Un teorema ocellaire

Un dels protagonistes de la història del Màgic d'Oz (L. Frank Baum, 1900) és l'espantaocells. La seva aspiració és aconseguir un cervell, i per això s'uneix a la protagonista, Dorothy, que vol tornar "al seu món", a Kansas, i no sap com. Han d'anar a la ciutat Maragda on el gran màgic d'Oz els podrà concedir els seus desitjos. Més endavant el grup s'ampliarà amb l'home de llauna, que vol un cor, i el lleó covard, que vol coratge. Després d'unes quantes aventures el màgic, tot i ser un farsant, és capaç d'acontentar als tres acompanyants de la Dorothy.  Concretament a l'espantaocells li omple el cap amb segó i agulles (les agulles, segons el lleó proven que s'ha tornat "molt agut"). A la pel·lícula El màgic d'Oz (Víctor Fleming, 1939) resolen millor aquesta situació, ja que el pseudomag regala a l'espantaocells un diploma. I aquí entren les matemàtiques en aquesta història. Només rebre el diploma l'espantaocells declama, per provar la seva intel·ligència un enunciat que recorda al teorema de Pitàgores.

"La suma de les arrels quadrades de dos costats d'un triangle isòsceles és igual a l'arrel quadrada de l'altre costat."

És interessant llegir l'article de José M. Sorando a la revista Suma (n. 67.juny 2011) on explica com a la sèrie dels Simpson van recuperar aquesta frase de l'espantaocells i ens fa la comparació entre l'original anglès i els doblatges al castellà i al castellà-llatí. En tot cas aquí enllacem amb la continuació que explica Simon Singh al llibre Los Simpson y las matemáticas. Ens hi narra com tres matemàtics de la Universitat Estatal d'Augusta es van plantejar demostrar la proposició contrària a la de l'espantaocells, i que van anomenar la "conjectura de l'ocell".

"La suma de les arrels quadrades de dos costats d'un triangle isòsceles MAI és igual a l'arrel quadrada de l'altre costat."

La frase de l'espantaocells no fa referència a si la suma es refereix a la dels costats iguals o no. Per tant. si anomenem a a la mesura dels costats iguals del triangle isòsceles i b a la del costal desigual tenim dues desigualtats a demostrar.

És una conjectura que no és gens difícil de demostrar i us convidem a portar-la a l'aula (a partir de 3r d'ESO).  La demostració relaciona aspectes algebraics amb la seva interpretació geomètrica propiciant una bonica connexió. Així i tot, a continuació, afegim la demostració.

Arrel quadrada 4: resoldre arrels restant senars

Hi ha una curiosa i força coneguda propietat que relaciona la suma de senars consecutius amb els nombres quadrats:

Si sumem n senars consecutius (començant per u) el resultat és igual a n²

Podem visualitzar aquesta propietat amb aquesta animació.

Si ens interessa podem utilitzar aquesta propietat per a resoldre arrels quadrades manipulativament. En aquest vídeo podem veure com fer l'arrel de 18 sumant senars.

De fet, treballant amb nombres, acostuma a ser més pràctic anar restant que anar sumant, ja que sempre podem saber si encara podem treure més o no. Així, partint del que hem obsevat fins ara, podrem obtenir un sistema per resoldre arrels quadrades només aplicant restes successives. A continuació explicarem el mètode general i a la part final,  a més de les propostes per a l'aula, us presentarem un algoritme relacionat absolutament sorprenent.

Seguim?

Arrel quadrada 3: el tempteig i el bon ull

No aprendre l'algoritme tradicional de l'arrel quadrada no significa que ens limitem a fer-les amb la calculadora pitjant la tecla d'arrel. Precisament, quan s'introdueix aquesta operació s'hauria de prohibir tocar-la i mirar de fer-la per altres procediments.

A les dues entrades anteriors d'aquest blog sobre l'arrel quadrada hem insistit molt amb la seva traducció geomètrica, però també hauríem de considerar els seus aspectes purament numèrics, tant per fer bones aproximacions com per utilitzar-la amb sentit en contexts no geomètrics. Per exemple l'arrel quadrada ens va molt bé per assenyalar-nos un límit de proves en cercar tots els divisors d'un nombre o comprovar si és primer o compost.

En aquesta entrada parlarem del tempteig numèric i geomètric per trobar arrels.

Arrel quadrada 2: L'arrel dels algoritmes més tradicionals

La majoria d'algoritmes tradicionals de l'arrel quadrada, del que s'ensenya(va) a les escoles, del xinès antic, del grec, de l'Índia... es basen en una interpretació algèbrica del problema geomètric de trobar el costat d'un quadrat d'àrea coneguda. Disposant d'una eina com GeoGebra no és difícil trobar una solució aproximada de forma relativament fàcil.

https://www.geogebra.org/m/bv7KM8Tj

Si no disposem d'aquesta eina el que hem de fer és anar obtenint, de mica en mica, aproximacions successives a l'arrel del nombre. Els tres algoritmes que descriurem tenen trets comuns:

• Comencen fent una primera aproximació encaixant un quadrat de costat conegut i que sigui el més gran possible (encara que sovint respectant graus d'unitat: centenes, desenes...)
• Millorar l'aproximació a partir de càlculs amb l'àrea que no queda recoberta pel quadrat de la primera aproximació.
• Per trobar aquesta aproximació es compta amb un nombre especial: el doble del costat del primer quadrat trobat.

Per exemple, si volem calcular l'arrel quadrada de 142 trobarem una bona aproximació inicial amb el quadrat d'11, que és 121. Ens quedarà per esbrinar el valor de x perquè s'acompleixi que l'àrea de la zona que queda en forma de lletra L valgui el que falta de 121 a 142, és a dir, 21.

Continuem?

Arrel quadrada 1: el mètode d'Heró

El meu primer contacte personal amb l'arrel quadrada va ser aproximadament a deu anys. Se'm va ensenyar un exigent algoritme que recordava vagament al de la divisió, però amb estranyes alteracions (es baixaven les xifres de dos en dos, es feien dobles tot deixant un foradet al darrere que omplies després de complicats temptejos...). Un cop dominat l'algoritme es passava a una altra cosa. El segon contacte no es va produir fins dos o tres anys més tard que un company (no el mestre) em va proposar un problema de l'estil: "un pagès vol plantar 169 cols de forma que hi hagi tantes files com columnes; quantes cols hi haurà a cada fila?". Vaig resoldre el problema tot fent proves i quan li vaig ensenyar la solució em va dir: "Bé... però només calia fer l'arrel quadrada de 169". Recordaré aquell instant tota la vida. L'arrel quadrada "servia" per a alguna cosa a banda de per torturar les nostres tendres neurones "en formació", resolia alguns problemes. Les cometes del "servia" són degudes a la inexistència de pagesos amb aquestes dèries. Recordo que els meus oncles pagesos de La Mancha tenien altres preocupacions més relacionades amb el temps atmosfèric o els preus fixats pels intermediaris. Tornant al tema: van caldre molts anys perquè em reconciliés amb l'arrel quadrada i va ser gràcies a les seves utilitats numèrico-geomètriques.

Les "arrels quadrades" de l'Ànec Donald al País de les Matemàtiques

Estarem ràpidament d'acord, confio, que aprendre l'algoritme tradicional amb llapis i paper de l'arrel quadrada és absolutament innecessari. Però també estarem d'acord que treballar mètodes resoldre'n alguna, per algun altre mètode i sense utilitzar la tecla corresponent de la calculadora, ens ajudarà en la comprensió del(s) seu(s) significat(s). També, com no, analitzar algoritmes històrics és un treball matemàtic de primer ordre.

Per aquesta raó iniciem una petita sèrie sobre algoritmes de l'arrel quadrada semblant a la que vam fer sobre la divisió. I res millor que començar per un algoritme que dona sentit geomètric a aquesta operació: l'algoritme d'Heró d'Alexandria.

Les arrels de les arrels quadrades

Igual que la multiplicació o la resta de les operacions, l’algoritme per a calcular una arrel quadrada ha anat variant amb el temps. El més antic que es coneix té més de 5000 anys i s'utilitzava a l’antiga Mesopotàmia: feien servir unes taules en què trobaven els resultats d’una manera més o menys directa.

El resultat es podia ajustar més utilitzant taules amb quadrats de fraccions (1, 1 i ¼, 1 i 1/3,etc.). Actualment trobem molts decimals només polsant la tecla de la calculadora. Un dels mètodes més interessants per a calcular una arrel quadrada s’usava en l’antiga Grècia, farà uns 2000 anys.