25 de setembre de 2013

Arrel quadrada 2: L'arrel dels algoritmes més tradicionals

La majoria d'algoritmes tradicionals de l'arrel quadrada, del que s'ensenya(va) a les escoles, del del xinès antic, del grec, de la Índia... es basen en una interpretació algèbrica del problema geomètric de trobar el costat d'un quadrat d'àrea coneguda. Disposant d'una eina com GeoGebra no és difícil trobar una solució aproximada de forma relativament fàcil.


Si no disposem d'aquesta eina el que hem de fer és anar obtenint, de mica en mica, aproximacions successives a l'arrel del nombre. Els tres algoritmes que descriurem tenen trets comuns:
  • Comencen fent una primera aproximació encaixant un quadrat de costat conegut i que sigui el més gran possible (encara que sovint respectant graus d'unitat: centenes, desenes...)
  • Millorar l'aproximació a partir de càlculs amb l'àrea que no queda recoberta pel quadrat de la primera aproximació.
  • Per trobar aquesta aproximació es compta amb un nombre especial: el doble del costat del primer quadrat trobat.
Per exemple, si volem calcular l'arrel quadrada de 142 trobarem una bona aproximació inicial amb el quadrat de 11, que és 121. Ens quedarà per esbrinar el valor de x per que s'acompleixi que l'àrea de la zona que queda en forma de lletra L valgui el que falta de 121 a 142, és a dir, 21.

Continuem?
Amb aquesta animació podem veure com resoldre una arrel quadrada des del principi i observar com descompondre la zona en L en figures que ens ajudin a trobar el valor de x per anar millorant, pas a pas, l'aproximació. A l'exemple es resol l'arrel quadrada de 189.


Com es pot veure a l'animació anterior, la clau de cada nova aproximació està en trobar el valor de x de la regió sobrant en forma de L, i les petites variacions entre la majoria d'algoritmes tradicionals es basen en la forma de fer-ho. Més tard en veurem algun d'aquest algorismes.


Veure animació a finestra completa

"Arrelem" amb els blocs multibase

Fer "clic a un botó" actualment és una cosa, però fa anys hi havia "botons que feien clic". Aquest era el nom dels botons "automàtics" o "a pressió" que es venien a les merceries. Sovint es presentaven en cartrons de diferents mides.


Segons publicava Puig Adam a l'any 1956, els cartrons de mida industrial, amb molts botons a cada cartró, eren un material manipulable magnífic per ensenyar a resoldre arrels quadrades, ja que es podia retallar en quadrats, tires... Nosaltres proposarem imitar-ho amb els blocs multibase.

En aquest applet, que es pot utilitzar a l'aula, disposem de quadrats de 100 unitats (10x10), tires de 10 (1x10) i quadrats unitat. Per esbrinar l'arrel quadrada que se'ns demana el que cal és construir un quadrat amb les peces necessàries. La mesura del costat serà el resultat. No sempre les arrels podran ser exactes. En aquest cas ens quedarem amb l'aproximació entera per defecte. Tot fent la construcció del quadrat és possible que "visualitzem"la descomposició geomètrica vista a l'apartat anterior.


Mètode d'Ibn al Bannà

Ibn al Bannà va ser un matemàtic del segle XIII que va descriure el mètode a la seva obra a Rafʿal-Ḥijāb (Aixecar el vel). En general, podem dir que l'algoritme de l'arrel quadrada no s'explicava a la majoria de llibres aritmètics ja que aquests s'orientaven cap el comerç i no es considerava una operació massa "útil". La seva utilitat es reservava per tractats matemàtics més especialitzats on era necessària amb determinats problemes geomètrics i en la resolució d'equacions. Una de les primeres aritmètiques que va recollir l'algoritme d'Ibn al Bannà va ser l'Arithmétique de Barréme, apareguda a finals segle XVII. Aquesta aritmètica es va continuar publicant en castellà i català fins al segle XIX. Aquest mètode és el que encara s'ensenya(va) a les escoles per fer les arrels a "llapis i paper".

El que ens interessa de l'algoritme és observar com es calcula el valor de x, per ajustar-lo a l'àrea sobrant en forma en L després de fer la primera aproximació quadrada.

A continuació teniu una presentació que mostra en paral·lel el plantejament geomètric i l'algoritme numèric.



Podem observar aquest algoritme complet en aquest vídeo o practicar-lo de forma guiada en aquest applet.

També podem veure un model fet amb GeoGebra,


Mètode del Jiu Zhang Suan Shu (Els nou capítols de les arts matemàtiques)

El Jiu Zhan Suang Shu són una mena d'Elements de la matemàtica xinesa compilats entre el II a.n.e i el III n.e.

L'algoritme proposat en aquest llibre és pràcticament idèntic a l'explicat anteriorment: es fa una primera aproximació quadrada i es millora a partir d'una nova per l'àrea sobrant en forma de L. Per trobar el nou valor, que correspondrà a un orde inferior d'unitats (si el quadrat ens donava centenes, buscarem desenes; si eren desenes buscarem unitats...) es proposa dividir l'àrea entre el doble del costat del quadrat trobat anteriorment. Això equival a interpretar aquesta àrea sobrant a un rectangle que té un costat igual al doble de la primera aproximació feta.



L'algoritme, amb un exemple, seria més o menys el següent:



Com es pot veure aquest algorisme no difereix del d'Ibn al Bannà, per tant no és agosarat pensar que mètode xinès és un clar antecessor de l'àrab.

Mètode hindú del manuscrit Bakhshali

Aquest manuscrit indi, del segle XII, escrit en escorça de bedoll i trobat a Bakhshali, és una còpia d'un altre datat més o menys als primers segles de la nostra era. En aquest manuscrit es proporciona una fórmula per calcular l'arrel quadrada de qualsevol nombre a partir d'una primera aproximació:

Encara que d'entrada la fórmula pugui espantar , si la mirem amb atenció tot es calcula a partir d'un sol valor inicial i té valors parcials molt repetits.

Hi ha una relació curiosa amb el mètode xinès vist anteriorment. Si mirem els dos primers termes de la fórmula veiem que el mètode és similar, però sense valorar la grandària de r/2a. No es valora perquè aquí se sap que és una aproximació per excés. Pot ser una pregunta interessant a l'aula argumentar per què r/2a dóna una aproximació massa gran. Amb el tercer terme de la fórmula, que apareix restant, es compensa aquest excés.

Amb aquest applet podem comprovar que el valor d'aproximació a l'arrel quadrada real proporcionat per aquest mètode és prou exacte.


Propostes per a l'aula

  • A final de primària i als primers curs d'ESO: practicar l'arrel amb els blocs multibase o amb l'applet que els simula.
  • A partir de 3r d'ESO: analitzar i explicar l'algoritme clàssic de l'arrel quadrada tot relacionant-lo amb la seva interpretació geomètrica i algèbrica.
  • A batxillerat: interpretar la fórmula deBahkshali, de forma especial la compensació final.


Cap comentari:

Publica un comentari a l'entrada