14 de maig de 2022

Passar de 6 i rectificació de passar de 12

Abans de llegir aquest article, i si no voleu tenir espòilers , és millor que llegiu una entrada anterior relacionada: Passar de 12. Si ja coneixeu l'activitat, o us és diferent que s'esguerrin algunes sorpreses, podeu continuar. En tot cas, i per situar, recordem breument com era l'activitat Passar de 12.

  • Agafem un dau
  • L'anem tirant i sumant les puntuacions.
  • Ens aturem quan arribem a una suma superior a 12. (Atenció! 12 no val! Ha de ser superior: 13, 14, 15...)
Exemple de tirades que s'aturen a 16

La pregunta de l'activitat era demanar per quin nombre apostaríem com a resultat final. Si fem l'experiment a l'aula veurem que la majoria d'apostes estan entre el 14 i el 16. Però, i d'aquí ve la sorpresa de l'activitat, el resultat més probable és 13. La raó que donàvem, en el seu moment, era que a 13 podem arribar des de sis resultats anteriors, des de 7, 8, 9, 10, 11 o 12, traient amb el dau un 6, un 5, un 4, un 3, un 2 o un 1, respectivament. A 14 arribarem des de cinc resultats. A 13 des de quatre... I així fins al darrer resultat possible, 18, al que només podem arribar d'una manera: des de 12 i traient un sis. Presentàvem la següent taula per a justificar el raonament.


Aquests resultats es corresponen força bé amb els que es poden obtenir amb un applet fet amb scratch que ens permet experimentar tantes vegades com vulguem.

Resultats d'un milió d'experiments amb l'applet

Fins aquí el que teníem. Però tot va trontollar quan la Cecilia Calvo, "la de l'ull precís", em va enviar un missatge que va posar en dubte l'explicació donada. Tot venia d'una adaptació del joc que va preparar per a fer-lo més analitzable a l'aula: Passar de 6. En aquest cas es pot fer un anàlisi més exhaustiu de totes les possibilitats. És a dir, mirar exactament de quantes maneres diferents puc arribar a un resultat concret..

Si apliquem el raonament presentat originalment a l'activitat Passar de 12, ara només hauríem de fer una petita adaptació de valors de la taula justificativa, però arribaríem als mateixos resultats que amb el 12.

Però si fem la mirada que proposa la Cecília, cercar exhaustivament tots els casos, els resultats als que s'arriben són diferents.


Així que vaig rebre el missatge de la Cecilia vaig recordar una famosa cita d'un dels pares del càlcul de probabilitats, Pierre-Simon Laplace, que al seu Essai philosophique sur les probabilités escrivia:

“La teoria de probabilitats va unida a consideracions delicades i no és estrany que, partint de les mateixes dades, dues persones arribin a resultats diferents.”

La prova del cotó de que, com no, el raonament de la Cecilia era el correcte, ens la dona l'experimentació amb un nou applet Passar de 6

Resultats d'un milió d'experiments amb l'applet

Aquesta nova mirada posava en dubte els resultats previstos per al joc Passar de 12, tot i que l'experimentació els corroborava.

Ho mirem tots amb calma de nou? Revisem l'estudi del joc? Apliquem l'anàlisi de la Cecilia al cas de 12 i altres casos nous?

Us animeu a continuar?

30 de març de 2022

Estudiem una fórmula egípcia per a l'àrea dels quadrilàters

 Al 1855, Karl Richard Lepsius va publicar un estudi sobre les inscripcions jeroglífiques del Temple d'Horus que es troba a Edfú.

Al 1821 el matemàtic Thomas Little Heath escrivia, a la seva història de les matemàtiques gregues, aquesta frase a partir del treball de Lepsius.

"De moltes d'aquestes inscripcions que van ser publicades per Lepsius en recollim que 1/2(a+c)·1/2(b+d) era una fórmula per a l'àrea d'un quadrilàter els costats dels quals són, per ordre, a, b, c, d."

Dit d'una altra manera, l'àrea d'un quadrilàter es calculava trobant la d'un rectangle que tenia per costats la mitjana dels costats oposats.

A partir d'aquesta informació ens podem fer algunes preguntes:
  • Funciona sempre bé aquesta fórmula?
  • Si no és així, quan funciona?
  • Si no funciona, l'error és molt gran? Molt petit? De què depèn?
Podem estudiar aquest tema, en el què GeoGebra ens serà de gran utilitat, gradualment: paral·lelograms, estels, trapezis isòsceles i quadrilàters generals. I, pel camí, anirem definint algunes de les condicions per a que aquests quadrilàters quedin determinats. Això ens permetrà també fer algun petit estudi funcional. És a dir, podem trobar una línia de treball que pot abastar del Cicle Superior de Primària al final de l'ESO. Acabarem l'article amb una adaptació, també trobada al mateix temple, per a l'àrea dels triangles.

Però, per "fer boca", podem veure ràpidament que la "fórmula egípcia" no funciona. Només cal observar un exemple, que bé ens podria servir pels nivells més baixos: els rombes. Aquestes figures queden determinades només amb un costat i un angle. Quan l'angle és de 90º tenim el quadrat. Justament el mètode egipci, i tenint en compte que en el rombe els costats són iguals, fa que l'àrea de qualsevol rombe sigui "igual" a la del quadrat amb el mateix costat, cosa evidentment falsa.

L'àrea d'un rombe de costat 5 pot prendre valors de 0 (0º) a 25 (90º)

Un dels aspectes més curiosos d'aquesta fórmula és que està datada aproximadament en el segle I a.n.e, quan Euclides, al mateix Egipte, però més al nord, havia publicat ja el seus Elements.

Estudiem el la "fórmula egípcia" amb més detall?

15 de març de 2022

Corones. D'un problema a un teorema

En aquest article seguiré un itinerari, pràcticament clavat, al que ens van presentar en una xerrada, i si la memòria no em falla, els il·lustres membres del MMACA, Josep Rey i Manel Udina. Van connectar dos problemes que coneixia de manera independent i que no se m'havia acudir mai relacionar. El problema inicial, que no era exactament el mateix que ells van plantejar, el recordo del llibre de Mariano Mataix "Cajón de sastre matemático" (1981). El problema, més o menys, deia així:

"Suposem que tenim dues circumferències concèntriques. Tracem una tangent a la interior que tallarà l'exterior en un punt. La distància entre aquest punt i el de tangència és d'un metre. Troba la superfície de la corona circular que formen les dues circumferències."



Sembla increïble però el problema es pot resoldre tot i disposar només d'una informació tan mínima. Això si, cal l'ajuda "d'una idea feliç". Com a pista només cal recordar que la fórmula de l'àrea de la corona és π(R2-r2) i que aquesta expressió, R2-r2, ens pot recordar com calcular un catet d'un triangle rectangle utilitzant el teorema de Pitàgores. Un cop resolguem aquest problema veurem que té altres sorpreses amagades i l'anirem ampliant fins a relacionar-lo amb un dels teoremes més bonics i sorprenents: el de Holditch. Aquest teorema el vaig veure per primera vegada en el preciós llibre de Clifford A. Pickover El libro de las matemáticas. Ja explicarem més tard què proposa. Només apuntarem que té a veure amb àrees de corones i escuradents, amb un punt marcat, que es mouen per la vora de figures corbes. Tot i així, qui me'l va redescobrir va ser el web de Gaussianos en un magnífic article que referenciaré al final.

Font de la imatge

Us animeu a continuar llegint?

6 de febrer de 2022

Còniques a la badia de Roses

Fa molts anys em va caure a les mans un text de Josep Pla titulat "El vent de garbí i la tramuntana". Un dels seus apartats es titulava Explicacions científiques. En ell, per primera vegada, vaig trobar la referència a les formes el·líptiques de la badia de Roses. En Pla comenta un escrit de Frederic Macau (1917-1970) on hi ha tot l'estudi matemàtic pertinent, les seves justificacions geològiques i climàtiques i un petit teorema que ell mateix anomena "Teorema de l'Empordà"

En el text de Pla es diu:

És absolutament obvi que el perfil del golf de Roses és la forma més admirable, més impressionant, d'una més excelsa bellesa, més inoblidable de l'Empordà. (../..) És una forma de gran bellesa, produïda per la naturalesa en cru, que mai, potser, l'obsessió artística no arribarà a dibuixar una forma que s'hi assembli. (../..) El senyor Macau se l'ha mirada amb ulls d'artista i de científic -n'ha donat una informació de gran categoria. Una visió superficial del golf fa aparèixer una forma el·líptica geomètricament perfecta. És una el·lipse com si hagués estat traçada amb un tiralínies per un delineant expertíssim. Però d'el·lipses, n'hi ha dues: una de petita, del cantó de Roses, i una de més llarga del cantó de l'Escala. L'eix de l'el·lipse de la banda de Roses coincideix en direcció i situació amb la perllongació dins del mar de l'últim tram del Muga. L'eix de l'el·lipse de la banda de l'Escala, coincideix, encara que no tan exactament, amb la direcció i la perllongació del penúltim tram del Fluvià".

El text continua donant més detalls matemàtics recollits de l'escrit de Macau on, a més, hi ha alguna referència a la proporció àuria. Si el voleu llegir es titula "L'Alt Empordà geometritzat per la Tramontana".

Imatge original del text de Frederic Macau

La segona vegada que em vaig trobar amb una referència a l'estudi de Macau va ser a l'exposició de Perejaume "Maniobres de Perejaume", a l'any 2014.

La tercera, va ser a la revista NouBiaix, al n. 79, també de 2014, on Lluís Sabater, de l'IES Llança, feia tot un estudi amb GeoGebra de les propostes de Macau. L'article es titulava El Teorema de l'Empordà (de F. Macau) vist amb el GeoGebra.

Enllaç a la construcció de Lluís Sabater

Ja avanço que, amb tots el meu sincer respecte per l'obra de Macau, aquestes coses no me les pren mai del tot seriosament. Per una banda, la natura "no és exacta". Per una altra, nosaltres fem passar les línies per on ens va millor. Quantes vegades hem vist obres que troben tot de proporcions àuries dibuixant rectangles auris amb aproximacions triades a conveniència?

Aquí em deixo un colze, aquí un tros de mà, aquí...

Però l'observació de la forma aproximadament el·líptica de la badia (o de suma dels arcs de dues el·lipses) és innegable. Una altra cosa és de quina o de quines el·lipses. Un dels grans mèrits de Frederic Macau és que ho va fer tot a mà. Nosaltres disposem d'eines molt més còmodes per a posar-nos a jugar: imatges ortogràfiques accessibles, GeoGebra...

Ens hi posem?

26 de gener de 2022

Prostafairesis, taules de quarts de quadrats... Multipliquem d'una altra manera!

Buscar formes de simplificar les activitats complexes ha estat un dels motors del desenvolupament tecnològic (i cultural) de la humanitat. El càlcul és una d'aquestes activitats i, actualment, en gran part el deleguem en les màquines, sobretot si son llargs, molt repetititus o amb nombres complicats. Però el camí per arribar fins aquí ha estat llarg. Tristament, encara hi ha docents que discuteixen l'ús de les calculadores a l'aula. Un cosa és discutir "sobre l'ús" (quan, quant, com, per a què), però una altra "discutir-ne l'ús". La calculadora ha d'estar a l'aula. Però els que tenim una edat podem recordar els temps en el què aquest debat no tenia sentit, perquè les calculadores de butxaca eren uns ens estranys al teu entorn, unes autèntiques rareses. Els que vam estudiar el batxillerat pre-EGB encara vam haver de comprar llibres amb taules de logaritmes i estudiar com les multiplicacions es podien convertir en sumes, les divisions en restes, les potències en productes i les arrels en divisions. L'aplicació dels logaritmes a la simplificació dels càlculs complexos va ser fonamental des del segle XVII fins a ben entrat el XX. Als anys 70 encara era habitual veure "calculistes" fent anar el regle de càlcul, de base logarítmica.

Però abans del segle XII ja existien altres mètodes per alleugerir les grans multiplicacions reduint-les a sumes i restes de nombres extrets de taules numèriques. Alguns, basats en taules de quadrats, sembla que venen de l'antiga Mesopotàmia i van durar fins als inicis del segle XX. D'altres, basats en taules trigonomètriques, van ser usats des del segle XVI fins al triomf generalitzat dels logaritmes, amb els que van conviure molts anys. Aquest segon mètode rebia el nom de prostafairesis.

Abans d'estudiar-los amb més calma veiem un exemple d'aplicació de cadascun (tot recordant que es basen en l'ús de taules numèriques "prefabricades")

  • Amb taula de quadrats.
Imaginem que volem multiplicar 785·296 = 232 360
  1. Sumem els dos nombres
         785+296 = 1 081
  2. Restem els dos nombres
         785-296 = 489
  3. Busquem a una taula de quadrats els de la suma i de la diferència anteriors
         1081= 1 168 561
         489=239 121.
  4. Restem aquests dos resultats
         1 168 561 - 239 121 = 929 440
  5. Fem la quarta part de la resta anterior i obtenim el resultat del producte buscat
         929 440/4 = 232 360
  • Amb trigonometria
Fem la mateixa multiplicació 785·296 = 232 360
  1. "Arreglem" els nombres perquè estiguin entre 0 i 1. En aquest cas dividint cadascun per 1000 (0,785 i 0,296). A aquesta operació li direm "escalar els nombres".
  2. Busquem a angle quin correspondrien els nombres anteriors si aquests fossin els seus cosinus. Ho podem fer amb una taula trigonomètrica i mirant l'arccosinus, que sovint a la calculadora ens apareix com cos-1.
         Arccos (0,785) = 38,27932174º
         Arccos (0,296) = 72,78248857º
  3. Sumem i restem els dos angles anteriors
         38,27932174º+72,78248857º=111,06181031º
         38,27932174º-72,78248857º = -34,50316683º
  4. Mirem a la taula trigonomètrica els cosinus dels dos angles anteriors
         cos (111,06181031º) = -0.35937488
         cos (-34,50316683º) = 0.82409488
  5. Sumem els cosinus anteriors
         -0,35937488 + 0,82409488 = 0,46472
  6. Fem la meitat del resultat anterior.
         0,46472/2 = 0,23236
  7. Només queda "reescalar" el resultat. Donat que havíem dividit inicialment cada nombre entre 103, ara haurem de multiplicar per 106.
         0,23236 · 1000000= 232 360
Potser semblaran algoritmes molt alambinats, però amb càlculs de navegació, astronòmics o d'enginyeria escurçaven molt el temps emprats en la seva realització. Només calia disposar d'unes bones taules de quadrats o trigonomètriques.

Els mirem amb més calma? Com es justifiquen?

15 de desembre de 2021

La numeració oral Ngkolmpu

 Aquest repte l'he trobat entre la magnífica sèrie de problemes setmanals proposats per Alex Bellos a l'edició digital de The Guardian. Concretament és la proposta del 9 d'agost de 2021 i que modificaré ben poc.

Al web Càlculus ja vaig incorporar algunes activitats en les què es treballaven les numeracions orals. Es tractava d'esbrinar, a partir d'uns pocs exemples inicials, com es dirien alguns nombres demanats en la llengua proposada, o traduir quines quantitats representaven algunes expressions donades. A una d'elles, Construïm numerals, un dels objectius és observar la idea de que amb el concepte d'agrupament i algunes operacions bàsiques, es construeixen la majoria de numeracions orals. Com a exemple podem observar que, en català, quan diem "mil tres" estem sumant (1000+3) i quan diem "tres mil" estem multiplicant (3·1000). En una altra activitat (La base és la base) es treballa, a partir també de numeracions orals, la idea de base. Un dels aspectes interessants és que, en les numeracions orals, trobem una varietat més gran de bases que en les escrites. La proposta de Bellos és interessant perquè treballa els dos aspectes conjuntament: no podrem descobrir com funciona la numeració oral presentada si no fem una feina prèvia de descobrir la base.

La numeració proposada és la de la llengua Ngkolmpu, una varietat dialectal parlada pel poble Kanum de Papua-Nova Guinea.

Nyams i bananes, part important de l'alimentació del poble Kanum
(font: The Ngkolmpu Language)

En el seu repte de Bellos presenta en llengua Ngkolmpu, i de forma desordenada, els deu primeres nombres cúbics i demana que emparellem adequadament cada expressió amb la potència corresponent. El meu serà lleugerament diferent. Posarem els cubs ja directament aparellats i afegirem deu potències més: d'1 a 20. El que demanarem descriure com funciona els sistema de numeració:

  • Quina és la base?
  • Com és diuen cadascuna de les unitats?
  • Com es diuen les potències de la base?
  • Com es construeix un numeral?
De moment aquí teniu la taula amb els exemples:

Potència de 3 Nombre Numeral oral
13 1 naempr
23 8 naempr traowo yempoka
33 27 eser traowo yuow
43 64 naempr ptae eser traowo eser
53 125 yuow ptae yempoka traowo tampui
63 216 tarumpao
73 343 naempr tarumpao yuow ptae yuow traowo naempr
83 512 yempoka tarumpao yempoka ptae naempr traowo yempoka
93 729 yuow tarumpao yempoka ptae naempr traowo yuow
103 1000 eser tarumpao yuow ptae eser traowo eser
113 1331 naempr ntamnao tampui traowo tampui
123 1728 naempr ntamnao yempoka tarumpao
133 2197 naempr ntamnao eser tarumpao naempr ptae naempr
143 2744 yempoka ntamnao eser ptae naempr traowo yempoka
153 3375 yempoka ntamnao yuow tarumpao yuow ptae eser traowo yuow
163 4096 yuow ntamnao tampui ptae eser traowo eser
173 4913 yuow ntamnao eser ptae yempoka traowo tampui 
183 5832 eser ntamnao yuow tarumpao 
193 6859  tampui ntamnao naempr tarumpao eser ptae yuow traowo naempr
203 8000 naempr ulamaeke naempr tarumpao naempr traowo yempoka

Si continueu llegint podreu trobar algunes ajudes, un programa que us escriu qualsevol nombre que demaneu, una taula més fàcil que aquesta per a nombres més petits i l'explicació de la numeració.

Voleu seguir?

9 de novembre de 2021

"Camins de glòria" i matemàtiques

 Camins de glòria és el títol català de la pel·lícula d'Stanley Kubrick Paths of Glory. En castellà la vam conèixer com a Senderos de gloria. Es va estrenar al 1957, però a Espanya no la vam poder veure als cines fins a l'any 1986, onze any després de la mort del dictador. Una "transició" lenta. A França, però, també van haver d'esperar fins al 1975. Un film sens dubte perillós perquè fa pensar, i molt. Menys coneguda que la pel·lícula és la novel·la en la que es basa, escrita per Humphrey Cobb i publicada al 1935, abans de la 2a Guerra Mundial. Cobb havia lluita al front durant la Gran Guerra i sabia de què parlava. Tan el film com la novel·la son dos grans al·legats antibel·licistes i antimilitaristes. 


Estem en un d'aquells casos en el què la pel·lícula supera en molts aspectes a la novel·la. Però aquesta també és molt interessant de llegir. Vaig tenir a les mans una edició publicada durant el franquisme. No recordo si als anys 50 o 60. Era molt curiós llegir el pròleg en  el què, tot i criticar els aspectes antimilitaristes i defensar l'exèrcit francès, es donaven un seguit d'arguments per a defensar la publicació de l'obra. Imagino que era una argúcia editorial per convèncer a la censura  Actualment tenim una nova traducció castellana (en català no em consta que n'hi hagi cap) feta per Ricardo García Pérez. Aquesta és l'edició de la que transcriurem el fragments relacionats amb les matemàtiques i, molt especialment, amb la probabilitat. Els presentarem per ordre d'aparició... i sense fer espòilers, que cal visitar i revisitar aquesta història. Per altra banda, els fragments triats de la novel·la no apareixen a la pel·lícula.

Veurem que poden ser un bon punt de partida per a parlar a l'aula de certes creences que tenim en el camp de la probabilitat.

T'animes a llegir-los?

19 d’octubre de 2021

Ossos i geometries no euclidianes (2)

 A l'article anterior (Ossos i geometries no euclidianes-1) vam plantejar un conegut problema amb un enunciat semblant a aquest:

Un os camina un quilòmetre cap al sud seguint un meridià. Gira cap a l'oest i camina un altre quilòmetre seguint un paral·lel. Gira cap al nord i camina un altre quilòmetre seguint un meridià. Al final es troba al punt de partida. De quin color és l'os?

Vam veure que hi havia dos tipus de solucions. Un model amb infinites solucions a l'hemisferi sud del nostre planeta i un altre de més evident a l'hemisferi nord: el punt de sortida i arribada seria el Pol Nord. Vam observar al Pol es formava un triangle amb una suma d'angles interiors de més de 180º. Això no és possible al pla però sí a una superfície esfèrica. Va ser l'excusa per entrar en el mon de la geometria esfèrica, un dels tipus de geometries no euclidianes. En aquest article canviarem les superfícies sobre les que caminarà el nostre os i serà la porta d'entrada a un altre exemple de geometria no euclidiana: la hiperbòlica.

Imaginem al nostre os caminant sobre un paraboloide hisperbòlic. Aquesta superfície la podem trobar en les patates Pringles o, més sanament, en una superfície reglada com la que mostren al MMACA per a il·lustrar la multiplicació d'enters en 3D. Observarem que el recorregut de l'os és impossible perquè, deixant de banda la definició exacta de nord i sud, els meridians van sent divergents a mesura que es van separant del que podríem considerar com a zona equatorial.


Proposem el problema a una nova superfície: una pseudoesfera o tractricoide. Aquesta superfície, com l'anterior és infinita. És a dir, les "puntes" no acaben convergint sinó que són asimptòtiques. A l'hemisferi sud tenim, com a l'esfera, infinites solucions. Però al nord no en tenim cap perquè els meridians no convergeixen mai, només es van acostant cada vegada més.

Pseudoesfera i ruta en detall

Les dues superfícies presentades son molt interessants en sí mateixes. Però no ens toca estudiar-les ara. Les hem triat perquè son dos dels models físics de la geometria hiperbòlica, una geometria que tampoc acompleix el 5è postulat d'Euclides, però de forma diferent a les que havíem vist: al pla dèiem que "per un punt extern a una recta només passa una paral·lela a aquesta", i a l'esfera que "per un punt exterior a una "recta esfèrica" no passa cap paral·lela a aquesta". A la geometria hiperbòlica diem que:

Per un punt exterior a una recta hiperbòlica passen, com a mínim, dues rectes que són paral·leles a aquesta.

L'expressió "com a mínim dues", implica que poden ser infinites.

Com vam fer a l'article anterior haurem de redefinir algunes coses com "recta", "angle", "distància", "triangle"... i, a partir d'aquestes redefinicions, veure com podem conduir un debat a l'aula sobre aspectes com la relació amb els postulats euclidians,la suma dels angles interiors d'un triangle, com es calcula la seva àrea, com són les circumferències... No es tracta de fer un estudi a fons sinó de fer un primer contacte, d'aproximar-se a algunes idees generals. I tot amb dues raons de fons:

  • comprendre millor el sistema axiomàtic de les matemàtiques. I, en concret, millorar la comprensió del proposat per Euclides fent una mena "d'estranyament", a base de modificar les seves regles i "moure'ns" en un món diferent.
  • aproximar-nos a la revolució matemàtica que va suposar l'aparició de les geometries no euclidianes.

Aquesta geometria és més difícil d'estudiar amb materials. Podem imprimir algunes superfícies en 3D, però tampoc ens solucionarà gaire cosa, perquè és complex tot el que es relaciona amb la mesura. Aquí teniu un enllaç per a imprimir un paraboloide hiperbòlic i una pseudoesfera.

Hi ha alguns models plans de la geometria hiperbòlica. Per exemple, el model del Disc de Beltrami-Klien on el pla infinit es representa amb l'interior d'un cercle (la circumferència que el limita no en forma part) i les rectes per cordes d'aquesta circumferència. No entrem ara en el tema de les distàncies. La imatge mostra algunes de les moltes paral·leles a la recta a que passen pel punt P. Les que coincideixen amb la recta no la tallen perquè, com hem dit abans, la circumferència no forma part del disc.


Podeu trobar applets de GeoGebra per a treballar amb aquest model, però en aquest article optarem per un altre: el Disc de Poincaré. Pensem que aquest model és millor per treballar-lo a l'aula perquè les rectes no son segments rectilinis, com al model anterior, i la sensació "d'estranyament" serà més gran. Cal dir, però, que qualsevol model que agafem és més complicat que el de la geometria esfèrica, sobre la que podíem experimentar directament, i que té idees més intuïtives. Però si hem treballat la geometria de l'esfera prèviament, aquesta serà més fàcil d'acceptar. Serà com entrar a un món de videojoc amb unes regles diferents. I sobre el que podrem treballar amb GeoGebra ja que no és difícil trobar applets que ens permeten crear, manipular i mesurar objectes.

Límit circular III de M.C Escher (1959).
Aquesta obra està basada en el disc de Poincaré

Vols conèixer el món hiperbòlic amb idees per treballar-ho a l'aula?

6 d’octubre de 2021

Ossos i geometries no euclidianes (1)

 Al llibre clàssic de George Pólya Como plantear y resolver problemas apareix aquest curiós (i ja força conegut) problema:

Partint d'un punt P, un os camina un quilòmetre cap al sud. Canvia llavors de direcció i recorre un quilòmetre a l'est. Després, girant de nou a l'esquerra, recorre un quilòmetre cap al nord per arribar exactament a punt de partida P. De quin color és l'os?


Si no voleu espòiler millor aturar la lectura aquí mateix i pensar el problema. Si ja el coneixeu o no el voleu pensar ara mateix, podeu continuar.

Sembla lògic que, més que contestar sobre el color, el que ens cal és saber on pot estar l'os per a fer un recorregut tan sorprenent. Pólya tria aquest problema per sorprendre'ns fent-nos veure que hi ha dos tipus de solucions. La primera és la que se'ns pot acudir a la majoria: que l'os és blanc perquè el punt P és al Pol Nord. La segona l'explica així:

L'os podria retornar al punt P seguint el mateix meridià que al sortir de P si, en desplaçar-se un quilòmetre cap a l'est descrivís n paral·lels complets, podent ser n igual a 1, 2, 3... En aquest cas P no és el Pol Nord, sinó un punt d'un paral·lel molt proper al Pol Sud.

A la imatge teniu un esquema del camí per a n=1, un paral·lel d'exactament un quilòmetre de longitud, Però més al sud en trobaríem de 1/2 quilòmetres i faríem dues voltes, d'1/3, etc.

Esquema fet amb l'applet de GeoGebra de Rafael Cámara

Però tornem a la primera solució, perquè ens trobem amb un triangle ben curiós.

Imatge extreta del Blog Sunya de R. Cámara

Si l'observem amb detall veurem que els dos angles inferiors són de 90º. És a dir, la suma dels angles interiors del triangle és clarament superior a 180º. De fet, a l'aula, sempre que he plantejat el problema he explicitat clarament, a l'enunciar-lo, que "l'os baixa per un meridià gira 90º cap a l'est" i que després de caminar pel paral·lel gira "90º cap al nord" i agafa un meridià.

I per què passa això? Perquè no ens estem movent en un pla, sinó en una esfera i les "regles euclidianes", amb les que funcionem normalment, es refereixen al pla. Estem treballant amb una geometria, l'esfèrica, que no acompleix tots els postulats euclidians. Hem aconseguit un punt de partida idoni per parlar-ne i discutir a l'aula sobre les geometries no euclidianes. Debatre sobre les característiques d'aquestes geometries, les seves definicions, els sues postulats i algunes de les seves proposicions, ens servirà també per a conèixer millor l'estructuració de la matemàtica proposada pels Elements d'Euclides. És a dir, parlar-ne de les definicions ens ajudarà a comprendre quina funció tenen; comparar els postulats que s'acompleixen ens permetrà saber que són, quins i per a què serveixen els axiomes bàsics, tant de la geometria plana, com de la nova que estem explorant.

Haurem de començar per redefinir algunes coses com "recta" o "angle" i, un cop fet, podem comparar, postulat a postulat, quins s'acompleixen o no, total o parcialment. Observarem, amb més detall, que el que deixa d'acomplir-se més clarament és el 5è, aquell que diu, en el seu enunciat modern, que "per un punt exterior a una recta donada només és possible traçar una paral·lela".  De fet, com veurem, no en passa cap! Podrem aprofitar també per a tractar algunes idees sobre les distàncies reals al nostre planeta i les que mesurem als mapes. Fins i tot, tindrem l'oportunitat d'endinsar-nos una mica en el món dels triangles esfèrics.


Vols conèixer una mica més aquesta geometria i algunes idees per treballar a l'aula?

23 de setembre de 2021

Hidrocarburs i matemàtiques

 Al llibre de Brian Bolt Más actividades matemáticas (Labor, 1988) apareix aquesta interessant activitat que relaciona la química orgànica amb l'àlgebra, la combinatòria i, especialment, amb la topologia. El guió de l'activitat presentat per Bolt és magnífic i, donat que el llibre és introbable (si més no en castellà), em permetré no modificar-lo gaire.

Per no estendre'ns en les explicacions químiques, ens limitarem a posar-nos en context dient que els hidrocarburs són compostos amb molècules formades, exclusivament, per àtoms de carboni (C) i hidrogen (H). Hi ha gasosos (com el metà, l'età, el propà o el butà), líquids (com l'octà, un dels principals components de la benzina) i sòlids, com és el cas de moltes ceres, per exemple la parafina. Per la natura atòmica del carboni podem considerar, amb expressió del propi Bolt, que aquest té quatre braços per unir-se, donant-se la mà, amb altres àtoms (de C o d'H). L'hidrogen només en té un.

Les molècules dels hidrocarburs es formen unint aquest àtoms pels seus braços, tal com dèiem abans, com si es donessin la mà, i de forma que no quedin braços lliures. Si  als àtoms de carboni li en queden es "donaran la mà" amb àtoms d'hidrogen. Els àtoms de carboni es poden unir entre ells compartint diferents quantitats de braços: un, dos, tres o tots quatre. A continuació teniu un exemple en la seva representació clàssica i, el mateix compost, amb un dels tipus d'esquemes que utilitzarem al llarg de l'activitat.

Benzè (C6H6)

Entre els hidrocarburs tenim els que formen cadenes: els alcans, amb tots els enllaços senzills, els alquens, amb algun o alguns enllaços dobles, i els alquins, que tenen, com a mínim, un enllaç triple. També poden tenir formes cícliques, com és el cas del benzè de la imatge anterior. A continuació teniu en exemple de cadenes amb només enllaços simples, dobles i triples.


En general, en química orgànica, no tenim prou amb la fórmula que ens indica la quantitat d'àtoms, de cada element, que formen la molècula. L'estructura té importància i, per a una mateixa fórmula, podem tenir diferents estructures, amb compostos que tindran propietats diferents. Per exemple, d'una de les fórmules anteriors,  C4H6, podem trobar una estructura alternativa amb un enllaç triple.


Per acabar aquesta introducció, només ens cal avisar de que hem d'estar atents a la topologia de l'estructura, perquè, de vegades, estructures que ens poden semblar diferents són equivalents només que apliquem petites transformacions.

Dues molècules equivalents topològicament


Ara ja tenim les regles establertes. Comencem, doncs, el joc matemàtic.


T'animes a continuar llegint sobre l'activitat?