19 d’octubre de 2013

Arrel quadrada 4: resoldre arrels restant senars

Hi ha una curiosa i força coneguda propietat que relaciona la suma de senars consecutius amb els nombres quadrats:
Si sumem n senars consecutius (començant per u) el resultat és igual a n2

Podem visualitzar aquesta propietat amb aquesta animació.


Veure l'applet a finestra completa

Si ens interessa podem utilitzar aquesta propietat per a resoldre arrels quadrades manipulativament. En aquest vídeo podem veure com fer l'arrel de 18 sumant senars.




De fet, treballant amb nombres, acostuma a ser més pràctic anar restant que anar sumant, ja que sempre podem saber si encara podem treure més o no. Així, partint del que hem obsevat fins ara, podrem obtenir un sistema per resoldre arrels quadrades només aplicant restes successives. A continuació explicarem el mètode general i a la part final,  a més de les propostes per a l'aula, us presentarem un algoritme relacionat absolutament sorprenent.

Seguim?

Per fer una arrel quadrada a partir d'aquesta propietat només cal restar 1, 3, 5, 7... al nombre fins que no puguem més. El resultat de l'arrel és la quantitat de restes que hem fet.


Veure l'applet a finestra completa

En aquest altre exemple veiem com calcular √138


El mètode és clar i senzill, però immensament llarg si el nombre del qual hem de fer l'arrel és gran. Podem millorar-lo una mica?

Una primera proposta

Bernardo Gómez, al seu llibre Numeración y cálculo (Síntesis, 1989) comenta el mètode anterior i ens planteja algunes idees per escurçar el mètode.



En mostrem una a continuació. L'altra la podeu llegir al mateix llibre.

Per restar molts senars de cop hem de partir d'alguns quadrats sabuts
Per exemple, si sabem que 102 és 100, també sabem que els deu primeres senars sumen 100. Si 202 és 400, també sabem que els vint primeres senars sumen 400, etc. No són quadrats difícils de recordar o calcular. Així per fer calcular √489 podem començar fent

489 - 400 = 89  (Hem restat 20 senars)

Ara podrem continuar restant a partir de 89. Però...quin senar toca restar?

Aquí entra en joc la segona part del mètode. Si recordem que la fórmula general dels senars és 2n-1 el 21è senar es calcularà així:
2·21-1 = 42-1 = 41

Ja podem seguir:
89-41 = 48   g   48-43=5

Hem pogut restar dos senars més. Per tant:

√489 = 20+2 = 22  (residu 5)

L'algoritme de Camil Vives

A partir de la lectura d'un interessant article de J.M. Núñez i J. Servat titulat Los algoritmos para el cáculode la raíz cuadrada y sus antecedentes en textos escolares antiguos hem arribat a saber que en un llibre de text de l'any 1899 el sacerdot, professor i matemàtic Camil Vives va utilitzar el mètode de resta de senars consecutius en el llibre de text en català Aritmetica teórich-práctica (pàgines 116 a 119), però adaptant-lo a qualsevol mida de nombre.

Podeu veure l'algoritme en aquesta presentació i gaudir de la seva senzillesa i "misteri".


Hi ha una petita variant en un dels passos en el cas de que no podem fer una resta intermèdia.


Us animem a desentrellar l'algoritme per descobrir com es justifica. Si no podeu continuar llegint. Però si ho trobeu massa llarg... podeu anar a la part final sobre propostes per a l'aula.

Per què funciona l'algoritme?

El principi bàsic ja l'hem vist: la resta de senars consecutius. El que hem de justificar en particular són dues qüestions: com accelera les restes i el pas posterior a baixar un grup de xifres (augmentar en una unitat el darrer senar i afegir-li un 1 a la dreta). Som-hi, doncs.
  • Com s'acceleren les restes?
Hi ha diverses maneres d'explicar-ho. Triarem una que, si bé no és la més clara, ens permetrà lligar els dos aspectes que volem justificar.

El primer pas de resolució consisteix en separar les xifres de dues en dues des de la dreta, de la mateixa manera que en l'algoritme tradicional. Això es fa perquè treballarem per fases, per graus d'unitat.

55356 = 50000+5300+56

Imaginem ara que, en comptes de treballar amb unitats, treballem amb "plaques" quadrades de 100x100 (10000 unitats). Això ens ajudarà a accelerar perquè traurem centenars de senars de cop. El 50000 ens proporciona 5 plaques.


Ara podem fer el següent: treure les plaques de forma que les puguem muntar fent un quadrat. Així si primer traiem 1 i després 3 farem un quadrat de 2x2 perquè hem restat dos senars. Per altra banda ens sobrarà una placa de 10000. Ho podem veure en aquesta animació.


En el nostre algoritme queda reflectit així:
Treballarem ara amb els 10000 que ens han sobrat i amb el grup següent de 5300. Junts els dos nombres fan 153 centenes. Ara ens aniran bé plaques més petites de 10x10 (100 unitats). Abans ens cal un pas previ perquè tenim un problema.

Vegem... el darrer senar que havíem restat era 3. Però això era quan treballàvem amb plaques molt grans. Si haguéssim treballat des del començament amb plaques de 10x10, quants senars hauríem restat en realitat? Per saber-ho farem tres coses:
  • multiplicar per 10 el costat del quadrat que havíem fet (2x10=20). Seria el nou costat del nostre quadrat anterior fet amb quadrets de 10x10.
  • ara que sabem que és com si haguéssim restat 20 senars calcularem quin hauria estat el darrer senar restat usant la fórmula general dels senars 2n-1. En el nostre cas 2·20-1=39.
  • com que sabem que el darrer senar era 39 el següent que ens tocarà restar serà 39+2=41
Aquests passos (treballar amb 153 centenes) i restar 41 plaques de 10x10 el tenim recollit en aquest moment de l'operació.

Podrem descomptar tres senars i ens sobren 24 centenes.

De nou ens toca canviar de grau d'unitat: de centenes (plaques de 10x10) a unitats (quadrets d'1x1). Tenim sobreres 24 centenes i 56 unitats: 2400+56 = 2456.

Per saber quin senar tocaria restar repetim els càlculs d'abans:
  • 23·10 = 230
  • 2·230-1 = 459
  • 459+2= 461
A l'algoritme queda així:


I, per acabar, restem els senars que ens queden fins al final.

  • El pas d'esbrinar el senar "que toca"
Quan fem el canvi de grau d'unitat i hem de saber quin senar tocava per a un nombre n (n és el resultat parcial que portem de l'arrel) a les explicacions anteriors fèiem tres passes, però es podien simplificar en una sola fórmula:

n·10·2-1+2 = 20n+1

No és difícil de calcular, però Camil Vives ens convida a fer-ho d'una altra manera esbrinant-ho a partir del darrer senar utilitzat, sumant-li un i afegint un 1 a la dreta. Per què dos mètodes aparentment tan diferents produeixen el mateix resultat? Si fem una mica d'àlgebra ho veurem.

Comencem per anomenar k al darrer senar escrit. Com calculem el valor de n a l'arrel a partir de k? Observem la fórmula.
El que toca ara és substituir la n a la fórmula per trobar el següent senar (20n+1) per l'expressió que hem trobat i, a continuació, simplificar.


La fórmula obtinguda per obtenir el següent senar al canviar d'ordre d'unitats a partir del darrer escrit justifica el truc algorítmic proposat per Vives. En el cas que observem a dalt serà:

10·(45+1)+1 = 10·46+1 = 460+1 = 461

Aquest pas l'hem vist descrit en aquesta imatge quan s'explicava l'algoritme:

Propostes per a l'aula
  • Al cicle superior de primària o 1r d'ESO es pot fer descobrir o explorar la relació entre quadrats perfectes i suma de senars consecutius. Es pot fer amb materials com fitxes o multilink. També podem resoldre manipulativament alguna arrel senzilla. Si "ens estirem" podem practicar l'algoritme de Vives.
  • En aquest bloc hem presentat una altra activitat on intervenien els quadrats perfectes: Obrint i tancant portes. Sovint fent aquesta activitat a l'aula hi ha més alumnes que descobreixen la relació buscada com a suma de senars consecutius que com a nombres quadrats.
  • A meitat de l'ESO podem estudiar la propietat i treballar algunes expressions algebraiques relacionades amb senars i quadrats. Per exemple, si fem descobrir una fórmula per sumar n senars consecutius no serà difícil simplificar-la i obtenir n2
  • Al final de l'ESO o batxillerat podem intentar la justificació completa de l'algoritme.





Cap comentari:

Publica un comentari a l'entrada