26 de gener del 2022

Prostafairesis, taules de quarts de quadrats... Multipliquem d'una altra manera!

Buscar formes de simplificar les activitats complexes ha estat un dels motors del desenvolupament tecnològic (i cultural) de la humanitat. El càlcul és una d'aquestes activitats i, actualment, en gran part el deleguem en les màquines, sobretot si son llargs, molt repetititus o amb nombres complicats. Però el camí per arribar fins aquí ha estat llarg. Tristament, encara hi ha docents que discuteixen l'ús de les calculadores a l'aula. Un cosa és discutir "sobre l'ús" (quan, quant, com, per a què), però una altra "discutir-ne l'ús". La calculadora ha d'estar a l'aula. Però els que tenim una edat podem recordar els temps en el què aquest debat no tenia sentit, perquè les calculadores de butxaca eren uns ens estranys al teu entorn, unes autèntiques rareses. Els que vam estudiar el batxillerat pre-EGB encara vam haver de comprar llibres amb taules de logaritmes i estudiar com les multiplicacions es podien convertir en sumes, les divisions en restes, les potències en productes i les arrels en divisions. L'aplicació dels logaritmes a la simplificació dels càlculs complexos va ser fonamental des del segle XVII fins a ben entrat el XX. Als anys 70 encara era habitual veure "calculistes" fent anar el regle de càlcul, de base logarítmica.

Però abans del segle XII ja existien altres mètodes per alleugerir les grans multiplicacions reduint-les a sumes i restes de nombres extrets de taules numèriques. Alguns, basats en taules de quadrats, sembla que venen de l'antiga Mesopotàmia i van durar fins als inicis del segle XX. D'altres, basats en taules trigonomètriques, van ser usats des del segle XVI fins al triomf generalitzat dels logaritmes, amb els que van conviure molts anys. Aquest segon mètode rebia el nom de prostafairesis.

Abans d'estudiar-los amb més calma veiem un exemple d'aplicació de cadascun (tot recordant que es basen en l'ús de taules numèriques "prefabricades")

  • Amb taula de quadrats.
Imaginem que volem multiplicar 785·296 = 232 360
  1. Sumem els dos nombres
         785+296 = 1 081
  2. Restem els dos nombres
         785-296 = 489
  3. Busquem a una taula de quadrats els de la suma i de la diferència anteriors
         1081= 1 168 561
         489=239 121.
  4. Restem aquests dos resultats
         1 168 561 - 239 121 = 929 440
  5. Fem la quarta part de la resta anterior i obtenim el resultat del producte buscat
         929 440/4 = 232 360
  • Amb trigonometria
Fem la mateixa multiplicació 785·296 = 232 360
  1. "Arreglem" els nombres perquè estiguin entre 0 i 1. En aquest cas dividint cadascun per 1000 (0,785 i 0,296). A aquesta operació li direm "escalar els nombres".
  2. Busquem a angle quin correspondrien els nombres anteriors si aquests fossin els seus cosinus. Ho podem fer amb una taula trigonomètrica i mirant l'arccosinus, que sovint a la calculadora ens apareix com cos-1.
         Arccos (0,785) = 38,27932174º
         Arccos (0,296) = 72,78248857º
  3. Sumem i restem els dos angles anteriors
         38,27932174º+72,78248857º=111,06181031º
         38,27932174º-72,78248857º = -34,50316683º
  4. Mirem a la taula trigonomètrica els cosinus dels dos angles anteriors
         cos (111,06181031º) = -0.35937488
         cos (-34,50316683º) = 0.82409488
  5. Sumem els cosinus anteriors
         -0,35937488 + 0,82409488 = 0,46472
  6. Fem la meitat del resultat anterior.
         0,46472/2 = 0,23236
  7. Només queda "reescalar" el resultat. Donat que havíem dividit inicialment cada nombre entre 103, ara haurem de multiplicar per 106.
         0,23236 · 1000000= 232 360
Potser semblaran algoritmes molt alambinats, però amb càlculs de navegació, astronòmics o d'enginyeria escurçaven molt el temps emprats en la seva realització. Només calia disposar d'unes bones taules de quadrats o trigonomètriques.

Els mirem amb més calma? Com es justifiquen?