26 de gener de 2022

Prostafairesis, taules de quarts de quadrats... Multipliquem d'una altra manera!

Buscar formes de simplificar les activitats complexes ha estat un dels motors del desenvolupament tecnològic (i cultural) de la humanitat. El càlcul és una d'aquestes activitats i, actualment, en gran part el deleguem en les màquines, sobretot si son llargs, molt repetititus o amb nombres complicats. Però el camí per arribar fins aquí ha estat llarg. Tristament, encara hi ha docents que discuteixen l'ús de les calculadores a l'aula. Un cosa és discutir "sobre l'ús" (quan, quant, com, per a què), però una altra "discutir-ne l'ús". La calculadora ha d'estar a l'aula. Però els que tenim una edat podem recordar els temps en el què aquest debat no tenia sentit, perquè les calculadores de butxaca eren uns ens estranys al teu entorn, unes autèntiques rareses. Els que vam estudiar el batxillerat pre-EGB encara vam haver de comprar llibres amb taules de logaritmes i estudiar com les multiplicacions es podien convertir en sumes, les divisions en restes, les potències en productes i les arrels en divisions. L'aplicació dels logaritmes a la simplificació dels càlculs complexos va ser fonamental des del segle XVII fins a ben entrat el XX. Als anys 70 encara era habitual veure "calculistes" fent anar el regle de càlcul, de base logarítmica.

Però abans del segle XII ja existien altres mètodes per alleugerir les grans multiplicacions reduint-les a sumes i restes de nombres extrets de taules numèriques. Alguns, basats en taules de quadrats, sembla que venen de l'antiga Mesopotàmia i van durar fins als inicis del segle XX. D'altres, basats en taules trigonomètriques, van ser usats des del segle XVI fins al triomf generalitzat dels logaritmes, amb els que van conviure molts anys. Aquest segon mètode rebia el nom de prostafairesis.

Abans d'estudiar-los amb més calma veiem un exemple d'aplicació de cadascun (tot recordant que es basen en l'ús de taules numèriques "prefabricades")

  • Amb taula de quadrats.
Imaginem que volem multiplicar 785·296 = 232 360
  1. Sumem els dos nombres
         785+296 = 1 081
  2. Restem els dos nombres
         785-296 = 489
  3. Busquem a una taula de quadrats els de la suma i de la diferència anteriors
         1081= 1 168 561
         489=239 121.
  4. Restem aquests dos resultats
         1 168 561 - 239 121 = 929 440
  5. Fem la quarta part de la resta anterior i obtenim el resultat del producte buscat
         929 440/4 = 232 360
  • Amb trigonometria
Fem la mateixa multiplicació 785·296 = 232 360
  1. "Arreglem" els nombres perquè estiguin entre 0 i 1. En aquest cas dividint cadascun per 1000 (0,785 i 0,296). A aquesta operació li direm "escalar els nombres".
  2. Busquem a angle quin correspondrien els nombres anteriors si aquests fossin els seus cosinus. Ho podem fer amb una taula trigonomètrica i mirant l'arccosinus, que sovint a la calculadora ens apareix com cos-1.
         Arccos (0,785) = 38,27932174º
         Arccos (0,296) = 72,78248857º
  3. Sumem i restem els dos angles anteriors
         38,27932174º+72,78248857º=111,06181031º
         38,27932174º-72,78248857º = -34,50316683º
  4. Mirem a la taula trigonomètrica els cosinus dels dos angles anteriors
         cos (111,06181031º) = -0.35937488
         cos (-34,50316683º) = 0.82409488
  5. Sumem els cosinus anteriors
         -0,35937488 + 0,82409488 = 0,46472
  6. Fem la meitat del resultat anterior.
         0,46472/2 = 0,23236
  7. Només queda "reescalar" el resultat. Donat que havíem dividit inicialment cada nombre entre 103, ara haurem de multiplicar per 106.
         0,23236 · 1000000= 232 360
Potser semblaran algoritmes molt alambinats, però amb càlculs de navegació, astronòmics o d'enginyeria escurçaven molt el temps emprats en la seva realització. Només calia disposar d'unes bones taules de quadrats o trigonomètriques.

Els mirem amb més calma? Com es justifiquen?

15 de desembre de 2021

La numeració oral Ngkolmpu

 Aquest repte l'he trobat entre la magnífica sèrie de problemes setmanals proposats per Alex Bellos a l'edició digital de The Guardian. Concretament és la proposta del 9 d'agost de 2021 i que modificaré ben poc.

Al web Càlculus ja vaig incorporar algunes activitats en les què es treballaven les numeracions orals. Es tractava d'esbrinar, a partir d'uns pocs exemples inicials, com es dirien alguns nombres demanats en la llengua proposada, o traduir quines quantitats representaven algunes expressions donades. A una d'elles, Construïm numerals, un dels objectius és observar la idea de que amb el concepte d'agrupament i algunes operacions bàsiques, es construeixen la majoria de numeracions orals. Com a exemple podem observar que, en català, quan diem "mil tres" estem sumant (1000+3) i quan diem "tres mil" estem multiplicant (3·1000). En una altra activitat (La base és la base) es treballa, a partir també de numeracions orals, la idea de base. Un dels aspectes interessants és que, en les numeracions orals, trobem una varietat més gran de bases que en les escrites. La proposta de Bellos és interessant perquè treballa els dos aspectes conjuntament: no podrem descobrir com funciona la numeració oral presentada si no fem una feina prèvia de descobrir la base.

La numeració proposada és la de la llengua Ngkolmpu, una varietat dialectal parlada pel poble Kanum de Papua-Nova Guinea.

Nyams i bananes, part important de l'alimentació del poble Kanum
(font: The Ngkolmpu Language)

En el seu repte de Bellos presenta en llengua Ngkolmpu, i de forma desordenada, els deu primeres nombres cúbics i demana que emparellem adequadament cada expressió amb la potència corresponent. El meu serà lleugerament diferent. Posarem els cubs ja directament aparellats i afegirem deu potències més: d'1 a 20. El que demanarem descriure com funciona els sistema de numeració:

  • Quina és la base?
  • Com és diuen cadascuna de les unitats?
  • Com es diuen les potències de la base?
  • Com es construeix un numeral?
De moment aquí teniu la taula amb els exemples:

Potència de 3 Nombre Numeral oral
13 1 naempr
23 8 naempr traowo yempoka
33 27 eser traowo yuow
43 64 naempr ptae eser traowo eser
53 125 yuow ptae yempoka traowo tampui
63 216 tarumpao
73 343 naempr tarumpao yuow ptae yuow traowo naempr
83 512 yempoka tarumpao yempoka ptae naempr traowo yempoka
93 729 yuow tarumpao yempoka ptae naempr traowo yuow
103 1000 eser tarumpao yuow ptae eser traowo eser
113 1331 naempr ntamnao tampui traowo tampui
123 1728 naempr ntamnao yempoka tarumpao
133 2197 naempr ntamnao eser tarumpao naempr ptae naempr
143 2744 yempoka ntamnao eser ptae naempr traowo yempoka
153 3375 yempoka ntamnao yuow tarumpao yuow ptae eser traowo yuow
163 4096 yuow ntamnao tampui ptae eser traowo eser
173 4913 yuow ntamnao eser ptae yempoka traowo tampui 
183 5832 eser ntamnao yuow tarumpao 
193 6859  tampui ntamnao naempr tarumpao eser ptae yuow traowo naempr
203 8000 naempr ulamaeke naempr tarumpao naempr traowo yempoka

Si continueu llegint podreu trobar algunes ajudes, un programa que us escriu qualsevol nombre que demaneu, una taula més fàcil que aquesta per a nombres més petits i l'explicació de la numeració.

Voleu seguir?

9 de novembre de 2021

"Camins de glòria" i matemàtiques

 Camins de glòria és el títol català de la pel·lícula d'Stanley Kubrick Paths of Glory. En castellà la vam conèixer com a Senderos de gloria. Es va estrenar al 1957, però a Espanya no la vam poder veure als cines fins a l'any 1986, onze any després de la mort del dictador. Una "transició" lenta. A França, però, també van haver d'esperar fins al 1975. Un film sens dubte perillós perquè fa pensar, i molt. Menys coneguda que la pel·lícula és la novel·la en la que es basa, escrita per Humphrey Cobb i publicada al 1935, abans de la 2a Guerra Mundial. Cobb havia lluita al front durant la Gran Guerra i sabia de què parlava. Tan el film com la novel·la son dos grans al·legats antibel·licistes i antimilitaristes. 


Estem en un d'aquells casos en el què la pel·lícula supera en molts aspectes a la novel·la. Però aquesta també és molt interessant de llegir. Vaig tenir a les mans una edició publicada durant el franquisme. No recordo si als anys 50 o 60. Era molt curiós llegir el pròleg en  el què, tot i criticar els aspectes antimilitaristes i defensar l'exèrcit francès, es donaven un seguit d'arguments per a defensar la publicació de l'obra. Imagino que era una argúcia editorial per convèncer a la censura  Actualment tenim una nova traducció castellana (en català no em consta que n'hi hagi cap) feta per Ricardo García Pérez. Aquesta és l'edició de la que transcriurem el fragments relacionats amb les matemàtiques i, molt especialment, amb la probabilitat. Els presentarem per ordre d'aparició... i sense fer espòilers, que cal visitar i revisitar aquesta història. Per altra banda, els fragments triats de la novel·la no apareixen a la pel·lícula.

Veurem que poden ser un bon punt de partida per a parlar a l'aula de certes creences que tenim en el camp de la probabilitat.

T'animes a llegir-los?

19 d’octubre de 2021

Ossos i geometries no euclidianes (2)

 A l'article anterior (Ossos i geometries no euclidianes-1) vam plantejar un conegut problema amb un enunciat semblant a aquest:

Un os camina un quilòmetre cap al sud seguint un meridià. Gira cap a l'oest i camina un altre quilòmetre seguint un paral·lel. Gira cap al nord i camina un altre quilòmetre seguint un meridià. Al final es troba al punt de partida. De quin color és l'os?

Vam veure que hi havia dos tipus de solucions. Un model amb infinites solucions a l'hemisferi sud del nostre planeta i un altre de més evident a l'hemisferi nord: el punt de sortida i arribada seria el Pol Nord. Vam observar al Pol es formava un triangle amb una suma d'angles interiors de més de 180º. Això no és possible al pla però sí a una superfície esfèrica. Va ser l'excusa per entrar en el mon de la geometria esfèrica, un dels tipus de geometries no euclidianes. En aquest article canviarem les superfícies sobre les que caminarà el nostre os i serà la porta d'entrada a un altre exemple de geometria no euclidiana: la hiperbòlica.

Imaginem al nostre os caminant sobre un paraboloide hisperbòlic. Aquesta superfície la podem trobar en les patates Pringles o, més sanament, en una superfície reglada com la que mostren al MMACA per a il·lustrar la multiplicació d'enters en 3D. Observarem que el recorregut de l'os és impossible perquè, deixant de banda la definició exacta de nord i sud, els meridians van sent divergents a mesura que es van separant del que podríem considerar com a zona equatorial.


Proposem el problema a una nova superfície: una pseudoesfera o tractricoide. Aquesta superfície, com l'anterior és infinita. És a dir, les "puntes" no acaben convergint sinó que són asimptòtiques. A l'hemisferi sud tenim, com a l'esfera, infinites solucions. Però al nord no en tenim cap perquè els meridians no convergeixen mai, només es van acostant cada vegada més.

Pseudoesfera i ruta en detall

Les dues superfícies presentades son molt interessants en sí mateixes. Però no ens toca estudiar-les ara. Les hem triat perquè son dos dels models físics de la geometria hiperbòlica, una geometria que tampoc acompleix el 5è postulat d'Euclides, però de forma diferent a les que havíem vist: al pla dèiem que "per un punt extern a una recta només passa una paral·lela a aquesta", i a l'esfera que "per un punt exterior a una "recta esfèrica" no passa cap paral·lela a aquesta". A la geometria hiperbòlica diem que:

Per un punt exterior a una recta hiperbòlica passen, com a mínim, dues rectes que són paral·leles a aquesta.

L'expressió "com a mínim dues", implica que poden ser infinites.

Com vam fer a l'article anterior haurem de redefinir algunes coses com "recta", "angle", "distància", "triangle"... i, a partir d'aquestes redefinicions, veure com podem conduir un debat a l'aula sobre aspectes com la relació amb els postulats euclidians,la suma dels angles interiors d'un triangle, com es calcula la seva àrea, com són les circumferències... No es tracta de fer un estudi a fons sinó de fer un primer contacte, d'aproximar-se a algunes idees generals. I tot amb dues raons de fons:

  • comprendre millor el sistema axiomàtic de les matemàtiques. I, en concret, millorar la comprensió del proposat per Euclides fent una mena "d'estranyament", a base de modificar les seves regles i "moure'ns" en un món diferent.
  • aproximar-nos a la revolució matemàtica que va suposar l'aparició de les geometries no euclidianes.

Aquesta geometria és més difícil d'estudiar amb materials. Podem imprimir algunes superfícies en 3D, però tampoc ens solucionarà gaire cosa, perquè és complex tot el que es relaciona amb la mesura. Aquí teniu un enllaç per a imprimir un paraboloide hiperbòlic i una pseudoesfera.

Hi ha alguns models plans de la geometria hiperbòlica. Per exemple, el model del Disc de Beltrami-Klien on el pla infinit es representa amb l'interior d'un cercle (la circumferència que el limita no en forma part) i les rectes per cordes d'aquesta circumferència. No entrem ara en el tema de les distàncies. La imatge mostra algunes de les moltes paral·leles a la recta a que passen pel punt P. Les que coincideixen amb la recta no la tallen perquè, com hem dit abans, la circumferència no forma part del disc.


Podeu trobar applets de GeoGebra per a treballar amb aquest model, però en aquest article optarem per un altre: el Disc de Poincaré. Pensem que aquest model és millor per treballar-lo a l'aula perquè les rectes no son segments rectilinis, com al model anterior, i la sensació "d'estranyament" serà més gran. Cal dir, però, que qualsevol model que agafem és més complicat que el de la geometria esfèrica, sobre la que podíem experimentar directament, i que té idees més intuïtives. Però si hem treballat la geometria de l'esfera prèviament, aquesta serà més fàcil d'acceptar. Serà com entrar a un món de videojoc amb unes regles diferents. I sobre el que podrem treballar amb GeoGebra ja que no és difícil trobar applets que ens permeten crear, manipular i mesurar objectes.

Límit circular III de M.C Escher (1959).
Aquesta obra està basada en el disc de Poincaré

Vols conèixer el món hiperbòlic amb idees per treballar-ho a l'aula?

6 d’octubre de 2021

Ossos i geometries no euclidianes (1)

 Al llibre clàssic de George Pólya Como plantear y resolver problemas apareix aquest curiós (i ja força conegut) problema:

Partint d'un punt P, un os camina un quilòmetre cap al sud. Canvia llavors de direcció i recorre un quilòmetre a l'est. Després, girant de nou a l'esquerra, recorre un quilòmetre cap al nord per arribar exactament a punt de partida P. De quin color és l'os?


Si no voleu espòiler millor aturar la lectura aquí mateix i pensar el problema. Si ja el coneixeu o no el voleu pensar ara mateix, podeu continuar.

Sembla lògic que, més que contestar sobre el color, el que ens cal és saber on pot estar l'os per a fer un recorregut tan sorprenent. Pólya tria aquest problema per sorprendre'ns fent-nos veure que hi ha dos tipus de solucions. La primera és la que se'ns pot acudir a la majoria: que l'os és blanc perquè el punt P és al Pol Nord. La segona l'explica així:

L'os podria retornar al punt P seguint el mateix meridià que al sortir de P si, en desplaçar-se un quilòmetre cap a l'est descrivís n paral·lels complets, podent ser n igual a 1, 2, 3... En aquest cas P no és el Pol Nord, sinó un punt d'un paral·lel molt proper al Pol Sud.

A la imatge teniu un esquema del camí per a n=1, un paral·lel d'exactament un quilòmetre de longitud, Però més al sud en trobaríem de 1/2 quilòmetres i faríem dues voltes, d'1/3, etc.

Esquema fet amb l'applet de GeoGebra de Rafael Cámara

Però tornem a la primera solució, perquè ens trobem amb un triangle ben curiós.

Imatge extreta del Blog Sunya de R. Cámara

Si l'observem amb detall veurem que els dos angles inferiors són de 90º. És a dir, la suma dels angles interiors del triangle és clarament superior a 180º. De fet, a l'aula, sempre que he plantejat el problema he explicitat clarament, a l'enunciar-lo, que "l'os baixa per un meridià gira 90º cap a l'est" i que després de caminar pel paral·lel gira "90º cap al nord" i agafa un meridià.

I per què passa això? Perquè no ens estem movent en un pla, sinó en una esfera i les "regles euclidianes", amb les que funcionem normalment, es refereixen al pla. Estem treballant amb una geometria, l'esfèrica, que no acompleix tots els postulats euclidians. Hem aconseguit un punt de partida idoni per parlar-ne i discutir a l'aula sobre les geometries no euclidianes. Debatre sobre les característiques d'aquestes geometries, les seves definicions, els sues postulats i algunes de les seves proposicions, ens servirà també per a conèixer millor l'estructuració de la matemàtica proposada pels Elements d'Euclides. És a dir, parlar-ne de les definicions ens ajudarà a comprendre quina funció tenen; comparar els postulats que s'acompleixen ens permetrà saber que són, quins i per a què serveixen els axiomes bàsics, tant de la geometria plana, com de la nova que estem explorant.

Haurem de començar per redefinir algunes coses com "recta" o "angle" i, un cop fet, podem comparar, postulat a postulat, quins s'acompleixen o no, total o parcialment. Observarem, amb més detall, que el que deixa d'acomplir-se més clarament és el 5è, aquell que diu, en el seu enunciat modern, que "per un punt exterior a una recta donada només és possible traçar una paral·lela".  De fet, com veurem, no en passa cap! Podrem aprofitar també per a tractar algunes idees sobre les distàncies reals al nostre planeta i les que mesurem als mapes. Fins i tot, tindrem l'oportunitat d'endinsar-nos una mica en el món dels triangles esfèrics.


Vols conèixer una mica més aquesta geometria i algunes idees per treballar a l'aula?

23 de setembre de 2021

Hidrocarburs i matemàtiques

 Al llibre de Brian Bolt Más actividades matemáticas (Labor, 1988) apareix aquesta interessant activitat que relaciona la química orgànica amb l'àlgebra, la combinatòria i, especialment, amb la topologia. El guió de l'activitat presentat per Bolt és magnífic i, donat que el llibre és introbable (si més no en castellà), em permetré no modificar-lo gaire.

Per no estendre'ns en les explicacions químiques, ens limitarem a posar-nos en context dient que els hidrocarburs són compostos amb molècules formades, exclusivament, per àtoms de carboni (C) i hidrogen (H). Hi ha gasosos (com el metà, l'età, el propà o el butà), líquids (com l'octà, un dels principals components de la benzina) i sòlids, com és el cas de moltes ceres, per exemple la parafina. Per la natura atòmica del carboni podem considerar, amb expressió del propi Bolt, que aquest té quatre braços per unir-se, donant-se la mà, amb altres àtoms (de C o d'H). L'hidrogen només en té un.

Les molècules dels hidrocarburs es formen unint aquest àtoms pels seus braços, tal com dèiem abans, com si es donessin la mà, i de forma que no quedin braços lliures. Si  als àtoms de carboni li en queden es "donaran la mà" amb àtoms d'hidrogen. Els àtoms de carboni es poden unir entre ells compartint diferents quantitats de braços: un, dos, tres o tots quatre. A continuació teniu un exemple en la seva representació clàssica i, el mateix compost, amb un dels tipus d'esquemes que utilitzarem al llarg de l'activitat.

Benzè (C6H6)

Entre els hidrocarburs tenim els que formen cadenes: els alcans, amb tots els enllaços senzills, els alquens, amb algun o alguns enllaços dobles, i els alquins, que tenen, com a mínim, un enllaç triple. També poden tenir formes cícliques, com és el cas del benzè de la imatge anterior. A continuació teniu en exemple de cadenes amb només enllaços simples, dobles i triples.


En general, en química orgànica, no tenim prou amb la fórmula que ens indica la quantitat d'àtoms, de cada element, que formen la molècula. L'estructura té importància i, per a una mateixa fórmula, podem tenir diferents estructures, amb compostos que tindran propietats diferents. Per exemple, d'una de les fórmules anteriors,  C4H6, podem trobar una estructura alternativa amb un enllaç triple.


Per acabar aquesta introducció, només ens cal avisar de que hem d'estar atents a la topologia de l'estructura, perquè, de vegades, estructures que ens poden semblar diferents són equivalents només que apliquem petites transformacions.

Dues molècules equivalents topològicament


Ara ja tenim les regles establertes. Comencem, doncs, el joc matemàtic.


T'animes a continuar llegint sobre l'activitat?

23 de maig de 2021

Juguem a "Parell guanya"

"Jugarem a guanyar i a perdre alhora
i farem festa"
Màrius Sampere 

A l'any 80 el meu amic Carles Vallès (l'altra pota del Calaix abans de l'aparició d'internet) i jo érem alumnes de'n Jordi Deulofeu i ens va proposar fer un treball sobre jocs d'estratègia. Eren els primer anys que ell mateix els estudiava. Va ser el meu primer contacte amb un tema que, des de aleshores, no he deixat mai de banda. Ell ens va posar en contacte amb una altra "ànima inquieta", en Jordi Achón, amb el que vam poder fer pràctiques amb alumnat de la 2a etapa de l'antic EGB. Aquest ens va deixar un llibre: "Algoritmos y computadoras" de B.A. Trakhtenbrot on hi apareixia el joc objecte d'aquest article. Crec que no l'he vist mai més citat en cap altre lloc.

És un joc de regles molt senzilles i d'anàlisis ric, però no massa directe. De fet, en el seu moment, no el vam estudiar massa perquè el cas concret que comentava el llibre tenia una estratègia que no ens va semblar "descobrible" per l'alumnat (ni per nosaltres mateixos que, tot just, fèiem les primeres passes en l'estudi de jocs). Això sí, el vam utilitzar per mostrar com fer diagrames en arbre per a la cerca d'estratègies guanyadores. El joc que es proposava tenia el nom de "Parell guanya" i les regles eren les següents:

  • Hi ha 27 fitxes a la taula.
  • Cada jugador/a, en el seu torn, pot agafar una, dues, tres o quatre fitxes.
  • Guanya qui al final, quan no queden més fitxes a la taula, té una quantitat parell.
Us proposem que proveu de fer algunes partides amb aquest applet.


Com es veu és un joc en el què no poden haver taules i tots dos tenen, en tot moment, tota la informació de les fitxes que queden i de les que té cadascun. Per altra banda, el joc té una quantitat limitada de jugades (entre 7 i 27). Tampoc depèn de l'atzar ni de l'habilitat física. Tot això implica que hi ha d'haver una estratègia guanyadora per a un dels jugadors. I que si en una jugada un s'equivoca en l'aplicació de l'estratègia, aquesta passa a l'altre.

Per a investigar l'estratègia del joc farem diferents variants, podent agafar altres quantitats de fitxes, i utilitzarem diagrames en arbre, taules... I mirarem si podem trobar pautes generals d'estratègia o no.

Investiguem el joc?

25 d’abril de 2021

Un problema porta a un altre... (Loop de loops)

 Al concurs del Fem Matemàtiques del 2020 un dels problemes estrella va ser el del Loop de loops que va aparèixer, amb diferents variants, a les tres categories principals. És un problema prou ric i sobre el que es poden fer diferents enfocaments. Posteriorment, al Banc de Recursos del Fem Matemàtiques li han dedicat dos articles d'anàlisi (1 i 2) amb exemples de solucions d'alumnat i propostes d'avaluació. Vegem un dels sues plantejaments i que es correspon amb el que es va proposar a 1r d'ESO:

  • Agafem un dau i el tirem cinc vegades. Anotem ordenadament es resultats. Per exemple 2,4, 3, 2 i 5.
  • Sobre una quadrícula fem un segment de tantes unitats com el primer resultat. Girem 90º a la dreta i fem un altre segment d'una longitud. Girem 90º a la dreta... i així fins a dibuixar els cinc segments.
  • Des del punt on hem acabat girem 90º en el mateix sentit i repetim el procés.
  • I continuem tantes vegades com siguin necessàries fins que tornem al punt d'inici i tanquem el loop. En el nostre exemple cal fer-ho dues vegades més.
La sèrie 1-4-5-3-3 (90º) necessita 4 iteracions per a tancar el loop


Ja podem imaginar que canviar les sèries, en nombres, en quantitat de nombres, en ordre dels nombres, en tipus... dona un joc increïble amb resultats molts sorprenents i estètics. I que també podem canviar els angles. Per exemple treballant en una trama isomètrica podrem fer girs de 60º o 120º. Fer un applet amb GeoGebra, amb Scratch o Snap ens pot permetre treballar amb qualsevol sèrie numèrica i qualsevol angle. En el fons, era un dels treballs típics que es feia antigament amb el Logo.

Descobrirem fàcilment que no totes les sèries de daus tanquen amb un angle determinat.


Abans d'entrar en la nostra proposta, pot ser interessant fer un incís i mirar-ne una altra, molt ajustada per a primària i principis de l'ESO, que vaig sentir a Marc Caelles (@caellesmarc) en una presentació d'Innovamat. Es tracta de reduir la sèrie de nombres a tres (no tenen perquè ser les tirades d'un dau) i amb un angle de 90º. L'activitat es basa en fer diferents loops, classificar-los segons la forma i buscar la pauta numèrica que fa que s'obtingui un tipus de loop o un altre. A continuació teniu un enllaç a un applet de GeoGebra que us permetrà experimentar. La resposta a la investigació la trobareu a la xerrada d'en Marc (minut 52).

Enllaç a l'applet


Anem ara a centrar la nostra investigació en dues preguntes:
  • Podem saber si un loop tancarà o no abans de dibuixar-lo?
  • Afecten les mides dels segments al tancament?
Ens hi posem?

21 de març de 2021

Estirem el "problema dels pastors i els pans"

 Si se'm demanés fer una antologia dels deu millors problemes de recreació matemàtica el problema "dels pastors i els pans" ocuparia un lloc d'honor. Crec que el vaig conèixer al llibre de l'Home que calculava de Malba Tahan (pseudònim del professor brasiler Julio César de Mello i Souza) amb el calculista Beremiz com a protagonista. És el nus del quart capítol on ens parla de "les tres divisions de Beremiz: la divisió senzilla, la divisió correcta i la divisió perfecta". Però apareix a moltíssims altres llibres, normalment en la seva versió amb dos pastors i un caçador com a protagonistes. No he pogut trobar la història d'aquest problema. Però en alguna pàgina web es diu que aquest ja se li va plantejar al califa Ali-Ibn-Abi Talib (segle VII). També trobem una variant al Liber abaci de Fibonacci (i de la que parlarem més tard).

L'enunciat és el següent:

Un pastor té 5 pans i un altre en té 3. Al migdia es troben amb un caçador que no porta menjar i, entre els tres, es reparteixen els pans a parts iguals. Al moment d'acomiadar-se el caçador els hi dóna 8 monedes. Com se les han de repartir?


A l'aula recomanaria, abans de posar-se a resoldre el problema, iniciar una discussió. Fins i tot fer alguna votació sobre els possibles repartiments. Hi haurà alumnat que defensarà que se les reparteixin a parts iguals (que seria la "divisió perfecta" de Beremiz), altres diran que 5 i 3 amb correspondència als pans que es tenien (la "divisió senzilla" de Beremiz). Però solen sortir altres alternatives. Al cap i a la fi si tots dos pastors es posen d'acord qualsevol repartiment pot considerar-se correcte. És un bon moment per discutir sobre si el que és correcte és sempre del tot just. I sobre què vol dir "just". Podem conduir el debat a investigar, si més no, que vol dir "matemàticament just" o "proporcionalment just". I a parlar de "repartiment proporcional" que, com veurem i d'aquí la gràcia del problema, no és cap dels proposats fins ara. Ens falta la "divisió correcta" de Beremiz.

Una segona recomanació és fer investigar el problema amb material. Unes tires de paper de dos color diferents (per separar visualment els pans de cada pastor), que es puguin tallar com els pans, i unes fitxes per a representar les monedes poden ser suficients.

El problema representat amb polígons encaixables

En aquest article abordarem en primer lloc la resolució del problema. Però després intentarem analitzar-lo amb diferents distribucions inicials de pans entre els pastors (1 i 7, 2 i 6...), diferents quantitats totals de pans o de monedes. I intentarem veure quines característiques comuns tenen les solucions trobades. També farem alguna petita incursió històrica en aquesta mena de problemes.

Continuem?

16 de març de 2021

Comptem sobre un filera de daus

 Us convidem a fer el següent experiment:

  • Agafeu molts daus. Per exemple, vint. El tireu tots a la taula i feu una filera, també de forma aleatòria, amb tots ells.
  • Mireu els punts del primer dau i compteu fins tants daus com indica el nombre.
  • Des d'aquest nou dau repetiu la forma de comptar... i aneu fent fins que arribeu a una quantitat des de la que ja no podeu seguir perquè no teniu tants daus com indica la darrera quantitat. Elimineu de la filera aquests daus sobrers. Si heu arribat justos no cal eliminar res.
  • Ara elimineu el primer dau de tots, el que heu fet servir per iniciar el comptatge.
  • Repetim la manera de comptar des del segon dau. Quina és la sorpresa? Que segurament acabareu al mateix dau que abans!
Però encara podem tenir més sorpreses. Sense anar més lluny, amb la seqüència que hem utilitzat com a exemple, podem repetir el procés de treure un dau i fer el comptatge 12 vegades més sense que canviï el dau final en el què acabem. És a dir, en total haurem pogut treure 13 daus.


Si no teniu daus a mà podeu experimentar amb aquest applet.


No sempre tindrem tanta sort. Aquí teniu una sèrie de 15 daus que al primer dau que traiem ja ens trobem amb un final diferent.


I a continuació dos exemples amb 10 daus. En un no es pot treure cap dau i a l'altre es poden treure tots.

No es pot treure cap dau

Es poden treure tots els daus

Ja tenim servida la situació. Ara toca fer-se preguntes:
  • Per què moltes vegades es coincideix en un mateix final?
  • Hi ha condicions que faciliten la coincidència?
  • De que depèn la quantitat de daus que podré treure?

Investiguem?