Un problema de pals que no és un pal de problema

Hi ha problemes que, a primer cop d'ull, no tenen cap gràcia especial, però quan t'hi poses comences a descobrir sorpreses: perquè el repte és més interessant del que inicialment semblava, perquè la solució té aspectes que van contra la teva intuïció o perquè aquesta té algun tret de bellesa, perquè et planteja relacions amb altres problemes coneguts o et deriva a problemes nous, perquè et convida a establir relacions entre diferents àmbits matemàtics com l'àlgebra i la geometria... El problema que presentem ara té totes aquestes virtuts. Apareix al llibre hindú del segle IX Ganita Sara Sangraha del matemàtic jainista Mahavira. Jo l'he trobat al llibre Gimnasia mental 2 de Jordi Deulofeu (amic, mestre de mestres i un dels nostres Gardners particulars).

Llegim l'enunciat:

---

Tenim dos pals rectes de 6 i 4 metres d'alçada, respectivament, i que estan clavats perpendicularment al terra. Col·loquem dos cables perfectament tensats que van des de la base de cadascun dels pals fins a la part superior de l'altre. A quina alçada es creuen els dos cables?

---

En primera instància sembla que desconèixer la distància entre els pals ens impossibilita el problema però la realitat és que amb les dades que se'ns donen tenim suficient.

Us animem a resoldre el problema i després continuar llegint, perquè darrera de la solució hi ha tot un camí a seguir.

Quadrats greco-llatins: un joc útil a l'experimentació

Els quadrats grecollatins són una recreació clàssica que tenen darrera una història curiosa i interessant i que han transcendit l'àmbit dels jocs matemàtics per ser incorporats en altres territoris com, per exemple, el de l'experimentació científica. I és una història en que apareix un dels grans personatges de la matemàtica: Leonhard Euler que, per una vegada, no la va encertar del tot amb una conjectura. L'explicació que farem seguirà en molt els passos del capítol Enmendando a Euler: el descubrimiento de un cuadrado greco-latino de orden 10, del llibre Nuevos pasatiempos matemáticos de Martin Gardner (del qual, per cert, es celebrarà el centenari el proper any).

Comencem per un quadrat més simple: un quadrat llatí.

Cal col·locar les rectangles de color a la quadrícula de forma que a cap fila o columna es repeteixi un color. (A l'applet enllaçat pots arrossegar les peces)

Enllaç a l'applet (flash)

Un quadrat grecollatí afegeix una dificultat. Ara cada peça té dues característiques: el color i la lletra.

Has de col·locar els rectangles de color a la quadrícula de forma que a cap fila o columna es repeteixin un color o una lletra. (A l'applet enllaçat pots arrossegar les peces)

Enllaç a l'applet (flash)

Vols saber més dels quadrats grecollatins i de com són útils a l'experimentació?

Vigilant polígons

El llibre de Clara Grima Hasta el infinito y más allá conté un capítol titulat  ¿Por qué no hay un poli en cada sala? on es presenta el problema del que parlarem ara. També va ser motiu d'una entrada a un dels seus blogs: Cuántos nos están vigilando. No millorarem el que ella ha escrit, però si que intentarem plantejar-ho com una possible seqüència didàctica per treballar el problema a l'aula. Som-hi doncs!

Imaginem que tenim una sala, per exemple d'un museu, on hem de situar una persona vigilant, tenint en compte que pot girar sobre sí mateix però no desplaçar-se. Si volem podem imaginar-nos un vigilant-mussol capaç de girar el seu cap 360º (imaginar-se la nena de l'exorcista girant el cap és més desagradable) o una càmera que gira sobre un eix.

Si tenim una sala en forma de quadrilàter, com el de l'exemple sota, és indiferent on col·loquem el vigilant. Sempre tindrà tota la sala en el seu camp d'observació, fins i tot posant-se a una cantonada.

Una sala una mica més complexa pot ser més exigent a l'hora de triar el lloc del vigilant, ja que no des de qualsevol lloc la visió és completa.

Algunes sales necessitaran, de totes totes, més d'un vigilant, encara que hi hagi zones sobrevigilades.

El problema tracta justament d'això: donada una sala poligonal qualsevol mirar quina és la quantitat de vigilants mínima que calen, on s'han de posar... i fins i tot treballarem un algoritme que ens ajuda a resoldre totes dues qüestions.

Vols estudiar el problema?

Una safata tripartita

De vegades els objectes ens provoquen preguntes matemàtiques. Per exemple aquesta safata per "l'aperitiu dels diumenges". Té tres espais per posar, per exemple, patates, olives i escopinyes. Independentment de que donades les diferències de forma, volum, superfície, densitat... dels tres productes no cal que les tres parts siguin iguals, la primera pregunta és aquesta: tenen la mateixa àrea?

Si no és així, es poden calcular unes mesures noves tot mantenint el disseny? O bé és impossible? Podem inventar altres dissenys que no siguin el típic de formatgets?

Si voleu en aquest enllaç trobareru un arxiu en GeoGebra per treballar-hi-

Tot sumant

En aquesta entrada us proposarem un parell d'exploracions basades en la suma i que són força interessants i entretingudes. La primera, "itineraris en la quadrícula" la recordo d'algun escrit de Fernando Corbalán i la segona, "segells", és de Brian Bolt.

1r problema: itineraris en quadrícula

Comencem pels itineraris. Es tracta de fer un recorregut per una quadrícula de la següent manera:

• comencem a qualsevol casella posant un 1
• passem a una casella contigua, en vertical, horitzontal o diagonal, i escrivim el nombre que correspongui a la suma de totes les caselles del voltant, ja toquin per un costat o per un vèrtex.
• continuem fent un recorregut continu que, sense salts, completi tot el caseller.

L'objectiu és aconseguir el nombre més alt un cop completat el recorregut. Aquí teniu un exemple animat amb un exemple d'itinerari.

2n problema: segells

Imaginem que tenim quatre segells enganxats fent un quadrat de 2x2 amb els següent valors: 1, 1, 2, 5. Agafant els segells d'un en un, de dos en dos (mentre es toquin per un costat), de tres en tres o tots quatre poden fer franquejos des de 1 fins a 9. Ho podem veure a la següent animació.

Amb els valors 1, 2, 4 i 7 potser arribaríem a un nombre més gran, però com es pot veure a l'animació, el valor 5 no el podem obtenir.

El problema consisteix en trobar una distribució numèrica que permeti obtenir els totals successius 1, 2, 3... sense saltar-se'n cap tot arribant al nombre més gran possible.

Explorem els dos problemes? 

Triangles misteriosos

Amb aquest títol es publicava, el passat 13 d'octubre de 2013, una entrada al molt recomanable blog esquemat.es . En ell es planteja una interessant exploració que, a diferents nivells, es pot treballar tant a primària com a secundària. Des del mateix bloc espot resseguir el fil de l'origen i autoria del problema. Aquesta exploració, que convida a cercar caos des de l'ordre i ordre des del caos, ens recorda alguns autòmates cel·lulars, com el joc de Vida que ja va se objecte d'una activitat del Calaix +ie, o la simulació de la propagació d'una epidèmia en aquest mateix bloc.

La proposta és senzilla de plantejar. Es parteix d'una xarxa hexagonal en forma de triangle equilàter i disposem de tres colors. Es pinta a l'atzar cada cel·la de la primera filera. A l'exemple treballarem en un xarxa de 6 fileres:

Per pintar cada cel·la de les següents fileres seguirem dues normes que tenen en compte les dues cel·les immediatament superiors:

• Si tenen el mateix color pintarem també amb el mateix color.
• Si tenen colors diferents pintarem amb el tercer color.

En aquesta animació podem veure com es pintaria la xarxa anterior.

Investiguem el tema?

Arrel quadrada 4: resoldre arrels restant senars

Hi ha una curiosa i força coneguda propietat que relaciona la suma de senars consecutius amb els nombres quadrats:

Si sumem n senars consecutius (començant per u) el resultat és igual a n²

Podem visualitzar aquesta propietat amb aquesta animació.

Si ens interessa podem utilitzar aquesta propietat per a resoldre arrels quadrades manipulativament. En aquest vídeo podem veure com fer l'arrel de 18 sumant senars.

De fet, treballant amb nombres, acostuma a ser més pràctic anar restant que anar sumant, ja que sempre podem saber si encara podem treure més o no. Així, partint del que hem obsevat fins ara, podrem obtenir un sistema per resoldre arrels quadrades només aplicant restes successives. A continuació explicarem el mètode general i a la part final,  a més de les propostes per a l'aula, us presentarem un algoritme relacionat absolutament sorprenent.

Seguim?

Arrel quadrada 3: el tempteig i el bon ull

No aprendre l'algoritme tradicional de l'arrel quadrada no significa que ens limitem a fer-les amb la calculadora pitjant la tecla d'arrel. Precisament, quan s'introdueix aquesta operació s'hauria de prohibir tocar-la i mirar de fer-la per altres procediments.

A les dues entrades anteriors d'aquest blog sobre l'arrel quadrada hem insistit molt amb la seva traducció geomètrica però també hauríem de considerar els seus aspectes purament numèric,s tant per fer bones aproximacions com per utilitzar-la amb sentit en contexts no geomètrics. Per exemple l'arrel quadrada ens va molt bé per assenyalar-nos un límit de proves en cercar tots els divisors d'un nombre o comprovar si és primer o compost.

En aquesta entrada parlarem del tempteig numèric i geomètric per trobar arrels.

Arrel quadrada 2: L'arrel dels algoritmes més tradicionals

La majoria d'algoritmes tradicionals de l'arrel quadrada, del que s'ensenya(va) a les escoles, del xinès antic, del grec, de l'Índia... es basen en una interpretació algèbrica del problema geomètric de trobar el costat d'un quadrat d'àrea coneguda. Disposant d'una eina com GeoGebra no és difícil trobar una solució aproximada de forma relativament fàcil.

Si no disposem d'aquesta eina el que hem de fer és anar obtenint, de mica en mica, aproximacions successives a l'arrel del nombre. Els tres algoritmes que descriurem tenen trets comuns:

• Comencen fent una primera aproximació encaixant un quadrat de costat conegut i que sigui el més gran possible (encara que sovint respectant graus d'unitat: centenes, desenes...)
• Millorar l'aproximació a partir de càlculs amb l'àrea que no queda recoberta pel quadrat de la primera aproximació.
• Per trobar aquesta aproximació es compta amb un nombre especial: el doble del costat del primer quadrat trobat.

Per exemple, si volem calcular l'arrel quadrada de 142 trobarem una bona aproximació inicial amb el quadrat d'11, que és 121. Ens quedarà per esbrinar el valor de x perquè s'acompleixi que l'àrea de la zona que queda en forma de lletra L valgui el que falta de 121 a 142, és a dir, 21.

Continuem?

Arrel quadrada 1: el mètode d'Heró

El meu primer contacte personal amb l'arrel quadrada va ser aproximadament als deu anys. Se'm va ensenyar un exigent algoritme que recordava vagament al de la divisió, però amb estranyes alteracions (es baixaven les xifres de dos en dos, es feien dobles tot deixant un foradet al darrera que omplies després de complicats temptejos...). Un cop dominat l'algoritme es passava a una altra cosa. El segon contacte no es va produir fins dos o tres anys més tard que un company (no el mestre) em va proposar un problema de l'estil: "un pagès vol plantar 169 cols de forma que hi hagi tantes files com columnes; quantes cols hi haurà a cada fila?". Vaig resoldre el problema tot fent proves i quan li vaig ensenyar la solució em va dir: "Bé... però només calia fer l'arrel quadrada de 169". Recordaré aquell instant tota la vida. L'arrel quadrada "servia" per a alguna cosa a banda de per torturar les nostres tendres neurones "en formació", resolia alguns problemes. Les cometes del "servia" són degudes a la inexistència de pagesos amb aquestes dèries. Recordo que els meus oncles pagesos de La Mancha tenien altres preocupacions més relacionades amb el temps atmosfèric o els preus fixats pels intermediaris. Tornant al tema: van caldre molts anys perquè em reconciliés amb l'arrel quadrada i va ser gràcies a les seves utilitats numèrico-geomètriques.

Les "arrels quadrades" de l'Ànec Donald al País de les Matemàtiques

Estarem ràpidament d'acord, confio, en que aprendre l'algoritme tradicional amb llapis i paper de l'arrel quadrada és absolutament innecessari. Però també estarem d'acord que treballar mètodes resoldre'n alguna, per algun altre mètode i sense utilitzar la tecla corresponent de la calculadora, ens ajudarà en la comprensió del(s) seu(s) significat(s). També, como no, analitzar algoritmes històrics és un treball matemàtic de primer ordre.

Per aquesta raó iniciem una petita sèrie sobre algoritmes de l'arrel quadrada semblant a la que vam fer sobre la divisió. I res millor que començar per un algoritme que dóna sentit geomètric a aquesta operació: l'algoritme d'Heró d'Alexandria.

LOA (Lines of Action): un sorprenent joc de tauler

El LOA és un joc d'estratègia que, pel seu objectiu, podríem classificar en la categoria de jocs de connexió o d'alineació. Però la seva originalitat rau en les regles de moviment, rotundament inusuals i sorprenents. També el fet de l'existència de captures que poden proporcionar, a la vegada, avantatges i inconvenients. El joc va ser inventat a l'any 1960 pel canadenc Claude Souci i publicat pel seu amic, el també inventor de jocs Sid Sackson, a l'any 1969.

El material bàsic és fàcil d'aconseguir: un tauler de dames (8x8) i 12 fitxes de cada color que es disposen inicialment tal com es veu a la imatge:

Vols conèixer les regles i jugar?

"¿Pero esto también es matemática?" + Un problema de caramels

Adrián Paenza és matemàtic i periodista esportiu però, sobre tot, un magnífic divulgador matemàtic de gran èxit a l'Amèrica llatina. Té un programa setmanal a la televisió argentina del qual podem trobar moltes píndoles a Youtube. A Espanya s'havien publicat dosdels seus cinc primers llibres i ara també el darrer ¿Pero esto también es matemática? Totes les seves obres, inclosa aquesta darrera, també les podem trobar en format pdf a internet alliberades pel propi autor.

Els textos de Paenza són sempre clars i la tria de problemes i situacions a descriure molt variada i ben feta. És un autèntic plaer acostar-se a la seva obra i, si mireu els vídeos, a la seva persona. Voldria destacar uns fragments del capítol No sé d'aquest llibre perquè conté una autèntica declaració de principis. I, a continuació, plantejarem un dels problemes del llibre.

   "Es curiosa la dificultad que tenemos los humanos para decir “no sé, no entiendo”. Y es curioso también cómo se va modificando a lo largo de los años, porque los niños no tienen difi cultades en preguntar “¿por qué el cielo es azul?” o “¿por qué mi hermanito tiene ‘pitito’ y yo no?” o “¿por qué gritaban ustedes dos ayer por la noche?” o ¿por qué el agua moja y el fuego quema y la electricidad ‘da patadas’?”. Y siguen los porqué. (../..) Pero a medida que el tiempo pasa empiezan los rubores, los temores y uno ya no se siente tan cómodo cuando se exhibe falible o ignorante. La cultura se va filtrando por todas partes y las reglas empiezan a encorsetar. Uno se empieza a sentir incómodo cuando no entiende algo. Y la sociedad se ocupa de remarcarlo todo el tiempo".

(../..)

   "Yo creo que uno debería tratar de estimular la prueba y el error. O, mejor dicho, de estimular que el joven pruebe y pruebe, que pregunte y pregunte, y que busque él/ella la vuelta para ver si le sale o si entiende lo que en apariencia le resulta inaccesible.
   Sobre todo invito a los adultos a que nos asociemos a la búsqueda  con ellos, a mostrarnos tan falibles como ellos, sobre todo porque  SOMOS tan falibles como ellos, y no estaría mal mostrarnos tan  apasionados por entender como ellos, tan curiosos como ellos.
   En definitiva, el saber es algo inasible, difícil de definir. Y  perecedero, salvo que uno lo riegue todos los días. ¿Qué quiere decir saber algo? Una persona puede saber cuáles son todos los pasos para conducir un auto, pero eso no significa que sepa manejar. Un cirujano, no bien egresa de la facultad de medicina, puede creer que sabe lo que tiene que hacer. De allí a poder operar, hay un trecho largo.
   Por eso, el único camino es la pregunta, la duda y el reconocimiento constante del “no sé, no sé cómo se hace; no entiendo; explicámelo de nuevo”.
  Y eso es lo que creo que nos falta como sociedad: seguir como cuando éramos niños, sin pruritos ni pudores. Era el momento en el que no saber era visto como una virtud, aceptado por los adultos por la ingenuidad que contenía y porque la película estaba virgen y estaba todo por entender. Quizás uno llegue a la conclusión de que en esencia conoce poco y de muy poquitas cosas, pero la maravilla de la vida pasa por el desafío de descubrir. Y de poder decir “no sé, no entiendo”.

Voleu conèixer el problema "caramels per a tots"?

Un llibre amb problemes històrics: "Expediciones matemáticas"

El subtítol d'aquest llibre de Frank J. Swetz, publicat la La esfera de los libros, diu "L'aventura dels problemes matemàtics a través de la història". Hauríem d'aclarir que la majoria dels 500 problemes que recull són el que l'autor anomena problemes descriptius, que, per entendre'ns, serien de l'estil dels problemes d'aplicació que trobem encara actualment a molts llibres de text. La lectura d'aquests problemes fa venir una certa esgarrifança quan ens fa pensar que els manuals matemàtics no han canviat gaire des de les tauletes babilòniques de fa cinc mil anys. Mirem sinó un exemple que el llibre qualifica com "el mes antic dels problemes descriptius conegut":

Un graner de civada. Un home rep 7 sila de gra. Quants eren els homes?
(1 graner =  2 400 gur; 1 gur = 480 sila)

La diferència democràtica és que els manuals (en la forma que siguin: tauletes, papirs, rotllos, llibres manuscrits, impresos...) de l'antiga Mesopotàmia, Egipte, Grècia... provinents de la cultura xinesa, hindú... estaven adreçats a la preparació d'especialistes que gaudirien de grans o petits privilegis, mentre que als llibres de text l'objectiu és que eduquin al conjunt de la població. Un altre tema és pensar que aquests tipus de problemes són els que han de centralitzar l'educació matemàtica dels nostres infants.

De com els pirates cruels es reparteixen el botí

Al llibre Locos por las matemáticas el divulgador matemàtic Ian Stewart dedica un capítol (Apuradas piruetas entre piratas) a estudiar un problema de lògica força interessant per la seva sorprenent solució. L'enunciat és el següent:

“Deu pirates s'han fet amb un tresor de cent peces d'or i se'l volen repartir. Són pirates democràtics, a la seva manera, i tenen el costum de fer els repartiments de la següent forma. El pirata més cruel fa una proposta de repartiment i tots voten: cadascú té un vot, inclòs el que fa la proposta. Si s'obté un 50% o més dels vots a favor, la proposta s'aprova i es posa en pràctica. En cas contrari, el proposant és llançat per la borda i es repeteix el procediment amb el següent pirata més cruel. 

Tots els pirates frueixen llençant gent per la borda, però si els dónes a triar s'estimen més tenir diners a la butxaca. No els agrada ser ells mateixos els llançats per la borda. Tots els pirates són racionals, saben que els altres pirates són racionals, saben que ells saben que.... (../..) No hi ha dos pirates igualment cruels, de forma que hi ha un ordre per fer propostes precís, que és conegut per tots ells. Per acabar, les peces d'or són indivisibles i no es permeten acords per compartir peces (donat que cap pirata confia en que els seus col·legues respectin un acord d'aquesta mena). Cadascú es preocupa només d'ell mateix. 

Quina proposta maximitzarà els guanys del pirata més cruel?"

Atzar i cromosomes

La investigació genètica és una dels camps científics que més canvis està provocant en la nostra vida quotidiana: en l'alimentació, en l'eradicació i curació de malalties... Molts dels seus avenços són també objecte de discussió: la clonació, l'ús de cèl·lules-mare, les possibles repercussions dels aliments transgènics... Sense entrar en aquestes importants qüestions ètiques relacionades amb la genètica farem una petita mirada a alguns aspectes que relacionen els gens amb la probabilitat.

 

Primer recordarem que la informació genètica es guarda en l’ADN cel·lular i que llargues cadenes d’ADN formen els cromosomes. Podríem dir que la informació genètica és com una enciclopèdia: els cromosomes són els diferents toms i les seqüències d'ADN els capítols que expliquen com hem de ser (el color dels ulls, el grup sanguini,... etc.)

Estudiem alguns casos?

Baralla't amb la baralla

Al número 6 de la revista Cacumen (juliol 1983) apareixia un article amb el títol La baraja matemàtica signat per Medea Juraido (molt probablement un pseudònim) on, a més d'una petita historia dels naips (el seu origen xinès, l’existència de cartes rodones i altres curiositats...) ens proposa utilitzar les cartes com un petit laboratori matemàtic. Per practicar en aquest laboratori ens convida a experimentar amb tres problemes que plantejarem a continuació. Però, atenció, cal anar a buscar les cartes per practicar!

Un dels avantatges que ens proporcionen les cartes és la possibilitat d'experimentació ràpida. Imaginem, per exemple, que hem de resoldre un quadrat màgic. Què és més fàcil? Escriure i esborrar nombres sobre un paper? O bé, anar intercanviant cartes si la disposició que hem preparat no és la que es correspon amb el problema que investiguem?

Vols conèixer els tres problemes?

Hasta el infinito y más allá

Clara Grima, amb la col·laboració en les il·lustracions de Raquel Garcia Ulldemolins, és una activa i experimentada "bloggera" de la divulgació matemàtica. Els seus matecontes els podem trobar a Mati y sus mateaventuras i Mati, una profesora muy particular. En ells trobarem a la Mati, els nens Sal i Ven i al gos Gauss. I matemàtiques, moltes matemàtiques. Ara algunes d'aquestes mateaventures s'han recollit en forma de llibre. Benvingut sia.

Vols saber més sobre el llibre?

Prenem-li la temperatura al termòmetre

El termòmetre és l’aparell que utilitzem per a mesurar la temperatura. Els termòmetres clàssics es basen en la propietat que tenen les substàncies de dilatar-se amb la calor. Si triem una substància que, entre altres factors, es dilati d'una forma prou regular podrem mesurar temperatures a partir de les seves variacions de longitud producte de la dilatació.

A principis del segle XVIII, el físic alemany Daniel Gabriel Fahrenheit (1686 – 1736) va fabricar el primer termòmetre de mercuri. El mercuri té l’avantatge que es manté líquid entre -38.9º C i  356.7º C.

El problema més curiós que tenim amb els termòmetres és que es graduen amb escales diferents segons el país o l’àmbit en què s’utilitzen.

Vols saber com graduar un termòmetre?

Obrint i tancant portes

Aquest problema va aparèixer al n. 5 de la revista Cacumen (juny de 1983) en un recull sobre Martin Gardner. També Adrián Paenza l'explica al seu llibre Matemática, ¿estás ahí? Episodio 100.

El problema es pot plantejar perfectament al cicle superior de primària arribant a deduir el patró que el soluciona. A secundària podem plantejar-nos, a més, esbrinar el per què d'aquest patró.

Imaginem un hotel amb un grum juganer. Una nit organitza el següent joc. Demana pels altaveus a totes les habitacions que  obrin les portes (Posem que hi ha 100 habitacions, encara que a l'applet que acompanya el problema només hem posat 25). Després ordena: "Que les portes parells es tanquin!". Així les portes 2, 4, 6... queden tancades i les 1, 3, 5... queden obertes. Després torna a donar una altra ordre. "Que les habitacions múltiples de 3, canviïn la seva situació!". Canviar la situació significa que si la porta està oberta s'ha de tancar, i si està tancada, s'ha d'obrir. Així la porta 3, que estava oberta, s'haurà de tancar, però la 6, que estava tancada, s'haurà d'obrir. Després el grum va seguint: "Els múltiples de 4 que canviïn la seva situació!". "I ara els múltiples de 5!". I continua.

Al final del joc... quines portes quedaran obertes?

Podeu practicar amb aquest applet (flash) on obrireu i tancareu les portes clicant a sobre.

Enllaç a l'applet

Comentem com portar el joc a l'aula?

El contable hindú + El problema de les particions

L'escriptor estatunidenc David Leavitt va escriure al 2007 aquesta novel·la on recrea, entre altres temes, la relació entre els matemàtics Godfred Harold Hardy i Srinivasa Ramanujan, el comptable hindú del títol. No ha estat fins el 2011 que hem disposat d'una traducció al castellà. A l'hora de la veritat el títol és lleugerament enganyós ja que no és Ramanujan l'autèntic protagonista del llibre, la personalitat del qual queda força desdibuixada, sinó que qui focalitzen la narració són Hardy, l'ambient del Trinity College de Cambridge i, en certa manera, la Gran Guerra. Però aquest "petit engany" no treu interès a la novel·la. Si el personatge de Ramanujan queda difús és perquè, fonamentalment, el veiem des de la perspectiva de Hardy, que, amb un caràcter força egocentrista, no està especialment dotat per relacionar-se o comprendre als altres.

És bastant coneguda la història d'aquests dos matemàtics però recordem-la breument. Hardy era un matemàtic amb un cert renom que treballava sovint en col·laboració amb John E. Littlewood. A l'any 1913 va rebre una carta d'una dotzena de pàgines plena de fórmules inusuals signada per un desconegut matemàtic, comptable del Port Trust Office de Madràs i que es declarava autodidacta i . Hardy i Littlewood van saber valorar el treball que se'ls hi presentava i van fer gestions perquè Ramanujan anés a Anglaterra, cosa que van aconseguir. Ramanujan va fer una estada d'uns cinc anys a la Gran Bretanya, just coincidint amb el període de la Primera Guerra Mundial. Va emmalaltir i moria poc després de retornar a l'Índia.

Hardy i Ramanujan

Tenint en compte que parlem de novel·la i no d'història o biografia, la recreació que es fa de l'època i dels seus personatges, dels seus dilemes, de les seves contradiccions és interessant.

I les matemàtiques tenen una presència, no només inevitable, sinó intencionadament clara. I un dels problemes que del que es parla de forma més reiterada és el de les particions, un problema encara no resolt de forma completa i que té un plantejament que es pot explorar perfectíssimament des de l'educació primària.

Vols conèixer el problema a de les particions?

Mesurant les il·lusions

Segur que coneixes un bon grapat d'il·lusions òptiques i hauràs vist que algunes enganyen més que altres. Només cal escriure “il·lusions òptiques” en un cercador. Hi ha de molts tipus i algunes, fins i tot, són molt conegudes.

Però... hi ha il·lusions millor que altres? Es por mesurar l'engany?

Hi ha molts exemples d'il·lusions que ens permeten realitzar algun tipus de mesura sobre si “enganyen” més o menys que altres. Ens serà especialment fàcil en les que provoquen trampes de longitud.

Observa aquesta il·lusió.

Per a la majoria de la gent, la figura inferior és major. Però, en tenim prou amb comptabilitzar quantes persones “piquen”? No podem millorar la nostra mesura de l’engany?

Vols practicar amb unes il·lusions?

Ara pots experimentar, amb alguns applets fets amb flash, el grau d'ajustament de les teves mesures a ull. Després de seguir les instruccions realitza la mesura, a cada cas, i comprova el teu grau d'encert.

Il·lusió 1

Estirant de la fletxa col·loca la recta B on creguis que és la continuació de l'A.

Enllaç a l'applet (flash)

Divisió 6: la divisió a Mesopotàmia

La divisió que es practicava a l'antiga Mesopotàmia és ben diferent a la dels algorismes que s'han utilitzat després i que hem anat presentant en aquest bloc. Dues característiques la separen dels altres mètodes. Una d'elles, de caràcter menor, està lligada a l'ús de la base 60 que utilitzaven en aquells temps i aquelles terres. L'altra és que el mètode consistia en multiplicar un nombre pel seu invers. Per poder fer les divisions els "calculistes" disposaven de taules d'inversos. Però unes taules particulars, amb gairebé tots els nombres inversos del 2 al 20, de 30, 40 i 50. Quins nombres faltaven del 2 al 20? Els nombres que qualificaven d'irregulars: 7, 11, 13, 14, 17 i 19. Per què no hi eren aquests nombres? Com feien les divisions?

Càlculi mesopotàmics per representar nombres

Si vols saber-ho... continua llegint!