Golígons: nombres enters i geometria

Imaginem que estem a un punt de l'Eixample barceloní i iniciem un itinerari de la següent manera:  avancem una illa, girem 90º en qualsevol direcció, avancem dues illes, girem a l'atzar 90º, avancem tres illes i girem 90º sense pensar cap a on, avancem quatre illes, girem 90º... i anem fent així, avançant cada vegada una illa més que abans i girant 90º. Si després d'un dels girs ens trobem de nou al punt de sortida haurem fet un recorregut especial que rep el nom de golígon. A la imatge tenim un exemple en el que hem començat al punt assenyalat de color verd.

Amb una explicació semblant començava l'article d'A. K Dewney de l'any 1990 titulat An odd journey along even roads leads to home in Golygon City. En aquest escrit ens presentava els golígons inventats per Lee Sallows dos anys abans, creador també dels quadrats geomàgics que vam tractar en una altra entrada anterior.

La definició de golígon que apareix en aquest article és la següent:

"Un golígon es compon de segments rectilinis que tenen longituds (mesurades en quilòmetres, metres o la unitat que preferiu) d'un, dos, tres, etc. fins a un nombre finit. Cada segment es connecta formant un angle recte amb el segment que és una unitat més gran, excepte el segment més llarg, que es troba amb el segment més curt també en un angle recte."

L'exemple que hem mostrat sobre el plànol de l'Eixample és el golígon més petit existent. Està format per 8 segments i formen un polígon còncau que, a més, tessel·la el pla.

Si provem de trobar golígons de 9, 10, 11... segments no ens en sortirem. De fet, una de les primeres coses que podem observar és que ens calen tants segments horitzontals com verticals, el que fa que el total de segments necessaris sigui parell. Però amb 12 o 14 segments tampoc en trobarem. Sí que ho aconseguirem amb 16. Hi ha 28 golígons amb aquesta quantitat de segments. No tornarem a aconseguir-ne nous fins a 24 segments amb 2108 casos. Bé... comença a ser interessant jugar-hi. Es pot demostrar (i ho farem al document que s'annexa a l'article) que la quantitat de segments totals ha de ser un múltiple de 8. I, com no?, la quantitat de solucions per a 8, 16, 24, 32... segments la trobem a l'OEIS amb el codi A007219.

Explorar els golígons es pot relacionar amb el càlcul d'enters. Anem-hi pas a pas. Podem fer algunes observacions en un golígon de 16 segments i que serveixen per a tots els golígons en general.

• Els costats amb longitud senar són tots verticals
• Els costats amb longitud parell són tots horitzontals,

Si caminéssim per la línia poligonal començant des de l'1 pujaríem, amb el 2 aniríem cap a la dreta, amb el 3 tornaríem a pujar... amb el 5 baixaríem... amb el 10 cap a l'esquerra... Fixar-nos en la orientació dels segments ens permet fer noves observacions:

• La suma de les longituds dels segments que pugen és igual a la suma de les longituds dels que baixen.
• La suma de les longituds dels segments que van cap a la dreta és igual a la suma de les longituds dels que van cap a l'esquerra.

No és difícil argumentar la raó: perquè si no l'itinerari no es tancaria. Però això ho podem formular d'una altra manera, amb nombres enters, considerant les pujades i l'anar cap a la dreta com a "positiu" i el baixar i anar cap a l'esquerra com a "negatiu". El nostre golígon anterior els podríem descriure de la següent manera, tot recordant que els senars són segments verticals i els parells horitzontals, :

+1 +2 +3 +4 -5 +6 -7 +8 -9 -10 -11 -12 +13 -14 +15 +16

Lògicament la suma de tots els valors és zero. Però, adaptant als enters el segon parell d'observacions fetes abans, també podrem dir que la suma de les longituds dels segments verticals (els senars) és zero i que la suma de la dels horitzontals (els parells) també és  zero. Si ens agrada més expressar-ho amb fórmules podem escriure que per a un golígon de n segments s'acompleix que:

Ja ha aparegut un lligam amb el càlcul d'enters que ens comença a obrir camins per investigar a l'aula. Però els golígons donen per més: tots formen polígons? Si no és així, es pot saber d'antuvi? Quants n'hi ha per a una quantitat determinada de segments? Es poden dibuixar tots d'un sol traç sense sobreescriure línies?

T'animes a continuar?