3 de maig de 2020

El codi interestel·lar d'Ivan Bell

Aquesta activitat ja està al web antic del Calaix +ie. Inclou un interactiu no gaire assolit, tot s'ha de dir, i està presentada de cara a alumnat, amb una petita introducció i l'activitat.  El format d'aquest blog em permet comentar-la amb més calma i destacar per què em sembla una molt bona activitat per a l'aula. Donat que és molt probable que no la conegueu la presentaré com a nova. El problema el vaig descobrir, per variar, per un llibre de Martin Gardner (Comunicación extraterrestre y otros pasatiempos matemáticos, Cátedra, Madrid, 1987). És una activitat de descodificació, però que ens porta a reflexionar sobre aspectes del nostre sistema de numeració i en les relacions entre operacions. Entrem en situació.

El problema neix de la necessitat (qui la senti) d'elaborar un codi i un missatge que siguin interpretables per una possible civilització extraterrestre. Hi ha algunes idees clau a tenir en compte. Una és llenguatge. No es pot fer un codi amb cap llengua de la Terra. Champollion va poder descodificar els jeroglífics perquè va tenir prou referències: una "xuleta" basàltica en forma de pedra Rossetta i la idea de que l'egipci antic podia ser proper al copte de la seva època. La segona clau es refereix al contingut del missatge. Aquest ha de tenir alguna referència comuna amb la civilització alienígena que el rebi. Sembla versemblant que una civilització capaç de captar el missatge sabrà comptar i fer càlculs aritmètics, que seran, si fa no fa, semblants a tot l'univers. Per tant el contingut del nostre missatge pot ser numèricoaritmètic. Aquesta és la idea a la que va arribar Ivan Bell, un professor d'anglès que vivia a Tòquio i que a l'any 1960 va publicar com un joc a la revista The lapan Times.


El codi d'Ivan Bell consta de 14 missatges que, progressivament, van informant sobre el nostre sistema de numeració i les operacions bàsiques que fem amb els nombres. Cada missatge permet traduir alguns símbols. Aquests poden ser xifres (0, 1, 2, 3, ... fins a 9), nombres (10, 100, etc.), signes d'operació (suma, resta, potència,...). Aquí representarem cada símbol amb una lletra, però els missatges podrien ser també sonors emesos repetidament. No ens hi capficarem amb la forma de transmissió

Ara et convidem a posar-te en el lloc dels extraterrestres que han rebut aquests missatges i que has de descodificar. A continuació et posarem els 14 missatges i, si continues llegint l'article, et comentarem la descodificació i els aspectes interessants de cada missatge. També pots descarregar-te en pdf tots els missatges.
Descarregar en pdf

Missatge 1
A B C D E F G H I J K L M N P Q R S T U V W Y Z
Es presenten els símbols que es faran servir

Missatge 2
AA B AAAAAAA G   
AAA C AAAAAAAA H
AAAA D AAAAAAAAA I
AAAAA E AAAAAAAAAA J
AAAAAA F

Missatge 3
AKALB CKALD
AKAKALC BKELG
AKAKAKALD FKDLJ
BKALC

Missatge 4
CMALB IMGLB DMALC

Missatge 5
CKNLC DMDLN
HKNLH EMELN

Missatge 6
JLAN JKJLBN 
JKALAA JKJKJLCN
JKBLAB FNKGLFG
AAKALAB

Missatge 7
BPCLF EPBLJ FPJLFN

Missatge 8
FQBLC JQBLE FNQFLJ

Missatge 9
CRBLI BRELCB

Missatge 10
JPJLJRBLSLANN JPSLT
JPJPJLJRCLTLANNN JPTLJRD

Missatge 11
AQJLU UQJLAQSLV

Missatge 12
ULNWA VQJLNWNNA
UPBLNWB VQSLNWNNNA
AWDMALNWDLDPU JPEWFGHLEFWGH
VLNWNA SPEWFGHLEFGWH
VPCLNWNC

Missatge 13
GIWIH Y HN  TKC Y T Z Y CWADAF

Missatge 14
D P Z P NWNNIB R C Q C

Vols veure la descodificació

19 d’abril de 2020

Tauler infectat

Amb el nom de Tauler infectat apareix al llibre Matemàtica, ¿estas ahí? Episodio 100 aquest interessant problema. No serveix molt com a model de propagació d'epidèmies, però conserva l'aspecte "d'infecció per contacte". El problema és fàcil de plantejar. Imaginem que tenim un tauler de 8x8 en el que algunes caselles estan "infectades".


Casa casella comparteix costats amb quatre caselles més. Si tenim una casella sense infectar que està en contacte amb dues o més caselles infectades també s'infectaran. Així a la imatge següent podem veure quines seran les caselles que s'infectaran a la següent fase. En aquest cas, cada casella nova comparteix exactament dos costats amb infectades.


Aquest procés es va repetint fins que cap casella nova es pot infectar i l'epidèmia s'acaba. Al cas de l'exemple no s'infecten totes les caselles.
Però en aquest altra, amb una disposició i quantitat inicial de caselles infectades diferent, sí que s'acaba amb tot el tauler vermell.

Ja tenim la situació plantejada. Ara venen les preguntes. Per exemple:
  • quina és la quantitat mínima de caselles inicials infectades per poder infectar tot el tauler?
  • és indiferent com estan distribuïdes?
  • observant un disposició inicial, podem predir ràpidament si s'infectarà tot el tauler o no?
Com en molts altres problemes podem investigar-lo fent una reducció: començarem per un tauler de 2x2. Si descartem els casos extrems (una sola casella infectada i tot el tauler) i no tenim en compte simetries i girs tenim tres disposicions inicials.

Aquest cas ja ens dona algunes pistes. En un tauler de 2x2 hi ha un mínim de caselles inicials necessàries: dues. I la disposició sí que importa, perquè si ocupen un costat no hi ha cap infecció nova i sí que hi ha infeccions si ocupen una diagonal.

Ara, abans de continuar, et deixem investigar en taulers de 3x3 i 4x4 amb aquests dos applets fets amb scratch.



Continuem l'exploració del problema?

5 d’abril de 2020

Un joc de cares i creus amb sorpreses (El joc de Penney)

Hi ha problemes que, de vegades, te'ls trobes, no et criden l'atenció i els oblides. I passat un temps, que poden ser anys, te'l tornes a trobar i els trobes superinteressants. I quan comences a investigar... descobreixes que se t'havien passat per alt en un altre moment. Això és que m'ha passat llegint el llibre de Matt Parker "Pifias matemáticas". He trobat un problema que no recordava, però que després he descobert que ja havia vist, com a mínim, tres vegades: com no, a un títol de Martin Gardner, Viajes por el tiempo y otras perplejidades, al Cuaderno de Cultura Científica en un article de Miguel Ángel Morales (@Gaussianos ) o, fins i tot, a una Matiaventura de Clara Grima. Deixem les lamentacions i passem a mirar el joc que genera el problema. Es coneix com el Joc de Penney en honor al seu autor Walter Penney que el va publicar a l'any 1969.

Volem jugar a cara i creu contra una altra persona. Jugar a una sola tirada pot ser molt avorrit. Per tant jugarem apostant (punts, no cal que siguin diners) a una seqüència de tres tirades.  Tenim vuit ternes per triar que són igual de probables, cosa fa pensar que el joc és també equiprobable.


Un cop cada jugador ha triat la seva terna, que han de ser diferents, es comença a tirar la moneda fins que apareix la seqüència triada per un dels dos jugadors, que guanya el punt. A l'animació teniu un exemple de partida.


Potser hauràs observat a la partida d'exemple que, després de sortir dues creus seguides, l'opció CXC ja no podia guanyar. Si teníem dues creus i continuen sortint creus successivament (per exemple CCXXXXXX) guanyarà XXC en el moment que surti una cara, mentre que CXC ja no podrà sortir mai abans que XXC.

Si has entès el joc et recomanem que ara juguis contra l'ordinador. Per començar cada partida nova has de prémer la tecla espaiadora del teu teclat. A continuació tria la teva opció. Recomanem fer un mínim de deu partides.


T'ha anat bé el joc? O sembla que l'ordinador té alguna mena d'avantatge?

8 de març de 2020

Passar de 12

Aquest problema de probabilitat l'he trobat al llibre Matemagia d'Adrian Paenza. Pot ser molt interessant per treballar-lo a l'aula perquè té un plantejament fàcil i només necessitem uns daus. El podem presentar com un joc:
  • Tirem un dau i mirem la cara que ha sortit. El tornem a tirar i sumem el nou resultat a l'anterior... i anem fent així fins que obtenim una suma superior a 12. Veiem un exemple a la imatge. La suma de les tres primeres tirades dona justament 12, però el joc consisteix en passar-se. Per tant ens cal fer una quarta tirada. Obtenim un 4 i arribem a 16.
  • La pregunta és: si haguéssim d'apostar, a quin nombre final ho faríem?
Mirem com podem portar el problema a l'aula?

3 de desembre de 2019

Paguem... però amb poques monedes

Aquest problema apareix al llibre Mathématiques pour le plaisir de Jean-Paul Delahaye. Concretament al capítol titulat Quelles pièces pour faire l'appoint? Es tracta d'un problema sobre el nostre sistema monetari del que farem una reducció de monedes en el seu plantejament inicial. Així serà més apte per a les aules. També ens farem algunes preguntes que no apareixen a l'article (així com deixarem de banda moltes altres que sí que hi són).


El primer que volem mirar és com, amb el conjunt de monedes (1, 2, 5, 10), podem fer pagaments d'1 a 19 cèntims amb el mínim de monedes per a cada cas. Per exemple, pel de 7 cèntims només contemplem el cas 2-5 (dues monedes) i deixem de banda qualsevol altra possibilitat (1-2-2-2, 1-1-5, 1-1-1-2-2, etc,). Hem triat com a límit 19 cèntims per posar el topall en algun lloc. El criteri aplicat per triar-lo és: "un abans que la següent moneda que trobaríem", en aquest cas 20 cèntims.

Obtenim una taula com la següent.


Aquesta pot ser una bona pràctica productiva de sumes. Però només que ens fem una pregunta nova, encendrem el ble de tota una sèrie de qüestions noves. La pregunta és: quina és la mitjana de monedes per fer els pagaments? No és difícil de calcular. Només cal sumar les monedes emprades i dividir pels 19 casos:

Podem fer un gràfic on veiem com varia la quantitat de monedes per a cada pagament i com va evolucionant la mitjana.



Es pot millorar aquesta mitjana? Com? Què passa amb monedes més grans?

T'animes a seguir?

17 de novembre de 2019

Frisos amb Pattern Blocks

Els Pattern Blocks és d'aquells materials que no haurien de faltar a l'aula de matemàtiques ja que permeten interessants treballs numèrics i geomètrics. Bàsicament consta d'un joc de peces entre les que trobem sis models. Totes tenen una mateixa unitat de costat (menys el trapezi que té un dels costats de tres unitats).


Una de les activitats clàssiques amb Pattern Blocks és la de construir mosaics. La que proposarem aquí tracta de construir frisos. Una de les definicions de fris ens diu és una "decoració tallada, pintada o gravada en bandes horitzontals". Entre els frisos podem destacar els periòdics (que tenen un mòdul que es va repetint per translació) i els no periòdics. Per treballar amb els Pattern Blocks ens centrarem en els primers, que són els que tenen més interès matemàtic:

Fris no periòdic
Fris periòdic
A més de construir frisos els podem estudiar i classificar. Bàsicament ens hem de fixar en quatre moviments bàsics i observar si el fris queda invariant o no després d'aplicar-lo.
  • Gir de 180º
  • Simetria d'eix horitzontal
  • Simetria d'eix vertical
  • Simetria lliscant


Continuem?

13 d’octubre de 2019

Un problema operatiu sorprenent: "Treure monedes del banc"

El divulgador matemàtic Alex Bellos manté, entre altres publicacions i col·laboracions, la columna Monday Puzzle a la publicació digital The Guardian. Un autor a seguir. El dilluns 7 d'octubre va proposar un problema titulat Treure monedes del banc (Getting coins out of the bank) que mereix atenció per diferents raons i que té una possible explotació didàctica. D'aquí que passem a plantejar-lo i comentar-lo. L'autor del problema és el matemàtic argentí Carlos Sarraute, que també ha proporcionat problemes a altres divulgadors com Adrián Paenza. És un problema de plantejament fàcil i de resolució sorprenent que ens pot permetre a l'aula parlar de demostracions, de condicions necessàries, condicions suficients... i que ens pot obrir tot un ventall de preguntes noves. Passem a plantejar i comentar el problema.

Tenim un tauler quadriculat limitat per dalt i per l'esquerra però infinit cap la dreta i cap avall. En aquest tauler marquem un quadrat de 2x2 a la cantonada superior esquerra i que anomenarem com a "banca".
Posem tres monedes a la banca tal com es mostra a l'esquema.
L'objectiu és treure les tres monedes de la banca amb aquestes dues regles:
  1. Si traiem una moneda apareixen dues noves a la casella immediatament dreta i immediatament inferior.
  2. No podem eliminar una moneda si la casella dreta o inferior estan ocupades per una altra moneda.
La demanda del problema és explicar com treure les tres monedes de la banca... o demostrar que és impossible.

El mateix Bellos ens enllaça un applet fet amb Scratch, dissenyat per Mtega, per practicar el problema. Cosa que us animem a fer abans de continuar llegint.


Heu practicat ja?

Per poc que us hàgiu dedicat començareu a sospitar que si el problema costa de resoldre i a l'enunciat es demana la demostració d'impossibilitat, és que les coses van per aquí: que encara que a priori sembla que es puguin treure les monedes en realitat és impossible.

De fet la demostració d'impossibilitat és sorprenent per indirecta, bella, entenedora... però poc intuïtiva en el que respecta al plantejament i el camí de resolució. És molt difícil que algun alumne arribi a aconseguir-la, però sí que l'entenguin i vegin la bellesa i potència de les matemàtiques. Presentar alguna demostració d'impossibilitat és interessant per a l'alumnat perquè entenguin com són les matemàtiques i com, amb una mica d'esforç, ens podem estalviar treballs inútils que no ens portaran enlloc.

T'animes a continuar i veure possibilitats didàctiques?

12 de juliol de 2019

Problemes connectats?

En aquest article plantejarem i estudiarem alguns problemes, de formats diferents, en els que buscarem patrons de creixement. Posteriorment mirarem si entre aquests patrons trobem alguna connexió i, si existeix, de quin tipus és.

Ens hi posem amb els problemes?
  • Problema 1. Tenim una "escaleta" quadriculada de 3x3. De quantes maneres diferents hi podem posar exactament tres rectangles a dins? I si l'escaleta és de 4x4, de quantes maneres podrem posar-hi quatre rectangles? (Entenem que els quadrats també són rectangles).
  • Problema 2. Tenim sis jugadors de bàsquet. Els hi volem fer una fotografia posant-los en dues files de tres, una davant de l'altra, de manera que el jugador de darrere sempre sigui més alt que el de davant i que, en la mateixa fila, el de la dreta també sigui més alt que el de l'esquerra. Quantes fotografies diferents podrem fer? I si tenim  vuit jugadors?
  • Problema 3. Quants camins (sense retrocés) hi ha per anar per la quadrícula des d'A fins a B sense creuar la diagonal a la quadrícula de 3x3? I si la quadrícula és de 4x4?
  • Problema 4. Disposem de sis palets. Quantes "muntanyes" o "serres muntanyoses" diferents podem fer de forma que hi hagi tres palets de pujada i tres de baixada? I si disposem de vuit palets? (Quatre de pujada i quatre de baixada).

Estudiem cada problema?

3 de desembre de 2018

Una variant de persistència multiplicativa i trens de potències

Abans de començar  aquest article recomano haver llegit l'article anterior sobre persistència multiplicativa, ja que, tot i que farem "recordatoris", hi hauran referències constants . Un cop fet l'avís... entrem en tema.

Fem memòria del que significa persistència multiplicativa. Agafem un nombre. Multipliquem les seves xifres. Si el resultat té més d'una xifra repetim el procés fins arribar a una xifra única. A l'article anterior vam comentar els efectes "devastadors" del zero: en el moment que apareix un zero (i és fàcil que passi) el procés iteratiu acaba en un pas i l'arrel multiplicativa serà zero. El matemàtic Paul Erdős (qui si no?) es va preguntar què passaria si en el procés iteratiu prescindim dels zeros.



A continuació teniu un petit aplicatiu, fet amb Scratch, per poder experimentar.


Una idea per a l'aula que pot venir ràpidament al cap és com varien les respostes a les preguntes que ens vam fer sobre la persistència "normal". Algunes les podem contestar de forma ràpida. Per exemple, la demostració de que s'acabava en una sola xifra continua sent perfectament vàlida. També continuant sent vàlides les reflexions que vam fer sobre l'efecte de les xifres (tret del zero) en la persistència. Altres preguntes les hem d'anar pensant:

  • Persistència i quantitat de xifres. Havíem vist que la persistència, encara que no era el més freqüent podia ser superior a la quantitat de xifres, però que mai la persistència superava en 2 la quantitat de xifres. Passarem ara aquesta frontera? Hi haurà persistències superior a xifres+2?
  • Arrel multiplicativa. En la majoria de casos (una mica més del 90% dels casos del 10 a 1 milió) acabàvem en zero. Ara això no passarà. Com es distribuirà aquest 90% entre les altres xifres? Continuaran sent els parells grup més abundant?
  • Durada de la persistència. Vam veure que la persistència 1 i 2 eren les més freqüents (de 10 a 1 milió un 40 i un 37% respectivament). L'aparició de zeros o d'una xifra parell i un cinc escurçava molt la persistència. En aquesta casos aquests zeros podríem dir que es convertiran en uns. Després de les durades d'1 i 2 passos, les de 3, 4... anaven baixant de mica en mica (12%, 6%...). Afectarà en molt la persistència d'Erdős a la durada?
  • Arbres genealògics. És evident, per les raons que vam apuntar a l'article anterior, que continuaran havent-hi "nombres orfes". Variaran molt els arbres genealògics dels nombres?
En primer lloc respondrem aquestes preguntes. Després aplicarem la idea de persistència als trens de potències de Conway.

Vols saber les respostes? I què és un tren de potències?

11 de novembre de 2018

Fem-nos preguntes sobre la "persistència multiplicativa"

La persistència multiplicativa és un “invent” de Neil Sloane, creador per altra banda de la OEIS (On-Line Encyclopedia of Integer Sequences), l’enciclopèdia de les sèries numèriques enteres. El concepte no és difícil. Agafem un nombre qualsevol. Per exemple 2793. Multipliquem les seves xifres (2·7·9·3) i obtenim 378. Ara tornem a fer el mateix amb les xifres del resultats (3·7·8) i obtenim 168. Hem de repetir el procés fins arribar a una sola xifra.


 En aquest cas necessitem cinc passes per arribar-hi i acabem amb el 6. Direm que la persistència multiplicativa de 2793 és 5 i la seva arrel multiplicativa 6.

Pels alumnes més grans pot ser una bona proposta preparar algun petit programa, com el següent o més senzill, que calculi la persistència.



Vaig conèixer la persistència multiplicativa (com tantes altres coses) pel Blog del PuntMat. Ells la proposen com un exemple de pràctica productiva (una tasca que permet la exercitació i alguna cosa més) per contraposar-la amb la pràctica reproductiva (que només busca l'exercitació “pura i dura”). De fet explorar-la una mica pot obrir un gran ventall de preguntes. I, no cal recordar, que saber plantejar-se preguntes és una de les competències matemàtiques, i extramatemàtiques, relacionada amb la resolució de problemes.

Al Blog del PuntMat se'ns mostra una imatge on una alumna va anotant alguns dels seus descobriments mentre va investigant la persistència multiplicativa dels nombres del 10 al 100. Per exemple:
  • Que l'ordre de les xifres no importa.
  • Que la persistència no depèn de la grandària del nombre.
  • Que la taula presenta simetries
  • Etc.

Imatge extreta del Blog del PuntMat

Però podem fer-nos altres preguntes i anar una mica més enllà. L'ideal és que se les facin els alumnes, però si no se les fan, podem ajudar-los a plantejar-se-les. Al llarg d'aquest article mostrarem algunes.