres tendes de cada fila el cap de la guàrdia comptava en total nou soldats. Com se les componien els soldats per fer això?"

Resumint el problema: tenim un quadrat de 3x3 en què la casella central interior no compta.  Podem posar a cada casella tants soldats com vulguem mentre es puguin comptabilitzar nous soldats per banda. Inicialment hi ha 24 soldats: Com hem de distribuir els soldats perquè el cap de la guàrdia no s'adoni de res en dies què n'hi ha 20, 18, 28, 32 i 36 soldats?

La proposta per a investigar va una mica més enllà: quines són les quantitats mínima i màxima de soldats que podem tenir? Entre aquestes quantitats, es poden obtenir totes les altres? I si en comptes de 9 soldats per banda, són n? Quines seran les quantitats límit? Podem descriure algun patró o mètode per obtenir totes les solucions possibles?

A banda de la investigació us presentarem, a continuació, algunes variacions del problema: versions més antigues històricament o plantejades amb dos pisos.

Continuem?

Això és un joc? O només ho sembla?

Començarem aquest article amb un joc geomètric: "Punts a la circumferència". Les regles són les següents:

• Es comença dibuixant una circumferència i una quantitat n de punts sobre ella.
• Cada jugador, alternativament, dibuixa un segment que uneixi dos d'aquests punts que no siguin contigus. Per fer-ho més clar és millor que utilitzin dos colors diferents.
• Perd el jugador que dibuixa un segment que talli uns dels que ja estan fets, o que es veu obligat a fer-ho.

Comencem, per exemple, amb onze punts sobre la circumferència. Podem veure que, en aquesta partida, ha guanyat el segon jugador.

Aquí tenim un altre exemple de partida, amb 12 punts, en la que guanya el primer perquè el segon no pot dibuixar cap segment sense tallar-ne un altre.

Quan la quantitat de punts és parell, sovint es presenta una estratègia guanyadora per al primer jugador que funciona per simetria. Jo mateix ho he fet més d'una vegada. L'estratègia és la següent:

• qui comença fa un segment unint dos punts oposats i dividint el cercle en dues parts iguals.
• cada vega que li toqui jugar farà un segment simètric, respecte a aquest primer segment, al que ha dibuixat l'altre jugador.

Però és necessària aquesta estratègia? I si ens ho mirem d'una altra manera? Per exemple, ens podem preguntar quina és la quantitat màxima de segments que podem dibuixar en aquestes condicions i sense que es tallin. Mirem el cas d'un pentàgon: només podem dibuixar dos segments.

I a un hexàgon? El màxim és tres.

Amb 11 punts hem vist que es podien fer 8 i amb 12, nou. Una taula serà més clara.

Punts	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	...
Segments	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	...

Hi ha un patró ben clar: el màxim de segments és tres unitats inferior a la quantitat de punts inicials:

segments = punts - 3

No és difícil de justificar: la quantitat de punts a què puc unir un altre, sense comptar-se ell mateix i els dos contigus, és n-3.

14 punts - 3 = 9 segments

Si ens hi fixem la quantitat de punts i la de segments tenen paritats diferents. Si la quantitat de punts inicials és senar, la de segments serà parell. En conseqüència, el segon jugador, només mirant de no tallar cap segment, guanyarà segur perquè dibuixarà l'últim possible. Recíprocament, si la quantitat de punts és parell, la de segments serà senar i guanyarà el primer. No cal aplicar estratègies de simetria en cap cas: només mirar de poder dibuixar un segment sense tallar-ne un altre.

És això un joc, doncs? La resposta és que no, perquè el resultat de la partida és determinat per la quantitat inicial de punts. És el que anomenem un pseudojoc. En aquest cas el podríem descriure com un pseudojoc parcial. Per què parcial? Perquè hem de vigilar de no equivocar-nos i fer sempre una jugada que no ens faci perdre; que no tallem un segment perquè ens despistem o perquè no hem sabut veure una possibilitat de dibuix de segment. Si actuem correctament, guanyarem o perdrem indefectiblement depenent de la quantitat de punts. Però si ens despistem, podem perdre.

Modifiquem una regla

I si ara permetem que es puguin unir dos punts contigus? Deixarà de ser un pseudojoc? La resposta és que no. Però sí que afecta en una cosa: ara, si no s'equivoca, guanyarà sempre qui comença. Per què? L'única que cosa que fem és augmentar la quantitat màxima de segments en n: els costats del polígon que formarien totes els punts unint un d'ells amb els seus veïns. El total de segments ara serà 2n-3. Sigui quina sigui la paritat de la quantitat de punts, la de segments serà senar, ja que sempre en restarem 3 a una quantitat parell (2n).

17 costats, 31 segments (2·17-3)

Vols conèixer altres pseudojocs?

Puc contestar aquestes preguntes?

Haig de confessar que m'agraden els llibres d'Adrián Paenza. Sempre, a més d'incloure alguns aspectes divulgatius atípics, hi trobem problemes sorprenents. També m'agrada la seva política de deixar que les versions electròniques de les seves obres siguin gratuïtes per a ús personal. Les podeu trobar totes en aquest enllaç. A més, hi ha infinitat de vídeos seus a la xarxa. Per exemple la sèrie de 13 capítols Grandes temas de la matemática (2015)

Adriàn Paenza (Buenos Aires, 1949)

En aquest article compartirem tres problemes del seu llibre del 2018 ¡Un matemático ahí, por favor!. Tots tres tenen en comú que semblen impossibles de resoldre per manca d'informació, per tenir una aparent insuficiència de dades. Al llarg de la seva obra en trobem uns quants d'aquest estil. Li deuen agradar tant com a mi. Però sempre es poden resoldre. Tenim tota la informació necessària, encara que no ho sembli. En alguns d'ells, el que els seus protagonistes desconeixen, també és una dada.

Mirem els tres enunciats (traduïts directament i una mica retallats, ja que Paenza sovint és un pèl retòric, sense que afectin la informació bàsica necessària):

• Problema 1: Tenim a Messi i a Ronaldo [així està al llibre original] al voltant d'una taula. A cadascú li van donar un joc de cinc cartes numerades de l'1 al 5. Els van embenar els ulls i els van demanar que seleccionessin una qualsevol de les cinc que tenien a la mà i les posessin a dalt d'una taula. La persona que estava amb ells va fer la suma dels dos números i se la va comunicar únicament a Messi. Després, va multiplicar els números i li va dir el resultat només a Ronaldo. Després va guardar les dues cartes evitant que els jugadors poguessin veure-les i els va demanar també que li lliuressin les quatre que li quedaven a cadascun per amagar-les en un calaix. A continuació es va produir el següent diàleg:
• Ronaldo: Amb el número que vaig sentir jo, no puc saber quines són les dues cartes.
• Messi: Ah, que curiós! Si vós no podeu deduir-los, llavors jo sí que sé quins van ser els dos números de les cartes que vam triar.
• Ronaldo: Tu ho sabràs, però jo segueixo sense saber quins són.
• Messi: Deixa'm que t'ajudi: el número que em van dir a mi és més gran que el que et van dir a vós.
• Ronaldo: Gràcies. Ara jo també sé quins van ser els números.
Pregunta: quins números van triar? Fixeu-vos-hi que no es demana quina carta va triar cadascú, sinó que només importa saber quins números van aparèixer a dalt de la taula.

• Problema 2: Tres amics —A, B i C— decideixen jugar a ping-pong. Donat que al ping-pong es juga de dos, hi ha un dels tres que sempre es queda fora i mira la partida dels seus amics. El perdedor surt, el guanyador es queda, i qui estava mirant juga la partida següent. En acabar la tarda, decideixen comptar quantes partides va jugar cadascun i obtenen aquest resultat: A va jugar 10 partides; B va jugar 15 i C en va jugar 17. Pregunta (que sembla boja): Qui va perdre la segona partida?

• Problema 3:  A una competència d'atletisme només hi van participar tres dones: l'Alícia (a la qual anomenaré A), la Beatriu (B) i la Carme (C). Elles (i només elles) van intervenir en totes les disciplines, no va participar cap altre atleta. Els punts que s'obtenien a cadascun dels tres llocs era la mateixa quantitat: x per quedar primera, y per quedar segona i z per quedar tercera. Els tres números (x, y, z) són naturals (més grans o iguals que 1), i òbviament, s'acompleix també: x > y > z. Un cop finalitzades totes les competències, aquests són els resultats que es van obtenir: A va obtenir 22 punts en total. B va guanyar els 100 metres llisos i en total va obtenir 9 punts. C també va acabar amb 9 punts. Ara sí, la pregunta: Qui va quedar segona en salt d'alçada?

La invitació és que els intenteu resoldre. El problema 1 és més accessible que el 2 i el 3. Però tots es poden fer encara que no ho sembli. Aquí teniu alguna pista per començar cadascun.

• Pista pel problema 1: I si feu una llista dels resultats que li podien haver dit a cadascun i de quins nombres vindrien?
• Pistes pel problema 2: Dues claus que ens poden ajudar: esbrinar la quantitat de partides jugades i quin és el mínim que pot haver jugat un d'ells.
• Pistes pel problema 3. En total s'han repartit 40 punts (22+9+9). Podrien haver fet 2 esports i que a cadascun es repartissin 20 punts? Podrien haver fet 4 esports i que es repartissin 10 punts a cadascun? Podrien...?

I si no us en sortiu, podeu mirar les solucions si continueu llegint l'article.

Solucions

Tibant la corda

El problema inicial que comentarem no el coneixia i, casualment, l'he trobat, amb plantejaments una mica diferents, en dos llibres llegits fa poc: Very Math Trip, de Manu Houdart i Le cercle des problemes incongrus d'Alex Bellos (Can you solve my problems?, en la seva versió anglesa). És un típic problema amb poc interès aparent, però que amaga les seves sorpreses. Comencem amb el plantejament de Houdart:

Imaginem que lliguem una corda a dos dels banderins de córner d'un camp de futbol. Els que estan oposats, a camps diferents, dins d'una mateixa banda. És a dir, al costat llarg del camp. El camp té 100 m de llarg i la corda (sense tenir en compte la que cal per a fer els nusos) és un metre més llarga: 101 m.

Volem estirar la corda, verticalment cap a dalt, per obtenir l'altura màxima possible. I, abans de fer-ho, ens demanem quin animal podrà passar per sota sense tocar la corda: un ratolí, un gat, un gos, un humà, un cavall, un elefant, una girafa...?

Enllaç a la construcció

Després d'estudiar el problema el relacionarem amb la variació d'un altre de molt conegut sobre d'una corda un metre més llarga que l'Equador de la Terra.

Seguim?

Estirem el "problema dels pastors i els pans"

 Si se'm demanés fer una antologia dels deu millors problemes de recreació matemàtica el problema "dels pastors i els pans" ocuparia un lloc d'honor. Crec que el vaig conèixer al llibre de l'Home que calculava de Malba Tahan (pseudònim del professor brasiler Julio César de Mello i Souza) amb el calculista Beremiz com a protagonista. És el nus del quart capítol on ens parla de "les tres divisions de Beremiz: la divisió senzilla, la divisió correcta i la divisió perfecta". Però apareix a moltíssims altres llibres, normalment en la seva versió amb dos pastors i un caçador com a protagonistes. No he pogut trobar la història d'aquest problema. Però també es diu que aquest ja se li va plantejar al califa Ali-Ibn-Abi Talib (segle VII). També trobem una variant al Liber abaci de Fibonacci (i de la que parlarem més tard).

L'enunciat és el següent:

Un pastor té 5 pans i un altre en té 3. Al migdia es troben amb un caçador que no porta menjar i, entre els tres, es reparteixen els pans a parts iguals. Al moment d'acomiadar-se el caçador els hi dóna 8 monedes. Com se les han de repartir?

A l'aula recomanaria, abans de posar-se a resoldre el problema, iniciar una discussió. Fins i tot fer alguna votació sobre els possibles repartiments. Hi haurà alumnat que defensarà que se les reparteixin a parts iguals (que seria la "divisió perfecta" de Beremiz), altres diran que 5 i 3 amb correspondència als pans que es tenien (la "divisió senzilla" de Beremiz). Però solen sortir altres alternatives. Al cap i a la fi, si tots dos pastors es posen d'acord qualsevol repartiment pot considerar-se correcte. És un bon moment per discutir sobre si el que és correcte és sempre del tot just. I sobre què vol dir "just". Podem conduir el debat a investigar, si més no, que vol dir "matemàticament just" o "proporcionalment just". I a parlar de "repartiment proporcional" que, com veurem i d'aquí la gràcia del problema, no és cap dels proposats fins ara. Ens falta la "divisió correcta" de Beremiz.

Una segona recomanació és fer investigar el problema amb material. Unes tires de paper de dos colors diferents (per separar visualment els pans de cada pastor), que es puguin tallar com els pans, i unes fitxes per a representar les monedes poden ser suficients.

El problema representat amb polígons encaixables

En aquest article abordarem, en primer lloc, la resolució del problema. Però després intentarem analitzar-lo amb diferents distribucions inicials de pans entre els pastors (1 i 7, 2 i 6...), diferents quantitats totals de pans o de monedes. I intentarem veure quines característiques comunes tenen les solucions trobades. També farem alguna petita incursió històrica en aquesta mena de problemes.

Continuem?

Un joc de cares i creus amb sorpreses (El joc de Penney)

Hi ha problemes que, de vegades, te'ls trobes, no et criden l'atenció i els oblides. I passat un temps, que poden ser anys, te'l tornes a trobar i els trobes superinteressants. I quan comences a investigar... descobreixes que t'havien passat per alt en un altre moment. Això és que m'ha passat llegint el llibre de Matt Parker "Pifias matemáticas". He trobat un problema que no recordava, però que després he descobert que ja havia vist, com a mínim, tres vegades: per descomptat, a un títol de Martin Gardner, Viajes por el tiempo y otras perplejidades, al Cuaderno de Cultura Científica en un article de Miguel Ángel Morales (@Gaussianos) o, fins i tot, a una Matiaventura de Clara Grima. Deixem les lamentacions i passem a mirar el joc que genera el problema. Es coneix com el Joc de Penney en honor a l'autor Walter Penney que el va publicar l'any 1969.

Volem jugar a cara i creu contra una altra persona. Jugar a una sola tirada pot ser molt avorrit. Per tant, jugarem apostant (punts, no cal que siguin diners) a una seqüència de tres tirades.  Tenim vuit ternes per triar que són igual de probables, cosa fa pensar que el joc és també equiprobable.

Un cop cada jugador ha triat la seva terna, que han de ser diferents, es comença a tirar la moneda fins que apareix la seqüència triada per un dels dos jugadors, que guanya el punt. A l'animació teniu un exemple de partida.

Potser hauràs observat a la partida d'exemple que, després de sortir dues creus seguides, l'opció CXC ja no podia guanyar. Si teníem dues creus i continuen sortint creus successivament (per exemple CCXXXXXX) guanyarà XXC en el moment que surti una cara, mentre que CXC ja no podrà sortir mai abans que XXC.

Si has entès el joc et recomanem que ara juguis contra l'ordinador. Per començar cada partida nova has de prémer la tecla espaiadora del teu teclat. A continuació tria la teva opció. Recomanem fer un mínim de deu partides.

Enllaç al programa

T'ha anat bé el joc? O sembla que l'ordinador té alguna mena d'avantatge?

El Tangram mínim de Brügner (2)

A l'article anterior vam parlar del cas general del Tangram mínim de Brügner o tri-triangular amb el que es podien fer onze polígons convexos. També vam comentar que si partim d'un quadrat per a la seva construcció la quantitat de polígons convexos es reduïa a cinc.

Cas general del Tangram de Brügner

 Ja vam apuntar que hi havia un altre cas especial i, ho és tant, que ens hem estimat més dedicar-li tota una entrada. En aquest cas especial fem que un dels dos segments en el que queda dividida la diagonal sigui igual a un dels costats.

Tangram mínim especial

De fet, els rectangles amb aquestes proporcions es coneixen com a rectangles de Brügner. El cas és que, amb el tangram construït amb aquestes condicions augmentem la quantitat de polígons convexos que es poden fer. I no només això: hi trobarem interessants relacions de mesura entre els costats dels triangles i entre les seves àrees. El nombre d'or apareixerà de diferents formes. Et proposem diferents problemes:

• Quants polígons convexos es poden fer?
• Quina és la relació entre les mesures dels dos segments en què queda dividida la diagonal del rectangle?
• I entre els costats del rectangle? I la del costat gran amb els altres tres segments que apareixen?
• En quina proporció creixen les àrees dels tres triangles?

Ho mirem?

D'un sol tall (2)

Continuem l'article anterior amb problemes "d'un sol tall". En aquest parlarem de talls de triangles i quadrilàters.

• Un quadrat d'un sol tall

Tenim un quadrat dibuixat al mig d'un full. Aquí dibuixarem totes les figures "ben orientades" en el paper, però, en el problema general, no és estrictament necessari. Tornem al quadrat. Tal com està, per retallar-lo ens calen quatre talls de tisora.

Si el pleguem per la meitat ens podrem estalviar un tall i fer-ho només amb tres.

Per altra banda, tenim dues formes de plegar el quadrat que ens deixa tallar-lo amb tan sols dos talls. El primer demana dos plecs, el segon només un.

Si a partir del plec en diagonal anterior en fem un altre, també "en diagonal" observarem que amb un sol tall podem tallar el quadrat.

Ho podem veure en aquest vídeo:

El repte: més figures d'un sol tall

Us proposem que agafeu paper i tisores i us enfronteu a aquests problemes: com plegar cada figura per poder-la tallar d'un sol cop de tisores:

• Triangles: un d'equilàter, un isòsceles i un escalè.

• Quadrilàters: un rectangle, un romboide, un trapezi i un trapezoide.

Per a superposar costats quan dobleguem és recomanable treballar amb paper vegetal. Si no, encara que és més incòmode, haureu de treballar a contrallum; en aquest cas convé dibuixar els costats dels polígons ben gruixuts. 

Vols mirar les solucions?

D'un sol tall (1)

Al llibre "El país de las maravillas matemáticas", escrit per Jin Akiyama i Mari-Jo Ruiz, es plantegen tot un seguit d'interessants problemes "d'un sol tall" i que tractarem al llarg de dos articles. En aquest primer presentarem dos jocs sorprenents, i en el pròxim, problemes per portar a l'aula.

Els problemes "d'un sol tall" plantegen el següent repte: com plegar un full de paper per obtenir amb un únic tall una figura concreta. Podríem dir que és un problema d'optimització en el que simetries, bisectrius, mediatrius... juguen un paper important. Comencem per un problema real ben simple i que ens vam trobar a la feina fa ben poc.

Havíem de tallar cinc teles en terços. En principi això implica dos talls per tela. Consell de la costurera i que vam aplicar: "plegueu la tela per la meitat, mesureu 1/3 del total de l'amplada, marqueu i talleu". Amb un sol tall per tela aconseguíem tres trossos iguals.

En repte plantejat al llibre consisteix a plegar una quadrícula de 4x4 pintada com un tauler d'escacs de forma que, aplicant un únic tall amb les tisores puguem separar els quadrats negres dels blancs. Sembla impossible, no? Doncs ara us explicarem com fer-ho. I també com fer una estrella de cinc puntes d'un sol tall.

Resultat del tall. Els que em coneixen saben que les manualitats no són el meu fort