29 de maig de 2018

El joc dels forts

Aquest joc té un principi semblant al conegut joc dels vaixells però és infinitament més interessant perquè, encara que persisteix un punt d'atzar, domina, i molt, la lògica. Reconec que no l'he provat mai a l'aula i no sabria dir per què, ja que fa trenta anys havia jugat molt i fèiem unes partides triples immenses amb els amics Carles Vallès i Jordi Deulofeu. El vam conèixer per un llibre de Pierre Berloquin absolutament recomanable: 100 jeux de table. El llibre organitzava els jocs en "jocs sobre paper blanc", "sobre paper quadriculat", "sobre tauler d'awelé", "sobre tauler de backgammon", "de pions"...


Expliquem les regles:
  • Cada jugador dibuixa, d'amagat, tres forts en un tauler de 10x10 de manera que els forts no es toquin ni pels vèrtexs. Un fort és un quadrat de 3x3 amb la casella central pintada d'un altre color i que anomenarem quarter general.
  • Un cop cada jugador ha dibuixat els seus forts comença el joc. S'ha de tenir un caseller semblant en blanc per anotar les tirades pròpies.
  • Una tirada consisteix en fer un "vol de reconeixement" seguint una línia que indicarem amb una casella de sortida i una direcció. El vol de reconeixement fa una fotografia a cada casella per la que passa. Quan s'ha acabat el vol, el contrari ens diu quantes "fotografies" s'han fet sobre el seus forts. Ens diu el total sense indicar si són d'un, dos o tres forts. A la imatge tenim un exemple. A la tirada  A2-Est, la informació que ens han de tornar és "3"
  • Els dos jugadors van tirant alternativament i recavant informació. A la imatge tenim dues tirades més: A1-Sudest (4) i D1-Sud (6)
  • Quan un dels dos jugadors creu que sap les coordenades dels tres quarters generals atura el joc i les diu. Atenció! Si s'equivoca, ni que sigui en una, perd la partida. Si encerta i és el que ha tirat primer l'altre jugador té dret a dir les coordenades del primer i si també les encerta seran taules.
A priori sembla que s'han de fer moltes tirades per encertar les coordenades dels forts contraris, però poques vegades, si les tirades són "bones", caldran més de 8 tirades. Per exemple, en aquest caseller ja tenim sis tirades. No tenim prou informació per encertar on són els quarters generals però sí per a fer les primeres conjectures.


Mirem com?

21 de maig de 2018

Fem quadrats en sèrie

Aquesta proposta ve de l'imprescindible web de l'NRICH i té el nom original d'Sticky Numbers. Cal dir que sovint mires les activitats i no prens la mesura de la seva potència fins que t'hi poses a treballar o una altra persona, que ho ha fet, te la destaca. A mi em va arribar per la Sílvia Margelí que, a la vegada, la veure en una formació de l'AraMat. També en podem trobar una referència, com no, al Blog del PuntMat. Vaja... el que vull dir és que compartir problemes és una bona manera de conèixer possibles activitats d'aula interessants i, sobre tot, de buscar maneres d'estirar-les.

Començarem fent una petita variant de la proposta d'NRICH (variant que tampoc és d'invenció pròpia i està inspirada en una altra activitat del web Transum). Plantejarem un joc per a dos jugadors. A l'exemple tenim 17 cartes amb els nombres de l'1 al 17. Es barregen i es treu una a l'atzar que es col·loca sobre la taula. Imaginem que surt el 12.


La jugada correcta consisteix en posar un carta al costat d'aquesta de manera que entre les dues sumin un quadrat perfecte. En aquest cas el primer jugador pot triar entre el 4 (12+4=16) o el 13 (13+12=25). Imaginem que juga el 4. El 2n jugador podrà triar ara entre el 13, per posar-lo al costat del 12 o el 5, per posar-lo al costat del 4 (4+5=9).

El 2n jugador podrà triar ara entre el 13, per posar-lo al costat del 12 o el 5, per posar-lo al costat del 4 (4+5=9). El joc continua fins que un dels jugadors no pot col·locar cap targeta i perd la partida. Si es col·loquen totes seran taules. En aquesta partida d'exemple ja no es poden posar més cartes i ha guanyat el 1r jugador.

Podem continuar jugant de forma competitiva o, millor, de forma cooperativa: intentant fer sèries el més llargues possibles o, fins i tot, una sèrie completa amb tots els nombres. No cal dir que la quantitat de cartes potser diferent a 17. El que té d'interès de fer-ho amb cartes és que les proves es fan d'una forma més àgil que amb llapis i paper, sobre tot per controlar que utilitzem tots els nombres o que no en repetim cap. La pàgina d'NRICH té un petit applet (que no funciona en tots els navegadors; per exemple sí ho fa amb Firefox) que permet moure i encadenar els nombres.

A l'activitat original se'ns convida a investigar amb altres nombres, especialment del 31 en avall. I aquí haurem de fer com l'Adrián Paenza en els seus llibres: convidar-vos a resoldre el problema i, sobre tot, a cercar estratègies per poder buscar les cadenes completes si existeixen. Si no ho fas i continues llegint veurem que hi ha estratègies que relacionen aquest problema amb aspectes de topologia com els camins Hamiltonians.

Voleu veure una manera de fer-ho?

5 de maig de 2018

Els "sona": contes, geometria i nombres (2)

A l'entrada Els "sona": contes, geometria i nombres proposàvem un petita investigació sobre aquests dibuixos geomètrics que fan els narradors Chokwe (Angola, Zàmbia i Congo). Recordarem que un sol dibuix, en singular, es diu lusona i en plural sona.

Imatge treta d'un article de D. Chavey
Vam estudiar un tipus particular de sona, els que es coneixen com de "taula de billar", i la investigació principal tractava sobre com saber el número de trajectòries d'un lusona sabent la mesura dels costats del rectangle base.

Sona d'una (4x3), dues (6x4) i cinc trajectòries (5x5)

Si no vols que fem espòiler millor que deixis de llegir ara mateix i te'n vagis al primer l'article sobre els lusona. Allà trobàvem la pauta sobre la quantitat de trajectòries.

Però, en aquell article, vam deixar pendent el perquè. I d'això és del que volem parlar ara: per què la quantitat de trajectòries ve determinada pel m.c.d. dels costats?

1 de maig de 2018

Adoctrinament? Asèpsia? (2)

El passat 8 d'octubre vaig escriure un article al blog titulat Adoctrinament? Asèpsia? Em va moure a fer-ho un escrit de la fiscalia on es minimitzaven els ferits de l'u d'octubre fent un ús mesquí dels percentatges. En aquells dies no es parlava tant d'adoctrinament a les nostres escoles, com a mínim al nivell que se'n va parlar després. Part de la tesi de l'article era que no parlar de la realitat, no analitzar-la socialment, també des de les matemàtiques, no és asèptic. Amagar l'entorn social també té un missatge. En aquell cas parlava, entre d'altres coses, de la necessitat d'aprendre a ser crítics amb l'ús dels nombres.

Ara no és que tan sols  es parli més d'adoctrinament, és que hi ha denúncies judicials. I no només denúncies, sinó assenyalaments públics com el que han patit alguns dels docents de l'INS El Palau de Sant Andreu de la Barca des d'algun tipus de premsa i des d'algun compte molt concret de twitter (i que no vull enllaçar per la seva indignitat). I tot plegat en un context que no hauríem imaginat fa sis mesos: polítics a la presó o a l'exili, retalls de llibertats, denúncies a tort i a dret, tergiversació de la realitat, construcció d'un discurs mentider que es vol fer real, seguint les tesis de Goebbels, a base repetir-lo... Per tant, cal tornar a parlar-ne.


Si volgués fer una simplificació del que entenc per educació matemàtica diria que tenim dos camps de treball amb el nostre alumnat: augmentar la seva cultura matemàtica i fomentar el seu pensament matemàtic. No m'estendré sobre el tema de la cultura matemàtica. En tot cas, sí cal destacar que aquesta cultura té un cert caràcter transmissiu. Això no implica que els alumnes no la puguin descobrir, però d'una manera o una altra hauran de recórrer a certes "fonts". En aquesta cultura hi poden entrar des de determinats conceptes i procediments a una certa quantitat de "sabers" relacionats amb la història de les matemàtiques o les matemàtiques que hi ha a l'entorn. El pensament matemàtic, en canvi, no es pot transmetre, s'ha de construir, fomentar. Aquest tipus de pensament el podem caracteritzar en la cerca de pautes, semblances, diferències.., en les estratègies de resolució de problemes o en la construcció de models (què és significatiu?, què no?, com influeix?). Però també en la necessitat de l'argumentació sòlida, en el rigor, en l'evitació de contradiccions.


12 de febrer de 2018

Misteris numèrics a la pintura de Tomasa Martín

Passejant pel carrer Montcada de Barcelona hi ha una petita galeria que porta el mateix nom del carrer on es situa. Més d'una vegada, passa passant, m'han cridat l'atenció uns quadres que tenen exposats a la porta. Em costa descriure què em va fer mirar-los per primera vegada. Potser la proporció del quadre, ben poc habitual (12x73). Potser les textures. Potser els colors, el contrast dels nens pintats amb els fons de grisos matisats o ocres. Potser la composició amb la figura humana lleugerament descentrada. Potser... No sempre sabem descriure per què una cosa ens agrada. Potser no sempre cal.



La seva autora és Tomasa Martín, pintora nascuda a Zamora però afincada de fa anys a Barcelona. Ha exposat a Catalunya, a Espanya i, fins i tot, al Japó. Té altres sèries de quadres. Molt destacables les de llibre o de retrats. En aquest quadre la podem veure autorretratada apilant llibres.


En aquesta sèrie de quadres amb nens i nenes escrivint (a una pissarra?, a una paret?) part del misteri està en el que escriuen: nombres, operacions més o menys curioses, equacions, petits enigmes, figures geomètriques...

Per exemple mirem alguns detalls del quadre "El humor es necesario".


Nombres de l'1 al 7 enmirallats
Algoritme històric per multiplicar d'origen oriental
Petit enigma: quant val cada figura?
Mirem els detalls d'un altre quadre:



Âbac xinès amb el nombre 16040 escrit sense "arreglar"
Quan val el quadrat?
Si voleu continuar llegint us mostrarem alguns exemples més però, sobre tot, ens centrarem en l'estudi de les misterioses sèries numèriques que hi trobem als quadres de Tomasa Martín i a les funcions que es poden associar. També descobrirem unes sumes que no són mai sumes.

Voleu descobrir més?

15 de gener de 2018

El joc de l'Oca i les probabilitats

Hi ha moltes teories sobre l'origen del joc de l'Oca. Fins i tot algunes de molt esotèriques que el relacionen amb el Camí de Sant Jaume. No entrarem, per descomptat, en aquest tema. Sí sabem que Francesco de Medicis li en va regalar un a Felip II i que, d'aquesta manera, va entrar a la cort espanyola i, de mica en mica, a la resta de corts europees. També sabem que hi ha moltes versions que il·lustren fets històrics o narracions diverses. I a les escoles hem fet un munt de versions relacionades amb la didàctica. Aquí parlarem del joc de l'Oca més tradicional, que ha arribat a nosaltres i que consta de 63 caselles amb les seves oques, ponts, daus, laberint... Gran part del seu èxit segurament és degut a que és un joc que depèn absolutament de l'atzar. No s'ha de prendre cap decisió. El parxís, per exemple, és més complex perquè no ens limitem a tirar els daus i comptar, ja que hem de triar amb quina fitxa ho fem. Aquí no. Anem on ens porta la sort. No hem de pensar.


Amb els alumnes més petits podem utilitzar el joc a l'aula per exercitar la suma, per exemple fent anticipar a quina casella es caurà, un cop tirat el dau, abans de fer el moviment. També jugant amb dos daus. Quan són una mica més grans ens podem fer altres tipus de preguntes. Per exemple:
  • Podem estimar quina longitud tindria el tauler si "estirem" el recorregut posant-lo recte? El doble de l'amplada? El triple?...
  • Pot existir una partida infinita en la que no s'arribi mai al final?
  • Es pot arribar amb una sola jugada fins al final? (considerarem part d'una mateixa jugada quan tenim opció a tornar a tirar el dau, com quan es cau a una oca)
  • Si és així quin és el mínim de vegades que haurem de tirar el dau?
  • Quin patró segueix la distribució de les oques?
Però a secundària ens poden sorgir preguntes noves:
  • Quina és la duració mitjana d'una partida?
  • Fins a quines caselles i amb quina probabilitat puc arribar en una sola jugada? I en dues? I en tres?...
  • Totes les caselles es "visiten" igual, o hi ha unes caselles per les que passem més que altres?
En aquest article ens centrarem en aquestes darreres preguntes, que no són tan fàcils de contestar com sembla. Us convidem a que, abans de continuar llegint, estimeu unes primeres respostes provisionals.

Per entrar en el tema, però, començarem per una versió de l'oca ben reduïda: un tauler de 10 caselles. Es comença el joc a la casella zero. La 3 i la 6 serien oques. Si es cau a la 6 s'arriba directament al final. La 8 porta al principi de nou.
Continuem?

2 de desembre de 2017

Golígons: nombres enters i geometria

Imaginem que estem a un punt de l'Eixample barceloní i iniciem un itinerari de la següent manera:  avancem una illa, girem 90º en qualsevol direcció, avancem dues illes, girem a l'atzar 90º, avancem tres illes i girem 90º sense pensar cap a on, avancem quatre illes, girem 90º... i anem fent així, avançant cada vegada una illa més que abans i girant 90º. Si després d'un dels girs ens trobem de nou al punt de sortida haurem fet un recorregut especial que rep el nom de golígon. A la imatge tenim un exemple en el que hem començat al punt assenyalat de color verd.


Amb una explicació semblant començava l'article d'A. K Dewney de l'any 1990 titulat An odd journey along even roads leads to home in Golygon City. En aquest escrit ens presentava els golígons inventats per Lee Sallows dos anys abans, creador també dels quadrats geomàgics que vam tractar en una altra entrada anterior.

La definició de golígon que apareix en aquest article és la següent:
"Un golígon es compon de segments rectilinis que tenen longituds (mesurades en quilòmetres, metres o la unitat que preferiu) d'un, dos, tres, etc. fins a un nombre finit. Cada segment es connecta formant un angle recte amb el segment que és una unitat més gran, excepte el segment més llarg, que es troba amb el segment més curt també en un angle recte."
L'exemple que hem mostrat sobre el plànol de l'Eixample és el golígon més petit existent. Està format per 8 segments i formen un polígon còncau que, a més, tessel·la el pla.


Si provem de trobar golígons de 9, 10, 11... segments no ens en sortirem. De fet, una de les primeres coses que podem observar és que ens calen tants segments horitzontals com verticals, el que fa que el total de segments necessaris sigui parell. Però amb 12 o 14 segments tampoc en trobarem. Sí que ho aconseguirem amb 16. Hi ha 28 golígons amb aquesta quantitat de segments. No tornarem a aconseguir-ne nous fins a 24 segments amb 2108 casos. Bé... comença a ser interessant jugar-hi. Es pot demostrar (i ho farem al document que s'annexa a l'article) que la quantitat de segments totals ha de ser un múltiple de 8. I, com no?, la quantitat de solucions per a 8, 16, 24, 32... segments la trobem a l'OEIS amb el codi A007219.

Explorar els golígons es pot relacionar amb el càlcul d'enters. Anem-hi pas a pas. Podem fer algunes observacions en un golígon de 16 segments i que serveixen per a tots els golígons en general.

  • Els costats amb longitud senar són tots verticals
  • Els costats amb longitud parell són tots horitzontals,
Si caminéssim per la línia poligonal començant des de l'1 pujaríem, amb el 2 aniríem cap a la dreta, amb el 3 tornaríem a pujar... amb el 5 baixaríem... amb el 10 cap a l'esquerra... Fixar-nos en la orientació dels segments ens permet fer noves observacions:
  • La suma de les longituds dels segments que pugen és igual a la suma de les longituds dels que baixen.
  • La suma de les longituds dels segments que van cap a la dreta és igual a la suma de les longituds dels que van cap a l'esquerra.
No és difícil argumentar la raó: perquè si no l'itinerari no es tancaria. Però això ho podem formular d'una altra manera, amb nombres enters, considerant les pujades i l'anar cap a la dreta com a "positiu" i el baixar i anar cap a l'esquerra com a "negatiu". El nostre golígon anterior els podríem descriure de la següent manera, tot recordant que els senars són segments verticals i els parells horitzontals, :

+1 +2 +3 +4 -5 +6 -7 +8 -9 -10 -11 -12 +13 -14 +15 +16

Lògicament la suma de tots els valors és zero. Però, adaptant als enters el segon parell d'observacions fetes abans, també podrem dir que la suma de les longituds dels segments verticals (els senars) és zero i que la suma de la dels horitzontals (els parells) també és  zero. Si ens agrada més expressar-ho amb fórmules podem escriure que per a un golígon de n segments s'acompleix que:


Ja ha aparegut un lligam amb el càlcul d'enters que ens comença a obrir camins per investigar a l'aula. Però els golígons donen per més: tots formen polígons? Si no és així, es pot saber d'antuvi? Quants n'hi ha per a una quantitat determinada de segments? Es poden dibuixar tots d'un sol traç sense sobreescriure línies?

T'animes a continuar?

26 de novembre de 2017

Altres daus no transitius

Titular un article Altres daus no transitius dona per suposat que ja es coneixen "uns" daus intransitius. Fa uns anys en vam parlar a l'antic web del Calaix en una activitat que es deia Tirem els daus. Si no hi voleu tornar, tot i que allà trobareu applets per interactuar, en farem cinc cèntims abans.

El joc de Pedra-Paper-Tisores no és transitiu. Forma un cicle on sempre, enfrontades una a una, un de les opcions guanya a una altra: pedra a tisores, tisores a paper i paper a pedra. Comparem ara, però aquest tres daus de l'esquema:


És evident que el dau A guanyarà sempre al B. Direm que és més "fort". El B també és més fort que el C. I si comparem el C i l'A veurem que A també és més fort. Ho podríem resumir dient que A és el dau més fort del grup. S'acompleix la propietat transitiva: A>B, B>C i, per tant, A>C. Aquesta propietat la tenim molt integrada en els nostres cervells encara que no sapiguem el nom. Es produeix en moltes situacions ordenades. Però hi ha altres conjunts de daus que no tenen el mateix comportament. Mirem, per exemple, aquest grup de daus:


Ara un dau el considerarem "més fort" si guanya més vegades a l'altre. Un quadre d'enfrontaments ens donarà alguna sorpresa.


Ens trobem que A guanya a B en els 2/3 dels casos, B guanya a C en la mateixa proporció, C guanya a D els 2/3 de les vegades i... D guanya a A també en 2 de cada tres casos! No hi ha transitivitat.

Aquest conjunt de daus els va popularitzar, com no, Martin Gardner al 1970. Els podem trobar al llibre Ruedas, vida y otra diversiones matemáticas. L'inventor dels daus va ser l'estadístic estatunidenc Bradley Efron.

Però es poden reduir la quantitat de daus? Podem fer que no hagi repeticions de nombres? Què succeirà si els tirem a la vegada? I si comparem enfrontaments dau a dau amb enfrontaments comptant la suma de dos daus?

A continuació li donarem algunes voltes a aquestes idees per anar més enllà dels daus d'Efron. Ens basarem en el capítol Les dés affreux d'Efron del llibre de Jean-Paul Delahaye titulat Les mathématiciens se plient au jeu.

T'animes a continuar?

5 de novembre de 2017

Els "sona": contes, geometria i nombres

Al llibre Una historia de la proporción de Manuel García Piqueras (Nivola, 2013) fa un apunt sobre uns dibuixos que alguns "contacontes" africans fan al terra tot acompanyant la seva narració. El mateix autor els ha utilitzat en una altra obra més recent de caire narratiu: La supersobrina y el enigma del gran astrolabio (Nivola, 2016). Però en cap d'aquestes obres entra en profunditat en el seu anàlisi matemàtic. El podem, però, trobar en un article seu en el n. 78 de la revista Suma: Un atardecer en África y América o en les actes de les 15 JAEM de Cartagena on va fer un taller conjuntament amb A. Bueno i J.L. Muñoz: Sona: una herramienta didáctica para primaria y secundaria. Per tant, ja podeu endevinar que només faré que reexplicar els seus materials. El cas és que darrera dels sona hi ha una interessant problema matemàtic.

Però millor que comencem sentint conte i veient un d'aquests dibuixos, realitzats pel propi Manuel G. Piqueras.

El perro y el cazador

Si observem el dibuix final del conte i fem alguna petita deformació geomètrica trobarem que és una figura que es pot fer d'un sol traç envoltant els punts d'un rectangle de 4x3. Aquest tipus de dibuixos es diuen sona, en plural, i lusona en singular.

Lusona del conte
Dibuixat amb segments rectilinis

Eliminant "deconnexions"
Si ens hem fixat en el vídeo la línia continua del lusona comença en un punt extern al rectangle de punts, avança amb un angle de 45º fins a un altre punt extern on "rebota" i continua avançant amb un angle de 45º però en una altra direcció. Potser per explicar i estudiar el dibuix del lusona convé fer una mica "de neteja" en la quadrícula i afegir alguns punts exteriors que ens ajudin a fer el dibuix.
Afegim els punts on la línia "rebota"
Eliminem els punts interiors
Podem veure ara una animació on es visualitza com sortint d'un punt i rebotant a les parets del rectangle que emmarca es pot dibuixar el lusona.
Investiguem sones sobre diferents rectangles?

8 d’octubre de 2017

Adoctrinament? Asèpsia?

En el capítol titulat Laicismo y biblioteca de La escuela moderna, on es recopilen diferents textos de Francesc Ferrer i Guàrdia, llegim com el seu autor obria un concurs per editar nous llibres d'aritmètica més acords amb les seves idees sobre pedagogia. Concretament deia:
"…la Escuela Moderna desea un conjunto de problemas por el cual la aritmética resulte lo que debe ser en realidad: la ciencia de la economía social, tomando la palabra economía en su sentido etimológico de buena distribución."
Al 1905 es publicaven, fruit d'aquest concurs, dos volums d'Elementos de aritmética. El de "principiants" recollia texts de Condorcet, Paraf-Javal i exercicis d'Henry Vogt, Podem veure dos exemples de problemes d'aquest llibre:


És probable que aquests problemes ens facin somriure. En podem trobar semblants també a La aritmética del obrero de José Sánchez Rosa.

En un altre extrem trobem, en canvi, alguns problemes que ens posen els pèls de punta. Aquest exemple de la pel·lícula de Roberto Benigni La vida és bella (1997) pot ser una mostra.


Podem pensar que és ficció. Però al llibre Expediciones matemáticas de Frank J. Swetz es cita un llibre de text alemany del 1941 on, després d'informar que "diàriament l'estat gasta 6RM en un tolit; 4,5 RM en un malalt mental; 5,5 RM en una persona sordmuda, 10,6 RM en una persona retrassada mental; 3,5 en un alcohòlic; 8,8 en un pupil a una casa, 2,1 en un pupil a una escola especial i 0,45 en un pupil a una escola normal" demana qüestions com aquesta:
"Calcula la despesa de l'Estat en un pupil a una escola especial i en un pupil a una escola normal al llarg de 8 anys i exposa el sobrecost generat per un pupil en una escola especial."
És evident que l'adoctrinament no és una de les funcions de l'escola. Tot al contrari. Hem de lluitar contra ell. Però, no negarem que darrerament hi ha discussió sobre aquest tema i que molts autoqualificats "antidoctrinaris" són els que realment volen imposar les seves doctrines. Mirem, si no, les polèmiques sobre els currículums d'història. Els de matemàtiques, en canvi, no solen ser motiu de guerra política. Sembla que són massa abstractes, o bé, suficientment abstractes. Entre altres aspectes podem observar que els problemes dels llibres de text, i molts dels que proposem a l'aula, solen tenir un aire asèptic, gens impregnats d'aspectes ideològics. Sempre s'utilitzen contextos nets i polits. Però la pregunta que se'm genera és si això és bo. I la resposta que em surt és que no ho és gens. Perquè deixar de banda la societat i els seus problemes no és gens asèptic. Al contrari, és una altra forma d'adoctrinament. Si constantment diem que les matemàtiques ens ajuden a entendre el món, no hem de fer entrar tots els aspectes d'aquest món a l'aula? Com podem preparar ciutadans crítics si no donem oportunitat a aplicar aquesta crítica a l'entorn social i polític proper?