22 de gener de 2015

Llumins topològics

Sovint a classe proposem exploracions que es basen en cerques exhaustives: buscar tots els quadrilàters que es poden fer en un geoplà de 4x4, totes les formes de connectar 5 quadrats que es toquin com a mínim per un costat (pentòminos), tots els tretracubs possibles, etc. En aquestes cerques és normal discutir si figures o formes girades o simètriques són iguals o diferents. En tot cas, aquestes comparacions de "formes" es fan sense "deformar". L'exploració a la que us convidem demana aquest petit esforç suplementari: abstreure els trets fonamentals de la forma, imaginar-se-la amb possibles deformacions. És una exploració "topològica".

Quan s'intenta explicar què és la topologia són dues les "definicions" que més proliferen. Una d'elles diu que és una geometria en la que la mesura no importa. Una altra és que es tracta de la geometria de "la goma elàstica" en la que observem les invariàncies amb un determinat tipus de deformacions: les que estires, comprimeixes, abonyegues, aplanes... però no trenques, no forades, no fas ruptures. Si a qualsevol persona li mostres un dònut, un croissant, un plat i una tassa i li demanes que emparelli farà el que veiem a l'esquema.

En canvi un matemàtic farà aquest altre emparellament:


L'argument serà que cada parella és topològicament equivalent. Dònut i tassa tenen un forat, i plat i croissant cap. Podem convertir sense trencaments un croissant d'argila o plastilina en un plat. I podrem convertir també sense ruptures un dònut (un tor) en una tassa.

Quina és l'exploració que proposem? Començarem amb un exemple.

Si tenim un sol llumí no podem cercar gaires formes diferents: una línia (el llumí és el segment vermell i la línia topològicament equivalent la blava)


Amb dos llumins no anem molt més lluny. De fet no "ens movem". Només podem obtenir una línia (recordem que la mida no importa, el que importa és la forma obtinguda).


Amb tres llumins ja tenim més possibilitats. Obtenim tres formes diferents: una línia, una "estrella" de tres braços i un triangle (una línia tancada sense "apèndixs").


L'exploració tracta de buscar totes les formes topològicament equivalents amb 4, 5 i 6 llumins.

Però abans d'abordar el problema et convidem a continuar llegint per fer algunes precisions.

Continuem?

  • Oblidar la mesura
En primer lloc cal insistir que la mesura no importa. Per tant les figures de la imatge són equivalents, perquè totes són "estrelles" de tres braços.


Es pot observar que la segona i la tercera estan fetes amb quatre llumins. Haurem de vigilar aquests casos que ens poden semblar diferents però no ho són.

  • Homeomorfisme
Fins ara hem utilitzat la paraula "equivalència" perquè és més entenedora, més comú. Matemàticament hauríem de parlar d'homeomorfisme. No entrarem en definicions puristes però intentarem donar una imatge.

Imaginem que  aquestes formes que obtenim són tubs i que caminem pel seu interior. Si el tub tanca un triangle, un quadrat o un cercle m'és indiferent: aniré caminant, no trobaré cap bifurcació i en algun moment tornaré a estar on havia començat. Per tant, triangle, quadrat i cercle són homeomorfs.


Si ens imaginem com tubs les formes en Y que hem vist abans (l'estrella de tres braços) podrem, en qualsevol d'elles, començar per una punta, arribar a una bifurcació, agafar el "camí" de l'esquerra fins al final, recular, en arribar de nou a la bifurcació agafar el de l'esquerra, en arribar al final recular i en tornar a la bifurcació tornar a triar la de l'esquerra i acabar a l'inici. El camí i el resultat és el mateix. Tornarem al principi. Són també figures homeomorfes.
Ara us decriurem un altre camí: iniciem un un punt, a la primera bifurcació agafem el camí nou fins al final, reculem, en arribar de nou a la bifurcació continuem pel camí que havíem deixat... i així tornem a estar al començament. Aquestes dues figures podrien acomplir perfectament la descripció:
Això implica, segons la regla de que es pot fer una camí idèntic, que també són homeomorfes, equivalents topològicament. Però, atenció!, no podem passar de l'una a l'altra per deformació plana sense trencar el cercle. Això significa que si podem deformar una figura o un cos i transformar-la en una altra sense produir ruptures serà sempre homeomorfa, però també tenim figures o cossos que no podem transformar en un altre i que ho són. Un exemple és el "nus de trèbol" que és homeomorf amb el tor. Si el féssim amb una corda seria "equivalent" a la circumferència (com el triangle, el quadrat...)


En el cas dels llumins ens afecta en casos com els del gràfic, que haurem de considerar equivalents (encara que si el treball el proposem a educació primària podem no tenir en compte aquest aspecte o discutir-ho i arribar a un acord)

  • A treballar!

Et recordem el problema: buscar totes les formes topològicament equivalents amb 4 llumins, amb 5 i amb 6. I si t'animes... no t'aturis: amb 7, amb 8, amb 9...

  • Solucionari

Cap comentari:

Publica un comentari a l'entrada