28 de maig de 2012

La multiplicació veda

Al best-seller de Jonas Jonasson L'analfabeta que va salvar un país podem llegir al primer capítol com la protagonista, la Nombeko, resol un producte d'una forma prou curiosa:
"Com aquell dia que passava pel costat del seu superior jeràrquic directe, que s’escarrassava a redactar l’informe mensual sobre quantitat
i volum transportats.
–O sigui, noranta-cinc per noranta-dos –murmurava el cap–. ¿On és la calculadora?
–Vuit mil set-cents quaranta –va dir la Nombeko.
–Ajuda’m a buscar-la, maca.
–Vuit mil set-cents quaranta –va insistir la Nombeko.
–¿Què t’empatolles?
–Noranta-cinc per noranta-dos fan vuit mil set-cents...
–¿I com ho saps?
–Calculo que noranta-cinc són cent menys cinc, i noranta-dos són cent menys vuit. Si ho capgires i fas la resta, fan vuitanta-set. I cinc per vuit fan quaranta. Vuitanta-set quaranta. O sigui, vuit mil set-cents quaranta.
–¿I d’on l’has tret, aquest sistema? –va dir el cap estupefacte.
–No ho sé. ¿Podem continuar ja amb el que estàvem fent?
Aquell mateix dia la van ascendir a ajudant del cap."


Curiosament a la traducció castellana no canvia només el títol (La analfabeta que era un genio de los números) sinó que la descripció del procediment  conté algun detall més:

"Bueno, verá, pienso en que noventa y cinco son cien menos cinco, y noventa y dos son cien menos ocho. Si cruzas las cifras y restas la diferencia, es decir, noventa y cinco menos ocho, y noventa y dos menos cinco, siempre da ochenta y siete. Y cinco por ocho son cuarenta. Ochosietecuarenta. Ocho mil setecientos cuarenta."

En realitat l'algoritme que descriu es conegut com la multiplicació vèdica, un mètode hindú que no sabem com va conèixer o redescobrir aquesta noia de Sudàfrica.

Vols conèixer l'algoritme?


A l'any 1965 es va publicar el llibre Matemàtiques vèdiques que recollia les propostes per un sistema de càlcul mental recollides poc abans per Bhárati Krishná Tirthá. Aquest assegurava haver reconstruït setze sutres (regles breus) i tretze sub-sutres (corol·laris) a partir d'un apèndix de l'Atharvaveda, un text en sànscrit que sembla datar dels segles XII a X a.n.e.

Sigui cert o no, una de les formes de multiplicar que es pot derivar del text presenta un algoritme molt diferent a l'habitual i que, en casos particulars, és enormement sorprenent i d'una extrema senzillesa. Aquest algoritme està àmpliament comentat en el llibre La cresta del pavo real de George Gherverghese (pàgines 331 a 335).

Bhárati Krishná Tirthá
L'algoritme

L'algoritme és especialment interessant en el cas de que els factors que intervenen són tots dos pròxims a una potència de 10 (10, 100, 1000...).

Observem un primer cas en el que els dos nombres estan lleugerament per sobre de 100. El càlcul es fa a partir dels dos excessos sobre 100.



És sorprenent que "reunint" una suma i un producte molt més petit que l'original, obtinguem de forma tan ràpida el resultat buscat.

L'algoritme no varia gaire si els dos nombres estan per sota de la potència de 10. En aquest cas el càlcul no es fa a partir dels excessos sinó dels defectes.



Si un dels nombres està per sobre i l'altre per sota, de 100 en el nostre cas, hem de fer una petita variació, tot tenint en compte de quina centena està més a prop el subproducte que calculem a partir de la parella excés-defecte.



Tot i així, si no volem mantenir la "reunió" de dígits, podem simplificar el mètode afegint una senzilla resta.



I a l'aula?

Podem fer diferents coses:
  • treballar l'aplicació en els casos en que és senzill (quan els subproductes són petits)
  • ampliar l'aplicació a casos més generals i veure com s'ha de "retocar" el mètode, ja que no podrem limitar-nos a "reunir" les xifres.
  • demostrar la certesa del mètode algebraicament. Es podrà observar que el fet de sumar o restar el resultats parcials dependrà del signe del subproducte.

  • generalitzar-lo a qualsevol producte, no aproximant, necessàriament, a potències de 10.
I si volem saber més sobre trucs de matemàtica vèdica...

Aquí tenim un vídeo d'un taller realitzat al 2011 per Deepti Golani al Centre Cultural Sant Josep de l'Hospitalet en el cicle Pessics de ciència.


Altres algoritmes de multiplicació treballats al blog del Calaix +ie

Cap comentari:

Publica un comentari a l'entrada