"Assagem" amb el rugbi

Si hem vist retransmissions de partits de futbol, més d'una vegada haurem sentit a la locució que el davanter, o davantera, "ha perdut angle". Bé, l'angle de tir a la porteria no es pot perdre, sempre hi és. Però sí que es pot anar reduint. En general, quan més ens allunyem de la vertical de la porteria menor és aquest angle de tir: l'angle format per la pilota i els dos pals de la porteria. També s'utilitza l'expressió quan el jugador/a s'acosta massa, per un costat de la porteria, a la línia de fons. Tot i que, en aquest cas, l'angle també es perd quan t'allunyes massa d'aquesta.

Però també hi ha tot un arc, conegut com a arc capaç, sobre el que ens podem moure mantenint sempre el mateix angle de tir. El centre d'aquest arc està situat en la mediatriu del segment format pels dos pals de la porteria. El seu radi pot variar: a cada radi correspon un angle diferent. La mida d'aquest l'angle dependrà de la proximitat del centre de la circumferència al "segment porteria". Com més a prop, més gran.

L'estudi de l'angle de tir, en el cas del futbol, no és del tot interessant perquè les situacions de joc són les que són. No es pot triar gaire des d'on tirar; ni tan sols en les faltes. Però el rugbi sí que té una jugada especial, la "transformació" que compta amb un marge de tria. Posem-nos en situació amb aquesta jugada.

La situació en les que un equip obté més punts és amb l'assaig: 5 punts. Un assaig s'aconsegueix quan un jugador/a travessa la línia de fons de l'equip contrari i planta la pilota a terra. Un cop fet l'assaig el mateix equip pot aconseguir dos punts extres si realitza una transformació. Per fer-la un dels jugadors/es de l'equip que ha fet l'assaig posa la pilota en el lloc que triï sobre la vertical del punt d'assaig. A aquesta perpendicular l'anomenarem, a partir d'ara, línia o recta de transformació. Llavors, xuta la pilota per fer-la passar entre tres pals: per sobre de l'horitzontal i entre els dos verticals.

En aquest estudi prescindirem de l'alçada i mirarem només l'angle de tir. I en el cas particular que la línia de transformació no estigui entre els pals. Podem experimentar amb aquesta la construcció feta amb GeoGebra i anar movent el punt de tir sobre la perpendicular al lloc d'assaig. Observarem que l'angle varia, però hi ha un lloc òptim, on l'angle és el més gran possible per a aquella recta.

Enllaç a la construcció interactiva

Un cop plantejada la situació venen les preguntes:

• Com podem localitzar geomètricament aquest punt d'angle màxim?
• Si anem movent la recta de transformació, quina línia tracen els diferents punts d'angle màxim?

Ho estudiem?

El problema del testament del Nabab i la "resolució per síntesi"

 Al llibre Problemas aritméticos escolares, de Luis Puig i Fernando Cerdán (1988), es proposen dos mètodes de resolució de problemes que podem utilitzar amb força efectivitat en molts d'aquells, més o menys, "escolarment tradicionals".

• Mètode d'anàlisi: partir de la pregunta i retrocedir cap a les dades (quines dades em calen per contestar la pregunta? Les tinc? Si no les tinc que em cal per descobrir-les?...).
• Metode de síntesi: partir de les dades i avançar cap a la pregunta (què puc saber amb les dades que tinc? És el que em demanen? Si no és així, què podria esbrinar amb el que tinc?...)

Al llibre s'incorporen dos esquemes que il·lustren clarament els dos mètodes.

Mètode d'anàlisi: de la incògnita a les dades

Mètode de síntesi: de les dades a la incògnita

Habitualment, tenim més tendència a pensar d'una manera o de l'altra. És clar que en problemes d'investigació, dels que acostumem (o ens hauríem d'acostumar) a proposar l'aula, aquest esquema és massa rígid. Però, com he comentat, en problemes més tradicionals, tipus "llibre de text", ens poden ser útils. Si més no, per poder pensar preguntes orientadores per a fer al nostre alumnat.

No entrarem ara a posar exemples de resolució d'un mateix problema per cada mètode. Però sí que comentarem un curiós repte que Édouard Lucas planteja al llibre L’arithmétique amusante (1895) i que també trobem al 4t volum de les seves Récréations mathématiques. Aquest problema, com veurem, s'ajusta molt bé a una resolució pel mètode de síntesi.

"El testament del Nabab. Un nabab deixa als seus fills un certa quantitat de diamants d'igual valor, en les següents condicions: El primer agafa un diamant i 1/7 dels que queden; el segon agafa dos diamants i 1/7 dels que queden; el tercer agafa tres diamants i 1/7 del que queda, i així successivament. Després del repartiment de tots els diamants, totes les parts obtingudes són iguals. Es demana la quantitat de diamants i la de fills"

 Al llarg de l'article, tot evitant inicialment un platenjament algebraic, comentarem la resolució aritmètica per síntesi. Però també estudiarem la seva generalització per a diferents particions (en terços, quarts, etc.) i descobrirem una connexió una mica inesperada. A més, mostrarem la resolució que proposa Lucas i una d'algebraica.

Però, abans d'entrar en matèria, cal esmentar que Lucas subtitula el repte com "Un problema d'aritmètica índia" i, fins i tot, relaciona la seva resolució amb mètodes proposats pel matemàtic indi, del segle V, Aryabhata. No sabem si és cert o no. En tot cas, els problemes de repartiments, i entre ells els d'herències, són un clàssic en els llibres matemàtics antics.

Comencem a resoldre el problema?

La tauleta babilònica IM 67118: geometria, àlgebra i una mica de "pensament computacional"

L'objectiu d'aquest article és donar a conéixer un problema de geometria que apareix a la tauleta babilònica IM 6178. Aquesta tauleta es conserva al Museu Nacional d'Iraq de Bagdad i es va trobar al jaciment de Tell edh-Dhiba'i . Se li calculen uns de 3800 anys d'antiguitat.

Imatge de l'anvers de la tauleta (Font: Viquipèdia)

El problema que es planteja i resol és el següent:

Trobar la longitud i l'amplada d'un rectangle donades la seva àrea (0,75) i la diagonal (1,25).

No cal dir que la redacció original no és estrictament així, ni que les mesures, a la tauleta original, estan donades en numeració sexagesimal. 

Al revers de la tauleta (on continua el text de l'anvers) hi ha un esquema del problema amb les dades.

Revers de la tauleta i esquema ampliat

Un aspecte que dona què pensar és la semblança d'estil i contingut amb molts dels problemes que apareixen tradicionalment als llibres de text actuals. Podríem obrir tot un debat sobre aquesta qüestió. Però també ens podem demanar per què pot ser interessant treballar aquest problema a l'aula. Entre d'altres, hi ha tres raons a considerar:

• perquè ens permet treballar aspectes d'història de les matemàtiques: quina mena de problemes es plantejaven a l'antiga Mesopotàmia? Com els resolien? Quines matemàtiques es coneixien? Com les representaven? Com les explicaven?...
• perquè la resolució actual i la babilònica són força diferents i ens permetrà fer descobertes i connexions riques entre àlgebra i geometria. Fins i tot, descobrir aspectes sorprenents en una reinterpretació geomètrica de les expressions (a+b)² i  (a-b)².
• perquè si entenem que l'últim convidat curricular, el pensament computacional, està directament relacionat, en un sentit general, amb l'algorítmia, podem fer un estudi interpretatiu, des d'aquest enfocament, de l'algoritme de resolució proposat a la tauleta.

Però tornem ara al problema. Mirem primer la resolució moderna.

• Resolució amb un sistema d'equacions

No és molt difícil de plantejar: una primera equació que relacionarà la diagonal amb els costats, emprant el teorema de Pitàgores, i una segona equació a partir del càlcul de l'àrea.

• El mètode babilònic

El text original de la tauleta el podeu trobar en aquest enllaç a la Viquipèdia. Aquí seguirem la trducció més alleugerida que apareix al llibre La cresta del pavo real de G. Gheverghese. A la següent taula tenim les instruccions que s'hi donen, pas a pas, amb els càlculs associats en el nostre sistema decimal.

Tant a les tauletes mesopotàmiques com als papirs egipcis, s'acostumen a plantejar els problemes i, a continuació, s'expliquen, sense cap mena de justificació, les passes per a resoldre'ls. Si prescindim de les dades concretes que se'ns donen, el que ens proporcionen és un algoritme per a resoldre altres problemes idèntics. Només haurem de canviar les dades d'entrada i seguir les mateixes indicacions operatives. Però una cosa que podem començar a intuir, només mirant la taula, és que l'algoritme de resolució de la tauleta no sembla tenir una relació molt directa amb les passes de resolució del nostre sistema d'equacions anterior. Què feien i per què?

T'animes a analitzar l'algoritme de la taulera IM 67118?

Passar de 6 i rectificació de passar de 12

Abans de llegir aquest article, i si no voleu tenir espòilers , és millor que llegiu una entrada anterior relacionada: Passar de 12. Si ja coneixeu l'activitat, o us és diferent que s'esguerrin algunes sorpreses, podeu continuar. En tot cas, i per situar, recordem breument com era l'activitat Passar de 12.

• Agafem un dau
• L'anem tirant i sumant les puntuacions.
• Ens aturem quan arribem a una suma superior a 12. (Atenció! 12 no val! Ha de ser superior: 13, 14, 15...)

Exemple de tirades que s'aturen a 16

La pregunta de l'activitat era demanar per quin nombre apostaríem com a resultat final. Si fem l'experiment a l'aula veurem que la majoria d'apostes estan entre el 14 i el 16. Però, i d'aquí ve la sorpresa de l'activitat, el resultat més probable és 13. La raó que donàvem, en el seu moment, era que a 13 podem arribar des de sis resultats anteriors, des de 7, 8, 9, 10, 11 o 12, traient amb el dau un 6, un 5, un 4, un 3, un 2 o un 1, respectivament. A 14 arribarem des de cinc resultats. A 13 des de quatre... I així fins al darrer resultat possible, 18, al que només podem arribar d'una manera: des de 12 i traient un sis. Presentàvem la següent taula per a justificar el raonament.

Aquests resultats es corresponen força bé amb els que es poden obtenir amb un applet fet amb scratch que ens permet experimentar tantes vegades com vulguem.

Resultats d'un milió d'experiments amb l'applet

Fins aquí el que teníem. Però tot va trontollar quan la Cecilia Calvo, "la de l'ull precís", em va enviar un missatge que va posar en dubte l'explicació donada. Tot venia d'una adaptació del joc que va preparar per a fer-lo més analitzable a l'aula: Passar de 6. En aquest cas es pot fer un anàlisi més exhaustiu de totes les possibilitats. És a dir, mirar exactament de quantes maneres diferents puc arribar a un resultat concret..

Si apliquem el raonament presentat originalment a l'activitat Passar de 12, ara només hauríem de fer una petita adaptació de valors de la taula justificativa, però arribaríem als mateixos resultats que amb el 12.

Però si fem la mirada que proposa la Cecília, cercar exhaustivament tots els casos, els resultats als que s'arriben són diferents.

Així que vaig rebre el missatge de la Cecilia vaig recordar una famosa cita d'un dels pares del càlcul de probabilitats, Pierre-Simon Laplace, que al seu Essai philosophique sur les probabilités escrivia:

“La teoria de probabilitats va unida a consideracions delicades i no és estrany que, partint de les mateixes dades, dues persones arribin a resultats diferents.”

La prova del cotó de que, com no, el raonament de la Cecilia era el correcte, ens la dona l'experimentació amb un nou applet Passar de 6. 

Resultats d'un milió d'experiments amb l'applet

Aquesta nova mirada posava en dubte els resultats previstos per al joc Passar de 12, tot i que l'experimentació els corroborava.

Ho mirem tots amb calma de nou? Revisem l'estudi del joc? Apliquem l'anàlisi de la Cecilia al cas de 12 i altres casos nous?

Us animeu a continuar?

Estudiem una fórmula egípcia per a l'àrea dels quadrilàters

 Al 1855, Karl Richard Lepsius va publicar un estudi sobre les inscripcions jeroglífiques del Temple d'Horus que es troba a Edfú.

Al 1821 el matemàtic Thomas Little Heath escrivia, a la seva història de les matemàtiques gregues, aquesta frase a partir del treball de Lepsius.

"De moltes d'aquestes inscripcions que van ser publicades per Lepsius en recollim que 1/2(a+c)·1/2(b+d) era una fórmula per a l'àrea d'un quadrilàter els costats dels quals són, per ordre, a, b, c, d."

Dit d'una altra manera, l'àrea d'un quadrilàter es calculava trobant la d'un rectangle que tenia per costats la mitjana dels costats oposats.

A partir d'aquesta informació ens podem fer algunes preguntes:

• Funciona sempre bé aquesta fórmula?
• Si no és així, quan funciona?
• Si no funciona, l'error és molt gran? Molt petit? De què depèn?

Podem estudiar aquest tema, en el què GeoGebra ens serà de gran utilitat, gradualment: paral·lelograms, estels, trapezis isòsceles i quadrilàters generals. I, pel camí, anirem definint algunes de les condicions per a que aquests quadrilàters quedin determinats. Això ens permetrà també fer algun petit estudi funcional. És a dir, podem trobar una línia de treball que pot abastar del Cicle Superior de Primària al final de l'ESO. Acabarem l'article amb una adaptació, també trobada al mateix temple, per a l'àrea dels triangles.

Però, per "fer boca", podem veure ràpidament que la "fórmula egípcia" no funciona. Només cal observar un exemple, que bé ens podria servir pels nivells més baixos: els rombes. Aquestes figures queden determinades només amb un costat i un angle. Quan l'angle és de 90º tenim el quadrat. Justament el mètode egipci, i tenint en compte que en el rombe els costats són iguals, fa que l'àrea de qualsevol rombe sigui "igual" a la del quadrat amb el mateix costat, cosa evidentment falsa.

L'àrea d'un rombe de costat 5 pot prendre valors de 0 (0º) a 25 (90º)

Un dels aspectes més curiosos d'aquesta fórmula és que està datada aproximadament en el segle I a.n.e, quan Euclides, al mateix Egipte, però més al nord, havia publicat ja el seus Elements.

Estudiem el la "fórmula egípcia" amb més detall?

Corones. D'un problema a un teorema

En aquest article seguiré un itinerari, pràcticament clavat, al que ens van presentar en una xerrada, i si la memòria no em falla, els il·lustres membres del MMACA, Josep Rey i Manel Udina. Van connectar dos problemes que coneixia de manera independent i que no se m'havia acudir mai relacionar. El problema inicial, que no era exactament el mateix que ells van plantejar, el recordo del llibre de Mariano Mataix "Cajón de sastre matemático" (1981). El problema, més o menys, deia així:

"Suposem que tenim dues circumferències concèntriques. Tracem una tangent a la interior que tallarà l'exterior en un punt. La distància entre aquest punt i el de tangència és d'un metre. Troba la superfície de la corona circular que formen les dues circumferències."

Sembla increïble però el problema es pot resoldre tot i disposar només d'una informació tan mínima. Això si, cal l'ajuda "d'una idea feliç". Com a pista només cal recordar que la fórmula de l'àrea de la corona és π(R²-r²) i que aquesta expressió, R²-r², ens pot recordar com calcular un catet d'un triangle rectangle utilitzant el teorema de Pitàgores. Un cop resolguem aquest problema veurem que té altres sorpreses amagades i l'anirem ampliant fins a relacionar-lo amb un dels teoremes més bonics i sorprenents: el de Holditch. Aquest teorema el vaig veure per primera vegada en el preciós llibre de Clifford A. Pickover El libro de las matemáticas. Ja explicarem més tard què proposa. Només apuntarem que té a veure amb àrees de corones i escuradents, amb un punt marcat, que es mouen per la vora de figures corbes. Tot i així, qui me'l va redescobrir va ser el web de Gaussianos en un magnífic article que referenciaré al final.

Font de la imatge

Us animeu a continuar llegint?

Còniques a la badia de Roses

Fa molts anys em va caure a les mans un text de Josep Pla titulat "El vent de garbí i la tramuntana". Un dels seus apartats es titulava Explicacions científiques. En ell, per primera vegada, vaig trobar la referència a les formes el·líptiques de la badia de Roses. En Pla comenta un escrit de Frederic Macau (1917-1970) on hi ha tot l'estudi matemàtic pertinent, les seves justificacions geològiques i climàtiques i un petit teorema que ell mateix anomena "Teorema de l'Empordà"

En el text de Pla es diu:

És absolutament obvi que el perfil del golf de Roses és la forma més admirable, més impressionant, d'una més excelsa bellesa, més inoblidable de l'Empordà. (../..) És una forma de gran bellesa, produïda per la naturalesa en cru, que mai, potser, l'obsessió artística no arribarà a dibuixar una forma que s'hi assembli. (../..) El senyor Macau se l'ha mirada amb ulls d'artista i de científic -n'ha donat una informació de gran categoria. Una visió superficial del golf fa aparèixer una forma el·líptica geomètricament perfecta. És una el·lipse com si hagués estat traçada amb un tiralínies per un delineant expertíssim. Però d'el·lipses, n'hi ha dues: una de petita, del cantó de Roses, i una de més llarga del cantó de l'Escala. L'eix de l'el·lipse de la banda de Roses coincideix en direcció i situació amb la perllongació dins del mar de l'últim tram del Muga. L'eix de l'el·lipse de la banda de l'Escala, coincideix, encara que no tan exactament, amb la direcció i la perllongació del penúltim tram del Fluvià".

El text continua donant més detalls matemàtics recollits de l'escrit de Macau on, a més, hi ha alguna referència a la proporció àuria. Si el voleu llegir es titula "L'Alt Empordà geometritzat per la Tramontana".

Imatge original del text de Frederic Macau

La segona vegada que em vaig trobar amb una referència a l'estudi de Macau va ser a l'exposició de Perejaume "Maniobres de Perejaume", a l'any 2014.

La tercera, va ser a la revista NouBiaix, al n. 79, també de 2014, on Lluís Sabater, de l'IES Llança, feia tot un estudi amb GeoGebra de les propostes de Macau. L'article es titulava El Teorema de l'Empordà (de F. Macau) vist amb el GeoGebra.

Enllaç a la construcció de Lluís Sabater

Ja avanço que, amb tots el meu sincer respecte per l'obra de Macau, aquestes coses no me les pren mai del tot seriosament. Per una banda, la natura "no és exacta". Per una altra, nosaltres fem passar les línies per on ens va millor. Quantes vegades hem vist obres que troben tot de proporcions àuries dibuixant rectangles auris amb aproximacions triades a conveniència?

Aquí em deixo un colze, aquí un tros de mà, aquí...

Però l'observació de la forma aproximadament el·líptica de la badia (o de suma dels arcs de dues el·lipses) és innegable. Una altra cosa és de quina o de quines el·lipses. Un dels grans mèrits de Frederic Macau és que ho va fer tot a mà. Nosaltres disposem d'eines molt més còmodes per a posar-nos a jugar: imatges ortogràfiques accessibles, GeoGebra...

Ens hi posem?

Prostafairesis, taules de quarts de quadrats... Multipliquem d'una altra manera!

Buscar formes de simplificar les activitats complexes ha estat un dels motors del desenvolupament tecnològic (i cultural) de la humanitat. El càlcul és una d'aquestes activitats i, actualment, en gran part el deleguem en les màquines, sobretot si son llargs, molt repetititus o amb nombres complicats. Però el camí per arribar fins aquí ha estat llarg. Tristament, encara hi ha docents que discuteixen l'ús de les calculadores a l'aula. Un cosa és discutir "sobre l'ús" (quan, quant, com, per a què), però una altra "discutir-ne l'ús". La calculadora ha d'estar a l'aula. Però els que tenim una edat podem recordar els temps en el què aquest debat no tenia sentit, perquè les calculadores de butxaca eren uns ens estranys al teu entorn, unes autèntiques rareses. Els que vam estudiar el batxillerat pre-EGB encara vam haver de comprar llibres amb taules de logaritmes i estudiar com les multiplicacions es podien convertir en sumes, les divisions en restes, les potències en productes i les arrels en divisions. L'aplicació dels logaritmes a la simplificació dels càlculs complexos va ser fonamental des del segle XVII fins a ben entrat el XX. Als anys 70 encara era habitual veure "calculistes" fent anar el regle de càlcul, de base logarítmica.

Però abans del segle XII ja existien altres mètodes per alleugerir les grans multiplicacions reduint-les a sumes i restes de nombres extrets de taules numèriques. Alguns, basats en taules de quadrats, sembla que venen de l'antiga Mesopotàmia i van durar fins als inicis del segle XX. D'altres, basats en taules trigonomètriques, van ser usats des del segle XVI fins al triomf generalitzat dels logaritmes, amb els que van conviure molts anys. Aquest segon mètode rebia el nom de prostafairesis.

Abans d'estudiar-los amb més calma veiem un exemple d'aplicació de cadascun (tot recordant que es basen en l'ús de taules numèriques "prefabricades")

• Amb taula de quadrats.

Imaginem que volem multiplicar 785·296 = 232 360

1. Sumem els dos nombres
        785+296 = 1 081
2. Restem els dos nombres
        785-296 = 489
3. Busquem a una taula de quadrats els de la suma i de la diferència anteriors
        1081² = 1 168 561
        489² =239 121.
4. Restem aquests dos resultats
        1 168 561 - 239 121 = 929 440
5. Fem la quarta part de la resta anterior i obtenim el resultat del producte buscat
        929 440/4 = 232 360

• Amb trigonometria

Fem la mateixa multiplicació 785·296 = 232 360

1. "Arreglem" els nombres perquè estiguin entre 0 i 1. En aquest cas dividint cadascun per 1000 (0,785 i 0,296). A aquesta operació li direm "escalar els nombres".
2. Busquem a angle quin correspondrien els nombres anteriors si aquests fossin els seus cosinus. Ho podem fer amb una taula trigonomètrica i mirant l'arccosinus, que sovint a la calculadora ens apareix com cos^-1.
        Arccos (0,785) = 38,27932174º
        Arccos (0,296) = 72,78248857º
3. Sumem i restem els dos angles anteriors
        38,27932174º+72,78248857º=111,06181031º
        38,27932174º-72,78248857º = -34,50316683º
4. Mirem a la taula trigonomètrica els cosinus dels dos angles anteriors
        cos (111,06181031º) = -0.35937488
        cos (-34,50316683º) = 0.82409488
5. Sumem els cosinus anteriors
        -0,35937488 + 0,82409488 = 0,46472
6. Fem la meitat del resultat anterior.
        0,46472/2 = 0,23236
7. Només queda "reescalar" el resultat. Donat que havíem dividit inicialment cada nombre entre 10³, ara haurem de multiplicar per 10⁶.
        0,23236 · 1000000= 232 360

Potser semblaran algoritmes molt alambinats, però amb càlculs de navegació, astronòmics o d'enginyeria escurçaven molt el temps emprats en la seva realització. Només calia disposar d'unes bones taules de quadrats o trigonomètriques.

Els mirem amb més calma? Com es justifiquen?

La numeració oral Ngkolmpu

 Aquest repte l'he trobat entre la magnífica sèrie de problemes setmanals proposats per Alex Bellos a l'edició digital de The Guardian. Concretament és la proposta del 9 d'agost de 2021 i que modificaré ben poc.

Al web Càlculus ja vaig incorporar algunes activitats en les què es treballaven les numeracions orals. Es tractava d'esbrinar, a partir d'uns pocs exemples inicials, com es dirien alguns nombres demanats en la llengua proposada, o traduir quines quantitats representaven algunes expressions donades. A una d'elles, Construïm numerals, un dels objectius és observar la idea de que amb el concepte d'agrupament i algunes operacions bàsiques, es construeixen la majoria de numeracions orals. Com a exemple podem observar que, en català, quan diem "mil tres" estem sumant (1000+3) i quan diem "tres mil" estem multiplicant (3·1000). En una altra activitat (La base és la base) es treballa, a partir també de numeracions orals, la idea de base. Un dels aspectes interessants és que, en les numeracions orals, trobem una varietat més gran de bases que en les escrites. La proposta de Bellos és interessant perquè treballa els dos aspectes conjuntament: no podrem descobrir com funciona la numeració oral presentada si no fem una feina prèvia de descobrir la base.

La numeració proposada és la de la llengua Ngkolmpu, una varietat dialectal parlada pel poble Kanum de Papua-Nova Guinea.

Nyams i bananes, part important de l'alimentació del poble Kanum
(font: The Ngkolmpu Language)

En el seu repte de Bellos presenta en llengua Ngkolmpu, i de forma desordenada, els deu primeres nombres cúbics i demana que emparellem adequadament cada expressió amb la potència corresponent. El meu serà lleugerament diferent. Posarem els cubs ja directament aparellats i afegirem deu potències més: d'1 a 20. El que demanarem descriure com funciona els sistema de numeració:

• Quina és la base?
• Com és diuen cadascuna de les unitats?
• Com es diuen les potències de la base?
• Com es construeix un numeral?

De moment aquí teniu la taula amb els exemples:

Potència de 3	Nombre	Numeral oral
13	1	naempr
23	8	naempr traowo yempoka
33	27	eser traowo yuow
43	64	naempr ptae eser traowo eser
53	125	yuow ptae yempoka traowo tampui
63	216	tarumpao
73	343	naempr tarumpao yuow ptae yuow traowo naempr
83	512	yempoka tarumpao yempoka ptae naempr traowo yempoka
93	729	yuow tarumpao yempoka ptae naempr traowo yuow
103	1000	eser tarumpao yuow ptae eser traowo eser
113	1331	naempr ntamnao tampui traowo tampui
123	1728	naempr ntamnao yempoka tarumpao
133	2197	naempr ntamnao eser tarumpao naempr ptae naempr
143	2744	yempoka ntamnao eser ptae naempr traowo yempoka
153	3375	yempoka ntamnao yuow tarumpao yuow ptae eser traowo yuow
163	4096	yuow ntamnao tampui ptae eser traowo eser
173	4913	yuow ntamnao eser ptae yempoka traowo tampui
183	5832	eser ntamnao yuow tarumpao
193	6859	tampui ntamnao naempr tarumpao eser ptae yuow traowo naempr
203	8000	naempr ulamaeke naempr tarumpao naempr traowo yempoka

Si continueu llegint podreu trobar algunes ajudes, un programa que us escriu qualsevol nombre que demaneu, una taula més fàcil que aquesta per a nombres més petits i l'explicació de la numeració.

Voleu seguir?

"Camins de glòria" i matemàtiques

 Camins de glòria és el títol català de la pel·lícula d'Stanley Kubrick Paths of Glory. En castellà la vam conèixer com a Senderos de gloria. Es va estrenar al 1957, però a Espanya no la vam poder veure als cines fins a l'any 1986, onze any després de la mort del dictador. Una "transició" lenta. A França, però, també van haver d'esperar fins al 1975. Un film sens dubte perillós perquè fa pensar, i molt. Menys coneguda que la pel·lícula és la novel·la en la que es basa, escrita per Humphrey Cobb i publicada al 1935, abans de la 2a Guerra Mundial. Cobb havia lluita al front durant la Gran Guerra i sabia de què parlava. Tan el film com la novel·la son dos grans al·legats antibel·licistes i antimilitaristes. 

Estem en un d'aquells casos en el què la pel·lícula supera en molts aspectes a la novel·la. Però aquesta també és molt interessant de llegir. Vaig tenir a les mans una edició publicada durant el franquisme. No recordo si als anys 50 o 60. Era molt curiós llegir el pròleg en  el què, tot i criticar els aspectes antimilitaristes i defensar l'exèrcit francès, es donaven un seguit d'arguments per a defensar la publicació de l'obra. Imagino que era una argúcia editorial per convèncer a la censura  Actualment tenim una nova traducció castellana (en català no em consta que n'hi hagi cap) feta per Ricardo García Pérez. Aquesta és l'edició de la que transcriurem el fragments relacionats amb les matemàtiques i, molt especialment, amb la probabilitat. Els presentarem per ordre d'aparició... i sense fer espòilers, que cal visitar i revisitar aquesta història. Per altra banda, els fragments triats de la novel·la no apareixen a la pel·lícula.

Veurem que poden ser un bon punt de partida per a parlar a l'aula de certes creences que tenim en el camp de la probabilitat.

T'animes a llegir-los?