Nombres figurats i càlcul d'àrees de polígons regulars. Una connexió dubtosa

Al llibre Las matemáticas de la Edad Media (2015), de Pablo Martín Prieto, s'esmenta que, com a mètode pràctic de càlcul dels polígons regulars, als agrimensors se'ls recomanava utilitzar unes fórmules aproximades relacionades amb els nombres figurats, també coneguts com a nombres poligonals. L'aritmo-geometria, que estudia aquests nombres, té el seu origen a l'Escola Pitagòrica i els més coneguts són els triangulars i els quadrats. Recordem, breument, aquesta família de nombres, que representem sempre amb punts.

• Nombres triangulars

Comencem amb un punt que representarà el nombre 1. A continuació, afegim una fila amb 2 punts: serà el nombre 3 (1+2). Després afegirem una tercera fila amb tres punts i obtindrem un total de 6 (1+2+3). I continuem indefinidament: 10 (1+2+3+4), 15 (1+2+3+4+5), 21 (1+2+3+4+5+6), etc.

• Nombres quadrats

Si ara , també començant des de l'1, disposem els punts formant quadrats, obtindrem una sèrie diferent: 1, 4 (1+3), 9 (1+3+5), 16 (1+3+5+7), 25 (1+3+5+7+9), 36 (1+3+5+7+9), etc.

• Nombres pentagonals

Comencem de nou. i sempre ho farem així, per l'1. Ara les disposicions seran pentagonals i la sèrie obtinguda 1, 5 (1+4), 12 (1+4+7), 22 (1+4+7+10), 35 (1+4+7+10+13), 51 (1+4+7+10+13+16), etc.

D'aquesta manera podem continuar construint noves sèries de nombres hexagonals, heptagonals, octogonals... Per a trobar el terme n de cada sèrie existeixen fórmules específiques:

De fet, existeix una fórmula general dels nombres figurats. Si anomenem c a la quantitat de costats del polígon i n al terme específic de la sèrie, la fórmula és la següent:

Podeu veure una demostració en aquest document

La qüestió és que en alguns llibres de l'Edat Mitjana adreçats principalment a agrimensors, com hem dit abans, se suggeria com a mètode pràctic aplicar aquesta fórmula per a aproximar les àrees dels polígons regulars. Per a calcular l'àrea n seria la longitud del costat i c la quantitat de costats del polígon concret. No calia cercar l'apotema i fer arrels quadrades ni càlculs trigonomètrics. Era molt més senzilla perquè només demanava fer un quadrat, com a molt dos productes, una suma i una divisió per dos. De fet, el que acostumaven a fer era donar les fórmules adaptades a cada polígon particular. És a dir, les de la taula anterior. Però, era una bona aproximació?

Estudiem el problema?

Descarregar el Blog en set quaderns

En 14 anys que fa que es publica aquest blog ja hi ha molt material acumulat. S'han recollit la gran majoria d'articles en set quaderns en format PDF. També teniu una taula on estan llistats els 161 articles escollits indicant si incorporen aspectes dels diferents sentits del currículum matemàtic actual: numèric, espai, mesura, algebraic i estocàstic. Quedaran fixats en una nova pàgina creada al blog i que trobareu a la pestanya de Descàrregues. Esperem que us sigui útil!

Llistat d'articles

• Enllaç al full de càlcul

Quaderns d'articles (PDF)

Euler jugant al golf

Piergiorgio Odifreddi, un dels millors divulgadors matemàtics italians, al seu llibre Pillole matematiche inclou una "píndola" titulada Palline, palloni e cupole (una cosa com "Boles, pilotes i cúpules") que pot ser molt interessant de compartir. Un cop presentat l'origen d'aquest article, entrem en tema.

Heu mirat atentament alguna vegada una pilota de golf? Si ho heu fet haureu observat que la seva superfície és rugosa a causa de la presència d'una gran quantitat d'alvèols (com uns petits foradets).

Aquests alvèols ajuden a allargar el vol de la pilota i la distància recorreguda després del cop. Segons la Viquipèdia, la majoria tenen entre 250 i 450 alvèols, però n'hi ha amb més. El rècord està en 1070. Hi ha diferents models de pilotes amb distribucions diferents. Si mirem els de la pilota de la imatge, un dels models més freqüents, veurem una trama hexagonal molt clara. Però si mirem amb més atenció observarem que també hi ha algun pentàgon.

Si comptem la quantitat de pentàgons, independentment de la quantitat total d'alvèols hexagonals, veurem que sempre hi ha exactament 12. No ens hauria de sorprendre tant si observem que la pilota de futbol més clàssica (si més no, des del Mundial del 1974) està feta també d'hexàgons i pentàgons. Molts menys. Exactament, 20 hexàgons i, no cal dir-ho, 12 pentàgons.

En aquest cas no és tan estrany perquè sabem que es tracta d'un icosaedre truncat, i l'icosaedre d'origen té, justament, 12 vèrtexs.

Animació feta a partir de la construcció feta
amb GeoGebra per Guillermo Bautista

La molècula del Buckminsterful·lerè (C₆₀) és una forma sintètica del carboni que té una molècula amb la mateixa forma que la pilota de futbol. D'aquí que també se'l conegui com a "futbolè". És un cas particular d'un grup de formes moleculars del carboni anomenats ful·lerens. No tots tenen 60 àtoms de carboni. La forma C₁₂ no té hexàgons, és un dodecaedre. La forma C₇₀ té una forma semblant a una pilota de rugbi amb 58 hexàgons i. una altra vegada, 12 pentàgons. La C₅₄₀ també en té 12.

Font Viquipèdia

Als ful·lerens se'ls hi va posar aquest nom en honor de Buckminster Fuller, un arquitecte conegut per ser uns dels primers creadors de cúpules geodèsiques. Les molècules i les pilotes que hem vist fins ara les podem considerar esferes geodèsiques (en el cas del C₇₀ un el·lipsoide geodèsic). Una cúpula seria una semiesfera o un casquet d'aquestes esferes. I què és una esfera geodèsica? Bàsicament, un poliedre que s'inscriu en una esfera. És a dir, que tots els seus vèrtexs formen part d'aquesta. Les cares d'aquests poliedres són, en la majoria de casos, triangulars. Però no tenen per què ser-ho. En tot cas, a moltes de les cúpules geodèsiques podem veure molt clarament grups de sis triangles formant hexàgons i altres grups, no tan abundants, de cinc triangles formant pentàgons. Ens ajuden a a trobar els polígons els vèrtexs on es troben sis arestes i els que n'uneixen cinc. També ara, si tenim tota l'esfera, trobarem 12 vèrtexs de cinc arestes.

Una mena d'esferes geodèsiques naturals les trobem en molts virus. Les seves càpsides tenen, sovint, formes derivades de l'icosaedre i, com ells, 12 vèrtexs de cinc capsòmers. 

Càpsida de la família Tombusviridae (Font Viquipèdia)

I per què sempre 12 pentàgons o vèrtexs de cinc arestes? La culpa és d'Euler. La resta de l'article la dedicarem a demostrar perquè han de ser forçosament 12, independentment de la quantitat d'hexàgons que hi trobem, i a ampliar una mica la informació sobre la construcció d'esferes, i col·lateralment de cúpules, geodèsiques.

Vols saber-ne més?

Sis granotes instruïdes

És molt conegut el problema de Les granotes i els gripaus inventat l'any 1982 per Richard Guy. És una activitat que combina joc i investigació i que es pot portar a l'aula des de finals de primària fins a qualsevol curs de l'ESO. Ja fa molts anys que la vam incorporar al web del Calaix +ie. El joc inicial es juga sobre un tauler de set caselles amb tres fitxes d'un color (les granotes) i altres tres d'un altre color (els gripaus). L'objectiu és intercanviar les fitxes de posició tenint en compte que només poden avançar, cada color en un sentit, desplaçant-se a una casella immediata buida o saltant per sobre d'una fitxa d'un altre color si la casella següent està lliure, com al joc de dames. La investigació posterior es fa per a estudiar els moviments mínims necessaris per a intercanviar m granotes i n gripaus.

Ara proposem una investigació que la recorda, però que té algunes diferències importants. El problema el va presentar Henry Dudeney al seu llibre Amusements in Mathematics el 1917. El text original deia:

"Les sis granotes instruïdes de la il·lustració estan entrenades per invertir el seu ordre, de manera que els seus números es llegeixin 6, 5, 4, 3, 2, 1, amb el quadrat en blanc en la seva posició actual. Poden saltar a la següent casella (si està buida) o saltar per sobre d'una granota fins a la següent casella més enllà (si està buida), de la mateixa manera que ens movem en el joc de dames, i poden anar cap enrere o endavant a gust. Pots mostrar com fan la seva gesta en el menor nombre de moviments possibles? És bastant fàcil, així que quan ho hàgiu fet, afegiu una setena granota a la dreta i torneu-ho a provar. A continuació, afegiu més granotes fins que pugueu donar la solució més curta per a qualsevol nombre. Perquè sempre es pot fer, amb aquella única plaça buida, per moltes granotes que hi hagi."

Per tant, comencem amb les granotes estan en ordre creixent d'esquerra a dreta i amb la casella de l'esquerra buida i hem d'invertir l'ordre inicial deixant de nou la casella esquerra buida. I poden anar cap endavant i cap endarrere.

Aquest joc el podem representar molt bé amb targetes numèriques, nombres retallats o cartes de la baralla.

Podeu intentar resoldre'l també amb aquest aplicatiu. Però atenció, Dudeney diu que és fàcil trobar el mínim de moviments. No és del tot cert. Resoldre el problema no és difícil, però trobar la quantitat mínima de moviments costa una mica més. Especialment si no sabem quina és aquesta quantitat.

Enllaç al programa

A continuació analitzarem el problema i veurem que té aspectes interessants per trobar la forma de calcular la quantitat mínima de moviments i per descriure la resolució també mínima.

Continuem?

Disseccions al quadrat (Quadriquadriculem)

L'any 2025 és un quadrat perfecte: (20+25)². Què millor, doncs, que el primer article de l'any estigui dedicat als quadrats. En concret, presentarem dos problemes que tenen un fort element en comú, però diferències en els objectius d'investigació. Tots dos tracten sobre la dissecció d'un quadrat en quadrats més petits. El primer és més accessible a l'aula en la seva investigació completa. El segon es pot explorar en els primers casos i augmentar la informació documentant-se sobre la seva història i l'estat actual de la seva resolució.

• 1a investigació: graus de "quadriquadriculació".

Anomenarem grau de quadriquadriculació a la quantitat de quadrats, iguals o diferents, en què podem descompondre un quadrat donat qualsevol. A la imatge teniu dos exemples de graus 9 i 11.

No tots els graus es poden obtenir, però, a partir d'un grau determinat es poden assolir tots. Podeu investigar quins graus no es poden aconseguir? Quin és el "grau límit" a partir dels quals es poden obtenir tots? I algun procediment per trobar tots a partir del "grau límit"?

• 2a investigació: "quadriquadriculacions" mínimes.

Ara es tracta de disseccionar un quadrat d'un costat enter donat en el mínim de quadrats més petits, iguals o diferents, de costats també enters. No s'admeten forats ni superposicions. Exemplificarem el repte amb el plantejament d'un cas particular fet per Sam Loyd al problema "El cobrellit de retalls". La història amb la qual Loyd embolcalla el problema és el d'un grup de dones que aporten diferents peces de tela quadrades i aconsegueixen cosir-les totes, sense retallar-ne cap, formant un quadrat més gran de 13x13.

Ens demana esbrinar la quantitat de dones sabent que és la quantitat mínima de peces quadrades en què es pot descompondre el quadrat gran. Dit d'una altra manera, el problema consistiria a demanar una dissecció mínima d'un quadrat de 13x13 en quadrats més petits de costats enters.

Nosaltres us proposem que procediu ordenadament: quina és la solució mínima per a un quadrat de 2x2? I per a un de 3x3? I per a un de 4x4? I de 5x5?...

Dissecció mínima de 2x2

Mirem amb més atenció els dos problemes?

Josephus, tenim un problema

En articles anteriors hem fet un petit recorregut històric per problemes clàssics de recreació matemàtica. El que comentem ara es proposava, probablement, més com un conte, com una petita narració curiosa que com un problema pròpiament. Per què ho diem així? Perquè només agafant fitxes o cartes i aplicant les regles de l'enunciat arribem a la resposta; no hi ha realment problema a resoldre. Preveure la solució, abans d'executar les normes, és la majoria de vegades un problema d'alta complexitat. De fet, els autors que comentarem no es van preocupar mai de les solucions generals. Només donaven la resposta i, de vegades, regles mnemotècniques per a recordar-les. I ja avisem que els contextos de les històries explicades en els problemes eren molt més que "políticament incorrectes". Actualment són autèntiques aberracions.

Presentem el problema amb la versió de Luca Pacioli al Codice Vaticano Latino 2139 de l'any 1478:

"Hi ha un vaixell en el qual viatjaven alguns mercaders: d'aquests 30 eren jueus i 2 eren cristians. Mentre navegaven, va sorgir una tempesta, així que per assegurar-se que no morís tothom, va ser necessari alleugerir el vaixell d'alguns passatgers. Encara que hi havia jueus, ells també temien Déu i no volien ser violents amb ningú llançant-los a la força al mar; els pobres comerciants cristians, per la seva banda, veient-se en minoria, temien ser desbordats, però, com s'ha dit, això no va passar. En canvi, un dels jueus va parlar i va dir a la companyia que seria millor que només morissin alguns en comptes de tots, i que haurien de sortejar per decidir qui llançar primer al mar. Així, mentre pensaven com sortejar, un dels comerciants cristians, bon raonador, s'apropà i digué, com apuntant al bé comú: «Posem-nos en cercle i, partint d'un de nosaltres, comptem repetidament fins a 9. Els que obtinguin el 9 seran llençats a l'aigua". Tothom va estar d'acord. De seguida els dos cristians, essent de la mateixa fe, es van posar junts: el que havia parlat va començar a comptar, i va comptar de tal manera que el número 9 queia sempre als jueus i mai a ells dos; així que els 30 jueus van se  tirats tots a l'aigua i només els dos cristians van quedar a la nau. On van començar a comptar i com van procedir perquè el 9 no fos mai el seu torn?"

Si ho proveu veureu que els cristians s'han de col·locar en el 6è i 7è lloc. Ho podem veure en aquesta animació feta amb GeoGebra.

GeoGebra de Carlos Fleitas: https://www.geogebra.org/m/A5MvDFuC

 Mirem les característiques generals del problema en els seus diferents plantejaments:

• Hi ha un grup de n elements (persones, animals, objectes...) dividits en dos subgrups dels quals s'ha d'eliminar un d'aquests subgrups. El subgrup supervivent acostuma a ser d'un element, dos o de la meitat del total.
• Es fa una rotllana i es van eliminant els elements comptant de k en k sempre en un mateix sentit.
• Es demana on s'han de col·locar prèviament els elements que vulguem que sobrevisquin al recompte.

A l'aplicació en GeoGebra que us hem enllaçat. Podeu experimentar amb diferents valors d'n i k.

Com ja hem comentat, en general saber amb antelació on s'han de posar els supervivents és molt i molt complicat. Cap al final de l'article us enllaçarem un estudi general del problema. Però el cas en què n és igual a dos, sí que és  investigable a l'ESO.

A l'article analitzarem aquest cas, comentarem breument el cas general, farem una passejada històrica, tot descobrint l'origen del problema i del seu nom, i us proposarem una mica de màgia basada en el problema.

Continuem?

"Quaternes" i altres patrons a la taula de multiplicar

De vegades hi ha patrons relativament senzills que, pel que sigui, no se t'acudeix buscar. La clau, com sempre, està a saber-se fer preguntes. Aquests patrons que presentem avui, en què fins ara no m'hi havia fixat mai, els he trobat al llibre La matemática elgante (A.V. Zhúkov, P.I Samavol i M.V. Applebaum; Editorial URSS). Tots es basen en la taula pitagòrica de la multiplicació. I millor si la taula és "infinita". Els primers es basaran en la tria de quatre nombres que formin un quadrat sobre la taula. Després hi ha dos més basats en l'estudi de les sumes dels nombres que formen angles rectes i algunes diagonals. Abans d'entrar-hi és obligatori recordar un article, també referent a aquest tema, del Blog del PuntMat: "Patrons a les taules de multiplicar". Comencem.

• Quadrats amb els costats paral·lels a les vores de la taula

Triem quatre nombres que siguin els vèrtexs d'un quadrat col·locat "horitzontalment", que tingui els costats paral·lels als costats de la taula.

Podem descobrir una relació entre dues de les parelles de vèrtexs de cada quadrat. Quina és?

• Quadrats com els anteriors que tenen dos vèrtexs sobre la diagonal principal

A més de la relació anterior, en aquest cas, hi ha una propietat numèrica especial que s'acompleix considerant els quatre vèrtexs.

• Quadrats amb els costats paral·lels a les diagonals principals

Un cas relativament semblant al primer. Hem de trobar una relació entre dues parelles de vèrtexs.

• Suma dels nombres dels angles rectes de la taula (gnòmons)

Si sumem els nombres que formen els gnòmons de la taula (podríem visualitzar-los com lletres L invertides), quin tipus de nombres obtenim?

• Suma dels nombres de les diagonals consecutives

Aquesta relació és una mica més complicada. Si sumem els nombres situats en les diagonals consecutives, marcades a la figura, podem trobar una sèrie numèrica curiosa. Podeu endevinar com segueix o identificar-la?

Us animeu a continuar investigant aquests patrons?

"Assagem" amb el rugbi

Si hem vist retransmissions de partits de futbol, més d'una vegada haurem sentit a la locució que el davanter, o davantera, "ha perdut angle". Bé, l'angle de tir a la porteria no es pot perdre, sempre hi és. Però sí que es pot anar reduint. En general, quan més ens allunyem de la vertical de la porteria menor és aquest angle de tir: l'angle format per la pilota i els dos pals de la porteria. També s'utilitza l'expressió quan el jugador/a s'acosta massa, per un costat de la porteria, a la línia de fons. Tot i que, en aquest cas, l'angle també es perd quan t'allunyes massa d'aquesta.

Però també hi ha tot un arc, conegut com a arc capaç, sobre el que ens podem moure mantenint sempre el mateix angle de tir. El centre d'aquest arc està situat en la mediatriu del segment format pels dos pals de la porteria. El seu radi pot variar: a cada radi correspon un angle diferent. La mida d'aquest l'angle dependrà de la proximitat del centre de la circumferència al "segment porteria". Com més a prop, més gran.

L'estudi de l'angle de tir, en el cas del futbol, no és del tot interessant perquè les situacions de joc són les que són. No es pot triar gaire des d'on tirar; ni tan sols en les faltes. Però el rugbi sí que té una jugada especial, la "transformació" que compta amb un marge de tria. Posem-nos en situació amb aquesta jugada.

La situació en les que un equip obté més punts és amb l'assaig: 5 punts. Un assaig s'aconsegueix quan un jugador/a travessa la línia de fons de l'equip contrari i planta la pilota a terra. Un cop fet l'assaig el mateix equip pot aconseguir dos punts extres si realitza una transformació. Per fer-la un dels jugadors/es de l'equip que ha fet l'assaig posa la pilota en el lloc que triï sobre la vertical del punt d'assaig. A aquesta perpendicular l'anomenarem, a partir d'ara, línia o recta de transformació. Llavors, xuta la pilota per fer-la passar entre tres pals: per sobre de l'horitzontal i entre els dos verticals.

En aquest estudi prescindirem de l'alçada i mirarem només l'angle de tir. I en el cas particular que la línia de transformació no estigui entre els pals. Podem experimentar amb aquesta la construcció feta amb GeoGebra i anar movent el punt de tir sobre la perpendicular al lloc d'assaig. Observarem que l'angle varia, però hi ha un lloc òptim, on l'angle és el més gran possible per a aquella recta.

Enllaç a la construcció interactiva

Un cop plantejada la situació venen les preguntes:

• Com podem localitzar geomètricament aquest punt d'angle màxim?
• Si anem movent la recta de transformació, quina línia tracen els diferents punts d'angle màxim?

Ho estudiem?

El problema del testament del Nabab i la "resolució per síntesi"

Al llibre Problemas aritméticos escolares, de Luis Puig i Fernando Cerdán (1988), es proposen dos mètodes de resolució de problemes que podem utilitzar amb força efectivitat en molts d'aquells, més o menys, "escolarment tradicionals".

• Mètode d'anàlisi: partir de la pregunta i retrocedir cap a les dades (quines dades em calen per contestar la pregunta? Les tinc? Si no les tinc que em cal per descobrir-les?...).
• Mètode de síntesi: partir de les dades i avançar cap a la pregunta (què puc saber amb les dades que tinc? És el que em demanen? Si no és així, què podria esbrinar amb el que tinc?...)

Al llibre s'incorporen dos esquemes que il·lustren clarament els dos mètodes.

Mètode d'anàlisi: de la incògnita a les dades

Mètode de síntesi: de les dades a la incògnita

Habitualment, tenim més tendència a pensar d'una manera o de l'altra. És clar que en problemes d'investigació, dels que acostumem (o ens hauríem d'acostumar) a proposar l'aula, aquest esquema és massa rígid. Però, com he comentat, en problemes més tradicionals, tipus "llibre de text", ens poden ser útils. Si més no, per poder pensar preguntes orientadores per a fer al nostre alumnat.

No entrarem ara a posar exemples de resolució d'un mateix problema per cada mètode. Però sí que comentarem un curiós repte que Édouard Lucas planteja al llibre L’arithmétique amusante (1895) i que també trobem al 4t volum de les seves Récréations mathématiques. Aquest problema, com veurem, s'ajusta molt bé a una resolució pel mètode de síntesi.

"El testament del Nabab. Un nabab deixa als seus fills un certa quantitat de diamants d'igual valor, en les següents condicions: El primer agafa un diamant i 1/7 dels que queden; el segon agafa dos diamants i 1/7 dels que queden; el tercer agafa tres diamants i 1/7 del que queda, i així successivament. Després del repartiment de tots els diamants, totes les parts obtingudes són iguals. Es demana la quantitat de diamants i la de fills"

 Al llarg de l'article, tot evitant inicialment un plantejament algebraic, comentarem la resolució aritmètica per síntesi. Però també estudiarem la seva generalització per a diferents particions (en terços, quarts, etc.) i descobrirem una connexió una mica inesperada. A més, mostrarem la resolució que proposa Lucas i una d'algebraica.

Però, abans d'entrar en matèria, cal esmentar que Lucas subtitula el repte com "Un problema d'aritmètica índia" i, fins i tot, relaciona la seva resolució amb mètodes proposats pel matemàtic indi, del segle V, Aryabhata. No sabem si és cert o no. En tot cas, els problemes de repartiments, i entre ells els d'herències, són un clàssic en els llibres matemàtics antics.

Comencem a resoldre el problema?

La tauleta babilònica IM 67118: geometria, àlgebra i una mica de "pensament computacional"

L'objectiu d'aquest article és donar a conèixer un problema de geometria que apareix a la tauleta babilònica IM 6178. Aquesta tauleta es conserva al Museu Nacional de l'Iraq de Bagdad i es va trobar al jaciment de Tell edh-Dhiba'i . Se li calculen uns de 3800 anys d'antiguitat.

Imatge de l'anvers de la tauleta (Font: Viquipèdia)

El problema que es planteja i resol és el següent:

Trobar la longitud i l'amplada d'un rectangle donades la seva àrea (0,75) i la diagonal (1,25).

No cal dir que la redacció original no és estrictament així, ni que les mesures, a la tauleta original, estan donades en numeració sexagesimal. 

Al revers de la tauleta (on continua el text de l'anvers) hi ha un esquema del problema amb les dades.

Revers de la tauleta i esquema ampliat

Un aspecte que fa pensar és la semblança d'estil i contingut amb molts dels problemes que apareixen tradicionalment als llibres de text actuals. Podríem obrir tot un debat sobre aquesta qüestió. Però també ens podem demanar per què pot ser interessant treballar aquest problema a l'aula. Entre d'altres, hi ha tres raons a considerar:

• perquè ens permet treballar aspectes d'història de les matemàtiques: quina mena de problemes es plantejaven a l'antiga Mesopotàmia? Com els resolien? Quines matemàtiques es coneixien? Com les representaven? Com les explicaven?...
• perquè la resolució actual i la babilònica són força diferents i ens permetrà fer descobertes i connexions riques entre àlgebra i geometria. Fins i tot, descobrir aspectes sorprenents en una reinterpretació geomètrica de les expressions (a+b)² i  (a-b)².
• perquè si entenem que l'últim convidat curricular, el pensament computacional, està directament relacionat, en un sentit general, amb l'algorítmia, podem fer un estudi interpretatiu, des d'aquest enfocament, de l'algoritme de resolució proposat a la tauleta.

Però tornem ara al problema. Mirem primer la resolució moderna.

• Resolució amb un sistema d'equacions

No és molt difícil de plantejar: una primera equació que relacionarà la diagonal amb els costats, emprant el teorema de Pitàgores, i una segona equació a partir del càlcul de l'àrea.

• El mètode babilònic

El text original de la tauleta el podeu trobar en aquest enllaç a la Viquipèdia. Aquí seguirem la traducció més alleugerida que apareix al llibre La cresta del pavo real de G. Gheverghese. A la següent taula tenim les instruccions que s'hi donen, pas a pas, amb els càlculs associats en el nostre sistema decimal.

Tant a les tauletes mesopotàmiques com als papirs egipcis, s'acostumen a plantejar els problemes i, a continuació, s'expliquen, sense cap mena de justificació, les passes per a resoldre'ls. Si prescindim de les dades concretes que se'ns donen, el que ens proporcionen és un algoritme per a resoldre altres problemes idèntics. Només haurem de canviar les dades d'entrada i seguir les mateixes indicacions operatives. Però una cosa que podem començar a intuir, només mirant la taula, és que l'algoritme de resolució de la tauleta no sembla tenir una relació molt directa amb les passes de resolució del nostre sistema d'equacions anterior. Què feien i per què?

T'animes a analitzar l'algoritme de la taulera IM 67118?

Estudiem una fórmula egípcia per a l'àrea dels quadrilàters

 Al 1855, Karl Richard Lepsius va publicar un estudi sobre les inscripcions jeroglífiques del Temple d'Horus que es troba a Edfú.

L'any 1921 el matemàtic Thomas Little Heath escrivia, a la seva història de les matemàtiques gregues, aquesta frase a partir del treball de Lepsius.

"De moltes d'aquestes inscripcions que van ser publicades per Lepsius en recollim que 1/2(a+c)·1/2(b+d) era una fórmula per a l'àrea d'un quadrilàter els costats dels quals són, per ordre, a, b, c, d."

Dit d'una altra manera, l'àrea d'un quadrilàter es calculava trobant la d'un rectangle que tenia per costats la mitjana dels costats oposats.

Cal dir que aquest mètode càlcul apareix també al Corpus Agrimensorum Romanorum, el manuscrit més antic del qual és del segle VI, que a l'Edat Mitjana encara s'utilitzava, com s'ha comprovat en un estudi de mesures preses a Mallorca pels agrimensors de Jaume I i Pere de Portugal al segle XIII

Tornem al mètode i fem-nos algunes preguntes:

• Funciona sempre bé aquesta fórmula?
• Si no és així, quan funciona?
• Si no funciona, l'error és molt gran? Molt petit? De què depèn?

Podem estudiar aquest tema, en què GeoGebra ens serà de gran utilitat, gradualment: paral·lelograms, estels, trapezis isòsceles i quadrilàters generals. I, pel camí, anirem definint algunes de les condicions perquè aquests quadrilàters quedin determinats. Això ens permetrà també fer algun petit estudi funcional. És a dir, podem trobar una línia de treball que pot abastar del Cicle Superior de Primària al final de l'ESO. Acabarem l'article amb una adaptació, també trobada al mateix temple, per a l'àrea dels triangles.

Però, per "fer boca", podem veure ràpidament que la "fórmula egípcia" no funciona. Només cal observar un exemple, que bé ens podria servir per als nivells més baixos: els rombes. Aquestes figures queden determinades només amb un costat i un angle. Quan l'angle és de 90° tenim el quadrat. Justament el mètode egipci, i tenint en compte que en el rombe els costats són iguals, fa que l'àrea de qualsevol rombe sigui "igual" a la del quadrat amb el mateix costat, cosa evidentment falsa.

L'àrea d'un rombe de costat 5 pot prendre valors de 0 (0º) a 25 (90º)

Un dels aspectes més curiosos d'aquesta fórmula és que està datada aproximadament en el segle I a.n.e, quan Euclides, al mateix Egipte, però més al nord, havia publicat ja els seus Elements.

Estudiem la "fórmula egípcia" amb més detall?

Corones. D'un problema a un teorema

En aquest article seguiré un itinerari, pràcticament clavat, al que ens van presentar en una xerrada, i si la memòria no em falla, els il·lustres membres del MMACA, Josep Rey i Manel Udina. Van connectar dos problemes que coneixia de manera independent i que no se m'havia acudit mai relacionar. El problema inicial, que no era exactament el mateix que ells van plantejar, el recordo del llibre de Mariano Mataix "Cajón de sastre matemático" (1981). El problema, més o menys, deia així:

"Suposem que tenim dues circumferències concèntriques. Tracem una tangent a la interior que tallarà l'exterior en un punt. La distància entre aquest punt i el de tangència és d'un metre. Troba la superfície de la corona circular que formen les dues circumferències."

Sembla increïble, però el problema es pot resoldre tot i disposar només d'una informació tan mínima. Això sí, cal l'ajuda "d'una idea feliç". Com a pista només cal recordar que la fórmula de l'àrea de la corona és π(R²-r²) i que aquesta expressió, R²-r², ens pot recordar com calcular un catet d'un triangle rectangle utilitzant el teorema de Pitàgores. Un cop resolguem aquest problema veurem que té altres sorpreses amagades i l'anirem ampliant fins a relacionar-lo amb un dels teoremes més bonics i sorprenents: el de Holditch. Aquest teorema el vaig veure per primera vegada en el preciós llibre de Clifford A. Pickover El libro de las matemáticas. Ja explicarem més tard què proposa. Només apuntarem que té a veure amb àrees de corones i escuradents, amb un punt marcat, que es mouen per la vora de figures corbes. Així i tot, qui me'l va redescobrir va ser el web de Gaussianos en un magnífic article que referenciaré al final.

Font de la imatge

Us animeu a continuar llegint?

La numeració oral Ngkolmpu

Aquest repte l'he trobat entre la magnífica sèrie de problemes setmanals proposats per Alex Bellos a l'edició digital de The Guardian. Concretament, és la proposta del 9 d'agost de 2021 i que modificaré ben poc.

Al web Càlculus ja vaig incorporar algunes activitats en què es treballaven les numeracions orals. Es tractava d'esbrinar, a partir d'uns pocs exemples inicials, com es dirien alguns nombres demanats en la llengua proposada, o traduir quines quantitats representaven algunes expressions donades. A una d'elles, Construïm numerals, un dels objectius és observar la idea que amb el concepte d'agrupament i algunes operacions bàsiques, es construeixen la majoria de numeracions orals. Com a exemple podem observar que, en català, quan diem "mil tres" estem sumant (1000+3) i quan diem "tres mil" estem multiplicant (3·1000). En una altra activitat (La base és la base) es treballa, a partir també de numeracions orals, la idea de base. Un dels aspectes interessants és que, en les numeracions orals, trobem una varietat més gran de bases que en les escrites. La proposta de Bellos és interessant perquè treballa els dos aspectes conjuntament: no podrem descobrir com funciona la numeració oral presentada si no fem una feina prèvia de descobrir la base.

La numeració proposada és la de la llengua Ngkolmpu, una varietat dialectal parlada pel poble Kanum de Papua-Nova Guinea.

Nyams i bananes, part important de l'alimentació del poble Kanum
(font: The Ngkolmpu Language)

En el seu repte de Bellos presenta en llengua Ngkolmpu, i de forma desordenada, els deu primers nombres cúbics i demana que emparellem adequadament cada expressió amb la potència corresponent. El meu serà lleugerament diferent. Posarem els cubs ja directament aparellats i afegirem deu potències més: d'1 a 20. El que demanarem descriure com funciona el sistema de numeració:

• Quina és la base?
• Com es diuen cadascuna de les unitats?
• Com es diuen les potències de la base?
• Com es construeix un numeral?

De moment aquí teniu la taula amb els exemples:

Potència de 3	Nombre	Numeral oral
13	1	naempr
23	8	naempr traowo yempoka
33	27	eser traowo yuow
43	64	naempr ptae eser traowo eser
53	125	yuow ptae yempoka traowo tampui
63	216	tarumpao
73	343	naempr tarumpao yuow ptae yuow traowo naempr
83	512	yempoka tarumpao yempoka ptae naempr traowo yempoka
93	729	yuow tarumpao yempoka ptae naempr traowo yuow
103	1000	eser tarumpao yuow ptae eser traowo eser
113	1331	naempr ntamnao tampui traowo tampui
123	1728	naempr ntamnao yempoka tarumpao
133	2197	naempr ntamnao eser tarumpao naempr ptae naempr
143	2744	yempoka ntamnao eser ptae naempr traowo yempoka
153	3375	yempoka ntamnao yuow tarumpao yuow ptae eser traowo yuow
163	4096	yuow ntamnao tampui ptae eser traowo eser
173	4913	yuow ntamnao eser ptae yempoka traowo tampui
183	5832	eser ntamnao yuow tarumpao
193	6859	tampui ntamnao naempr tarumpao eser ptae yuow traowo naempr
203	8000	naempr ulamaeke naempr tarumpao naempr traowo yempoka

Si continueu llegint podreu trobar algunes ajudes, un programa que us escriu qualsevol nombre que demaneu, una taula més fàcil que aquesta per a nombres més petits i l'explicació de la numeració.

Voleu seguir?