"Quaternes" i altres patrons a la taula de multiplicar

De vegades hi ha patrons relativament senzills que, pel que sigui, no se t'acudeix buscar. La clau, com sempre, està a saber-se fer preguntes. Aquests patrons que presentem avui, en què fins ara no m'hi havia fixat mai, els he trobat al llibre La matemática elgante (A.V. Zhúkov, P.I Samavol i M.V. Applebaum; Editorial URSS). Tots es basen en la taula pitagòrica de la multiplicació. I millor si la taula és "infinita". Els primers es basaran en la tria de quatre nombres que formin un quadrat sobre la taula. Després hi ha dos més basats en l'estudi de les sumes dels nombres que formen angles rectes i algunes diagonals. Abans d'entrar-hi és obligatori recordar un article, també referent a aquest tema, del Blog del PuntMat: "Patrons a les taules de multiplicar". Comencem.

• Quadrats amb els costats paral·lels a les vores de la taula

Triem quatre nombres que siguin els vèrtexs d'un quadrat col·locat "horitzontalment", que tingui els costats paral·lels als costats de la taula.

Podem descobrir una relació entre dues de les parelles de vèrtexs de cada quadrat. Quina és?

• Quadrats com els anteriors que tenen dos vèrtexs sobre la diagonal principal

A més de la relació anterior, en aquest cas, hi ha una propietat numèrica especial que s'acompleix considerant els quatre vèrtexs.

• Quadrats amb els costats paral·lels a les diagonals principals

Un cas relativament semblant al primer. Hem de trobar una relació entre dues parelles de vèrtexs.

• Suma dels nombres dels angles rectes de la taula (gnòmons)

Si sumem els nombres que formen els gnòmons de la taula (podríem visualitzar-los com lletres L invertides), quin tipus de nombres obtenim?

• Suma dels nombres de les diagonals consecutives

Aquesta relació és una mica més complicada. Si sumem els nombres situats en les diagonals consecutives, marcades a la figura, podem trobar una sèrie numèrica curiosa. Podeu endevinar com segueix o identificar-la?

Us animeu a continuar investigant aquests patrons?

Prostafairesis, taules de quarts de quadrats... Multipliquem d'una altra manera!

Buscar formes de simplificar les activitats complexes ha estat un dels motors del desenvolupament tecnològic (i cultural) de la humanitat. El càlcul és una d'aquestes activitats i, actualment, en gran part el deleguem en les màquines, sobretot si són llargs, molt repetitius o amb nombres complicats. Però el camí per arribar fins aquí ha estat llarg. Tristament, encara hi ha docents que discuteixen l'ús de les calculadores a l'aula. Una cosa és discutir "sobre l'ús" (quan, quant, com, per a què), però una altra "discutir-ne l'ús". La calculadora ha d'estar a l'aula. Però els que tenim una edat podem recordar els temps en què aquest debat no tenia sentit, perquè les calculadores de butxaca eren uns ens estranys al teu entorn, unes autèntiques rareses. Els que vam estudiar el batxillerat pre-EGB encara vam haver de comprar llibres amb taules de logaritmes i estudiar com les multiplicacions es podien convertir en sumes, les divisions en restes, les potències en productes i les arrels en divisions. L'aplicació dels logaritmes a la simplificació dels càlculs complexos va ser fonamental des del segle XVII fins ben entrat el XX. Als anys 70 encara era habitual veure "calculistes" fent anar el regle de càlcul, de base logarítmica.

Però abans del segle XII ja existien altres mètodes per alleugerir les grans multiplicacions reduint-les a sumes i restes de nombres extrets de taules numèriques. Alguns, basats en taules de quadrats, sembla que venen de l'antiga Mesopotàmia i van durar fins als inicis del segle XX. D'altres, basats en taules trigonomètriques, van ser usats des del segle XVI fins al triomf generalitzat dels logaritmes, amb els que van conviure molts anys. Aquest segon mètode rebia el nom de prostafairesis.

Abans d'estudiar-los amb més calma veiem un exemple d'aplicació de cadascun (tot recordant que es basen en l'ús de taules numèriques "prefabricades").

• Amb taula de quadrats.

Imaginem que volem multiplicar 785·296 = 232 360

1. Sumem els dos nombres
        785+296 = 1 081
2. Restem els dos nombres
        785-296 = 489
3. Busquem a una taula de quadrats els de la suma i de la diferència anteriors
        1081² = 1 168 561
        489² =239 121.
4. Restem aquests dos resultats
        1 168 561 - 239 121 = 929 440
5. Fem la quarta part de la resta anterior i obtenim el resultat del producte buscat
        929 440/4 = 232 360

• Amb trigonometria

Fem la mateixa multiplicació 785·296 = 232 360

1. "Arreglem" els nombres perquè estiguin entre 0 i 1. En aquest cas dividint cadascun per 1000 (0,785 i 0,296). A aquesta operació li direm "escalar els nombres".
2. Busquem a angle quins correspondrien els nombres anteriors si aquests fossin els seus cosinus. Ho podem fer amb una taula trigonomètrica i mirant l'arccosinus, que sovint a la calculadora ens apareix com cos^-1.
        Arccos (0,785) = 38,27932174°
        Arccos (0,296) = 72,78248857°
3. Sumem i restem els dos angles anteriors
        38,27932174°+72,78248857°=111,06181031º
        38,27932174°-72,78248857° = -34,503166
4. Mirem a la taula trigonomètrica els cosinus dels dos angles anteriors
        cos (111,06181031°) = -0,35937488
        cos (-34,50316683°) = 0,82409488
5. Sumem els cosinus anteriors
        -0,35937488 + 0,82409488 = 0,46472
6. Fem la meitat del resultat anterior.
        0,46472/2 = 0,23236
7. Només queda "reescalar" el resultat. Donat que havíem dividit inicialment cada nombre entre 10³, ara haurem de multiplicar per 10⁶.
        0,23236 · 1000000= 232 360

Potser semblaran algoritmes molt alambinats, però amb càlculs de navegació, astronòmics o d'enginyeria escurçaven molt el temps emprat en la seva realització. Només calia disposar d'unes bones taules de quadrats o trigonomètriques.

Els mirem amb més calma? Com es justifiquen?

Una variant de persistència multiplicativa i trens de potències

Abans de començar  aquest article recomano haver llegit l'article anterior sobre persistència multiplicativa, ja que, tot i que farem "recordatoris", hi haurà referències constants. Un cop fet l'avís... entrem en tema.

Fem memòria del que significa persistència multiplicativa. Agafem un nombre. Multipliquem les seves xifres. Si el resultat té més d'una xifra repetim el procés fins a arribar a una xifra única. A l'article anterior vam comentar els efectes "devastadors" del zero: en el moment que apareix un zero (i és fàcil que passi) el procés iteratiu acaba en un pas i l'arrel multiplicativa serà zero. El matemàtic Paul Erdős (qui si no?) es va preguntar què passaria si en el procés iteratiu prescindim dels zeros.

A continuació teniu un petit aplicatiu, fet amb Scratch, per poder experimentar.

Enllaç al projecte

Una idea per a l'aula que pot venir ràpidament al cap és com varien les respostes a les preguntes que ens vam fer sobre la persistència "normal". Algunes les podem contestar de forma ràpida. Per exemple, la demostració que s'acabava en una sola xifra continua sent perfectament vàlida. També continuant sent vàlides les reflexions que vam fer sobre l'efecte de les xifres (tret del zero) en la persistència. Altres preguntes les hem d'anar pensant:

• Persistència i quantitat de xifres. Havíem vist que la persistència, encara que no era el més freqüent podia ser superior a la quantitat de xifres, però que mai la persistència superava en 2 la quantitat de xifres. Passarem ara aquesta frontera? Hi haurà persistències superiors a xifres+2?
• Arrel multiplicativa. En la majoria de casos (una mica més del 90% dels casos del 10 a 1 milió) acabàvem en zero. Ara això no passarà. Com es distribuirà aquest 90% entre les altres xifres? Continuaran sent els parells grup més abundant?
• Durada de la persistència. Vam veure que la persistència 1 i 2 eren les més freqüents (de 10 a 1 milió un 40 i un 37% respectivament). L'aparició de zeros o d'una xifra parell i un cinc escurçava molt la persistència. En aquests casos aquests zeros podríem dir que es convertiran en uns. Després de les durades d'1 i 2 passos, les de 3, 4... anaven baixant de mica en mica (12%, 6%...). Afectarà en molt la persistència d'Erdős a la durada?
• Arbres genealògics. És evident, per les raons que vam apuntar a l'article anterior, que continuaran havent-hi "nombres orfes". Variaran molt els arbres genealògics dels nombres?

En primer lloc, respondrem a aquestes preguntes. Després aplicarem la idea de persistència als trens de potències de Conway.

Vols saber les respostes? I què és un tren de potències?

Fem-nos preguntes sobre la "persistència multiplicativa"

La persistència multiplicativa és un “invent” de Neil Sloane, creador, per altra banda, de la OEIS (On-Line Encyclopedia of Integer Sequences), l’enciclopèdia de les sèries numèriques enteres. El concepte no és difícil. Agafem un nombre qualsevol. Per exemple 2793. Multipliquem les seves xifres (2·7·9·3) i n'obtenim 378. Ara tornem a fer el mateix amb les xifres dels resultats (3·7·8) i n'obtenim 168. Hem de repetir el procés fins a arribar a una sola xifra.

 En aquest cas necessitem cinc passes per arribar-hi i acabem amb el 6. Direm que la persistència multiplicativa de 2793 és 5 i la seva arrel multiplicativa 6.

Pels alumnes més grans pot ser una bona proposta preparar algun petit programa, com el següent o més senzill, que calculi la persistència.

  Enllaç al programa

Vaig conèixer la persistència multiplicativa (com tantes altres coses) pel Blog del PuntMat. Ells la proposen com un exemple de pràctica productiva (una tasca que permet l'exercitació i alguna cosa més) per contraposar-la amb la pràctica reproductiva (que només busca l'exercitació “pura i dura”). De fet, explorar-la una mica pot obrir un gran ventall de preguntes. I, no cal recordar, que saber plantejar-se preguntes és una de les competències matemàtiques, i extramatemàtiques, relacionada amb la resolució de problemes.

Al Blog del PuntMat se'ns mostra una imatge on una alumna va anotant alguns dels seus descobriments mentre va investigant la persistència multiplicativa dels nombres del 10 al 100. Per exemple:

• Que l'ordre de les xifres no importa.
• Que la persistència no depèn de la grandària del nombre.
• Que la taula presenta simetries
• Etc.

Imatge extreta del Blog del PuntMat.

Però podem fer-nos altres preguntes i anar una mica més enllà. L'ideal és que se les facin els alumnes, però si no se les fan, podem ajudar-los a plantejar-se-les. Al llarg d'aquest article mostrarem algunes.

Multiplicar amb dobles o amb dobles i meitats. Les multiplicacions egípcia i russa

Aquests dos algoritmes són prou coneguts. En aquest article, a més d'explicar-los, intentarem buscar-hi relacions.

Tots dos mètodes de multiplicar són molt idonis per treballar-los a l'aula perquè no requereixen el coneixement de les taules. Per utilitzar l'egipci només cal saber sumar i duplicar. Per aplicar el rus ens caldrà, a més, saber fer meitats. Tots dos es poden treballar a les aules de primària senzillament replicant-los. Serà una forma de practicar dobles i meitats amb sentit. Per altra banda, i especialment l'egipci, és un algoritme clar, transparent, amb control de què s'està fent i per què. És dels pocs algoritmes clarament comprensibles d'entrada. A secundària, o al final de la primària, podem atacar l'explicació de la multiplicació russa, que ja és una mica més exigent.

Mirem primer els algoritmes.

• Multiplicació egípcia

En aquesta presentació podem veure el mètode de multiplicar egipci. Observarem que es van fent dobles d'un dels factors (preferentment el més gran) i, paral·lelament, els dobles d'1, 2, 4, etc. fins a no excedir l'altre factor. A continuació es busquen en aquesta columna els nombres que sumen aquest factor i, tot seguit, sumem els seus paral·lels. Aquesta suma és el resultat de la multiplicació.

Enllaç a la presentació

• Multiplicació russa

Aquest algoritme va ser utilitzat fins a l'edat mitjana i encara va "resistir" en algunes zones de Rússia, Etiòpia o Pròxim Orient. S'observa que d'un dels factors es van fent dobles i de l'altre meitats (preferentment del petit). Quan ens trobem un nombre senar en restem un, fem la meitat del número obtingut i marquem el nombre. La suma dels paral·lels marcats ens donarà el producte dels dos nombres.

Enllaç a la presentació

Estudiem i comparem els dos algoritmes?

Tres algoritmes històrics de multiplicar: piràmide, creueta i fulmínia

Estudiar els algoritmes històrics és sempre interessant per conèixer com han anat evolucionant les formes de calcular al llarg de la història. A l'aula intentar descobrir com funcionen, per què ho fan i com es relacionen entre ells serà sempre un treball més ric que limitar-nos només a la seva presentació i reproducció. És el que us proposem presentant aquests tres algoritmes de la multiplicació utilitzats entre els segles XIII i XIX: la multiplicació en piràmide, la multiplicació en creueta i la fulmínia.

En primer lloc, us convidem a veure com funcionen els algoritmes sense cap explicació ni ajuda, "a pèl". Les úniques pistes les obtindrem de veure com s'apliquen els algoritmes pas a pas.

• Multiplicació en piràmide

També ha rebut altres noms: en diamant, en copa... Tots els noms provenen de l'aspecte visual del càlcul quan s'ha acabat de fer. El trobem documentat, per exemple, en el Sumario compendioso de las cuentas de plata y oro que en los reinos del Perú son necesarias a los mercaderes y a todo género de tratantes. Con algunas reglas tocantes a la Aritmética de Juan Díez del 1556,

Enllaç a la presentació

Multiplicació en creueta

El nom d'aquesta forma de multiplicar prové del dibuix en què es basa. Sovint els "calculistes" disposaven de taules o pissarres on ja tenien la creueta dibuixada i només escrivien per sobre o per sota  o col·locaven fitxes. La creueta s'obté de dibuixar tots els segments possibles entre les xifres dels nombres que volem multiplicar. Aquest algoritme va ser descrit per Fibonacci al seu Liber Abaci.

Enllaç a la presentació

Multiplicació fulmínia

Pel que sembla aquest algoritme de la multiplicació va ser utilitzat per Fourier o Cauchy al segle XIX. Visualment, és molt curiosa perquè un dels factors s'escriu al revés (encara que n'hi hauria prou escrivint-lo invertint l'ordre de les xifres).

Enllaç a la presentació

Vols estudiar els algoritmes i comparar-los?

Una multiplicació més "ràpida": l'algoritme de Karatsuba

L'algoritme de la multiplicació ha variat força al llarg del temps. Però en la majoria d'algoritmes que s'han fet servir el que no canvia és la quantitat de subproductes que hem de fer. Per exemple, si multipliquem 45 · 738 farem 6 subproductes:

4·700      4·30     4·8     5·700     5·30     5·8

Com que les sumes són més fàcils no les comptem i, considerant que en realitat cada subproducte és realment de nombres d'una xifra, diem que el cost d'aquesta multiplicació és 6. Si multipliquem un nombre de 15 xifres per un altre de 23 el cost serà de 15·23 = 345 subproductes. En general, es considera que el cost de l'algorisme tradicional de la multiplicació és de n².

El que és curiós és que el problema de trobar un algoritme millor es continués estudiant i que, a mitjans del segle XX, s'inventés un altre amb un cost menor, de forma que, per exemple, una multiplicació de dos nombres de 1000 xifres, que amb els mètodes normals requereix 1 000 000 subproductes, es pugui resoldre amb poc menys de 60 000.

Quan veiem l'algorisme per primera vegada ens sembla estrany, però en realitat no ho és tant. El va inventar Anatoli Karatsuba l'any 1962. El mètode demostra tota la seva potència amb nombres molt grans i està pensat per fer els càlculs amb ordinador. Així i tot, li podem fer una ullada i podem provar el seu funcionament amb nombres més petits.

Anatoli Karatsuba
(1937-2008)

Mirem l'algorisme de Karatsuba?

La multiplicació veda

Al best-seller de Jonas Jonasson L'analfabeta que va salvar un país podem llegir al primer capítol com la protagonista, la Nombeko, resol un producte d'una forma prou curiosa:

"Com aquell dia que passava pel costat del seu superior jeràrquic directe, que s’escarrassava a redactar l’informe mensual sobre quantitat
i volum transportats.
–O sigui, noranta-cinc per noranta-dos –murmurava el cap–. ¿On és la calculadora?
–Vuit mil set-cents quaranta –va dir la Nombeko.
–Ajuda’m a buscar-la, maca.
–Vuit mil set-cents quaranta –va insistir la Nombeko.
–¿Què t’empatolles?
–Noranta-cinc per noranta-dos fan vuit mil set-cents...
–¿I com ho saps?
–Calculo que noranta-cinc són cent menys cinc, i noranta-dos són cent menys vuit. Si ho capgires i fas la resta, fan vuitanta-set. I cinc per vuit fan quaranta. Vuitanta-set quaranta. O sigui, vuit mil set-cents quaranta.
–¿I d’on l’has tret, aquest sistema? –va dir el cap estupefacte.
–No ho sé. ¿Podem continuar ja amb el que estàvem fent?
Aquell mateix dia la van ascendir a ajudant del cap."

Curiosament a la traducció castellana no canvia només el títol (La analfabeta que era un genio de los números) sinó que la descripció del procediment  conté algun detall més:

"Bueno, verá, pienso en que noventa y cinco son cien menos cinco, y noventa y dos son cien menos ocho. Si cruzas las cifras y restas la diferencia, es decir, noventa y cinco menos ocho, y noventa y dos menos cinco, siempre da ochenta y siete. Y cinco por ocho son cuarenta. Ochosietecuarenta. Ocho mil setecientos cuarenta."

En realitat l'algoritme que descriu es conegut com la multiplicació vèdica, un mètode hindú que no sabem com va conèixer o redescobrir aquesta noia de Sudàfrica.

Vols conèixer l'algoritme?