Tot i que el correu postal ha anat molt a la baixa en els darrers anys, el sobre de paper, en diferents formats, continua sent un objecte ben quotidià. Un dels formats clàssics de sobre el podem veure en aquesta imatge.
Si traiem els encavalcaments de paper i alguns arrodoniments com el de la solapa obtenim una figura més simplificada.
El nostre nou "sobre geomètric" s'ha obtingut plegant un quadrilàter seguint aquestes condicions:
- els quatre vèrtexs han coincidit en un mateix punt.
- la forma obtinguda és un rectangle.
- les solapes coincideixen perfectament: no hi ha ni encavalcaments entre elles ni deixen espais sense tapar.
En aquest cas, el quadrilàter que hem plegat per a fer un sobre és un "estel". Amb el quadrat tampoc hi ha problema per plegar-ho per formar un sobre.
En canvi, per molt que ho intentem, no podrem plegar un rectangle per fer un sobre amb les condicions que hem dit. Ho podeu comprovar amb aquest aplicatiu.
De què depèn que puguem tancar un quadrilàter fent un sobre? Investiguem-ho. A continuació teniu uns quants quadrilàters. Us enllacem una versió en GeoGebra i una imprimible per poder practicar. Recomanem imprimir i jugar amb paper.
 |
| Versió imprimible Versió GeoGebra |
Seguim investigant?
Una primera clau: per on hem de plegar?
La forma que ens ha de quedar al final és un rectangle recobert per quatre triangles que poden ser tots iguals (quan pleguem un quadrat), alguns d'iguals o tots diferents. En tot cas, alguns d'aquests triangles tenen costats compartits i, per tant, de la mateixa mida. Però, si ens hi fixem bé, els costats compartits provenen de plegar un mateix costat del quadrilàter original. Això implica que, els punts de plec els marcaran els punts mitjans dels quatre costats. Observa aquesta imatge per observar-ho en un dels costats del quadrilàter.
 |
| Els triangles A i B comparteixen el costat a, que ve d'ajuntar les dues meitats d'un mateix costat. |
Ens hi posem a plegar
Tenim una primera clau: hem de plegar per les rectes que uneixen els punts mitjans de cada costat. Observem quins polígons obtenim en cada cas.
Noves preguntes: àrea i mesura dels costats
Només en cinc casos la figura formada ha estat un rectangle: A, E, F, H i J. Per tant, aquests seran els nostres candidats. Només cal plegar-los. I fent-ho, veurem que només quatre d'ells són possibles: A, E, H i J.
El quadrilàter F (també anomenat "dard") no es pot fer. Amb un plec més, portant a darrere el vèrtex inferior del pentàgon fet, obtindríem la forma rectangular esperada, però no seria un sobre.
Tornem a la pregunta inicial: de què depèn que podem plegar en sobre?
Concavitat i convexitat
Ja hem vist dos casos de quadrilàters còncaus que no es poden fer, encara que un, a priori, semblaria possible. Podeu justificar per què els polígons còncaus no tanquen "en sobre"? Podeu començar observant la quantitat màxima de plecs que podem fer. Us ho deixem. En tot cas ja tenim una primera condició: el quadrilàter ha de ser convex.
Pista per a la segona condició
Podríem dir que la segona condició és que el quadrilàter secundari, el que es forma unint els punts mitjans dels costats del quadrilàter original, sigui un rectangle. Però, com sabem, que serà un rectangle abans de plegar-lo o dibuixar-lo? De moment, per fer-vos pensar no contestem directament.
Hi ha algunes primeres idees que podem descartar:
- Les simetries del quadrilàter: el rectangle té dues simetries, però el trapezoide J no en té cap.
- El tipus de quadrilàter. Tenim tres trapezis (D, G i H), fins i tot dos d'ells (G i H) són isòsceles, però només un d'ells "tanca sobre".
Us donarem una pista. Us marcarem, a cada cas dels que hem resolt, on està el punt de trobada dels vèrtexs, sense cap línia addicional que ens distregui. Potser així ho veureu quin és aquest punt i, dibuixant alguna línia addicional, quina és la segona relació clau.
Segona condició
Imaginem que ja ho heu vist: el punt on es troben els quatre vèrtexs és on es creuen les diagonals. I si les dibuixem veurem també que són perpendiculars. Ja tenim la segona característica del quadrilàter "ensobrable": les diagonals han de ser perpendiculars. Observem-ho mirant tots els casos inicials.
Quina relació hi ha entre l'àrea del rectangle obtingut després de plegar, i la del quadrilàter original? Aquesta pregunta no és difícil de descobrir i justificar. Us la deixem.
I de què depèn la mesura dels costats i, en conseqüència, el seu perímetre? Penseu-hi. Després hi tornarem,
Per què les diagonals han de ser perpendiculars?
Observar que la condició necessària per a "fer sobre", a més de la convexitat, és la perpendicularitat de les diagonals no és complicat. Justificar per què, ja demana una mica més. També podem fer observacions parcials. Una ja la donem per comentada: les línies de plec les marquen els punts mitjans dels costats, les que ens dibuixaran el quadrilàter secundari respectiu. Si ara tornem a mirar la nostra col·lecció de quadrilàters amb les diagonals dibuixades podrem observar un detall fàcilment.
Els polígons secundaris són sempre paral·lelograms i, els costats d'aquests paral·lelograms, són paral·lels a les diagonals. Aquesta propietat es coneix com a Teorema de Varignon. La relació entre les mesures de les diagonals i els costats del quadrilàter secundari no és gaire complicada de demostrar utilitzant semblança de triangles. També ens ajudarà a justificar la relació entre la mesura dels costats i la de les diagonals. I així veurem perquè el perímetre del quadrilàter secundari és igual a la suma de les dues diagonals, ja que cada costat del paral·lelogram té com a longitud la meitat de la diagonal corresponent. Us deixem un dibuix de pista per a la justificació.
Per altra banda, només en el cas que les diagonals siguin perpendiculars assegura que els vèrtexs s'hi trobin en un mateix punt quan es facin els plecs. Cal pensar que, quan fem un plec, en el fons estem fent una simetria. En aquest cas, del vèrtex respecte a la recta que traça el plec.
I a l'aula?
- El problema es pot plantejar a 1r o 2n d'ESO (o fins i tot al CS de primària) si només volem que descobreixin les condicions per a "tancar en sobre". Si, a més, volem que es justifiqui, ampliant la investigació, haurem d'anar a cursos superiors.
- Així i tot, l'observació sobre la forma dels quadrilàters secundaris (el Teorema de Varignon), es pot fer també als primers cursos d'ESO. GeoGebra, en aquest cas, és un gran instrument per observar-ho. Per a la demostració cal conèixer el Teorema de Tales (de fet, el recíproc del Teorema: si hi ha proporcionalitat, hi ha paral·lelisme). Per tant, com ja hem dit al punt anterior, queda per a 3r o 4t d'ESO o més endavant. Com a curiositat direm que aquest teorema compleix el que es coneix com a Principi d'Arnold: "Cap noció matemàtica porta el nom del seu autèntic descobridor", ja que va ser enunciat abans per Simon Stevin.
- És una bona activitat "creixent" des de la manipulació a la descoberta de propietats i relacions i, si s'escau, arribar a la demostració.
Cap comentari:
Publica un comentari a l'entrada