No perdem el compàs

És ben conegut que, a l'antiga Grècia, els problemes geomètrics s'havien de resoldre amb una restricció: les úniques eines disponibles eren el regle i el compàs. No s'especifica sempre, però, que el regle era sense graduar i el compàs col·lapsable, és a dir, que en aixecar-lo del paper es tancava automàticament. Això implicava que, al no queda obert, el compàs no servia per a transportar longituds. Treballar amb un regle sense graduar i un compàs col·lapsable, és equivalent a treballar només amb rectes i circumferències: les línies oberta i tancada més simples. Amb aquestes restriccions es conservava l'essència de puresa intel·lectual de les matemàtiques i es donava més valor a l'exactitud teòrica d'una construcció geomètrica "pensada", deduïda i demostrada lògicament, que a qualsevol mètode pràctic real, amb altres instruments, que estarà ple d'inexactituds. S'atribueix a Plató el comentari de què l'ús d'altres instruments "degradaven i feien malbé el més excel·lent de la geometria traslladant-la de l'incorpori i intel·lectual a allò que és sensible i emprar-la en els cossos que són objecte d'oficis toscos i manuals".

Però que no es tanqui el compàs, poder transportar un segment, una longitud, és una eina bàsica per a fer construccions geomètriques còmodament. Per tant, si trobem una manera de traslladar un segment rectilini de forma que comenci en un altre punt extern al mateix segment, podrem admetre que, a partir d'aquell moment el nostre compàs no es col·lapsi. A més, que no es tanqui el compàs i ens permeti transportar longituds, fa prescindible també la graduació del regle. Per a Euclides el tema era prou important perquè a la seva segona proposició del primer llibre dels seus Elements, resolgués aquest problema. I, com veurem més tard, ho aconsegueix només amb rectes, circumferències i una construcció intermèdia que resol amb la proposició anterior, la primera. Al clàssic llibre Leyendo a Euclides, del matemàtic Beppo Levi, l'autor afirma: «Euclides, per a combatre l'empirista que deia "mesurem", o a l'altre que deia "estenem una corda" devia resoldre la qüestió mitjançant una construcció estàtica, una figura permanent que assegurés tota l'operació, encara que només fos en la imaginació».

Resumint, plantegem aquesta construcció: donat un segment rectilini (AB) el volem transportar a un altre lloc del pla i que un dels extrems sigui un punt exterior al segment (C).

Nosaltres serem més generosos. Us proposem resoldre el problema amb GeoGebra, però disposant d'algunes eines més que les dues bàsiques per a les rectes i les circumferències (donats centre i punt per on passa). Euclides ja ens va proporcionar altres eines constructives:

• Construcció del triangle equilàter (proposició 1)
• Construcció de la bisectriu d'un angle (p. 9)
• Trobar el punt mitjà d'un segment (p. 10)
• Construcció de la recta perpendicular (p. 11 i 12)
• Transportar un angle (p. 23)
• Construcció d'una paral·lela (p. 31)
• Caracterització del paral·lelogram (p. 33)

Us deixem algunes eines extres (punt mitjà, mediatriu, bisectriu, perpendicular, paral·lela, simetria axial i simetria central). Aquestes eines no serien difícils d'aconseguir partint de les dues primeres si féssim un joc similar a Euclidea, en què, a mesura que resolem problemes, anem aconseguint progressivament més eines de dibuix. Fent un símil amb GeoGebra, l'objectiu seria aconseguir l'eina "Circumferència: centre i radi".

Enllaç a la construcció

Veiem algunes solucions?

El joc de "Tancar la caixa"

Segons el clàssic llibre Juegos de todo el mundo, de Frederic V. Grundfel, i que va publicar en castellà Edilan el 1978, el joc de "Tancar la caixa" era popular entre els mariners de Normandia i altres zones de la costa atlàntica francesa, tot i que es troben també variants conegudes a Zàmbia. Algunes fonts remunten els origens del joc fins al segle XII. El cas és que és fàcil de jugar, divertit i, en conseqüència , encara força popular..

Les versions comercialitzades acostumen a estar fetes en fusta, però es pot jugar molt fàcilment amb materials molt senzills. Sempre ens cladran dos daus, però els nombres els podem representar amb cartes o amb un paper amb els nombres de l'1 al 9 i unes fitxes per a tapar-los.

Versió clàssica en fusta

Versió amb paper i fitxes

Hi ha moltes variants del joc. Aquí hem triat una en concret, que convida a un estudi probabilístic que pot ser interessant a l'aula. Aquesta versió la trobem al llibre, també clàssic, 100 jeux de table, de Pierre Berloquin i editat per Flammarion l'any 1976. Hi apareix amb el nom de "Les douze cases" i d'ell hem reproduït el dibuix anterior. Pot ser un joc solitari o per a dos o més jugadors. Aquí l'expliquem per a dos.

Com es juga?

• Cada jugador, per torn, fa una "ronda", que consisteix a anar encadenant jugades fins a arribar a una situació de bloqueig. A l'inici de la ronda tots els nombres de l'1 al 9 estan "oberts" i poden ser triats.
• Per a realitzar una jugada es tiren els dos daus i se sumen els seus valors. El jugador que fa la ronda pot eliminar tots els nombres que, sols o sumats, donen el resultat de la tirada de daus. Així, si estan sense eliminar, treu un 5 i un 3 amb els daus (suma 8), pot anul·lar, "tancar", el 8, parelles de nombres com l'1 i el 7, el 2 i el 6 o el 3 i el 5, o ternes com l'1, el 2 i el 5, o l'1, el 3 i el 4. No es pot comptar amb els nombres ja eliminats.
• Si estan eliminats el 6, el 7 i el 8 es pot triar entre tirar un dau o els dos.
• Es van fent jugades fins que s'han eliminat tots els nombres (s'ha "tancat la caixa") o ens trobem en una situació en què no podem eliminar-ne cap. Per exemple. Si traiem un 3 amb la suma dels dos daus i no tenim "oberts" el 3 o l'1 i el 2, a la vegada, ja no podem continuar jugant i s'acaba la ronda.

Jugada de bloqueig. No podem aconseguir una suma de 3

• Abans que el següent jugador comenci la seva ronda es fa la suma dels punts que han quedat oberts  i se'ls anota. Al cas de l'exemple 1+6+7+9=23.
• El segon jugador fa la seva ronda fins a acabar-la.
• Per decidir qui ha guanyat podem fer-ho partida a partida o fins a aconseguir un total límit. Per exemple, si el segon jugador queda amb 15 punts s'anota la partida perquè 15 és més petit que 23. Si juguem amb un límit, per exemple 50 o 100 punts, perd el jugador que, en diferents rondes, els supera.

Podeu practicar el joc amb aquest applet fet amb Scratch.

https://scratch.mit.edu/projects/1246828255

Com es veu és un joc ben senzill i força entretingut. Amb els més petits ja és prou interessant només per a practicar les combinacions de sumes que sorgeixen durant una partida.

És un joc que depèn, en gran manera, de l'atzar. El que volem estudiar aquí si existeix alguna estratègia general per a optimitzar les puntuacions, és a dir, per a minimitzar-les. I, en especial, quan prendre la decisió per a passar a jugar amb un sol dau a partir dl moment que les regles ho permeten.

Analitzem el joc?

Construïm l'escala musical (I): Posem un marc general

(A punt de publicar aquesta sèrie d'articles ens ha deixat en Claudi Alsina, entre moltes altres coses, gran divulgador de les matemàtiques. M'agradaria que fossin un petit homenatge al seu afany popularitzador d'aquesta ciència)

Els continguts d'aquest article són fruit
del treball conjunt amb Francina Turon

En un instrument de corda fregada, com un violoncel, només d'una sola corda podem extreure infinits sons. Si més no, de forma teòrica. El so d'aquesta es produeix pel fregament de l'arc que la farà vibrar. Però el to en què sonarà, el marcarà la seva longitud i aquesta la podem escurçar pressionant-la contra el batedor de l'instrument en qualsevol punt. Si hi ha infinits punts teòrics per fer-ho, també n'hi haurà infinits sons. Malgrat haver-hi infinits sons hi ha uns límits, el so més greu de la corda lliure i el més agut que aconseguim pressionant al punt final del batedor. Però, per augmentar els tons possibles i obtenir de més greus i de més aguts, disposem de quatre cordes diferents. En canvi, un piano, instrument de corda percudida, o una arpa, de corda pinçada, té uns sons marcats, fixes i que anomenem "notes musicals". Un piano té, exactament, 88 sons. Sense trucs no podem extreure'n uns altres fora d'aquests 88. Per què aquests precisament i no uns diferents? La resposta és clara: perquè s'ha pactat quins han de ser. L'escala musical és un acord cultural. I els violoncels, la majoria de vegades, s'hauran d'ajustar també a aquesta quantitat limitada de sons acordats. I així tots dos instruments podran sonar conjuntament de forma més harmònica.

Entre aquesta petita sèrie d'articles que iniciem ara, intentarem explicar com s'ha arribat a aquest acord i el paper que les matemàtiques han jugat per aconseguir-ho. 

La música, el temps i la memòria

Si contemplem un quadre ens podem fer ràpidament una composició general de l'obra. Després podem atendre els seus detalls. Però en un sol l'instant haurem rebut un primer impacte visual.

Antoni Tàpies - Sense títol (1952)

Amb la música no ens passa el mateix. La música es mou en el temps. No tenim percepció instantània sinó estesa en una successió d'instants. Per tant, necessitem una certa ajuda per a la memòria. Tothom ha tingut l'experiència de sentir una peça musical que li ha agradat més a partir d'una segona audició. Una de les raons és que hi ha un cert reconeixement dels motius musicals. La repetició de fragments, idèntics o lleugerament modificats, és una de les constants de la majoria d'obres i una ajuda de pes a la seva escolta. Una altra ajuda és l'experiència que ens porta la identificació de ritmes i línies melòdiques de diferents estils. Fem un "aprenentatge melòdic" que, fins i tot, de vegades ens porta a una certa predictibilitat de la continuació de les melodies: ens anticipem lleugerament al que sonarà. Hi ha una educació de l'oïda. Per a aconseguir això encara tenim una tercera ajuda: l'ús d'una sèrie, no massa llarga, de notes concretes en la composició musical. Per tant, és clau la tria d'aquestes notes. Han de servir per construir melodies (seqüències de notes) i harmonies (notes que sonen conjuntament), per a encadenar-se i per a ser consonants. El problema de la construcció de l'escala és aquest: triar les notes que compliran aquestes condicions.

Però, abans de posar-nos-hi, començarem  amb una breu introducció sobre la física del so i altres conceptes que ens posaran un marc de sortida i ens proporcionaran les eines per a la construcció de l'escala.

El so: una ona amb una freqüència

Segons la Viquipèdia "el so és una successió de canvis de pressió (compressions i dilatacions) en un medi (sòlid, líquid o gas), provocats per una vibració que s'hi transmet en forma d'ones sonores."

Font Viquipèdia

Una de les característiques d'una ona és la seva freqüència. Aquesta, també segons la mateixa font, és "el nombre d'oscil·lacions/períodes que es produeixen per unitat de temps. Es mesura en cicles/segon, unitat anomenada hertz". Quan la freqüència és baixa el so ens sembla més greu, i quan és alta, més agut. Però hi ha freqüències que no sentim. En general, els humans percevem sons entre 20 Hz i 20000 Hz. Per sota del 20 parlaríem dels infrasons i, per sobre dels 20000, dels ultrasons. Però el cert és que no tots sentim igual i que clarament, amb l'edat, anem perdent la percepció de les freqüències més altes. Podeu experimentar qui rang de freqüències sentiu amb aquest vídeo.

Si continues llegint coneixeràs les següents peces d'aquest marc harmònic que estem construint.

Construïm l'escala musical (II): Una escala aritmètica

Els continguts d'aquest article són fruit

del treball conjunt amb Francina Turon

Recordem breument algunes idees de l'article anterior "Construïm l'escala musical (I): Posem un marc general":

• Volem aconseguir una col·lecció de sons que, com a característica, permetin compondre bones melodies (sons en seqüència) i que conjuntament sonin harmònics (sons consonants).
• La longitud d'una corda determina la freqüència del so que produeix en fregar-la (com al violoncel), en pinçar-la (com a la guitarra) o en percudir-la (com al piano). És una relació de proporcionalitat inversa. Si, per exemple, la corda mesura una quarta part de l'original, el so obtingut tindrà una freqüència quàdruple.
• La consonància està relacionada amb proporcions senzilles. La proporció 2/1 (doblar la freqüència o reduir la corda a la meitat) produeix la mateixa nota, però més aguda. La proporció 3/2 es coneix com el "primer harmònic". Altres harmònics es troben en dividir la corda en tres, quatre, cinc... parts iguals.

Amb aquestes premisses podem intentar construir aritmèticament la nostra escala musical, una col·lecció prou harmònica de sons.

Partirem d'una corda unitat i en farem quatre de noves amb les longituds resultants de dividir-la en 2, 3, 4 i 5 parts. Tindrem les cinc primeres notes de la nostra escala. Totes cinc consonants amb la primera.

Però podem considerar que cinc sons són pocs. Recordant que 2/3 de la llargada de la corda sona força consonat amb la corda unitat podem agafar una altra amb aquesta mesura i, a continuació, fer-ne quatre més en dividir-la també en 2, 3, 4 i 5 parts. Encara tindrem més sons si agafem una corda més llarga de la unitat, en proporció 3/2, i obtenim quatre més amb el mateix mètode. Així tindrem una mena de lira de quinze cordes.

Passem ara a calcular les freqüències dels sons que obtenim amb aquesta lira.

Vols veure els càlculs?

Construïm l'escala musical (III): Analitzem l'escala diatònica i coneguem la Pitagòrica

Els continguts d'aquest article són fruit
del treball conjunt amb Francina Turon

Hem dedicat els dos articles anteriors a la construcció d'una escala musical. El resultat obtingut, basat en l'harmonia i el càlcul aritmètic, va ser la que es coneix com a escala natural o escala de Zarlino, el músic que la va crear. Les notes queden indicades per les fraccions d'una freqüència unitat i estan limitades per la freqüència 1, la nota inicial, i la 2 la final i que és una mateixa nota però amb la freqüència doblada. El que musicalment es coneix com "una octava més alta".

Podem estudiar ara "l'esforç" que costa passar d'una nota a la següent. En matemàtiques a aquest "esforç" l'anomenem pendent i, en aquest cas, l'obtenim dividint la freqüència d'una nota per la de l'anterior. En música parlem d'un interval, entenent-lo com la relació entre dues freqüències.

Tenim vuit notes de partida, per tant, set intervals a calcular:

Conèixer aquesta seqüència d'intervals ens pot ser útil per a reconstruir l'escala a partir de la primera nota. Només hem de multiplicar una freqüència per l'interval corresponent per a conèixer la freqüència de la nota consecutiva posterior.

També podem visualitzar aquests pendents en un gràfic. Hi podem veure que tenim tres intervals, tres "esforços" diferents. Dos d'ells s'assemblen molt, però el tercer, 15/16, mostra un pendent menor, com si les notes aconseguides, el Fa i el Do final, estiguessin tonalment més a prop de les anteriors: Mi i Si respectivament.

9/8 ≈ 10/9 > 16/15

Quan les "passes" són més grans (9/8 i 10/9) diem que l'interval és d'un to. Quan la "passa" és més petita (16/15) diem que l'interval és d'un semitò. Com estan distribuits els tons i els semitons dins de l'escala és molt important per a la seva sonoritat.

Vols mirar diferents ordenacions?

Construïm l'escala musical (IV): Amb 7 notes no n'hi ha prou

Els continguts d'aquest article són fruit
del treball conjunt amb Francina Turon

Imaginem que hem de cantar una cançó com "El gegant de(l) π", que disposem de la seva partitura i aquesta comença en la nota Mi.

Però imaginem, també, que, perquè ens queda massa greu, no va prou no va bé a la nostra tessitura de veu, i volem transportar tota la partitura tres tons més amunt.

Si numerem les notes de la primera partitura (Do-1, Re-2, Mi-3...) seria com sumar 3 a cadascuna de les notes. Podem comparar sonorament aquest transport.

No és difícil notar que la nota 7 no funciona bé i trenca la melodia. És com si ens faltés una nota intermèdia entre la 6 i la 7, entre el La i el Si. Mirem com sona si afegim aquesta "nota fantasma".

La culpa està en el repartiment de tons i semitons que, en el transport, queden desajustats. Entre les notes 3 i 4 (Mi i Fa) hi ha un semitò. Entre la 6 i la 7 abans teníem un interval d'un sol to. Ara necessitem una nota a un semitò de la 6. A aquestes notes intermèdies se les anomena sostinguts, simbolitzades amb el signe ♯ o bemolls, simbolitzades amb el signe ♭. En el nostre cas, a la partitura cal assenyalar que tots els Si de la partitura seran en realitat Si bemoll. Per anotar-ho posem el signe de "bemoll" a l'inici de la partitura i a l'altura del pentagrama corresponent al Si. Pel fet d'estar al principi de la partitura sabem que aquesta alteració afecta a tots els Si que ens trobem a l'interpretar-la.

Investiguem ara quantes notes alterades necessitem. Per fer-ho fem un cercle amb una roda interior on estan representades les nostres notes, amb separacions diferents segons l'interval sigui d'un to o un semitò. També les representem a l'exterior d'aquest. Si a continuació fem girar la roda interior, fent coincidir el Do amb el Re de l'exterior veurem que hi ha notes que es transporten directament a unes altres, però també que tindrem dos espais buits per a poder transportar el Si i el Mi i que haurem d'omplir amb notes noves. A aquests nous sons els anomenem, en la majoria de casos, igual que la nota anterior, afegint el signe ♯ i parlarem de "Do sostingut" i "Fa sostingut".

Continuem fent girar la roda?

Construïm l'escala musical (V): Altres escales

Els continguts d'aquest article són fruit
del treball conjunt amb Francina Turon

Ja, al primer article d'aquesta sèrie, vam comentar que la tria de les notes, en quantitat i sonoritat, és una decisió cultural. Recordem que hi ha instruments que no tenen les notes perfectament definides, com violins, violes o violoncels, i altres que sí que les tenen, com el piano, la guitarra o l'arpa. La definició d'aquestes notes és fruit d'un acord. Però això no priva que, en altres cultures o estils musicals, s'hagin pres acords diferents. 

Començarem amb un petit experiment. Construirem una melodia aleatòria tocant només les tecles negres del piano. Per fer-ho generarem una llista aleatòria de 25 nombres, entre l'1 i el 5. Després d'adjudicar un número entre 1 i 5 a cada tecla negra del piano, farem sonar, ordenadament, la nota corresponent a cada número de la sèrie. La pregunta és: si haguessis de triar una zona del món on creus que tenen una música semblant, quina escolliries?

Molt probablement hauràs pensat que la música sona com de l'Orient Llunyà. Efectivament, allà s'utilitza sovint una escala pentatònica, de només cinc notes. 

L'escala pentatònica

Que la nostra escala tingui 7 o 12 notes és, com ja hem dit, una decisió cultural. Sovint s'utilitzen escales de només cinc notes que reben el nom de pentatòniques. No totes aquestes escales són iguals. Tenim fetes només amb diferències d'un to o amb tons i semitons, i. entre aquestes, de majors i de menors... 

Podem mirar dos modes d'escala pentatònica, major i menor, que inclouen dos tipus d'interval: to (T-dos semitons) i to i mig (T+, 3 semitons). Si afegim com a nota final la repetició de la primera una octava més altra tindríem aquestes sèries d'intervals:

• Escala major T T T T+ T T+
• Escala menor T+ T T T+ T

Tenim un curiós exemple per visualitzar com influeix l'ordre de les notes. Agafem un conjunt de set notes: La-Do-Re-Mi-Sol-La-Do₁. Si comencem pel Do i acabem al Do₁ tindrem una pentatònica major. Si comencem per un La i acabem a l'altre, tindrem una pentatònica menor.

Vols saber més sobre aquestes escales diferents?

Combinatòria i geometria musical

Els continguts d'aquest article són fruit
del treball amb Francina Turon

Les relacions entre música i matemàtiques són múltiples. La construcció de l'escala musical n'és un exemple clar. En aquest article ens centrarem en dos aspectes. El primer abordarà com alguns compositors han jugat amb aspectes combinatoris bàsics. El segon, tractarà sobre com es modifiquen melodies i harmonies amb operacions equivalents als moviments i transformacions, també bàsiques, en el pla (translació, simetria, gir i homotècia).

Dos exemples combinatoris

Podríem dir, simplificant molt, que una melodia és una successió de notes musicals. Segons l'escala que utilitzem (la pentatònica, la diatònica, la cromàtica, etc.), i movent-nos només dins d'una octava, disposarem d'una quantitat de notes determinades (5, 7 o 12 a les que hem citat) i que ordenarem i reordenarem com convingui. El resultat musical ja queda a valoració de cadascun. Evidentment, podem ampliar la tria de notes a més d'una octava i enriquir les nostres melodies. Si parlem d'ordenacions i reordenacions els jocs combinatoris surten de seguida. Volem compartir dos exemples fàcils de comprendre. El primer no té ni notes. És una combinació de palmades i silencis.

La composició Clapping Music (1972) d'Steve Reich és una composició per a dues persones fent palmades. Hi ha ritme base de dotze temps amb 8 palmades i 4 silencis.

Tots dos interpreten junts aquesta seqüència una quantitat determinada de vegades. Habitualment 8. Després un dels músics mantindrà la seqüència, i ho farà durant tota la peça, però l'altra farà una permutació portant el primer so (o silenci) al final i desplaçant tot el conjunt restant a l'esquerra. I així aniran procedint cada vuit repeticions fins a arribar a tocar a l'uníson una altra vegada.

Exemple de les dues primeres permutacions

Podem endevinar que, a la dotzena permutació tornaran a coincidir.

Permutacions completes

Què millor ara que escoltar el resultat:

Un segon exemple purament combinatori és la peça per a piano Tango (1984) de Tom Johnson. Són les 120 combinacions diferents de cinc notes (RE – FA – SOL♯ –LA - SI♭). Tot amb un acompanyament de tango amb la mà esquerra. A continuació teniu un fragment de la partitura en què no es veu l'acompanyament.

Les 24 permutacions del quart temps

Podem ara sentit la peça:

Hem dit que posaríem dos exemples. Però no ens podem estar d'esmentar les combinacions de compassos per a fer minuets tirant uns daus i atribuïda a Mozart: Músicalisches Würfelspiel (Joc de daus musicals). En vam parlar a l'article Combinar i comptar (joguines, poemes, discursos...).

Passem ara a la "geometria".

Transformacions isomètriques

Tenim tres transformacions isomètriques bàsiques que no canvien la forma ni les mesures: la translació, el gir i la simetria. Aquestes seran les primeres que adaptarem a la música.

Deixarem l'explicació amb detall i l'exemplificació de tots els casos per a la 2a part de l'article. Però per obrir boca sobre el tema, mostrarem a què ens referim amb un petit fragment musical. Aplicarem els mateixos moviments a una partitura. Cal dir, especialment respecte a les dues inversions, que ara apliquem una simetria "visual" sobre les notes i la seva posició. Més tard farem una simetria més ajustada, perquè serà tonal.

Ara podem jugar aquestes quatre variants: encadenant-les per ampliar la melodia o superposant-les per donar una mica de riquesa harmònica (encara que per aconseguir-ho "s'ha de saber" i en els exemples no ens hem en sortit gens).

Els grans músics sí que saben fer-ho bé. Veiem exemples?

Euler jugant al golf

Piergiorgio Odifreddi, un dels millors divulgadors matemàtics italians, al seu llibre Pillole matematiche inclou una "píndola" titulada Palline, palloni e cupole (una cosa com "Boles, pilotes i cúpules") que pot ser molt interessant de compartir. Un cop presentat l'origen d'aquest article, entrem en tema.

Heu mirat atentament alguna vegada una pilota de golf? Si ho heu fet haureu observat que la seva superfície és rugosa a causa de la presència d'una gran quantitat d'alvèols (com uns petits foradets).

Aquests alvèols ajuden a allargar el vol de la pilota i la distància recorreguda després del cop. Segons la Viquipèdia, la majoria tenen entre 250 i 450 alvèols, però n'hi ha amb més. El rècord està en 1070. Hi ha diferents models de pilotes amb distribucions diferents. Si mirem els de la pilota de la imatge, un dels models més freqüents, veurem una trama hexagonal molt clara. Però si mirem amb més atenció observarem que també hi ha algun pentàgon.

Si comptem la quantitat de pentàgons, independentment de la quantitat total d'alvèols hexagonals, veurem que sempre hi ha exactament 12. No ens hauria de sorprendre tant si observem que la pilota de futbol més clàssica (si més no, des del Mundial del 1974) està feta també d'hexàgons i pentàgons. Molts menys. Exactament 20 hexàgons i, no cal dir-ho, 12 pentàgons.

En aquest cas no és tan estrany perquè sabem que es tracta d'un icosaedre truncat, i l'icosaedre d'origen té, justament, 12 vèrtexs.

Animació feta a partir de la construcció feta
amb GeoGebra per Guillermo Bautista

La molècula del Buckminsterful·lerè (C₆₀) és una forma sintètica del carboni que té una molècula amb la mateixa forma que la pilota de futbol. D'aquí que també se'l conegui com a "futbolè". És un cas particular d'un grup de formes moleculars del carboni anomentas ful·lerens. No tots tenen 60 àtoms de carboni. La forma C₁₂ no té hexàgons, és un dodecaedre. La forma C₇₀ té una forma semblant a una pilota de rugbi amb 58 hexàgons i. una altra vegada, 12 pentàgons. La C₅₄₀ també en té 12.

Font Viquipèdia

Als ful·lerens se'ls hi va posar aquest nom en honor de Buckminster Fuller, un arquitecte conegut per ser uns dels primers creadors de cúpules geodèsiques. Les molècules i les pilotes que hem vist fins ara les podem considerar esferes geodèsiques (en el cas del C₇₀ un el·lipsoide geodèsic). Una cúpula seria una semiesfera o un casquet d'aquestes esferes. I què és una esfera geodèsica? Bàsicament, un poliedre que s'inscriu en una esfera. És a dir, que tots els seus vèrtexs formen part d'aquesta. Les cares d'aquests poliedres són, en la majoria de casos, triangulars. Però no tenen per què ser-ho. En tot cas, a moltes de les cúpules geodèsiques podem veure molt clarament grups de sis triangles formant hexàgons i altres grups, no tan abundants, de cinc triangles formant pentàgons. Ens ajuden a atrobar els polígons els vèrtexs on s'hi troben sis arestes i els que n'uneixen cinc. També ara, si tenim tota l'esfera, trobarem 12 vèrtexs de cinc arestes.

Una mena d'esferes geodèsiques naturals les trobem en molts virus. Les seves càpsides tenen, sovint, formes derivades de l'icosaedre i, com ells, 12 vèrtexs de cinc capsòmers. 

Càpside de la familia Tombusviridae (Font Viquipèdia)

I per què sempre 12 pentàgons o vèrtexs de cinc arestes? La culpa és d'Euler. La resta de l'article la dedicarem a demostrar perquè han de ser forçosament 12, independentment de la quantitat d'hexàgons que hi trobem, i a ampliar una mica la informació sobre la construcció d'esferes, i col·lateralment de cúpules, geodèsiques.

Vols saber-ne més?

Un tauler just pels "Nans saltironants"

A l'article "Quadrats greco-llatins: un joc útil a l'experimentació" (Novembre de 2013) es parlava d'un joc infantil, "Els nans saltironants". En aquest joc, per a 2, 3 o 4 jugadors, hi ha 16 nans de 4 colors diferents, quatre balancins i un tauler amb 16 forats, 4 de cada color. Cada jugador tria un color. Segons la versió del joc, els costats poden estar adjudicats per colors o no. En tot cas, cada jugador posa el seu balancí a un costat i ha de "disparar" els seus nans amb el balancí, fins que aconsegueix posar-los als quatre forats del tauler amb el seu color.

Dues versions del joc

No és difícil imaginar que, perquè el joc sigui just, els forats han de tenir una distribució igualitària. Per exemple. si posem els quatre forats d'un mateix color en una sola fila o columna, segurament seran més fàcils d'encertar a les que estiguin per la zona central del tauler. Les vores del joc hi juguen un paper. La vora més pròxima al costat de llançament demana un vol més ajustat perquè si no el nan pot topar amb ells. Els racons pròxims també són una mica més complicats. Com ha de ser una distribució justa?

A priori podem pensar que fent un quadrat llatí, en què no es repeteixi un mateix color a cap fila i a cap columna n'hi haurà prou. Però hi ha casos que, si més no, són discutibles. Per exemple, en aquest tauler blau té dues caselles en cantonades i groc no en té cap.

Blau té dues caselles en cantonades

Ja podem anotar, a més de ser un quadrat llatí, una segona condició: tenir una cantonada de cada color. Mirem ara amb detall un dels taulers oficials del joc.

Comparem on té cada color el seu "forat de cantonada". Blau i vermell el tenen més allunyat. Groc i verd el tenen al costat més pròxim. És prou igualat? És evident que les condicions no són les mateixes i que segur que el tauler es pot millorar.

Si no hi ha color a cada costat podem col·locar el tauler de forma aleatòria. Però això no fa encara el joc del tot just. Hem mostrat fotografies de dos fabricants diferents, però tots dos tenen la mateixa distribució de colors.

Els podem ajudar a fer un tauler millor, totalment equilibrat? Si el trobem, quants n'hi ha de diferents?