29 de maig de 2015

Tres algoritmes històrics de multiplicar: piràmide, creueta i fulmínia

Estudiar els algoritmes històrics és sempre interessant per conèixer com han anat evolucionant les formes de calcular al llarg de la història. A l'aula intentar descobrir com funcionen, per què ho fan i com es relacionen entre ells serà sempre un treball més ric que limitar-nos només a la seva presentació i reproducció. És el que us proposem presentant aquests tres algoritmes de la multiplicació utilitzats entre els segles XIII i XIX: la multiplicació en piràmide, la multiplicació en creueta i la fulmínia.

En primer lloc us convidem a veure com funcionen els algoritmes sense cap explicació ni ajuda, "a pèl". Les úniques pistes les obtindrem de veure com s'apliquen els algoritmes pas a pas.
  • Multiplicació en piràmide
També ha rebut altres noms: en diamant, en copa... Tots els noms provenen de l'aspecte visual del càlcul quan s'ha acabat de fer. El trobem documentat, per exemple, en el Sumario compendioso de las cuentas de plata y oro que en los reinos del Perú son necesarias a los mercaderes y a todo género de tratantes. Con algunas reglas tocantes a la Aritmética de Juan Díez del 1556,






  • Multiplicació en creueta


  • El nom d'aquesta forma de multiplicar prové del dibuix en el que es basa. Sovint els "calculistes" disposaven de taules o pissarres on ja tenien la creueta dibuixada i només escrivien per sobre o per sota  o col·locaven fitxes. La creueta s'obté de dibuixar tots els segments possibles entre les xifres dels nombres que volem multiplicar. Aquest algoritme va ser descrit per Fibonacci al seu Liber Abaci.






  • Multiplicació fulmínia


  • Pel que sembla aquest algoritme de la multiplicació va ser utilitzat per Fourier o Cauchy al segle XIX. Visualment és molt curiosa perquè un dels factors s'escriu al revés (encara que n'hi hauria prou escrivint-lo invertint l'ordre de les xifres).



    Vols estudiar els algoritmes i comparar-los?

    • Estudiem la multiplicació en piràmide
    En primer lloc, per si no s'ha acabat d'entendre l'algoritme, mirem-lo de nou però amb una petita ajuda que ens facilitarà la comprensió del seu funcionament.



    Per "veure per dins" l'algoritme ens calen dues coses:
    • mirar els productes parcials
    • observar on es col·loquen
    La base de la gran majoria d'algoritmes del producte es basen en la propietat distributiva. És aquella propietat que, quan treballem amb números, per a la gran majoria d'alumnes no tindrà cap sentit, com les altres propietats de les operacions. Només adquireix sentit en la creació d'estratègies personals de càlcul. Quan sembla que adquirirà un grau d'importància rellevant, per ells, és en el càlcul algebraic. Per això és important utilitzar-la "amb sentit" abans: geomètricament, en el "càlcul pensat" o, com ara, analitzant algoritmes.

    Amb aquesta intenció pot ser interessant connectar la interpretació geomètrica de la propietat distributiva per estudiar l'algoritme.

    Mirem-ho:


    La col·locació dels nombres tindrà més sentit si separem una mica més els productes parcials i afegim els zeros que falten.


      • Estudiem la multiplicació en creueta
      Aquest algoritme és una mica més complex que l'anterior perquè, a cada pas, es fan diversos productes parcials que, a la vegada, es sumen entre ells. El podem mirar ara de forma més especificada amb els càlculs de cada pas. Observarem que aquests càlculs es fan, pas a pas, amb els nombres que queden relacionats pels punts de creuament dels segments



      En aquesta imatge podem veure com amb aquest algoritme també es fan tots el productes parcials necessaris.


      • Comparem la multiplicació en piràmide i en creueta
      A la introducció ja hem dit que els algoritmes que presentem estan relacionats, que segueixen una línia evolutiva. Podem comparar els dos que hem presentats en dues línies.

      La primera línia de comparació es observar com deixant dibuixades les línies dels productes parcials de la multiplicació en piràmide obtenim, ni més ni menys, que el dibuix de la creueta.
       La segona línia de comparació la obtenim observant com es recullen en una i altra multiplicació els resultats parcials de cada pas.


      • Estudiem la multiplicació fulmínia
      El més sorprenent visualment de la multiplicació fulmínia és la col·locació invertida d'un dels factors. Ja hem dit abans que és equivalent a invertir l'ordre de les xifres del factor. Veiem primer l'algoritme de forma més explicada.


      • Comparem la multiplicació en creueta i la fulmínia
      La comparació, en aquest cas és fàcil. Només cal posar-les una al costat de l'altra i veure com els resultats parcials són els mateixos. La forma de col·locar els nombres en la fulmínia només és una manera d'estalviar-nos el dibuix de la creueta.


      La comprovació de que s'han fet tots els productes parcials és idèntica a la de creueta.
      • I a l'aula?
      Ja hem comentat que la possibilitat més simple és intentar reproduir els algoritmes un cop explicats. Però és una opció que considerem poc rica. Pot ser més complet:
      • descobrir, a partir de les presentacions, com funciona l'algoritme. Segons el nivell podem utilitzar la presentació "amb ajuda" o "sense". Fins i tot, si optem per l'ajuda, podem treure algun dels comentaris escrits que hem posat.
      • comprovar, amb l'aplicació de la propietat distributiva i gràficament, que es realitzen els mateixos productes parcials però agrupats d'una altra manera.
      • convidar a descobrir el que tenen en comú cadascun dels algoritmes i ajudar a descobrir com uns són evolució dels altres.
      Altres algoritmes de multiplicació treballats al blog del Calaix +ie

      Cap comentari:

      Publica un comentari a l'entrada