Buscar formes de simplificar les activitats complexes ha estat un dels motors del desenvolupament tecnològic (i cultural) de la humanitat. El càlcul és una d'aquestes activitats i, actualment, en gran part el deleguem en les màquines, sobretot si son llargs, molt repetititus o amb nombres complicats. Però el camí per arribar fins aquí ha estat llarg. Tristament, encara hi ha docents que discuteixen l'ús de les calculadores a l'aula. Un cosa és discutir "sobre l'ús" (quan, quant, com, per a què), però una altra "discutir-ne l'ús". La calculadora ha d'estar a l'aula. Però els que tenim una edat podem recordar els temps en el què aquest debat no tenia sentit, perquè les calculadores de butxaca eren uns ens estranys al teu entorn, unes autèntiques rareses. Els que vam estudiar el batxillerat pre-EGB encara vam haver de comprar llibres amb taules de logaritmes i estudiar com les multiplicacions es podien convertir en sumes, les divisions en restes, les potències en productes i les arrels en divisions. L'aplicació dels logaritmes a la simplificació dels càlculs complexos va ser fonamental des del segle XVII fins a ben entrat el XX. Als anys 70 encara era habitual veure "calculistes" fent anar el regle de càlcul, de base logarítmica.
Però abans del segle XII ja existien altres mètodes per alleugerir les grans multiplicacions reduint-les a sumes i restes de nombres extrets de taules numèriques. Alguns, basats en taules de quadrats, sembla que venen de l'antiga Mesopotàmia i van durar fins als inicis del segle XX. D'altres, basats en taules trigonomètriques, van ser usats des del segle XVI fins al triomf generalitzat dels logaritmes, amb els que van conviure molts anys. Aquest segon mètode rebia el nom de prostafairesis.- Amb taula de quadrats.
- Sumem els dos nombres
785+296 = 1 081 - Restem els dos nombres
785-296 = 489 - Busquem a una taula de quadrats els de la suma i de la diferència anteriors
10812 = 1 168 561
4892 =239 121. - Restem aquests dos resultats
1 168 561 - 239 121 = 929 440 - Fem la quarta part de la resta anterior i obtenim el resultat del producte buscat
929 440/4 = 232 360
- Amb trigonometria
- "Arreglem" els nombres perquè estiguin entre 0 i 1. En aquest cas dividint cadascun per 1000 (0,785 i 0,296). A aquesta operació li direm "escalar els nombres".
- Busquem a angle quin correspondrien els nombres anteriors si aquests fossin els seus cosinus. Ho podem fer amb una taula trigonomètrica i mirant l'arccosinus, que sovint a la calculadora ens apareix com cos-1.
Arccos (0,785) = 38,27932174º
Arccos (0,296) = 72,78248857º - Sumem i restem els dos angles anteriors
38,27932174º+72,78248857º=111,06181031º
38,27932174º-72,78248857º = -34,50316683º - Mirem a la taula trigonomètrica els cosinus dels dos angles anteriors
cos (111,06181031º) = -0.35937488
cos (-34,50316683º) = 0.82409488 - Sumem els cosinus anteriors
-0,35937488 + 0,82409488 = 0,46472 - Fem la meitat del resultat anterior.
0,46472/2 = 0,23236 - Només queda "reescalar" el resultat. Donat que havíem dividit inicialment cada nombre entre 103, ara haurem de multiplicar per 106.
0,23236 · 1000000= 232 360
Construcció dinàmica amb GeoGebra |
- És culturalment interessant conèixer els esforços de la humanitat per afrontar els problemes de cada època amb la "tecnologia" del seu temps. Abans de la calculadora electrònica es feien servir les eines del moment. Les taules numèriques hi van jugar un paper important. També ens pot ajudar a veure que algunes fórmules (com els productes notables o les relacions trigonomètriques) han tingut una utilitat pràctica, "han servit" per a alguna cosa.
- Les demostracions algebraica i visual de l'equivalència de 4ab a la resta entre els quadrats de la suma i de la diferència d'a i b no és difícil de fer... o de seguir. Pot ser interessant treballar-les. Per altra banda en podem transportar mentalment a èpoques antigues i emular alguns càlculs amb una taula de quarts de quadrats com la que teniu aquí enllaçada.
- Si hem treballat les fórmules dels cosinus d'un angle suma i un angle diferència, la demostració algebraica de la fórmula de la prostafaerisis tampoc és complicada. En aquest cas serà difícil de disposar de taules en paper o digitals, però podem utilitzar les tecles cos i cos-1, recordant que, prèviament, hem d'escalar els nombres. Però si el vostre institut és antic, probablement trobareu algun llibre de taules amagat per algun racó del departament!
- També es poden fer programes amb Scratch o Snap. El del quarts de quadrat no té cap problema. Però el de prostafairesis planteja tot un joc amb el tema d'escalar i reescalat els nombres que és interessant.
Cap comentari:
Publica un comentari a l'entrada