Estudiem una fórmula egípcia per a l'àrea dels quadrilàters

 Al 1855, Karl Richard Lepsius va publicar un estudi sobre les inscripcions jeroglífiques del Temple d'Horus que es troba a Edfú.

Al 1921 el matemàtic Thomas Little Heath escrivia, a la seva història de les matemàtiques gregues, aquesta frase a partir del treball de Lepsius.

"De moltes d'aquestes inscripcions que van ser publicades per Lepsius en recollim que 1/2(a+c)·1/2(b+d) era una fórmula per a l'àrea d'un quadrilàter els costats dels quals són, per ordre, a, b, c, d."

Dit d'una altra manera, l'àrea d'un quadrilàter es calculava trobant la d'un rectangle que tenia per costats la mitjana dels costats oposats.

A partir d'aquesta informació ens podem fer algunes preguntes:

• Funciona sempre bé aquesta fórmula?
• Si no és així, quan funciona?
• Si no funciona, l'error és molt gran? Molt petit? De què depèn?

Podem estudiar aquest tema, en el què GeoGebra ens serà de gran utilitat, gradualment: paral·lelograms, estels, trapezis isòsceles i quadrilàters generals. I, pel camí, anirem definint algunes de les condicions per a que aquests quadrilàters quedin determinats. Això ens permetrà també fer algun petit estudi funcional. És a dir, podem trobar una línia de treball que pot abastar del Cicle Superior de Primària al final de l'ESO. Acabarem l'article amb una adaptació, també trobada al mateix temple, per a l'àrea dels triangles.

Però, per "fer boca", podem veure ràpidament que la "fórmula egípcia" no funciona. Només cal observar un exemple, que bé ens podria servir pels nivells més baixos: els rombes. Aquestes figures queden determinades només amb un costat i un angle. Quan l'angle és de 90º tenim el quadrat. Justament el mètode egipci, i tenint en compte que en el rombe els costats són iguals, fa que l'àrea de qualsevol rombe sigui "igual" a la del quadrat amb el mateix costat, cosa evidentment falsa.

L'àrea d'un rombe de costat 5 pot prendre valors de 0 (0º) a 25 (90º)

Un dels aspectes més curiosos d'aquesta fórmula és que està datada aproximadament en el segle I a.n.e, quan Euclides, al mateix Egipte, però més al nord, havia publicat ja el seus Elements.

Estudiem el la "fórmula egípcia" amb més detall?

• Paral·lelograms

Una primera pregunta que podem fer a l'aula (i que sortirà de manera recurrent en aquesta activitat) és quines mesures necessitem per determinar un paral·lelogram. No és difícil veure que amb la mesura de dos costats i un angle en tenim prou. Quan els costats són desiguals tindrem un rectangle en el cas de que l'angle sigui de 90º. Seran rombes o quadrats quan els costats siguin iguals.

En el cas dels paral·lelograms, en què els costats oposats són iguals, la "fórmula egípcia" es converteix en la d'un rectangle que té per costats els dos donats.

Podem veure com l'àrea només coincideix exactament quan la figura és un rectangle i que s'aproxima més quan l'angle s'acosta als 90º.

Enllaç a la construcció

Una pregunta possible a fer és demanar que conjecturin quan l'àrea del paral·lelogram serà la meitat de la del rectangle "egipci". Molt probablement diran que serà als 45º, però experimentant observaran que l'angle ha de ser de 30º (on l'error serà del 100%)

Podem fer un estudi més acurat tenint en compte que podem calcular l'àrea del paral·lelogram coneixent els dos costats (a i b) i l'angle que formen (α).

D'aquesta manera, si fixem valors per a i b, podem fer una funció que ens doni l'àrea depenent de com variï l'angle α (entre 0º i 90º). També queda justificada la resposta sobre la meitat de l'àrea del rectangle, donat que el sinus de 30º és 1/2.  Que només en el cas del rectangle la fórmula egípcia coincideix amb la real també queda justificat, perquè el sinus de 90º és 1.

Enllaç a la construcció 

• Estels i fletxes (deltoides)

Aquests oblidats quadrilàters també queden determinats, com els paral·lelograms, per dos costats i l'angle que formen. La diferència està en que els costats iguals no són oposats sinó contigus. Seran estels si tots els angles són convexos i fletxes si n'hi ha un de còncau. Totes dues figures també es coneixen com a deltoides, convexos o còncaus respectivament. Podeu veure activitats sobre estels per a fer a l'aula en aquest enllaç.

L'adaptació de la "fórmula egípcia" a aquest cas, en què el costat oposat a a és b i l'oposat a b és a, fa que l'àrea obtinguda sigui equivalent a la d'un quadrat que té com a costat la mitjana dels dos.

Una petita exploració, ara amb angles de 0º a 180º, ja que no hi ha la simetria de solucions passats els 90º com en el cas dels paral·lelograms, ens farà veure, de nou, que l'àrea real i l'obtinguda per la fórmula egípcia només coincideixen quan els costats són iguals i l'angle és de 90º, quan és un quadrat. També en aquest cas l'àrea meitat s'aconsegueix en 30º i 150º.

Enllaç a la construcció

L'àrea dels estels es pot calcular fàcilment a partir de les diagonals. És la mateixa que la de l'àrea del rombe (D·d/2), que és un estel particular: el de costats iguals. Però si volem investigar a partir dels dos costats i l'angle ens convé utilitzar una fórmula que relacioni aquestes tres dades. No és difícil convertir un estel en un paral·lelogram equivalent amb els mateixos costats i el mateix angle. Per tant, podem utilitzar la mateixa fórmula que pels paral·lelograms.

Ara sí que podem fer un estudi general per aquest cas, igual que hem fet abans amb els paral·lelograms.

Enllaç a la construcció

• Trapezi isòsceles

Per a determinar un trapezi, en general, necessitem tres costats i un angle. Si només tenim els quatre costats no queda definit. Potser és més interessant estudiar el cas particular dels trapezis isòsceles, que podem determinar amb tres costats i unes poques "armes constructives" per a centrar els dos costats paral·lels. Si apliquem la fórmula general egípcia, i partint que els costats b i d (anomenats, com fins ara, cíclicament) són iguals. la fórmula per calcula l'àrea seria la següent.

La podem interpretar com l'àrea d'un rectangle que té per costats la mitjana dels costats paral·lels i per altura el costat igual. Clarament és superior a l'àrea real del trapezi perquè, si la comparem a la fórmula tradicional de l'àrea, el costat desigual és més gran que l'altura.

Podem experimentar amb aquesta construcció.

Enllaç a la construcció

Un cop més l'àrea "egípcia" i la real coincidiran només quan tinguem un rectangle (a=c). Mirem ara l'estudi general. Hem de fer ara una especificació. Comptem amb que es fixen els costats a i b i la variable és el costat c, al que hem donat una longitud màxima igual a l'altra base (a). Com es veurà la funció de "l'àrea egípcia" (de color verd) ara també varia amb c.

Enllaç a la construcció

• Quadrilàters generals

Quantes dades necessitem per a determinar un quadrilàter general? Quatre costats no el determinen. Necessitarem, com a mínim, un angle (i saber quins costats el formen). Podem veure que dos costats i una angle determinen un triangle en el que el 3r costat és una diagonal. Aquesta diagonal, amb els altres dos costats, determinen el 2n triangle que completa el quadrilàter.

Podem fer coincidir l'àrea real i "l'egípcia"? En quines condicions? Experimentem.

Enllaç a la construcció

Per a fer l'anàlisi general i poder generar la funció per a un angle variable i quatre costats donats hem utilitzat una fórmula que relaciona aquestes cinc dades.

En aquest cas indiquem, a més, per a quan graus s'obté l'àrea màxima i, per tant, la més propera a "l'àrea egípcia".

Enllaç a la construcció

Amb poques experimentacions veurem que, ara, sovint no aconseguim mai arribar a l'àrea egípcia i que normalment estarem més a prop quan l'angle està rondant els 90º, però amb marges que poden arribar a ser de més de 10º. També veurem que la funció no és sempre simètrica entre 0 i 180º.

• Algunes conclusions i algunes preguntes

En general hem vist que la fórmula trobada a Edfú no és gaire bona i que, excepte en els rectangles, que és coincident, dona sempre un resultat per excés. Aquest excés és menor quan més s'acosta la forma del quadrilàter a la d'un rectangle. En aquests casos, la fórmula dona un resultat relativament proper i, si no té molta importància l'error, és molt fàcil d'utilitzar. D'aquí el seu possible ús pels agrimensors. A la inscripció del temple d'Horus el quadrilàter donat té com a costats 15-3,5-16-4 que, amb 90º entre a i b dona un error d'un 2,5% i amb 99,82º només d'1,28%.

Algunes preguntes més que ens podem fer:

• Podem mesurar l'error mitjà?
• Com poder saber entre quins angles serà menor l'error, per exemple d'un ±3% de marge?
• Podem modificar lleugerament la fórmula, però calculant sempre només amb les mesures dels costats?

D'algunes d'aquestes preguntes trobareu les respostes en un magnífic article d'Erik Tou (Measuring the Accuracy of an Ancient Area Formula, 2014)

• Adaptació pels triangles

Sembla que a algunes de les inscripcions del temple d'Horus, segons el text de Little Heath, es suggereix que la fórmula també serveix per als triangles si considerem un dels costats com a "res", és a dir, zero. Així l'àrea es calcularia multiplicant la semisuma de dos costats per la meitat del tercer. La primera qüestió curiosa que es deriva és que podem obtenir tres àrees diferents per a un mateix triangle, depenent de quins costats agafem per a sumar i quin com a costat solt.

Enllaç a la construcció

Podem experimentar i observar en quines condicions "l'àrea egípcia" s'acosta més a la real i en quines s'allunya més. Ens podem demanar coses com, quins costats triar per a fer la semisuma per a comtetre l'error més petit? En quina mena de triangles es minimitza l'error?

Enllaç a la construcció

Al llibre El surgimiento de la matemática (I. Yá. Depman) es recull un text del segle XIX, del matemàtic M.V. Ostrogradski, on s'explica que a determinades zones de Rússia es feia servir una fórmula diferent.

"En una ocasió viatjava per la meva província natal de Poltava. Veig un home a un camp fent alguna cosa que a primer cop d'ull no vaig comprendre. Resulta que estava mesurant la terra. Li vaig preguntar com mesurava l'àrea d'un terreny de forma triangular. Em va contestar que multiplicava la longituid de dos costats del triangle i feia la meitat. Novament li vaig demanar: "Aquí tothom ho fa així?"- Em va respondre que a la província (és a dir, els agrimensors de la província) ho feien d'una altra manera. però que aquí, a la comarca, totr procedien així".

També pot ser interessant mirar-se una mica aquest mètode. Per exemple, demanar-nos en quin únic cas s'obté l'àrea real del triangle. 

I a l'aula?

• El primer que ha de tenir clar l'alumnat és que tres segments poden determinar un triangle (i un de sol) i que quatre costats no determinen un quadrilàter. No hi ha res millor que comprovar-ho amb materials, per exemple pals de fusta amb bagues als extrems. Si amb cordills lliguem tres pals i fem un triangle, aquest és rígid. Si en lliguem quatre fent un quadrilàter es pot deformar de moltes maneres. Fins i tot és bonic amb aquest material fer una piràmide triangular. Í, si tots els pals són iguals, fer un octaedre o un icosaedre. Tot és de nyigui-nyogui fins que lliguem l'últim pal i tanquem tots els triangles; llavors s'aguanta perfectament rígid sobre una base. També, si només volem treballar en el pla, ho podem fer amb tires de meccano o de cartolina i enquadernadors.

El quadrilàter és "flexible"

• Al final de la primària o al principi de la secundària potser no cal fer un treball gaire exhaustiu. Es pot plantejar la fórmula, en el seu context històric, i demanar investigar si és certa, si alguna vegada és exacta, quan la diferència entre la real i la calculada és més gran... GeoGebra, que ens proporciona les àrees de forma automàtica, pot ser una bona eina per a treballar amb quadrilàteres generals. També podem fer-ho sobre paper  calculant les àrees de quadrilàters generals amb una quadrícula. O utilitzant un geoplà. Aquí tindrem un interessant problema afegit ja que, si bé les àrees es poden deduir força bé, les longituds dels costats, quan no són ortogonals, les haurem de mesurar directament i en relació a la mida del quadrat unitat del geoplà. (O fent servir el teorema de Pitàgores amb els més grans).
• Aquest tema ens pot ajudar a trobar un context per treballar l'error absolut i el relatiu. A batxillerat es pot fer un estudi sobre l'error mitjà i indagar formes de millorar la fórmula per a aconseguir aproximacions més bones tenint en compte, només la longitud dels costats.
• Si treballem diferents figures serà interessant parlar del mínim de dades que necessitem per a determinar-les. També intentar fer les construccions pertinents. Per exemple, la del trapezi isòsceles a partir de tres costats o la dels quadrilàteres generals a partir dels quatre costats i un angle.
• Amb el més grans podem ampliar el tema amb alguns estudis com els que hem proposat. Hi apareixeran qüestions de trigonometria, funcions...
• Pel cas dels triangles podem comparar les bondats i defectes de la fórmula exacta, l'egípcia i la russa. Demostrar, per exemple que amb la fórmula d'Edfú no obtindrem mai l'àrea exacta. Per a el càlcul exacte de l'àrea. podem utilitzar la d'Heró que es basa en la longitud dels costats.