21 de març de 2017

El Tangram mínim de Brügner (2)

A l'article anterior vam parlar del cas general del Tangram mínim de Brügner o tri-triangular amb el que es podien fer onze polígons convexos. També vam comentar que si partim d'un quadrat per a la seva construcció la quantitat de polígons convexos es reduïa a cinc.
Cas general del Tangram de Brügner
 Ja vam apuntar que hi havia un altre cas especial i, ho és tant, que ens hem estimat més dedicar-li tota una entrada. En aquest cas especial fem que un dels dos segment en el que queda dividida la diagonal sigui igual a un dels costats.
Tangram mínim especial
De fet, els rectangles amb aquestes proporcions es coneixen com a rectangles de Brügner. El cas és que, amb el tangram construït amb aquestes condicions augmentem la quantitat de polígons convexos que es poden fer. I no només això: hi trobarem interessants relacions de mesura entre els costats dels triangles i entre les seves àrees. El nombre d'or apareixerà de diferents formes. Et proposem diferents problemes:
  • Quants polígons convexes es poden fer?
  • Quina és la relació entre les mesures dels dos segments en que queda dividida la diagonal del rectangle?
  • I entre els costats del rectangle? I la del costat gran amb els altres tres segments que apareixen?
  • En quina proporció creixen les àrees dels tres triangles?


Ho mirem?

15 de març de 2017

El Tangram mínim de Brügner (1)

Existeixen infinitats de tangrams cadascun amb els seus interessos particulars. Entre ells un dels que pot donar molt de joc a les aules és el Tangram mínim o Tri-triangular inventat a l'any 1984 pel matemàtic Georg Brügner. És un tangram format per només tres peces que són triangles rectangles semblants i, en la seva versió general, molt fàcil de construir. Dedicarem un proper article a una versió particular del tangram amb unes mesures concretes. El seu interès no rau només en la poca quantitat de peces i en la seva similitud. Amb amb totes les peces del tangram xinès clàssic es poden construir només 13 polígons convexos, mentre que amb les tres úniques peces del Tri-triangular n'obtenim una quantitat que se li acosta molt.

 
Els 13 polígons convexos del tangram xinès
En primer lloc mirem com és aquest tangram

Com es pot observar només cal traçar la diagonal d'un rectangle i la perpendicular que la uneix a un dels altres vèrtexs.
Les mides del rectangle no influeixen, excepte en dos casos particulars. Ja hem dit que un d'ells serà objecte d'un altre article. Així podem partir d'un rectangle més allargat sense que variï la investigació que proposarem.
La pregunta és: quants polígons convexos es poden fer amb el tangram mínim?

Si els vols veure hauràs de continuar llegint.

13 de desembre de 2016

Si et despistes ets perd un gol (un model estocàstic)

Una de les lectures matemàtiques sorprenents d'aquest 2016 ha estat el llibre de David Sumpter Fútbol y matemáticas (Ed. Ariel). L'autor és un matemàtic anglès que treballa a la Universitat d'Upsala i que dirigeix un grup d'investigació sobre comportament col·lectiu. El que fa interessant el llibre és que s'allunya dels tòpics matemàtico-futbolístics habituals (que també toca, però per sobre) i ens proposa diferents models matemàtics per analitzar altres aspectes com la distribució dels jugadors en el camp, l'estudi dels seus moviments individuals i col·lectius, etc. I, en molts casos, comparant-los amb altres models similars aplicats a la biologia. És difícil adaptar les idees que sorgeixen a l'aula perquè, en molts casos, requereixen l'ús i tractament d'una quantitat ingent de dades. Tot i així algunes sí que poden tenir adaptació com l'anàlisi dels moviments en un petit rondo o el procés d'inici i final d'uns aplaudiments. L'activitat que proposarem a continuació apareix en el primer capítol del llibre "Nunca he predicho nada y nunca lo haré", un divertit i paradoxal títol que té l'origen en una declaració del jugador Paul Gascoigne al 1996.


En aquest capítol Sumpter ens diu. "El que fa que el futbol i altres esports d'equip siguin apassionants és la seva impredictibilitat. Si estàs mirant un partit i apartes la vista durant uns pocs segons, et pots perdre una jugada important i un gol inesperat". Com especialista en models matemàtics ens en proposa un que relaciona clarament estadística i probabilitat.

El vols conèixer?

20 de novembre de 2016

Algoritmes històrics (i no tan històrics) de la resta.

Poc més es pot afegir al tema de l'algoritme de la resta del que han escrit en quatre magnífics articles el David Barba i la Cecilia Calvo al blog del PuntMat. Entre altres coses perquè al blog s'atén més, com hauria de ser,  el problema global de la resta que no el de l'ús d'un algoritme concret. Però un tuit que ha corregut aquests darrers dies i algun algoritme històric guardat al calaix des de fa temps m'ha esperonat a escriure també sobre el tema.

Voldria començar, però, explicant una petita història personal relacionada amb els mètodes per restar. El meu avi era venedor ambulant de ganiveteria. En els períodes de vacances em tocava acompanya-lo pels diferents mercats de Barcelona i la meva feina era tornar els canvis de les vendes. Devia tenir cinc o sis anys i era desesperant haver de fer les restes de cap. Estem parlant de la dècada dels 60 on encara els preus anaven, generalment, a les desenes de cèntim (també hi havia monedes de 5 cèntims).


El meu avi, al veure la meva lentitud operativa, em va salvar la vida explicant-me que el que havia de fer era completar els diners que em donaven  a partir del cost de la venda. Per exemple si la venda era de 17,20 ptes. i em pagaven amb "cinc duros" (25 ptes.), primer anava comptant fins a completar 18 ptes (80 cèntims), després seguia fins a 20 (2 ptes.) i, finalment fins a 25 (un duro, 5 ptes.). Cal dir que no em preocupava del total del canvi. Anava completant i prou. Si hagués volgut saber el resultat de la resta només hauria calgut sumar els "lliuraments" parcials: 0,80+2+5 = 7,80 ptes. És el mètode que vaig continuar utilitzant en les restes "no escolars": anar completant. A l'escola, evidentment, s'havia de fer d'una altra manera. En el fons el mètode de l'avi és un algoritme molt més natural perquè treballa amb quantitats i no amb xifres. Una de les grans limitacions dels algoritmes estàndard per ajudar a desenvolupar el sentit numèric dels alumnes és que, fent treballar xifra a xifra, ens fan perdre de vista els nombres, las quantitats amb les que operem. Més tard he sabut que l'algoritme escrit històric conegut com "austríac", que apareix explicat com a algoritme escrit a la Logistica quae et arithmetica de Jean Buteo, un llibre del 1559, era més proper al mètode de l'avi que a l'escolar.

Tornem al tuit esmentat abans, autoria de @MarcChubb3, autor del blog Thinking mathematically. En ell es veia una sorprenent resta.

Immediatament apareixen algunes peguntes:
  • Com s'ha fet la resta?
  • Funciona sempre?
  • Com es pot justificar el mètode?
  • Com es pot generalitzar a restes de més de dues xifres?
A continuació expliquem aquesta resta i mostrarem també alguns algoritmes històrics. Entre ells un que elimina "del tot" el problema de la "resta portant"

24 d’octubre de 2016

L'atzar té patrons?

El proper 30 de novembre estem convidats per l'ICFO (Institu de Ciències Fotòniques) a participar en un experiment quàntic: el Big Bell Test. Per col·laborar només ens demanen que enviem una seqüència aleatòria de 100 bits d'uns i zeros i, a partir de les 30 000 seqüències que necessiten,es faran els experiments. Aquestes seqüències les podem escriure directament o introduir-les mitjançant un joc interactiu que ens va orientant sobre si hem estat "prou aleatoris" o no. Podeu obtenir més informació sobre l'experiment en aquest tres enllaços: The Big Bell Test (còmic explicatiu, joc, etc...), La cuántica te necesita (l'experiment explicat al web Cuentos cuánticos) o mirant aquests vídeos. També teniu aquest altre enllaç amb activitats per a centres de secundària.

En tot cas, anem a la part matemàtica: què significa "prou aleatori"? Imaginem per un moment que hem encarregat una feina a l'aula: tirar una moneda 20 vegades seguides i que ens anotin els resultats. Continuem imaginant i suposem que, entre d'altres, hem rebut aquestes quatre respostes:

Sèrie A
CCCCCCCCCCXXXXXXXXXX

Sèrie B
XCXCXCXCXCXCXCXCXCXC

Sèrie C
CCXCXCXCCXCXXCXCXCCXX

Sèrie D
CXCCCXCXXCCCCXCXCCXC

Hi ha dues sèries clarament sospitoses d'haver estat inventades: l'A i la B. Per què? Perquè tenen un patró que sembla poc atzarós. Totes dues tenen un 50% de cares i un 50% de creus, però que surtin primer totes les cares i després totes les creus o que facin una seqüència tan purament alternada sembla poc natural.


Les sèries C i D fan millor pinta. Tot i així, ja ho diem, la sèrie C és inventada. No només perquè quadri perfectament amb 10 cares i 10 creus. Una altra cosa que la fa sospitosa és que les ratxes siguin sempre tan curtes, que no hi hagi mai tres cares seguides o tres creus. Hi ha, aproximadament un 50% de probabilitats de que fent 20 tirades seguides obtinguem, com a mínim una vegada, tres cares o tres creus seguides. I una mica menys del 20% d'obtenir una ratxa de quatre tirades iguals.

Hi ha una paradoxa aparent. Cadascuna de les sèries concretes que hem dit té la mateixa probabilitat de sortir:


Però podem veure clarament que, entre aquest milió i escaig de combinacions, només tenim dues sèries de 10 signes seguits (una de 10 cares i 10 creus i una altra de 10 creus i 10 cares) i dues més de dos signes alternats (cara-creu-cara-creu... o bé creu-cara-creu-cara...). En canvi no és difícil pensar que, entre aquest milió, moltíssimes tindran alguna vegada tres cares o tres creus seguides.

És possible ponderar l'atzar? Podem distingir sèries "falses" de "certes"?

18 de setembre de 2016

Delimitant el terreny per fer les cases a Moçambic

Al n. 6 de la revista UNO (1995) Alan J. Bishop escrivia :
"Sovint, una dada antropològica concreta pot ser usada per crear activitats matemàtiques molt interessants en les lliçons de l'escola i ser demostrades i discutides en els cursos de formació de professors. Per exemple, Gerdes informa (1988) que a Moçambic certs constructors rurals utilitzen quatre trossos de corda units per formar un rectangle configurant d'aquesta manera la figura de la casa. Les quatre peces tenen la mateixa longitud i es lliguen com a la figura."


Per poc que es miri es pot observar que, efectivament, aquesta situació ens proporciona un context que obre tot un ventall de possibilitats, moltes apuntades pel mateix Bishop al seu article. Recuperem-ne algunes i afegim-ne d'altres. Moltes d'elles es poden realitzar tant a Primària com a Secundària.

29 de novembre de 2015

Heptatrisecció de l'angle

A l'antiga Grècia, per resoldre els problemes geomètrics, es van autoimposar un regles de joc. De la mateixa manera que quan juguem a futbol, si no som porters, ens autoimposem no tocar la pilota amb els braços encara que ho puguem fer amb qualsevol altra part del cos, les regles gregues per a la resolució de problemes es referien a les eines a utilitzar: només rectes i circumferències, o, dit d'una altra manera, amb regle sense graduar i compàs col·lapsable (un compàs que es tanca quan el separes del paper). Van resoldre molts problemes, però hi ha tres que van passar a la història perquè no en van trobar la solució:
  • la quadratura del cercle (construir un quadrat d'àrea equivalent a un cercle donat).
  • la duplicació del cub (trobar l'aresta del cub de volum doble a un altre donat).
  • la trisecció de l'angle. 
Segles més tard es va demostrar que cap dels tres problemes era resoluble amb aquestes regles de joc. Potser del que menys es parla és el de la trisecció de l'angle i, per aquest motiu, li dedicarem aquest article.

Una dels teoremes més bonics relacionats amb la trisecció de l'angle és el teorema de Morley. Aquest teorema diu que els punts d'intersecció entre les trisectrius dels angles d'un triangle qualsevol formen un triangle equilàter. Pots provar-ho amb aquest applet.


És evident que hi ha angles concrets, com el de 90º, que es poden trisecar amb regles i compàs. Us convidem a fer-ho amb GeoGebra.

Però la impossibilitat de la resolució del problema general, per a qualsevol angle, va ser demostrada per  Pierre Wantzel al 1837. Si bé a l'antiga Grècia no van saber resoldre el problema amb regle i compàs de forma exacta, sí que ho van saber fer amb altres eines. Per exemple amb un regle amb un parell de marques o amb regle, compàs i algunes corbes especials com l'espiral d'Arquímedes, la quadratriu d'Hipies o la concoide de Nicomedes. Són solucions molt boniques que es poden mostrar i treballar a l'aula. Recordem que la cultura matemàtica, i en concret el coneixement de la seva història, han de ser part important del bagatge dels nostres alumnes.

Espiral d'Arquimedes
Quadratiu (o trisectriu) d'Hipies
Concoide de Nicomedes

També mostrarem un trio d'artefactes mecànics que trisequen l'angle: els trisectors de Ceva, Laisant i Kempe.

Pantògraf de Ceva
Trisector de Laisant
Trisector de Kempe

Ens hi posem?

8 de novembre de 2015

D'un sol tall (2)

Continuem l'article anterior amb problemes "d'un sol tall". En aquest parlarem de talls de triangles i quadrilàters.
  • Un quadrat d'un sol tall
Tenim un quadrat dibuixat al mig d'un full. Aquí dibuixarem totes les figures "ben orientades" en el paper però, en el problema general, no és estrictament necessari. Tornem al quadrat. Tal com està, per retallar-lo ens calent quatre talls de tisora.
Si el pleguem per la meitat ens podrem estalviar un tall i fer-ho només amb tres.
Per altre banda tenim dues formes de plegar el quadrat que ens deixa tallar-lo amb tan sols dos talls. El primer demana dos plecs, el segon només un.
Si a partir del plec en diagonal anterior en fem un altre, també "en diagonal" observarem que amb un sol tall podem tallar el quadrat.
Ho podem veure en aquest vídeo:


El repte: més figures d'un sol tall

Us proposem que agafeu paper i tisores i us enfronteu a aquests problemes: com plegar cada figura per poder-la tallar d'un sol cop de tisores:
  • Triangles: un d'equilàter, un isòsceles i un escalè.
  • Quadrilàters: un rectangle, un romboide, un trapezi i un trapezoide.

Per tal de poder superposar costats quan dobleguem és recomanable treballar amb paper vegetal. Si no, encara que és més incòmode, haureu de treballar a contrallum; en aquest cas convé dibuixar els costats dels polígons ben gruixuts. 

Vols mirar les solucions?

1 de novembre de 2015

D'un sol tall (1)

Al llibre "El país de las maravillas matemáticas", escrit per Jin Akiyama i Mari-Jo Ruiz, es plantegen tot un seguit d'interessants problemes "d'un sol tall" i que tractarem al llarg de dos articles. En aquest primer presentarem dos jocs sorprenents, i en el proper, problemes per portar a l'aula.


Els problemes "d'un sol tall" plantegen el següent repte: com plegar un full de paper per obtenir amb un únic tall una figura concreta. Podríem dir que és un problema d'optimització en el que simetries, bisectrius, mediatrius... juguen un paper important. Comencem per un problema real ben simple i que ens vam trobar a la feina fa ben poc.

Havíem de tallar cinc teles en terços. En principi això implica dos talls per tela. Consell de la costurera i que vam aplicar: "plegueu la tela per la meitat, mesureu 1/3 del total de l'amplada, marqueu i talleu". Amb un sol tall per tela aconseguíem tres trossos iguals.

En repte plantejat al llibre consisteix en plegar una quadrícula de 4x4 pintada com un tauler d'escacs de forma que, aplicant un únic tall amb les tisores puguem separar els quadrats negres dels blancs. Sembla impossible, no? Doncs ara us explicarem com fer-ho. I també com fer una estrella de cinc puntes d'un sol tall.

Resultat del tall. Els que em coneixen saben que les manualitats no són el meu fort

25 d’octubre de 2015

En quin lloc sortirà?

Swiffy Output Imaginem un joc com el següent. Tenim una urna opaca amb deu boles: vuit blanques i dues negres. El joc consisteix en treure boles de la urna fins que apareix una negra.
A partir d'aquí ja podem fer preguntes a l'aula. Per exemple:
  • Pot aparèixer la primera bola negra en el desè lloc?
  • Quin és el lloc més llunyà en el que pot aparèixer?
  • I el més proper?
  • Tenen tots els llocs (1r, 2n, 3r... ) la mateixa probabilitat?
No es tracta, de moment, de calcular probabilitats. Sinó de treballar la intuïció probabilística.

Compliquem ara el joc. Hem d'apostar, posem-ne un pèsol (com fan sovint a les retransmissions de la TdP), per endevinar en quin lloc pensem que apareixerà la primera bola negra. En quin número d'ordre (la primera, la segona, la tercera...) pensem que és més probable que surti? Quin lloc triaríeu?

Contesta't mentalment i continua llegint