29 de maig del 2015

Tres algoritmes històrics de multiplicar: piràmide, creueta i fulmínia

Estudiar els algoritmes històrics és sempre interessant per conèixer com han anat evolucionant les formes de calcular al llarg de la història. A l'aula intentar descobrir com funcionen, per què ho fan i com es relacionen entre ells serà sempre un treball més ric que limitar-nos només a la seva presentació i reproducció. És el que us proposem presentant aquests tres algoritmes de la multiplicació utilitzats entre els segles XIII i XIX: la multiplicació en piràmide, la multiplicació en creueta i la fulmínia.

En primer lloc us convidem a veure com funcionen els algoritmes sense cap explicació ni ajuda, "a pèl". Les úniques pistes les obtindrem de veure com s'apliquen els algoritmes pas a pas.
  • Multiplicació en piràmide
També ha rebut altres noms: en diamant, en copa... Tots els noms provenen de l'aspecte visual del càlcul quan s'ha acabat de fer. El trobem documentat, per exemple, en el Sumario compendioso de las cuentas de plata y oro que en los reinos del Perú son necesarias a los mercaderes y a todo género de tratantes. Con algunas reglas tocantes a la Aritmética de Juan Díez del 1556,






  • Multiplicació en creueta


  • El nom d'aquesta forma de multiplicar prové del dibuix en el que es basa. Sovint els "calculistes" disposaven de taules o pissarres on ja tenien la creueta dibuixada i només escrivien per sobre o per sota  o col·locaven fitxes. La creueta s'obté de dibuixar tots els segments possibles entre les xifres dels nombres que volem multiplicar. Aquest algoritme va ser descrit per Fibonacci al seu Liber Abaci.






  • Multiplicació fulmínia


  • Pel que sembla aquest algoritme de la multiplicació va ser utilitzat per Fourier o Cauchy al segle XIX. Visualment és molt curiosa perquè un dels factors s'escriu al revés (encara que n'hi hauria prou escrivint-lo invertint l'ordre de les xifres).



    Vols estudiar els algoritmes i comparar-los?

    10 de maig del 2015

    Un babiloni penjat d'un trapezi

    Els documents matemàtics més antics els hem trobat a Mesopotàmia. La majoria ens parlen de problemes pràctics: qüestions relatives a estocs, contractes, repartiments... Estan escrits en tauletes de fang gravades amb un punxó. S'escrivia quan el fang era tou i després es deixaven assecar. Potser per això han estat tan resistents al pas del temps. Però no totes les tauletes eren "pràctiques". Altres servien, probablement, per ensenyar matemàtiques i plantegen problemes de diferents estils. Entre ells, molts de caire geomètric. Gràcies a aquestes tauletes "sabem el que sabien" a Mesopotàmia, l'alt nivell de coneixements de que disposaven.

    Una d'aquestes tauletes (la IM 58045), és força coneguda perquè es diu que conté "el diagrama matemàtic més antic del món", i ens es proposa un  interessant i sorprenent problema. L'he conegut gràcies al llibre de Manuel García Piqueras Una historia de la proporción.

    Tauleta IM 58045
    La imatge ens mostra un trapezi isòsceles amb un segment paral·lel a les bases. També es veuen uns números en escriptura cuneïforme.

    Podem mirar un esquema que representi més clarament el la tauleta.


    Les unitats de mesura emprades són la "canya" i el "colze". Una "canya" són sis "colzes. Si traduïm totes les unitats a "colzes" i col·loquem el trapezi al revés l'esquema final és aquest.


    El problema demana quina és la longitud del segment paral·lel a les bases i que divideix el trapezi en dues parts amb la mateixa àrea. De fet el problema és més interessant si prescindim de les mesures concretes i treballem a unes bases a i b, perquè descobrirem un parell de sorpreses en el resultat.

    Us convidem a resoldre'l i després podeu continuar llegint. Us prometem que el problema és més interessant del que sembla.

    Seguim?