Llumins topològics

Sovint a classe proposem exploracions que es basen en cerques exhaustives: buscar tots els quadrilàters que es poden fer en un geoplà de 4x4, totes les formes de connectar 5 quadrats que es toquin com a mínim per un costat (pentòminos), tots els tretracubs possibles, etc. En aquestes cerques és normal discutir si figures o formes girades o simètriques són iguals o diferents. En tot cas, aquestes comparacions de "formes" es fan sense "deformar". L'exploració a què us convidem demana aquest petit esforç suplementari: abstreure els trets fonamentals de la forma, imaginar-se-la amb possibles deformacions. És una exploració "topològica".

Quan s'intenta explicar què és la topologia són dues les "definicions" que més proliferen. Una d'elles diu que és una geometria en la qual la mesura no importa. Una altra és que es tracta de la geometria de "la goma elàstica" en la que observem les invariàncies amb un determinat tipus de deformacions: les que estires, comprimeixes, abonyegues, aplanes... però no trenques, no forades, no fas ruptures. Si a qualsevol persona li mostres un dònut, un croissant, un plat i una tassa i li demanes que emparelli farà el que veiem a l'esquema.

En canvi un matemàtic farà aquest altre emparellament:

L'argument serà que cada parella és topològicament equivalent. Dònut i tassa tenen un forat, i plat i croissant cap. Podem convertir sense trencaments un croissant d'argila o plastilina en un plat. I podrem convertir també sense ruptures un dònut (un tor) en una tassa.

Imatge de Lucas Vieira (Viquimèdia)

Quina és l'exploració que proposem? Començarem amb un exemple.

Si tenim un sol llumí no podem cercar gaires formes diferents: una línia (el llumí és el segment vermell i la línia topològicament equivalent la blava).

Amb dos llumins no anem molt més lluny. De fet, no "ens movem". Només podem obtenir una línia (recordem que la mida no importa, el que importa és la forma obtinguda).

Amb tres llumins ja tenim més possibilitats. Obtenim tres formes diferents: una línia, una "estrella" de tres braços i un triangle (una línia tancada sense "apèndixs").

L'exploració tracta de buscar totes les formes topològicament diferents amb 4, 5 i 6 llumins.

Però abans d'abordar el problema et convidem a continuar llegint per fer algunes precisions.

Continuem?

Ta-Te-Ti boig i Tripos: dues variants del tres en ratlla

El tres en ratlla és, probablement, el joc d'alineació més antic que es coneix. En la versió clàssica "a llapis i paper" sabem que el segon jugador (el que no comença) té sempre la possibilitat de fer taules. En la versió amb fitxes, si no es permet saltar, jugant perfectament guanya el primer i, si es permet el salt, també el segon pot provocar taules. Ara us proposem estudiar dues variants del joc que tenen en comú dues característiques: són sorprenents i relativament fàcils d'analitzar, sobretot la primera. Això les fa molt aptes per treballar-se a classe.

• El Ta-Te-Ti boig

Aquest joc es pot jugar amb paper i llapis o amb fitxes sobre un tauler de 3x3. L'objectiu, com sempre, és fer "tres en ratlla", alinear tres fitxes d'un mateix color en horitzontal, vertical o diagonal. No hi ha moviment de les fitxes: només té la fase de col·locació. Quan s'han posat les nou fitxes, si ningú n'ha fet tres en ratlla, la partida està acabada. La variant és que cap dels dos jugadors té un color propi, quan li toca pot posar la fitxa del color que vulgui.

---

Pots practicar amb aquest applet fet amb flash. Clicant sobre la casella successives vegades mostrarà

rodona, creu o torna a quedar en blanc.

Enllaç a l'applet (flash)

---

• El tripos

El tauler del joc del Tripos és lleugerament diferent. Les caselles són de tres colors distribuïdes com a un quadrat llatí. L'objectiu torna a ser connectar tres fitxes, però aquesta vegada ha de ser en fila, columna o color; no val el tres en ratlla en diagonal. Un altre canvi important respecte al tres en ratlla normal és que cada jugador disposa de quatre fitxes (al "normal" el primer en té 5) i si, posades les fitxes, no hi ha tres connectades guanya el segon jugador: no hi ha empat.

---

Pots practicar amb aquest applet (flash)  arrossegant les fitxes.

Enllaç a l'applet (flash)

---

Vols que analitzem els dos jocs?

Tot sumant

En aquesta entrada us proposarem un parell d'exploracions basades en la suma i que són força interessants i entretingudes. La primera, "itineraris en la quadrícula" la recordo d'algun escrit de Fernando Corbalán i la segona, "segells", és de Brian Bolt.

1r problema: itineraris en quadrícula

Comencem pels itineraris. Es tracta de fer un recorregut per una quadrícula de la següent manera:

• comencem a qualsevol casella posant un 1
• passem a una casella contigua, en vertical, horitzontal o diagonal, i escrivim el nombre que correspongui a la suma de totes les caselles del voltant, ja toquin per un costat o per un vèrtex.
• continuem fent un recorregut continu que, sense salts, completi tot el caseller.

L'objectiu és aconseguir el nombre més alt un cop completat el recorregut. Aquí teniu un exemple animat amb un possible itinerari.

2n problema: segells

Imaginem que tenim quatre segells enganxats fent un quadrat de 2x2 amb els següents valors: 1, 1, 2, 5. Agafant els segells d'un en un, de dos en dos (mentre es toquin per un costat), de tres en tres o tots quatre poden fer franquejos des d'1 fins a 9. Ho podem veure a la següent animació.

Amb els valors 1, 2, 4 i 7 potser arribaríem a un nombre més gran, però com es pot veure a l'animació, el valor 5 no el podem obtenir.

El problema consisteix a trobar una distribució numèrica que permeti obtenir els totals successius 1, 2, 3... sense saltar-se'n cap tot arribant al nombre més gran possible.

Explorem els dos problemes? 

Els itineraris Dufour

A la seva novel·la “El segle de la llum”, Pep Coll ens descriu l’època en què es van construir les primeres preses al Pallars amb l'objectiu de produir electricitat.  El jove protagonista, en  Manel, un noi que fa de cambrer pels enginyers anglesos encarregats de l'obra, ha de buscar el Cau de gel perquè aquests puguin afrontar les calors estiuenques amb un bon  "whisky on the rocks". L’únic que sap arribar-hi és el pastor Duardo i a ell s’adreça en Manel. La sorpresa és que en Duardo guarda tots els itineraris dibuixats en bastons d'avellaner.

"Aquí tens el meu escabot de guies! -va exclamar, mentre amb el llum d'oli il·luminava un feix de bastons d'avellaner, recolzats a la paret en un racó de la cambra-. Veiam si trobem el que tu necessites. Aguanta'm el llumener.
(../..)
Ja el tenim, veus? -va exclamar per fi, mostrant-me un altre bastó-. Aquí ho diu ben clar: Cau del Gel.
Era un gaiato d'uns deu pams de llargària, bigarrat de signes estranys..."

Una possibilitat per indicar el camí en un pal recte és dibuixar un camí Dufour, un tipus de plànol que serveis per indicar itineraris en forma de línia recta.

Vols conèixer com és un itinerari Dufour?

Trajectòries: Donant voltes (II)

Què passarà si fem “rodar” un triangle equilàter? És evident que els triangles no roden molt bé. Però ho poden fer fent recolzant-se en els seus vèrtexs. Al moviment que descriu un punt que es mou se l’anomena trajectòria.

Observa com roda aquest triangle rectangle i, quan avança l'animació, la trajectòria d’un dels seus vèrtexs.

La part de la part és menys part

No és el mateix que et mengis ¼ de pastís que la meitat de ¼ de pastís. Si et menges la meitat d’¼ t’estàs menjant 1/8 part del total. Quan parlem de fraccions és important saber quina és la unitat de referència, perquè, de la mateixa manera, no és el mateix menjar ½ pastís petitet que ¼ de pastís de noces. Això es complica amb els percentatges perquè no sempre se’ns diu quina és la quantitat que prenem com a referència del 100%.

Quan hi ha eleccions tenim una autèntica allau de percentatges. Per exemple sentim que el partit “tal” ha obtingut el 40% dels vots o que el partit “qual” només ha obtingut un 20%. Però això no vol dir que 4 persones de cada 10 hagin votat als primers i 2 de cada 10 als segons. De fet, els ha votat menys població. El tant per cent varia segons quina referència prenem. Vegem un exemple pràctic. En les eleccions de Vil·lapolígons tenen un cens de 10 habitants. Es presenten dos candidats: en Pep Quadrat i na Marta Pentagonal.

Vols veure com han anat les votacions?

Simetries

Tenim bon ull per la simetria? Potser per identificar-la sí, però... i per construir-la?
Et proposem un joc perquè provis el teu ull per la simetria. Has de col·locar les tres formigues o construir un triangle simètric a un eix donat a ull. Després podràs comprovar el teu grau d'encert.