Arrel quadrada 3: el tempteig i el bon ull

No aprendre l'algoritme tradicional de l'arrel quadrada no significa que ens limitem a fer-les amb la calculadora pitjant la tecla d'arrel. Precisament, quan s'introdueix aquesta operació s'hauria de prohibir tocar-la i mirar de fer-la per altres procediments.

A les dues entrades anteriors d'aquest blog sobre l'arrel quadrada hem insistit molt amb la seva traducció geomètrica però també hauríem de considerar els seus aspectes purament numèric,s tant per fer bones aproximacions com per utilitzar-la amb sentit en contexts no geomètrics. Per exemple l'arrel quadrada ens va molt bé per assenyalar-nos un límit de proves en cercar tots els divisors d'un nombre o comprovar si és primer o compost.

En aquesta entrada parlarem del tempteig numèric i geomètric per trobar arrels.

Resoldre arrels per tempteig

Sovint sembla que el tempteig estigui mal vist o, fins i tot, prohibit a les classes de matemàtiques. Però "l'assaig i millora" és un dels mètodes més habituals en la resolució de problemes, especialment en les seves primeres fases ja que ens ajuda a entendre millor les característiques del que busquem. En aquest sentit, trobar arrels quadrades temptejant quadrats amb una calculadora ens ajuda a reforçar el concepte de l'arrel com a operació inversa de la potència.

Si treballem aquest mètode, a més, no serà molt més difícil fer arrels cúbiques, quartes, cinquenes... perquè la idea estarà agafada.

Convé, però, fer anotar els tempteigs per dues raons importants:

• veure el procés de millora en aquests
• refermar la idea d'acotació progressiva del resultat

Abans d'iniciar el tempteig s'ha d'acordar en grau d'aproximació: només la part entera, fins a un decimal, dos...

Amb aquest applet (flash) teniu fins a 10 opcions per acotar el resultat de les arrels demanades fins a les dècimes.

Enllaç a l'applet (flash)

Millorar la primera aproximació

La llargada del tempteig amb la calculadora depèn molt de la bondat de la primera aproximació. Fer-la bé també és útil per abreujar mètodes com el d'Heró, i és necessari en els algoritmes tradicionals, tal com hem vist en entrades anteriors.

Una bona primera aproximació depèn, bàsicament, de dues qüestions:

• Esbrinar la quantitat de xifres enteres del resultat

Una de les primeres pistes sobre la correcció d'un càlcul ens la dóna la quantitat de xifres del resultat. Saber que una suma no tindrà menys xifres que el sumand més gran, que un producte acostuma a tenir una quantitat de xifres similar (o una menys) a la suma de les dels factors o que el quocient d'una divisió en té una equivalent a la diferència  entre el dividend  i el divisor (o una més que aquesta), són elements de control de resultats que no hauríem de descuidar a les aules. En el cas de les arrels quadrades saber quantes xifres té la part entera del resultat pot significar, a més, un important estalvi de feina. Per tant, investigar una mica a l'aula en aquesta línia no serà una pèrdua de temps.

Veure aquesta propietat ens explica també per què els algoritmes tradicionals comencen per separar les xifres de dos en dos començant des de la dreta. La xifra o xifres que ens quedin en el grup situat més a l'esquerra ens ajudaran a ajustar més encara la primera aproximació.

• Esbrinar la xifra de l'ordre d'unitats més gran

És bo incorporar a la memòria els quadrats dels nombres de l'1 al 15 i d'alguns altres especials com, per exemple, 25. Sempre ens donarà agilitat de càlcul. També podem inferir, a partir dels quadrats dels nombres d'una xifra els dels que estan formats per la unitat seguida de zeros ( de 10, 20, 20, ... , 100, 200, 200...). A partir d'aquesta informació, combinada amb la de l'apartat anterior, no és difícil fer bones primeres aproximacions a l'arrel d'un nombre.