8 de novembre de 2015

D'un sol tall (2)

Continuem l'article anterior amb problemes "d'un sol tall". En aquest parlarem de talls de triangles i quadrilàters.
  • Un quadrat d'un sol tall
Tenim un quadrat dibuixat al mig d'un full. Aquí dibuixarem totes les figures "ben orientades" en el paper però, en el problema general, no és estrictament necessari. Tornem al quadrat. Tal com està, per retallar-lo ens calent quatre talls de tisora.
Si el pleguem per la meitat ens podrem estalviar un tall i fer-ho només amb tres.
Per altre banda tenim dues formes de plegar el quadrat que ens deixa tallar-lo amb tan sols dos talls. El primer demana dos plecs, el segon només un.
Si a partir del plec en diagonal anterior en fem un altre, també "en diagonal" observarem que amb un sol tall podem tallar el quadrat.
Ho podem veure en aquest vídeo:


El repte: més figures d'un sol tall

Us proposem que agafeu paper i tisores i us enfronteu a aquests problemes: com plegar cada figura per poder-la tallar d'un sol cop de tisores:
  • Triangles: un d'equilàter, un isòsceles i un escalè.
  • Quadrilàters: un rectangle, un romboide, un trapezi i un trapezoide.

Per tal de poder superposar costats quan dobleguem és recomanable treballar amb paper vegetal. Si no, encara que és més incòmode, haureu de treballar a contrallum; en aquest cas convé dibuixar els costats dels polígons ben gruixuts. 

Vols mirar les solucions?
  • Triangle equilàter
La primera clau ens les donen les bisectrius. Quan pleguem per una bisectriu els dos costats de l'angle es superposen. La segona clau és que en una d'elles un tros de la bisectriu l'hem de plegar en "muntanya" i l'altre en "vall". El procediment, per tant, és:
  1. Marcar les tres bisectrius
  2. Plegar "en muntanya" els trossos que van del vèrtex a l'incentre.
  3. A un d'elles plegar "en vall" el tros que va de l'incentre al costat.
  4. "Recollir" el plec i tallar.
Podem veure els plecs marcats en aquest esquema i, a continuació, un vídeo on es veu la forma de plegar-lo i el tall.

El triangle isòsceles es pot resoldre d'una manera similar, només que convé triar com a bisectriu per doblegar completa la de l'angle desigual.
  • Triangle escalè
Si fem exactament el mateix que abans observarem que el triangle no es plega en les condicions que necessitem. Hem d'introduir una idea que pot sembla nova, però que, de fet, quedava dissimulada abans. Un cop hem trobat l'incentre el plec "en vall" és el de l'altura del triangle que forma l'incentre amb un dels costats. En el triangle equilàter aquesta altura coincidia amb la bisectriu.



  • Rectangle
Un plec que se'ns pot venir al cap per començar és el que far superposar dos costats oposats. Però quins farem després? Un altre cop les bisectrius ens donaran la clau. Del primer plec haurem de fer trossos "en vall" i "en muntanya".



El romboide i el trapezi us el deixem per a vosaltres. De fet la idea general quedarà ben clara amb el trapezoide.
  • Trapezoide
El plegat clau és emblant al del rectangle. El que passa és que "les regularitats" del rectangle amaguen les línies que són generals. Per plegar el trapezoide de forma que tots els costats coincideixen sobre una mateixa recta podem de començar superposant dos costats oposats i marcant les bisectrius dels quatre angles. Se'ns hauran format dos quadrilàters i dos triangles. Hem de plegar "en vall" les altures d'aquests triangles i "recollir" el quadrilàter.



Altres problemes i preguntes

Podem buscar moltes formes que podem plegar de forma que es talli amb un sol cop de tisores. Per exemple aquesta.

Però també podem fer-nos altres tipus de preguntes. Per exemple, al trapezoide podem observar que ens cal un plec "central" ( la línia r) i les quatre bisectrius. Cada parella de bisectrius coicideixen a un punt que està situat sobre la recta d'aquest plec inicial (els punts A i B). Per què hi ha aquesta concurrència?



1 comentari:

  1. Un complement per a aquest post: http://www.etudes.ru/en/etudes/origami/

    ResponElimina