3 de desembre del 2018

Una variant de persistència multiplicativa i trens de potències

Abans de començar  aquest article recomano haver llegit l'article anterior sobre persistència multiplicativa, ja que, tot i que farem "recordatoris", hi hauran referències constants . Un cop fet l'avís... entrem en tema.

Fem memòria del que significa persistència multiplicativa. Agafem un nombre. Multipliquem les seves xifres. Si el resultat té més d'una xifra repetim el procés fins arribar a una xifra única. A l'article anterior vam comentar els efectes "devastadors" del zero: en el moment que apareix un zero (i és fàcil que passi) el procés iteratiu acaba en un pas i l'arrel multiplicativa serà zero. El matemàtic Paul Erdős (qui si no?) es va preguntar què passaria si en el procés iteratiu prescindim dels zeros.



A continuació teniu un petit aplicatiu, fet amb Scratch, per poder experimentar.


Una idea per a l'aula que pot venir ràpidament al cap és com varien les respostes a les preguntes que ens vam fer sobre la persistència "normal". Algunes les podem contestar de forma ràpida. Per exemple, la demostració de que s'acabava en una sola xifra continua sent perfectament vàlida. També continuant sent vàlides les reflexions que vam fer sobre l'efecte de les xifres (tret del zero) en la persistència. Altres preguntes les hem d'anar pensant:

  • Persistència i quantitat de xifres. Havíem vist que la persistència, encara que no era el més freqüent podia ser superior a la quantitat de xifres, però que mai la persistència superava en 2 la quantitat de xifres. Passarem ara aquesta frontera? Hi haurà persistències superior a xifres+2?
  • Arrel multiplicativa. En la majoria de casos (una mica més del 90% dels casos del 10 a 1 milió) acabàvem en zero. Ara això no passarà. Com es distribuirà aquest 90% entre les altres xifres? Continuaran sent els parells grup més abundant?
  • Durada de la persistència. Vam veure que la persistència 1 i 2 eren les més freqüents (de 10 a 1 milió un 40 i un 37% respectivament). L'aparició de zeros o d'una xifra parell i un cinc escurçava molt la persistència. En aquesta casos aquests zeros podríem dir que es convertiran en uns. Després de les durades d'1 i 2 passos, les de 3, 4... anaven baixant de mica en mica (12%, 6%...). Afectarà en molt la persistència d'Erdős a la durada?
  • Arbres genealògics. És evident, per les raons que vam apuntar a l'article anterior, que continuaran havent-hi "nombres orfes". Variaran molt els arbres genealògics dels nombres?
En primer lloc respondrem aquestes preguntes. Després aplicarem la idea de persistència als trens de potències de Conway.

Vols saber les respostes? I què és un tren de potències?