11 de novembre de 2018

Fem-nos preguntes sobre la "persistència multiplicativa"

La persistència multiplicativa és un “invent” de Neil Sloane, creador per altra banda de la OEIS (On-Line Encyclopedia of Integer Sequences), l’enciclopèdia de les sèries numèriques enteres. El concepte no és difícil. Agafem un nombre qualsevol. Per exemple 2793. Multipliquem les seves xifres (2·7·9·3) i obtenim 378. Ara tornem a fer el mateix amb les xifres del resultats (3·7·8) i obtenim 168. Hem de repetir el procés fins arribar a una sola xifra.


 En aquest cas necessitem cinc passes per arribar-hi i acabem amb el 6. Direm que la persistència multiplicativa de 2793 és 5 i la seva arrel multiplicativa 6.

Pels alumnes més grans pot ser una bona proposta preparar algun petit programa, com el següent o més senzill, que calculi la persistència.



Vaig conèixer la persistència multiplicativa (com tantes altres coses) pel Blog del PuntMat. Ells la proposen com un exemple de pràctica productiva (una tasca que permet la exercitació i alguna cosa més) per contraposar-la amb la pràctica reproductiva (que només busca l'exercitació “pura i dura”). De fet explorar-la una mica pot obrir un gran ventall de preguntes. I, no cal recordar, que saber plantejar-se preguntes és una de les competències matemàtiques, i extramatemàtiques, relacionada amb la resolució de problemes.

Al Blog del PuntMat se'ns mostra una imatge on una alumna va anotant alguns dels seus descobriments mentre va investigant la persistència multiplicativa dels nombres del 10 al 100. Per exemple:
  • Que l'ordre de les xifres no importa.
  • Que la persistència no depèn de la grandària del nombre.
  • Que la taula presenta simetries
  • Etc.

Imatge extreta del Blog del PuntMat

Però podem fer-nos altres preguntes i anar una mica més enllà. L'ideal és que se les facin els alumnes, però si no se les fan, podem ajudar-los a plantejar-se-les. Al llarg d'aquest article mostrarem algunes.



Primeres qüestions

Unes preguntes inicials fàcils s'orienten a observar com afecten algunes xifres en la persistència d'un nombre. Per exemple:

  • Quin paper fan els uns en un nombre? No és difícil de contestar: no afecta a la persistència. Els nombres 16, 116, 161 o 11116111 tindran la mateixa persistència. D'aquí que a la resta de l'article, en molts casos, no els tindrem en compte.
  • Quin paper fa el zero? Tampoc és difícil: quan aparegui un zero en un sol pas més arribarem a una sola xifra, el mateix zero. És com una aspiradora que ho xucla tot.
  • Lligada amb l'anterior: podem preveure l'aparició del zero? Clarament veurem que si tenim entre les xifres algun 2 i algun 5 obtindrem un zero. Per tant arribarem a una sola xifra en dos passes. Però això ho podem generalitzar. Si veiem qualsevol nombre parell i, com a mínim, un cinc també obtindrem un zero. Així podem veure fàcilment que el nombre 314711597 tindrà una persistència 2 i una arrel multiplicativa 0 perquè observem un 4 i un 5. Per desgràcia no podem preveure tan fàcilment l'aparició de zeros que no estiguin al final del resultat de la multiplicació. Per exemple, el nombre 7777 produeix 2401. Personalment, encara no conec com es pot preveure l'aparició d'aquests zeros.
  • Quin paper fa el 5 quan no apareix un parell en tot el procés? L'arrel multiplicativa sempre serà 5.
Però passem ara a fer-nos altres preguntes


Acabarem sempre en una sola xifra?

Es una pregunta força natural i que pot ser interessant per treballar aspectes relacionats amb l'argumentació (Dimensió de Raonament i prova). Un exemple d'argumentació pot ser aquesta:

  • Quin és el nombre més gran que podem tenir de dues xifres? El 99 que dona com a resultat 81.
  • I de tres? 999 que dona 729
  • I de quatre? 9999 que dona 6561
Podem observar que s'obté la mateixa quantitat de xifres però que el resultat que obtenim de multiplicar les xifres és sempre menor que el nombre de sortida.

99>81
999>729
9999>6561

A base de reduccions haurem d'arribar inevitablement a una sola xifra.

Podem reforçar l'argument observant que si multipliquem 21 nous els resultat té 21 xifres, però si multipliquem 22 nous el resultat també en té 21, hi ha una reducció. Aquesta reducció torna a aparèixer amb 43 i 44 nous; en tots dos casos el resultat té 42 xifres.

Persistència i quantitat de xifres

El que hem observat amb els nous, que de 2 a 22 nous sempre hi ha tantes xifres com persistència, pot portar a preguntar-nos si la persistència serà tan llarga, com a molt, com la quantitat de xifres. Però no és gens difícil trobar contraexemples (una bona eina d'argumentació) que ho desmenteixen.

El 39 és el nombre més petit amb una persistència superior a la seva quantitat de xifres, ja que té una persistència 3. El 77, també de dues xifres, el supera amb una persistència 4. I així podem anar trobant tot de nombres que tenen una persistència superior en una o dues passes a la quantitat de xifres. (Pregunta relacionada: hi ha algun nombre que superi en 3 passes la quantitat de xifres)


Podem jugar una mica i classificar els nombres en tres grups depenent si la persistència és més gran, igual o menor al la quantitat de xifres que tingui.


Això ens porta a noves preguntes: de quin tipus hi haurà més nombres? Si pensem una mica a partir del que ja sabem la nostra intuïció ens dirà que els hipopersistents seran més abundants. El fet de que els uns no hi comptin o que les aparicions dels zeros seran molt freqüents són arguments en pro d'aquesta hipòtesis. Però... com es reparteixen els tres grups?

Una possibilitat és fer provar als alumnes, repartint nombres per parelles, i fer un petit recull estadístic. A 50 nombres per parella i 25 alumnes podem provar fins al 1250. Però millor fer treballar l'ordinador amb un programa similar aquest que podeu descarregar, importar i fer funcionar amb Snap. Del 10 al 42 849 830 (havia de tancar l'ordinador i per això un nombre tan estrany) i els resultats obtinguts han estat aquests.


Aclaparadorament superabundants els hipopersistents, ben escassos (i a mesura que els nombres es van fent més gran es van tornant més estranys) els hiperpersistents i molt poc freqüents també els persistents perfectes. Està demostrat que la persistència no pot superar en 2 a la quantitat de xifres. El més petit d'aquests casos ja l'hem conegut: el 77, amb dues xifres i una persistència 4. Si voleu pensar la demostració podem dir que part dels arguments, d'una manera no refinada, ja s'ha plantejat anteriorment quan ens preguntàvem si sempre acabarem amb una sola xifra. L'única informació que cal afegir és que s'ha comprovat que fins a 1022 no s'ha trobat cap nombre de persistència superior a 2.


Arrels multiplicatives

Una altra pregunta possible, i de la que podem intuir respostes, és si tots els “finals”, de 0 a 9, seran igual de freqüents. Us convido a pensar-ho abans de continuar llegint.

No serà difícil intuir que el zero serà relativament freqüent. Només ens cal un zero o un parell i un cinc per arribar-hi. També podem preveure que les arrels multiplicatives parells seran més abundants que les senars, ja que a la que aparegui una xifra parell la resta de resultats que s'obtindran també ho seran. I una altra deducció possible és que els finals en 1 seran ben escassos, ja que només hi arribarem si totes les xifres del nombre són uns (11, 111, 1111, etc.).

Amb un petit programa podem experimentar i veure si són encertades o no les nostres intuïcions.

Aquí tenim un gràfic dels resultats obtinguts entre 10 i un milió.


Com ja hem dit abans el zero es mostra com una aspiradora. Els finals en 6 i en 8 són els següents en freqüència, però a molta distància. Segueixen el 2 i el 4. Molt proper a aquest el 5 i la resta (1, 3, 7 i 9) són gairebé testimonials.


Durada de la persistència

Quina serà la persistència més freqüent? Hi penseu una mica?

Ja hem vist l'efecte del zero i dels parells amb un cinc. Les persistències 1 i 2 seran, probablement, les més freqüents. Un estudi fet amb ordinador, amb els nombres de 10 a un milió, ens confirma que la persistència va baixant de 1 i 2 a 7 de forma molt ràpida.


Sabem que no hi ha cap nombre menor a 10333 amb una persistència superior a 11. El més petit és el 277777788888899 i es conjectura que el nombre més gran amb persistència 11, sense uns,  és el 77777733332222222222222222222. De fet es pensa que 11 és la persistència màxima, però no està encara demostrat.


Arbres genealògics i nombres orfes

Una tasca que es pot fer amb els alumnes (de primària o principis de l'ESO) és l'elaboració d'arbres genealògics del 0, l'1, el 2... fins a un nombre determinat, per exemple el 100. Descobrirem que, com ja hem vist abans, que el zero o el 6 tenen uns arbres molt grans i que el 9 o l'1 ben petits.



Relacionat amb els arbres genealògics podrem preguntar-nos si hi ha “nombres orfes”, que no provenen de ningú. I si és així, com seran. Els nombres primers de dues xifres o més són orfes clars, però hi ha molts altres. Per exemple el 22 (l'orfe més petit no primer). El que caracteritza un nombre orfe és que en la seva descomposició factorial hi ha algun factor de dues xifres.

Nombres orfes de 10 a 99

Per descobrir antecessors d’un nombre només cal fer la seva descomposició factorial. Si tots els factors són d’una xifra podem començar a jugar. Aquí tenim un exemple que no juga ni amb l'ordre ni amb els uns. A partir de la descomposició fem aquells productes parcials que tenen una xifra.



I a l’aula?

Bàsicament ja ho hem dit:
  • Animar a fer-se preguntes (i si no ajudar a que surtin) i investigar-les.
  • Treballar la conjectura i l'argumentació.
  • Amb els grans intentar que facin algun programa, per exemple amb Scrath, per analitzar les situacions.
Voleu saber més?

Amb l'article pràcticament acabat he trobat un article de Jean-Paul Delahaye (La persistance des nombres) que es planteja moltes de les preguntes que aquí han sortit i que m'ha permès polir alguns detalls, especialment en el que es refereix a les demostracions. També m'obre finestres a una continuació.

En tot cas no puc deixar d'afegir una taula que mostra i que és especialment curiosa. A la taula recull quants nombres tenen com arrel multiplicativa 0, 1, 2, etc. entre 1i 10, entre 1 i 100, entre 1 i 1000... i que mostren pautes sorprenents.


  • Els nombres de la columna de l'1 van de un en un. (És l'exponent de 10 fins al límit que ens hem posat. Per a 100 000 (105) és 5.
  • Les columnes del 3 i el 7 són els nombres triangulars que apareixen a la 3a columna del Triangle de Pascal 
  • La columna del 9  és la quarta columna del Triangle de Pascal


Cap comentari:

Publica un comentari