3 de maig de 2020

El codi interestel·lar d'Ivan Bell

Aquesta activitat ja està al web antic del Calaix +ie. Inclou un interactiu no gaire assolit, tot s'ha de dir, i està presentada de cara a alumnat, amb una petita introducció i l'activitat.  El format d'aquest blog em permet comentar-la amb més calma i destacar per què em sembla una molt bona activitat per a l'aula. Donat que és molt probable que no la conegueu la presentaré com a nova. El problema el vaig descobrir, per variar, per un llibre de Martin Gardner (Comunicación extraterrestre y otros pasatiempos matemáticos, Cátedra, Madrid, 1987). És una activitat de descodificació, però que ens porta a reflexionar sobre aspectes del nostre sistema de numeració i en les relacions entre operacions. Entrem en situació.

El problema neix de la necessitat (qui la senti) d'elaborar un codi i un missatge que siguin interpretables per una possible civilització extraterrestre. Hi ha algunes idees clau a tenir en compte. Una és llenguatge. No es pot fer un codi amb cap llengua de la Terra. Champollion va poder descodificar els jeroglífics perquè va tenir prou referències: una "xuleta" basàltica en forma de pedra Rossetta i la idea de que l'egipci antic podia ser proper al copte de la seva època. La segona clau es refereix al contingut del missatge. Aquest ha de tenir alguna referència comuna amb la civilització alienígena que el rebi. Sembla versemblant que una civilització capaç de captar el missatge sabrà comptar i fer càlculs aritmètics, que seran, si fa no fa, semblants a tot l'univers. Per tant el contingut del nostre missatge pot ser numèricoaritmètic. Aquesta és la idea a la que va arribar Ivan Bell, un professor d'anglès que vivia a Tòquio i que a l'any 1960 va publicar com un joc a la revista The lapan Times.


El codi d'Ivan Bell consta de 14 missatges que, progressivament, van informant sobre el nostre sistema de numeració i les operacions bàsiques que fem amb els nombres. Cada missatge permet traduir alguns símbols. Aquests poden ser xifres (0, 1, 2, 3, ... fins a 9), nombres (10, 100, etc.), signes d'operació (suma, resta, potència,...). Aquí representarem cada símbol amb una lletra, però els missatges podrien ser també sonors emesos repetidament. No ens hi capficarem amb la forma de transmissió

Ara et convidem a posar-te en el lloc dels extraterrestres que han rebut aquests missatges i que has de descodificar. A continuació et posarem els 14 missatges i, si continues llegint l'article, et comentarem la descodificació i els aspectes interessants de cada missatge. També pots descarregar-te en pdf tots els missatges.
Descarregar en pdf

Missatge 1
A B C D E F G H I J K L M N P Q R S T U V W Y Z
Es presenten els símbols que es faran servir

Missatge 2
AA B AAAAAAA G   
AAA C AAAAAAAA H
AAAA D AAAAAAAAA I
AAAAA E AAAAAAAAAA J
AAAAAA F

Missatge 3
AKALB CKALD
AKAKALC BKELG
AKAKAKALD FKDLJ
BKALC

Missatge 4
CMALB IMGLB DMALC

Missatge 5
CKNLC DMDLN
HKNLH EMELN

Missatge 6
JLAN JKJLBN 
JKALAA JKJKJLCN
JKBLAB FNKGLFG
AAKALAB

Missatge 7
BPCLF EPBLJ FPJLFN

Missatge 8
FQBLC JQBLE FNQFLJ

Missatge 9
CRBLI BRELCB

Missatge 10
JPJLJRBLSLANN JPSLT
JPJPJLJRCLTLANNN JPTLJRD

Missatge 11
AQJLU UQJLAQSLV

Missatge 12
ULNWA VQJLNWNNA
UPBLNWB VQSLNWNNNA
AWDMALNWDLDPU JPEWFGHLEFWGH
VLNWNA SPEWFGHLEFGWH
VPCLNWNC

Missatge 13
GIWIH Y HN  TKC Y T Z Y CWADAF

Missatge 14
D P Z P NWNNIB R C Q C

Vols veure la descodificació

19 d’abril de 2020

Tauler infectat

Amb el nom de Tauler infectat apareix al llibre Matemàtica, ¿estas ahí? Episodio 100 aquest interessant problema. No serveix molt com a model de propagació d'epidèmies, però conserva l'aspecte "d'infecció per contacte". El problema és fàcil de plantejar. Imaginem que tenim un tauler de 8x8 en el que algunes caselles estan "infectades".


Casa casella comparteix costats amb quatre caselles més. Si tenim una casella sense infectar que està en contacte amb dues o més caselles infectades també s'infectaran. Així a la imatge següent podem veure quines seran les caselles que s'infectaran a la següent fase. En aquest cas, cada casella nova comparteix exactament dos costats amb infectades.


Aquest procés es va repetint fins que cap casella nova es pot infectar i l'epidèmia s'acaba. Al cas de l'exemple no s'infecten totes les caselles.
Però en aquest altra, amb una disposició i quantitat inicial de caselles infectades diferent, sí que s'acaba amb tot el tauler vermell.

Ja tenim la situació plantejada. Ara venen les preguntes. Per exemple:
  • quina és la quantitat mínima de caselles inicials infectades per poder infectar tot el tauler?
  • és indiferent com estan distribuïdes?
  • observant un disposició inicial, podem predir ràpidament si s'infectarà tot el tauler o no?
Com en molts altres problemes podem investigar-lo fent una reducció: començarem per un tauler de 2x2. Si descartem els casos extrems (una sola casella infectada i tot el tauler) i no tenim en compte simetries i girs tenim tres disposicions inicials.

Aquest cas ja ens dona algunes pistes. En un tauler de 2x2 hi ha un mínim de caselles inicials necessàries: dues. I la disposició sí que importa, perquè si ocupen un costat no hi ha cap infecció nova i sí que hi ha infeccions si ocupen una diagonal.

Ara, abans de continuar, et deixem investigar en taulers de 3x3 i 4x4 amb aquests dos applets fets amb scratch.



Continuem l'exploració del problema?

5 d’abril de 2020

Un joc de cares i creus amb sorpreses (El joc de Penney)

Hi ha problemes que, de vegades, te'ls trobes, no et criden l'atenció i els oblides. I passat un temps, que poden ser anys, te'l tornes a trobar i els trobes superinteressants. I quan comences a investigar... descobreixes que se t'havien passat per alt en un altre moment. Això és que m'ha passat llegint el llibre de Matt Parker "Pifias matemáticas". He trobat un problema que no recordava, però que després he descobert que ja havia vist, com a mínim, tres vegades: com no, a un títol de Martin Gardner, Viajes por el tiempo y otras perplejidades, al Cuaderno de Cultura Científica en un article de Miguel Ángel Morales (@Gaussianos ) o, fins i tot, a una Matiaventura de Clara Grima. Deixem les lamentacions i passem a mirar el joc que genera el problema. Es coneix com el Joc de Penney en honor al seu autor Walter Penney que el va publicar a l'any 1969.

Volem jugar a cara i creu contra una altra persona. Jugar a una sola tirada pot ser molt avorrit. Per tant jugarem apostant (punts, no cal que siguin diners) a una seqüència de tres tirades.  Tenim vuit ternes per triar que són igual de probables, cosa fa pensar que el joc és també equiprobable.


Un cop cada jugador ha triat la seva terna, que han de ser diferents, es comença a tirar la moneda fins que apareix la seqüència triada per un dels dos jugadors, que guanya el punt. A l'animació teniu un exemple de partida.


Potser hauràs observat a la partida d'exemple que, després de sortir dues creus seguides, l'opció CXC ja no podia guanyar. Si teníem dues creus i continuen sortint creus successivament (per exemple CCXXXXXX) guanyarà XXC en el moment que surti una cara, mentre que CXC ja no podrà sortir mai abans que XXC.

Si has entès el joc et recomanem que ara juguis contra l'ordinador. Per començar cada partida nova has de prémer la tecla espaiadora del teu teclat. A continuació tria la teva opció. Recomanem fer un mínim de deu partides.


T'ha anat bé el joc? O sembla que l'ordinador té alguna mena d'avantatge?

8 de març de 2020

Passar de 12

Aquest problema de probabilitat l'he trobat al llibre Matemagia d'Adrian Paenza. Pot ser molt interessant per treballar-lo a l'aula perquè té un plantejament fàcil i només necessitem uns daus. El podem presentar com un joc:
  • Tirem un dau i mirem la cara que ha sortit. El tornem a tirar i sumem el nou resultat a l'anterior... i anem fent així fins que obtenim una suma superior a 12. Veiem un exemple a la imatge. La suma de les tres primeres tirades dona justament 12, però el joc consisteix en passar-se. Per tant ens cal fer una quarta tirada. Obtenim un 4 i arribem a 16.
  • La pregunta és: si haguéssim d'apostar, a quin nombre final ho faríem?
Mirem com podem portar el problema a l'aula?