Triangles misteriosos

Amb aquest títol es publicava, el passat 13 d'octubre de 2013, una entrada al molt recomanable blog esquemat.es . En ell es planteja una interessant exploració que, a diferents nivells, es pot treballar tant a primària com a secundària. Des del mateix bloc espot resseguir el fil de l'origen i autoria del problema. Aquesta exploració, que convida a cercar caos des de l'ordre i ordre des del caos, ens recorda alguns autòmates cel·lulars, com el joc de Vida que ja va se objecte d'una activitat del Calaix +ie, o la simulació de la propagació d'una epidèmia en aquest mateix bloc.

La proposta és senzilla de plantejar. Es parteix d'una xarxa hexagonal en forma de triangle equilàter i disposem de tres colors. Es pinta a l'atzar cada cel·la de la primera filera. A l'exemple treballarem en un xarxa de 6 fileres:

Per pintar cada cel·la de les següents fileres seguirem dues normes que tenen en compte les dues cel·les immediatament superiors:

• Si tenen el mateix color pintarem també amb el mateix color.
• Si tenen colors diferents pintarem amb el tercer color.

En aquesta animació podem veure com es pintaria la xarxa anterior.

Investiguem el tema?

Per investigar hauríem de fer algunes observacions i formular-nos algunes preguntes. Així podem buscar simetries i quan es produeixen, observar determinades formes patró, zones d'un sol color, veure si el triangle "aguanta les normes" si el girem... o qualsevol altra observació o pregunta que es plantegi el nostre alumnat.

Nosaltres ens centrarem en una:

 Es pot predir el color de la darrera cel·la? 

Per fer-ho mirarem una possible via d'exploració, però millor si la feu vosaltres pel vostre compte.

Una manera habitual d'enfrontar-se a una investigació d'aquest tipus es començar per casos més petits i treballar ordenadament.

Us oferim tres possibilitats per "pintar".

• Treballar amb un applet extern que ens permet canviar la mida de les xarxes i les resol automàticament.
• Fer-ho "manualment" amb les miniaplicacions que us hem preparat al blog perquè les pinteu, de punta a punta, clicant a sobre de cadascuna de les cel·les.
• Descarregar-vos un document amb les xarxes fetes i pintar-les manualment de debò.

Potser que per familiaritzar-se amb el problema comenceu per la segona opció.

Casos reduïts

Podeu pintar les cel·les clicant a sobre de cadascuna. Canviareu el color amb clics successius.

• Xarxa de 3 fileres

Enllaç a l'applet (flash)

• Xarxa de 4 fileres

Enllaç a l'applet (flash)

• Xarxa de 5 fileres

Enllaç a l'applet (flash)

• Xarxa de 6 fileres

Enllaç a l'applet (flash)

• Xarxa de 7 fileres

Enllaç a l'applet (flash)

• Xarxa de 10 fileres

Enllaç a l'applet (flash)

Anem formant idees

• Xarxa de 3 fileres

No és difícil fer un estudi exhaustiu de les possibilitats. Si prescindim dels colors concrets i mirem només la quantitat de colors iguals o diferents i, per altra banda, eliminem les simetries, hi ha tan sols quatre casos a observar.

Tres colors iguals (AAA)	Dos colors iguals (AAB)
Dos colors iguals (ABA)	Tres colors diferents (ABC)

No hi ha una regla única però podem extreure les quatre regles per saber el color de la darrera casella.

AAA → A

AAB → B

ABA → C

ABC → B

Aquesta informació, com ja veurem, ens pot ser útil amb xarxes més grans.

• Xarxa de 4 fileres

L'estudi exhaustiu tampoc és massa llarg. Hi ha 10 casos:

AAAA → A

AAAB → C

AABA → A

AABB → C

ABBA → A

ABAB → C

AABC → B

ABAC → B

BAAC → A

ABCA → A

Potser costa veure una pauta, però si ens hi fixem en un detall veurem que es més fàcil endevinar la darrera cel·la que en el triangle de 3. Mirem aquests tres casos:

Podem observar que els dos extrems de la primera fila determinen la darrera cel·la aplicant les regles normals de dibuix. Això s'acompleix en tots els casos de la llista que hem detallat anteriorment. En una xarxa de 4 fileres tenim una regla única i senzilla.

• Xarxa de 5 fileres

Estudiar els casos de forma exhaustiva ja comença a ser més laboriós i si ho fem costarà veure una regla senzilla. Però podem fer una simplificació sabent que dins del triangle de 5 tenim un de 4. Per tant, si determinem unes cel·les clau en tres passos determinem el final. Els podem veure en aquest esquema:

• Xarxa de 6 fileres

Aquest cas també el poder descompondre en tres passes: dos triangles de 4 i un de 3

• Xarxa de 7

Aquest cas és molt bonic perquè es pot resoldre en tres passes senzilles, ja que tenim tres triangles de 4.

Bé... podríem seguir. Però també podem mirar altres coses

"Triangles senzills"

Podem anomenar com a "triangle senzill" aquell que es resol com el de 4: mirant els colors dels extrems. La pregunta és... n'hi ha més?

Si experimentem una mica amb l'applet que comentàvem al principi podrem descobrir dos més: el de 10 i el de 28.

Amb tres nombres ja tenim una sèrie. Quin serà el següent?

4 - 10 - 28 - ?

Si no la trobeu, seleccionant amb el cursos aquest requadre llegireu una fórmula general:   3ⁿ+1  

Propostes per a l'aula

• Hi ha una de molt clara: pintar i pintar i mirar que surt. Fer una col·lecció de triangles (uns ordenats i simètrics, altres caòtics...) pot alegrar l'aula. També els podem fer amb materials.

• Buscar distribucions (primeres files) que provoquin regularitats visuals.
• Cercar les regles per saber el color del final i estendre-les a casos més grans descomponent en triangle. Es poden comparar descomposicions i mirar quines són les més "ràpides", les que necessiten menys passes.
• A primària es poden resoldre de forma exhaustiva i cooperativa (seguint les idees que apunten al blog del PuntMat) els casos de tres i quatre fileres. Es probable que no sigui evident que es poden reduir casos, és a dir, que no es vegin equivalents els casos il·lustrats a sota. Potser caldrà orientar-ho o obviar-ho.

• Buscar la llei de la sèrie 4, 10, 28...
• Fer un programa amb Scracht que pinti els triangles automàticament.