Tot sumant

En aquesta entrada us proposarem un parell d'exploracions basades en la suma i que són força interessants i entretingudes. La primera, "itineraris en la quadrícula" la recordo d'algun escrit de Fernando Corbalán i la segona, "segells", és de Brian Bolt.

1r problema: itineraris en quadrícula

Comencem pels itineraris. Es tracta de fer un recorregut per una quadrícula de la següent manera:

• comencem a qualsevol casella posant un 1
• passem a una casella contigua, en vertical, horitzontal o diagonal, i escrivim el nombre que correspongui a la suma de totes les caselles del voltant, ja toquin per un costat o per un vèrtex.
• continuem fent un recorregut continu que, sense salts, completi tot el caseller.

L'objectiu és aconseguir el nombre més alt un cop completat el recorregut. Aquí teniu un exemple animat amb un exemple d'itinerari.

2n problema: segells

Imaginem que tenim quatre segells enganxats fent un quadrat de 2x2 amb els següent valors: 1, 1, 2, 5. Agafant els segells d'un en un, de dos en dos (mentre es toquin per un costat), de tres en tres o tots quatre poden fer franquejos des de 1 fins a 9. Ho podem veure a la següent animació.

Amb els valors 1, 2, 4 i 7 potser arribaríem a un nombre més gran, però com es pot veure a l'animació, el valor 5 no el podem obtenir.

El problema consisteix en trobar una distribució numèrica que permeti obtenir els totals successius 1, 2, 3... sense saltar-se'n cap tot arribant al nombre més gran possible.

Explorem els dos problemes? 


Itineraris additius en una quadrícula

A continuació teniu un applet en el que podeu fer una "pràctica accelerada" d'itineraris. A l'aula, en principi, és millor que facin les sumes "manualment".

Enllaç al projecte en Scrath

És probable que, així que hàgiu practicat una mica, unes primeres conjectures vinguin al cap. Per exemple, si observem que hi ha tres tipus de caselles (les dels vèrtexs, amb tres contigües, les del mig dels laterals, amb cinc contigües, o la central, amb vuit contigües) pensarem a quina és més important acabar. Per acabar a la central només hi ha un parell de camins que donen com a resultat uns "pobres" 15 i 19. Per tant està clar que sembla més interessant acabar a les dels mig dels costats... però sense començar l'itinerari per la central que cal que estigui una mica més "carregada" que amb un u.

A l'aula no és absolutament necessari, fins i tot ni convenient, que se sàpiga quin és el màxim nombre assumible. En tot cas sí que no està de més que nosaltres el coneguem: el màxim assolible és 44. Hi ha més d'un camí per fer-ho. Aquí en tens un.

Un cop resolta la "versió original" del problema podem proposar variacions, com quadrícules rectangulars, amb caselles prohibides...

Els segells

No és difícil trobar, per assaig i millora, que la solució màxima és 13.

Un problema afegit interessant és fer justificar per què la màxima solució possible és 13. Una forma de veure-ho és que només hi ha 13 combinacions de segells possibles.
 

Com en el cas dels itineraris posteriorment podem replantejar el problema amb nous formats de grups de segells.