3 de desembre de 2018

Una variant de persistència multiplicativa i trens de potències

Abans de començar  aquest article recomano haver llegit l'article anterior sobre persistència multiplicativa, ja que, tot i que farem "recordatoris", hi hauran referències constants . Un cop fet l'avís... entrem en tema.

Fem memòria del que significa persistència multiplicativa. Agafem un nombre. Multipliquem les seves xifres. Si el resultat té més d'una xifra repetim el procés fins arribar a una xifra única. A l'article anterior vam comentar els efectes "devastadors" del zero: en el moment que apareix un zero (i és fàcil que passi) el procés iteratiu acaba en un pas i l'arrel multiplicativa serà zero. El matemàtic Paul Erdős (qui si no?) es va preguntar què passaria si en el procés iteratiu prescindim dels zeros.



A continuació teniu un petit aplicatiu, fet amb Scratch, per poder experimentar.


Una idea per a l'aula que pot venir ràpidament al cap és com varien les respostes a les preguntes que ens vam fer sobre la persistència "normal". Algunes les podem contestar de forma ràpida. Per exemple, la demostració de que s'acabava en una sola xifra continua sent perfectament vàlida. També continuant sent vàlides les reflexions que vam fer sobre l'efecte de les xifres (tret del zero) en la persistència. Altres preguntes les hem d'anar pensant:

  • Persistència i quantitat de xifres. Havíem vist que la persistència, encara que no era el més freqüent podia ser superior a la quantitat de xifres, però que mai la persistència superava en 2 la quantitat de xifres. Passarem ara aquesta frontera? Hi haurà persistències superior a xifres+2?
  • Arrel multiplicativa. En la majoria de casos (una mica més del 90% dels casos del 10 a 1 milió) acabàvem en zero. Ara això no passarà. Com es distribuirà aquest 90% entre les altres xifres? Continuaran sent els parells grup més abundant?
  • Durada de la persistència. Vam veure que la persistència 1 i 2 eren les més freqüents (de 10 a 1 milió un 40 i un 37% respectivament). L'aparició de zeros o d'una xifra parell i un cinc escurçava molt la persistència. En aquesta casos aquests zeros podríem dir que es convertiran en uns. Després de les durades d'1 i 2 passos, les de 3, 4... anaven baixant de mica en mica (12%, 6%...). Afectarà en molt la persistència d'Erdős a la durada?
  • Arbres genealògics. És evident, per les raons que vam apuntar a l'article anterior, que continuaran havent-hi "nombres orfes". Variaran molt els arbres genealògics dels nombres?
En primer lloc respondrem aquestes preguntes. Després aplicarem la idea de persistència als trens de potències de Conway.

Vols saber les respostes? I què és un tren de potències?

Persistència d'Erdős. Respostes.

  • Persistència i quantitat de xifres. No passarem mai la frontera de xifres+2. Els arguments que servien per a demostrar que no es podia traspassar aquesta frontera amb la persistència multiplicativa normal continuen sent igual de vàlids.
  • Arrel multiplicativa. La persistència del zero es reparteix entre els altres nombres, però són els parells (menys el 4) els que continuen dominant. En aquest gràfic (amb la persistència dels nombres del 10 a un milió) podem comparar les arrels multiplicatives dels dos tipus de persistència. Podem observar que, com a mínim, els senars ara són "visibles".
  • Durada de la persistència. La persistència general s'allarga. Ho podem comparar en aquest gràfic amb les dues persistències dels nombres entre 10 i un milió. Es veu que les persistències més altes són 3 i 4. De fet la persistencia mitjana normal és de 1,96 i la d'Erdős de 3,32.

Treballant amb nombres molt grans podem trobar persistències superiors a 11, que es la que es pensa límit de la persistència normal. El nombre 5(16)7(13), fet de 16 cincs i 13 sets té una persistència 12.
 55555555555555557777777777777 → 14784089722747802734375 → 49962386718720 → 438939648 → 4478976 → 338688 → 27648 →2688 → 768 → 336 → 54 → 20 → 2

Es coneixen nombres amb persistències 13, 14, 15, 16 i 17, que, de moment, és la més alta coneguda 3(1)7(27)8(399)
  • Arbres genealògics. Canviar els arbre genealògics de la persistència normal a la d'Erdős és tan fàcil com recol·locar els nombres del zero. Fer aquests nous arbres ens pot ajudar a pensar sobre com es distribuiran les arrels multiplicatives. El "nombres orfes" continuaran sent els mateixos.
Arbres del 3 (fins a 100) A l'esquerra persistència normal i a la dreta la d'Erdős

Trens de potències

 A l'any 2007 el matemàtic John H. Conway (un autèntic referent a tots els nivells, però en el jocs i recreacions matemàtics també) va proposar investigar els trens de potències. Un tren de potències es construeix agafant les xifres des de l'esquerra. La 1a s'agafa com a base d'un potència i la 2a com exponent. Aquest resultat es multiplica per l'obtingut d'agafar la 3a xifra com a base i la 4a com a exponent... i així successivament. Si la quantitat de xifres és senar la darrera no té exponent, o bé, si us ho estimeu més, té exponent 1. Per convenció es considera 00=1. Amb el resultat obtingut repetim el procés fins arribar a obtenir una sola xifra.
Podeu practicar una mica amb aquest applet fet amb Scratch. (Atenció: si algun resultat parcial el dona en notació científica la resta de passes ja no valen)



Ja tenim la situació i ens podem fer preguntes similars a les persistències multiplicatives. Però abans de mirar les respostes penseu i feu les vostres conjectures.

  • S'acabarà sempre en una sola xifra? La resposta ara és que no. Perquè hi ha, si més no, un parell de nombres "indestructibles" coneguts: nombres que donen com a resultat ells mateixos i ens fan entrar en un cicle inacabable. El propi Conway va trobar el primer: 2592.
2592 → 259= 32·81 = 2592

El següent és força més gran i el va trobar Neil Sloane. És el 24547284284866560000000000. El 2592 no triga gaire en aparèixer. Amb els nombres entre 10 i 5000 apareix cinc vegades en la cadena de càlculs: amb el 642, el 2164, el 2534, amb el propi 2592 i amb el 3425.
642 → 642 = 1296·2 = 2592

  • En quines xifres acabarem més? Podem sospitar, com en el cas de la persistència multiplicativa, que el zero serà un dels finals més freqüents i per raons semblants a les que donàvem en aquell moment: en el moment que aparegui un zero a la base (amb un exponent diferent de zero) el resultat serà zero. Curiosament l'1 ara és el segon final més freqüent. Ben segur que podeu donar alguna raó. Només hem comprovat amb els nombres fins al 5000 i el resultat obtingut és el següent:
Comprovat amb aquest projecte d'Scratch
  • Quina serà la quantitat de passes necessària? De la mateixa manera que amb la persistència multiplicativa l'aparició de zeros i uns escurçarà molt la quantitat d'iteracions. Amb els nombres de l'1 al 5000 sorprèn observar, per,ò que hi ha més nombres que acaben en tres passes que en dues.
Comprovat amb aquest projecte d'Scratch

I a l'aula?

Amb tota la sinceritat del món no crec que sigui gaire interessant treballar amb exhaustivitat, o de forma independent, la persistència d'Erdős o els trens de potències de Conway. Sí que m'ho sembla la persistència numèrica tal com la vam plantejar en un article anterior. Però les bones activitats permeten els "i si?", preguntar-se què passa si canviem algunes de les condicions generals del problema. Per tant, partir del que hem descobert amb la persistència normal i conjecturar què pot passar en noves situacions, és una bona forma d'anar més enllà del problema inicial.

En aquests dos casos els càlculs poden ser una mica farragosos i repetitius si ja hem estudiat la persistència multiplicativa comptant amb els zeros. Però podem demanar com pensen que canviaran els resultats amb la persistència d'Erdős. Fins i tot podem demanar com variaran els "arbres genealògics". Això no és molt difícil de treballar perquè només hem de repartir l'arbre del zero entre els altres i, a partir dels nous arbres, pensar si els finals (les arrels multiplicatives) canviaran molt.

Amb els trens de potències pot ser convenient provar alguns casos de dos, tres, quatre o cinc xifres per veure si s'entenc com es calculen i familiaritzar-se amb la nova situació. També podrem observar com creixen i decreixen ràpidament els resultats parcials.

Sempre es poden fer programes (amb els més grans) per estudiar els resultats a una escala més gran. Si utilitzeu els que hem enllaçat (especialment el dels trens de potències) i tenint en compte que Scratch permet exportar dades en format svc es pot fer també alguna mena d'estudi estadístic.

Cap comentari:

Publica un comentari a l'entrada