"Esglaiada per tot, Dido preparava la seva fugida i la dels seus companys. Se li uniren tots aquells que sentien pel tirà un cruel avorriment o un temor agut. S'emparen d'uns vaixells que casualment estaven quiets i els estiben d'or. Són confiades al mar les riqueses que Pigmalió cobejava: una dona capitaneja l'empresa. Arribaren en aquest país, on ara veuràs sorgir unes enormes muralles i la nova ciutadella de Cartago, un cop adquirit un solar, que d'aquest fet es digué Birsa, tot el que hom podia envoltar amb la pell d'un toro."
L'Eneida (I-359)
Amb aquestes paraules el poeta Virgili ens explica, de forma breu, la fugida de la princesa fenícia Dido de la ciutat de Tir acompanyada d'alguns fidels. Arribats a la costa nord d'Àfrica, prop de l'actual Tunísia, va aconseguir que el jerarca local Jarbas li cedís tot el terreny que pogués abastar amb la pell d'un brau. La idea de Dido, segons la llegenda, va ser fer tallar la pell en tires molt primes (que els tiris facin la tira de tires ha de ser de lo més natural) i lligar-les formant una gran corda. El problema ve ara: quina forma ha de tenir la figura tancada amb la corda per obtenir la màxima àrea?
De vegades tendim a pensar que figures amb un mateix perímetre tindran la mateixa àrea. Però una figura com la que es veu a continuació ens mostra que no és així.
Cercar la figura que amb un mateix perímetre tanca una àrea màxima és una bona investigació per realitzar a l'aula. És una activitat que podem treballar a diferents nivells segons el curs en què la realitzem. El podem "atacar" des del cicle superior de primària fins a batxillerat, segon l'enfocament que li donem.
La seqüència que us proposem comença per estudiar el cas dels triangles, per passar a quadrilàters, pentàgons, polígons regulars... i acaba amb una petita recreació matemàtica.
Mirem la seqüència?
El polígon més senzill, en quant a número de costats, és el triangle. Treballar amb ell ens permet limitar algunes variables i realitzar diferents observacions a partir de l'experimentació, per exemple amb l'ús de GeoGebra.
Podem fer un applet que ens permeti fixar un perímetre i variar la longitud de dos dels costats. Al mateix temps podem observar com varia l'àrea. L'experimentació ens farà veure que l'àrea màxima s'aconsegueix quan fem un triangle equilàter.
Si veiem que provar variant dos costats hi ha massa variabilitat també podem començar amb casos més senzills. Per exemple amb un applet que permeti fer la mateixa exploració a partir de triangles isòsceles.
Una tercera possibilitat és estudiar triangles que tinguin el mateix perímetre i una base fixada. El que té d'especial aquest cas és el tercer vèrtex sempre es situa sobre una el·lipse de la que els altres dos vèrtexs són els focus. En aquest cas l'àrea màxima s'obté quan, si no és possible construir l'equilàter, el triangle és isòsceles.
Experimentem amb quadrilàters
En aquest cas simplificar l'exploració implicarà treballar amb rectangles. No serà difícil observar que l'àrea màxima s'obté amb el quadrat. És molt bonic plantejar aquesta qüestió visualitzant-la amb una corda tancada entre els dits.
Com en els cas dels triangles, podem investigar amb GeoGebra.
Una altra simplificació molt visual consisteix en treballar amb rombes variant els angles.
Pentàgons
A l'estudiar els quadrilàters hem limitat els casos a rectangles i rombes. En general l'àrea dependrà de la longitud dels costats i del angles que formen. Podem provar amb aquest pentàgon amb tot jugant amb aquestes variables i observant que l'àrea màxima s'obté amb el pentàgon regular.
Comparem polígons de diferents costats
De les exploracions anteriors haurem observat que el triangle equilàter, el quadrat, i el pentàgon regular tanquen les àrees màximes en triangles, quadrilàters i pentàgons per a un perímetre donat. Per tant, sembla que per una quantitat donada de costats el polígon regular corresponent tanca una àrea màxima.
Ara el que cal comparar són les àrees entre polígons de diferents costats. Donat un perímetre fix quin polígon regular tanca més àrea? El de tres costats, el de quatre, el de cinc...?
Novament podem experimentar amb GeoGebra.
Fins a l'infinit i més enllà
Amb l'applet anterior haurem vist que quan més costats tingui el polígon regular més àrea tanca. Si ens "anem al límit" un polígon d'infinit costats serà el més òptim. La solució del problema de Dido ens la donarà el cercle.
Pel que explica la llegenda sembla que Dido va envolar un turó. Probablement per problemes de defensa. Són moltes les circumstàncies a tenir en compte per triar el lloc de fundació d'una ciutat. L'abastiment d'aigua és un dels cabdals. Si només tenim en compte la quantitat de superfície a tancar amb la corda segurament Dido hauria triat construir la ciutat a la costa i,en comptes d'un cercle, hauria traçat un semicercle. Hauria aconseguit doblar la superfície a tancar.
Propostes per a l'aula
En general la seqüència es pot treballar en diferents cursos. Però podem fer alguns matisos:
- Si volem, amb el més petits, ens podem centrar només en alguns dels casos dels triangles o dels quadrilàters. Un cas força clar és el del rombe. Un altre el dels triangles isòsceles. Si els volem fer argumentar per què en aquests casos l'àrea és més gran no serà difícil que argumentin sobre l'obertura dels angles. El cas dels rectangles isoperimètrics és dels més fàcils de treballar perquè les àrees són les més fàcils de calcular. Podem plantejar el problema de Dido amb rectangles i després començar a parlar d'altres polígons.
- No sembla molt aconsellable arribar al cas dels pentàgons si no s'ha vist abans que costats iguals i angles iguals tanquen àrees màximes, ja que són moltes les variables a combinar (longituds de quatre costats, quatre angles)
- Amb els més grans (final d'ESO, batxillerat) podem fer un estudi funcional: com varia l'àrea, per un perímetre donat, a mesura que augmentem la quantitat de costats. Es pot visualitzar que el creixement inicial és força evident però després és molt lent, tant que visualment és imperceptible. Una bona ocasió per treballar trigonometria, parlar de l'infinit...
Un joc
Un repte clàssic de recreació matemàtica és retallar un forat en un full de paper de forma que sigui prou gran com fer passar el cos. Només es poden utilitzar les tisores. No es pot "retallar i enganxar" com va fer Dido amb la pell del brau. És interessant fer provar a l'alumnat abans de donar la solució. En un full rectangular un dels possibles mètodes és el següent:
Quan més ajustats a les vores siguin els talls i més junts els fem i, per tant, més abundants siguin, en obrir el full veurem que el forat serà més gran. En un DINA-4 es poden arribar a encabir al voltant de 20 alumnes.
En aquest vídeo podem veure un exemple de com fer-ho.
Epíleg
Dido és la protagonista d'una de les òperes mes famoses del compositor barroc Henry Purcell: Dido i Enees. A ella pertany una de les àries més commovedores de la història de l'òpera: When I am laid in earth, coneguda popularment com El lament de Dido. La canta pensant en Enees i abans del seu suïcidi:
Recorda'm, recorda'm, però. ah!, oblida el meu destí
Esperem que, després de les activitats fetes, el nostre alumnat recordi, ah!, no oblidi, quina és la figura que, per un mateix perímetre tanca una àrea màxima.
Postdata
Mentre es preparava aquest article pel blog s'han publicat d'altres relacionats amb el tema. Bé cal esmentar-los perquè hi trobareu altres idees o altres formes d'explicar les coses.
- Blog del PuntMat: Perímetre i àrea
- Blog del PuntMat: Perímetre i àrea 2
- Clara Grima: Algunas cosas son más largas de lo que parecen: así se fundó un Estado (vídeo)
Cap comentari:
Publica un comentari a l'entrada