10 de maig de 2015

Un babiloni penjat d'un trapezi

Els documents matemàtics més antics els hem trobat a Mesopotàmia. La majoria ens parlen de problemes pràctics: qüestions relatives a estocs, contractes, repartiments... Estan escrits en tauletes de fang gravades amb un punxó. S'escrivia quan el fang era tou i després es deixaven assecar. Potser per això han estat tan resistents al pas del temps. Però no totes les tauletes eren "pràctiques". Altres servien, probablement, per ensenyar matemàtiques i plantegen problemes de diferents estils. Entre ells, molts de caire geomètric. Gràcies a aquestes tauletes "sabem el que sabien" a Mesopotàmia, l'alt nivell de coneixements de que disposaven.

Una d'aquestes tauletes (la IM 58045), és força coneguda perquè es diu que conté "el diagrama matemàtic més antic del món", i ens es proposa un  interessant i sorprenent problema. L'he conegut gràcies al llibre de Manuel García Piqueras Una historia de la proporción.

Tauleta IM 58045
La imatge ens mostra un trapezi isòsceles amb un segment paral·lel a les bases. També es veuen uns números en escriptura cuneïforme.

Podem mirar un esquema que representi més clarament el la tauleta.


Les unitats de mesura emprades són la "canya" i el "colze". Una "canya" són sis "colzes. Si traduïm totes les unitats a "colzes" i col·loquem el trapezi al revés l'esquema final és aquest.


El problema demana quina és la longitud del segment paral·lel a les bases i que divideix el trapezi en dues parts amb la mateixa àrea. De fet el problema és més interessant si prescindim de les mesures concretes i treballem a unes bases a i b, perquè descobrirem un parell de sorpreses en el resultat.

Us convidem a resoldre'l i després podeu continuar llegint. Us prometem que el problema és més interessant del que sembla.

Seguim?
La solució

Una possible solució és muntar un sistema d'equacions. Primer assignem lletres a les diferents mesures.

La primera equació la podem obtenir igualant les àrees dels dos trapezis "meitat".


Trobarem la segona equació observant una relació de de semblança de triangles que ens permetrà plantejar la proporció corresponent.

Amb totes dues equacions, simplificant-les una mica, podem plantejar un sistema per anar treballant. Encara que tinguem dues equacions i tres incògnites veurem que dues, les relacionades amb les altures, aviat desapareixen...


... si igualem a partir de les darreres expressions.


I ja ho tenim:


I ara mirem el parell de sorpreses.
  • En la fórmula per trobar la longitud del segment que buscàvem trobem el rastre del teorema de Pitàgores en un triangle rectangle que té per catets les dues bases del trapezi.

  • L'altura ha desaparegut, el que significa que aquesta longitud serveix per tots els trapezis isòsceles que tingui aquestes bases, sigui quina sigui la seva altura.
Per comprovar que la longitud del segment bisector no depen de l'altura només cal que mirem una construcció feta amb GeoGebra.


La construcció amb regla i compàs del segment solució, un cop sabuda la fórmula per trobar la seva longitud, tampoc és difícil. Només cal aplicar el teorema de Pitàgores convenientment.



Us animem a investigar una solució purament geomètrica del problema

I a l'aula?

Aquest problema demana coneixements de proporcionalitat geomètrica i una certa capacitat de manipulació algebraica, per tant serà a partir de 4t d'ESO que es podrà treballar a l'aula.
Si el proposem és interessant destacar els dos aspectes que hem comentat del problema: la interpretació geomètrica de la fórmula obtinguda i l'observació de la independència de la mesura de l'altura.

En tot cas, com sempre, es poden fer altres treballs:

  • Investigar si serveix també aquesta solució per a qualsevol trapezi encara que no sigui isòsceles.
  • Fer la construcció geomètrica amb GeoGebra
  • Justificar la construcció geomètrica que hem mostrat i que utilitza el teorema de Pitàgores
  • Investigar altres problemes matemàtics semblants de l'antiga Mesopotàmia. Al llibre Una historia de la proporción en trobareu alguns més.

1 comentari: