24 de maig de 2012

Trajectòries: Donant voltes (I)


Observa el moviment d’aquest punt. No és una puça que està botant. Si vols saber qui ho dibuixa polsa sobre la bombeta perquè  “es faci la llum”.


Aquesta corba s’anomena cicloide. Un punt d’una roda quan gira traça una corba que s’anomena cicloide. És una corba que té propietats molt curioses. Però abans fixa’t bé en el seu moviment.

Si observes atentament veuràs que quan el punt està en la part superior de la circumferència es mou més ràpidament que quan està en la part inferior. També veuràs que quan toca el terra està parat durant un instant molt molt breu. Això vol dir que quan vas amb bicicleta, per exemple, hi ha punts de la roda que van més ràpids que la pròpia bicicleta o que, fins i tot, estan parats, encara que la bicicleta vagi a 30 km/h.

Si vols dibuixar una cicloide pot posar un llapis en un cilindre (el canut d’un rotllo de paper higiènic o de cuina et pot servir perfectament) i enganxar una llapis en el seu interior. Si el fas rodar al costat un paper col·locat verticalment dibuixaràs una cicloide.



Es pot anar cap avant i cap endarrere al mateix temps?


Una roda d’un tren té una forma especial per a recolzar-se bé en el rail de la via i que no descarrili. Hi ha una cercle interior més gran que el que es recolza a la via.


Si observes el moviment d’un punt d’aquest cercle major pots veure que hi ha uns breus instants en què va marxa enrera encara que la roda i, per tant, el tren van cap endavant.


La vàlvula de la roda d’una bicicleta també té aquest moviment curiós.


Podeu saber algunes coses més de la cicloide al bloc del PuntMat.


Vols veure com és la rampa per la qual es baixa més ràpidament?

Si volem que una bola descendeixi per una rampa el més ràpidament possible aquesta no ha de ser recta, com es pot pensar en un primer moment, sinó que ha de tenir forma de cicloide.


Aquesta propietat la va descobrir el matemàtic suís Johann Bernouilli (1667-1748) i es va poder comprovar amb un aparell com el de la fotografia.
Instrument fabricat per Galileu (Museu Galileu de Florència)

El nom tècnic que rep per ser la rampa més ràpida és el de braquistòcrona.

També la cicloide té una altra propietat curiosa. Si posem dues boles a diferents altures de la cicloide arribaran a sota al mateix temps.


Ara el nom tècnic és el de tautòcrona.

Podem comprovar les dues propietats en aquest vídeo.


Vols rodar sobre una circumferència?


Observa com roda aquesta circumferència sobre una altra del mateix radi. La corba que dibuixa un dels seus punts té una forma que recorda un cor. S’anomena cardioide.

 
T’animes dibuixar una cardioide?


Hi ha una manera relativament fàcil de dibuixar una cardioide amb el compàs. Si dibuixes una circumferència i un punt P sobre la mateixa només has de fer el següent:
  • Marca un altre punt sobre la circumferència X1
  • Fent centre en ell dibuixa la circumferència de radi PX1
  • Marca un altre punt X2 i dibuixa una altra circumferència amb centre en ell i amb radi fins a P
  • Repeteix aquest procés dibuixant successius punts X3, X4; X5... que vagin fent la volta a tota la circumferència.

Al final obtindràs un dibuix com aquest:


Si vols pots dibuixar una igual ara mateix.


La cardioide és un cas particular de unes corbes més generals que s'anomenen epicicloides. En el cas de la cardioide el radi de les dues circumferències són iguals. Si vols investigar més sobre epicicloides amb geogebra ho pets fer en aquest enllaç a la web Geometría Dinámica.

Vols rodar ara per dins de la circumferència?



Si rodem per dins de la circumferència la que roda ha de ser més petita. Per saber quin dibuix obtindrem és important conèixer la relació que hi ha entre els dos ràdios. Per exemple, si la relació és 1/3 obtenim el deltoide


Si la relació és 1/4 s’obté una astroide.


Les corbes obtingudes així es diuen hipocicloides. També pots experimentar amb geogebra amb elles en aquest enllaç.

Cap comentari:

Publica un comentari a l'entrada